雅禮教育集團2021-2022學(xué)年高一上學(xué)期期末考試試卷數(shù)學(xué)時量：120分鐘    分值：150分一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分、在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1. 設(shè)，集合，，則（    ）A.  B. C.  D. 【答案】A【解析】【分析】首先求出，再根據(jù)交集的定義計算可得.【詳解】∵，集合，∴，則.故選：A.2. 命題“”的否定為（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題，寫出命題的否定，即可選擇.【詳解】命題“”的否定為“” .故選：.3. 設(shè)，則（    ）A  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合指數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，分別比較、、與0和1的大小關(guān)系，即可求解.【詳解】根據(jù)題意，因為，且，，所以.故選：A.4. 已知角頂點在坐標原點，始邊與軸非負半軸重合，終邊過點，將的終邊逆時針旋轉(zhuǎn)，這時終邊所對應(yīng)的角是，則（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】先根據(jù)已知條件求解出的值，然后根據(jù)之間的關(guān)系結(jié)合誘導(dǎo)公式求解出的值.【詳解】因為，且，所以，故選：B.【點睛】結(jié)論點睛：三角函數(shù)定義有如下推廣：設(shè)點為角終邊上任意一點且不與原點重合，，則.5. 的值是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】由誘導(dǎo)公式和兩角差的余弦公式化簡計算.【詳解】故選：C6. 函數(shù)的圖象大致為（    ）A.  B. C.  D. 【答案】D【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性可排除選項A，B；根據(jù)函數(shù)在上的單調(diào)性可排除選項C，進而可得正確選項.【詳解】函數(shù)的定義域為且，關(guān)于原點對稱，因，所以是偶函數(shù)，圖象關(guān)于軸對稱，故排除選項A，B，當(dāng)時，，由在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，可得在上單調(diào)遞增，排除選項C，故選：D.7. 在中，已知，，則C的大小為（    ）A. 90° B. 45° C. 135° D. 60°【答案】C【解析】【分析】利用兩角和正切公式及三角形內(nèi)角和定理可得結(jié)果.【詳解】∵，，∴，∴，又，∴.故選：C.8. 近來豬肉價格起伏較大，假設(shè)第一周、第二周的豬肉價格分別為a元/斤、b元/斤，甲和乙購買豬肉的方式不同，甲每周購買20元錢的豬肉，乙每周購買6斤豬肉，甲、乙兩次平均單價為分別記為，，則下列結(jié)論正確的是（    ）A.  B.  C.  D. ，的大小無法確定【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意結(jié)合基本不等式可得，即可判斷.【詳解】根據(jù)題意可得，當(dāng)且僅當(dāng)等號成立，，當(dāng)且僅當(dāng)等號成立，由題意可得，所以，，則.故選：C.二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多個選項符合題目要求，全部選對的得5分，選對但不全的得2分，有選錯的得0分．9. 若是的充分不必要條件，則實數(shù)a的值可以是（　?。?/span>A. 2 B. 3 C. 4 D. 5【答案】CD【解析】【分析】先根據(jù)充分不必要條件求解出的取值范圍，由此確定出的可取值.【詳解】因為是的充分不必要條件，所以，所以的可取值有，故選：CD.10. 已知不等式的解集是，則（    ）A.  B. C.  D. 【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)已知條件，利用二次不等式的解集與二次函數(shù)的的圖象的對應(yīng)關(guān)系，借助韋達定理和不等式的基本性質(zhì)作出判斷.【詳解】由已知得的兩根為和2，∴ ∴ ∴ ∴ ,故選：BCD.11. 已知函數(shù)，則下列說法中正確的是（    ）A. 的最小正周期為B. 在上單調(diào)遞增C. 是的一個對稱中心D. 當(dāng)時，的最大值為【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)最小正周期、單調(diào)區(qū)間、對稱中心、最值的求法，確定正確選項.【詳解】對于A選項，，故A選項正確.對于B選項，由，解得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間是，，所以B選項錯誤.對于C選項，，所以C選項正確.對于D選項，，所以，當(dāng)時，函數(shù)取得最大值，即，所以D選項正確故選：ACD.【點睛】方法點睛：求函數(shù)在區(qū)間上最值的一般步驟：第一步：三角函數(shù)式的化簡，一般化成形如的形式或的形式；第二步：由的取值范圍確定的取值范圍，再確定（或)的取值范圍；第三步：求出所求函數(shù)的最值.12. 定義在實數(shù)集R上的奇函數(shù)滿足，且當(dāng)時，，下列正確的是（    ）A.  B. 函數(shù)的最小正周期為2C. 函數(shù)的值域為 D. 方程有5個根【答案】ACD【解析】【分析】由題設(shè)可得最小正周期為4且值域為，根據(jù)已知區(qū)間解析式畫出圖象判斷A、B、C的正誤，再畫出的圖象判斷交點情況即知D的正誤.【詳解】定義在實數(shù)集R上的奇函數(shù)滿足，∴，即的最小正周期為4且的值域為，作出的圖象，∴，故A、C正確，B錯誤；由圖知：共有5個交點，可得方程有5個根，則D正確；故選：ACD．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13. 冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則的值為________.【答案】【解析】【分析】運用待定系數(shù)法，結(jié)合代入法進行求解即可.【詳解】設(shè)，因為冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點，所以，因此，故答案為：14. 已知扇形AOB的面積為，圓心角為120°，則該扇形所在圓的半徑為______．【答案】2【解析】【分析】利用扇形的面積公式即可求解.【詳解】，扇形AOB的面積為，所以，解得．故答案為：215. 的單調(diào)遞增區(qū)間是________．【答案】．【解析】【分析】利用正切函數(shù)的單調(diào)性列出不等式直接求解即可.【詳解】∵，∴令，，解得，，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為．故答案：．16. 若,,則x的取值范圍是________；若,則x的取值范圍是________.【答案】    ①.     ②. ,【解析】【分析】根據(jù),又因為,結(jié)合特殊的三角函數(shù)值,即可就出解;利用換元法令,則轉(zhuǎn)化為,解得,結(jié)合即可求出不等式的的解.【詳解】解：由,又因為,解得：;令,則,,,,解得,,故答案為：（1）;（2）,.【點睛】本題考查特殊角的三角函數(shù)值,以及根據(jù)三角函數(shù)的值域求參數(shù),屬于簡單題.四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17. 已知函數(shù)，且為偶函數(shù)，再從條件①、條件②中選擇一個作為已知，求的解析式．條件①：函數(shù)在區(qū)間上的最大值為5；條件②：方程有兩根，，且．【答案】【解析】【分析】先由為偶函數(shù)，求出的值，若選①：根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性得出其最值的可求，得出答案；若選②：由題意可得，，則從而可得答案.【詳解】因為為偶函數(shù)，且定義域為R關(guān)于原點對稱，所以，所以，所以，又因為x不恒為0，所以，所以，所以，若選①：因為，對稱軸為，所以在上遞減，在上遞增，所以，又因為，，則，所以，所以，所以；若選②：因為的兩根為，且，所以，，所以，所以，所以．18. 已知函數(shù)的部分圖象如圖所示：（1）求的解析式；（2）將的圖象上所有的點橫坐標縮短到原來的，縱坐標不變，得到函數(shù)的圖象求方程在的實數(shù)解.【答案】（1）；（2）或或.【解析】【分析】（1）先根據(jù)函數(shù)圖象確定出的最小正周期，再根據(jù)最小正周期的計算公式求解出的值，然后代入點結(jié)合的范圍求解出的值，從而的解析式可求；（2）先根據(jù)圖象變換求解出的解析式，然后根據(jù)得到關(guān)于的方程，結(jié)合，求解出的值即為方程的實數(shù)解.【詳解】（1）因為由圖象可知，所以且，所以，所以，代入點，所以且，所以，所以；（2）的圖象上所有的點橫坐標縮短到原來的后得到的函數(shù)解析式為：，因為，所以，又因為，所以，所以或或，所以或或，所以方程在的實數(shù)解為：或或.【點睛】思路點睛：根據(jù)的圖象求解函數(shù)解析式的步驟：（1）根據(jù)圖象的最高點可直接確定出的值；（2）根據(jù)圖象的對稱軸、對稱中心確定出函數(shù)的最小正周期，再利用最小正周期的計算公式求解出的值；（3）代入圖象中非平衡位置的點，結(jié)合的范圍求解出，則函數(shù)解析式可求.19. 已知，均為銳角，且，．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）先由求出cosα的值，再利用正弦的二倍角公式求解即可，（2）由條件求出，由，則，然后利用兩角差的正弦公式化簡計算即可【小問1詳解】因為，且為銳角，所以，所以．【小問2詳解】因為，均為銳角，所以，又，所以，由（1）知，，所以20. 已知函數(shù)的最小值為．（1）求m的值；（2），，求實數(shù)a的取值范圍．【答案】（1）；    （2）．【解析】【分析】（1）先對函數(shù)化簡得，再由函數(shù)的最小值為，得，從而可求出m的值，（2）先將原不等式轉(zhuǎn)化為對恒成立，由，得，所以對恒成立，所以且，再利用基本不等式求出即可【小問1詳解】因為，所以，所以當(dāng)時，有最小值，所以，所以，【小問2詳解】因為對恒成立，所以對恒成立，所以對恒成立，所以對恒成立，所以對恒成立，又因為，所以，所以對恒成立，所以且，又因為，取等號時，即，即或，所以．21. 2021年5月，“共和國勛章”獲得者、“雜交水稻之父”袁隆平先生辭世，他的功績將永遠被人們銘記：在他和幾代科學(xué)家的共同努力下，中國用全世界7%的耕地，養(yǎng)活了全世界22%的人口，目前，我國年人均糧食占有量已經(jīng)穩(wěn)定在470千克以上，遠高于國際公認的400千克糧食安全線，雅禮中學(xué)數(shù)學(xué)建模小組的同學(xué)想研究假如沒有雜交水稻的推廣，沒有合理的人口、土地政策，僅以新中國成立時的自然條件為前提，我國年人均糧食占有量會如何變化？根據(jù)英國經(jīng)濟學(xué)家馬爾薩斯《人口論》的觀點“人口呈幾何級數(shù)增長，而生活資料呈直線型增長”，該小組同學(xué)做了以下研究．根據(jù)馬爾薩斯的理論，自然狀態(tài)下人口增長模型為①（其中t表示經(jīng)過的時間，表示時的人口數(shù)，r表示人口的年平均增長率，y表示t年后的人口數(shù)，單位：萬人）根據(jù)國家統(tǒng)計局網(wǎng)站的數(shù)據(jù)，我國1950年末、1959年末的人口總數(shù)分別為55196萬和67207萬．該小組同學(xué)根據(jù)這兩個數(shù)據(jù)，以1950年末的數(shù)據(jù)作為時的人口數(shù)，求得①式人口增長模型．（1）請求出該小組同學(xué)①式人口增長模型；（2）根據(jù)馬爾薩斯的理論，該小組同學(xué)把自然狀態(tài)下糧食增長模型近似看作直線型模型，通過查閱我國1950年末至1959年末糧食產(chǎn)量，得到糧食增長模型近似為y=600t+13600（其中t表示經(jīng)過的時間，y表示第t年的糧食年產(chǎn)量，單位：萬噸）．（）表示從1950年末開始第t年的年人均糧食占有量，單位：噸/人．①求滿足的正整數(shù)k的最小值．②按此模型，我國年人均糧食占有量能達到400千克嗎？試說明理由．參考數(shù)據(jù)：，，，．【答案】（1）    （2）①24 ；②不能；理由見解析【解析】【分析】（1）由題意得，兩邊取自然對數(shù)化簡計算可求得，從而可求得①式的人口增長模型，（2）①由，可得，化簡計算得，從而可求出正整數(shù)k的最小值，②由①當(dāng)時，，所以當(dāng)時，最大，計算，從而得，進而可得結(jié)論【小問1詳解】由題意可得，則，，所以，所以，所以．【小問2詳解】①由，得，所以，化簡得，即，解得，因為k為正整數(shù)，所以正整數(shù)k的最小值為24，②由①當(dāng)時，，所以當(dāng)時，最大，，即，所以按此模型，我國年人均糧食占有量不能達到400千克．22. 已知函數(shù)（）．（1）若在上的最大值為，求a的值；（2）證明：函數(shù)有且只有一個零點，且．【答案】（1）    （2）證明見解析【解析】【分析】（1）由在上遞增，可得，從而可求出a的值，（2）由函數(shù)的單調(diào)性和零點存在性定理可證得函數(shù)有且只有一個零點，方法一：由，可得，再由，可得，則，再結(jié)合可證得結(jié)論，方法二：由得，再結(jié)單調(diào)性可得，從而可證得，由在單調(diào)遞增，可得，從而可得結(jié)論【小問1詳解】因為函數(shù)和在上遞增，所以在上遞增，又因為在上的最大值為，所以，因為，所以解得；【小問2詳解】證明：因為，所以，所以在上不存在零點．由（1）得在上單調(diào)遞增，且，所以在上有唯一零點，且方法一：因為，所以，，因為，所以，所以， ，由于，所以因為，所以，得證．方法二：因為，有所以 因為在單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，有，所以有，即因為在單調(diào)遞增，所以所以

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