雅禮中學(xué)2023年下學(xué)期高一第一次月考數(shù)學(xué)（時(shí)量：120分鐘　　分值：150分）一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1. 命題“”的否定是（　?。?/span>A.  B. C.  D. 【答案】A【解析】【分析】由特稱(chēng)命題的否定是全稱(chēng)命題，可得出答案.【詳解】根據(jù)特稱(chēng)命題的否定是全稱(chēng)命題，可知命題“”的否定是“”.故選：A.2. 設(shè)集合含有，1兩個(gè)元素，含有，2兩個(gè)元素，定義集合，滿(mǎn)足，且，則中所有元素之積為（　?。?/span>A.  B.  C. 8 D. 16【答案】C【解析】【分析】根據(jù)集合的定義先求出集合，然后再把集合中所有元素相乘即可求解.【詳解】由題意，，由集合的定義可知，集合中有以下元素：①，②，③，④，根據(jù)集合中元素滿(mǎn)足互異性去重得，所以中所有元素之積為.故選：C.3. 若函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，則的定義域是（    ）A  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)中，即可得出，即可選出答案.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?/span>，即 所以所以的定義域是故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查隱函數(shù)的定義域，屬于基礎(chǔ)題.解本題的關(guān)鍵在于正確理解函數(shù)的定義域是的取值范圍與同一個(gè)函數(shù)其括號(hào)里面的取值范圍一樣.4. 下列命題正確的是（    ）A. “”是“”的充分條件 B. “”是“”的必要條件C. “”是“”的充分條件 D. “”是“”的必要條件【答案】D【解析】【分析】根據(jù)充分條件、必要條件的定義判斷即可；【詳解】解：對(duì)于A：由推不出，如，滿(mǎn)足，但是，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：由推不出，如，滿(mǎn)足，但是，即不是的必要條件，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：由推不出，當(dāng)時(shí)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：若，則，即，所以，即是的必要條件，故D正確；故選：D5. 用C(A)表示非空集合A中的元素個(gè)數(shù)，定義A*B＝若A＝{1，2}，B＝{x|(x2＋ax)·(x2＋ax＋2)＝0}，且A*B＝1，設(shè)實(shí)數(shù)a的所有可能取值組成的集合是S，則C(S)等于（    ）A. 1 B. 3 C. 5 D. 7【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意可得或，進(jìn)而討論a的范圍，確定出，最后得到答案.【詳解】因?yàn)?/span>，，所以或，由，得，關(guān)于x的方程，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，易知，符合題意；當(dāng)時(shí)，即或時(shí)，易知0， -a不是方程的根，故，不符合題意；當(dāng)時(shí)，即時(shí)，方程 無(wú)實(shí)根， 若a=0，則B={0}，，符合題意，若或，則，不符合題意.所以，故.故選：B.【點(diǎn)睛】對(duì)于新定義的問(wèn)題，一定要讀懂題意，一般理解起來(lái)不難，它一般和平常所學(xué)知識(shí)和方法有很大關(guān)聯(lián)；另外當(dāng)時(shí)，容易遺漏a=0時(shí)的情況，注意仔細(xì)分析題目.6. 函數(shù)在數(shù)學(xué)上稱(chēng)為高斯函數(shù)，也叫取整函數(shù)，其中表示不大于的最大整數(shù)，如．那么不等式成立的充分不必要條件是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】先解不等式，再結(jié)合充分條件和必要條件的定義求解即可.【詳解】因?yàn)?/span>，則，則，又因?yàn)?/span>表示不大于的最大整數(shù)，所以不等式的解集為：，因?yàn)樗蟮臅r(shí)不等式成立的充分不必要條件，所以只要求出不等式解集的一個(gè)非空真子集即可，選項(xiàng)中只有?.故選：B.7. 已知，則的最小值為（    ）A.  B. 0 C. 1 D. 【答案】A【解析】【分析】根據(jù)“1”技巧，利用均值不等式求解.【詳解】，，，，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立，故選：A8. 黎曼函數(shù)是由德國(guó)數(shù)學(xué)家黎曼發(fā)現(xiàn)并提出的，在高等數(shù)學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用，在上的定義為：當(dāng)（，且，為互質(zhì)的正整數(shù)）時(shí)，；當(dāng)或或為內(nèi)的無(wú)理數(shù)時(shí)，.已知，，，則（    ）注：，為互質(zhì)的正整數(shù)，即為已約分的最簡(jiǎn)真分?jǐn)?shù).A. 的值域?yàn)?/span> B. C.  D. 以上選項(xiàng)都不對(duì)【答案】B【解析】【分析】設(shè)，（，且，為互質(zhì)的正整數(shù)） ，B＝{x|x＝0或x＝1或x是[0，1]上的無(wú)理數(shù)}，然后對(duì)A選項(xiàng)，根據(jù)黎曼函數(shù)在上的定義分析即可求解；對(duì)B、C選項(xiàng)：分①，；②，；③或分析討論即可．【詳解】解：設(shè)，（，且，為互質(zhì)的正整數(shù)），B＝{x|x＝0或x＝1或x是[0，1]上的無(wú)理數(shù)}，對(duì)A選項(xiàng)：由題意，的值域?yàn)?/span>，其中是大于等于2的正整數(shù)，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)B、C選項(xiàng)：①當(dāng)，，則，；②當(dāng)，，則，＝0；③當(dāng)或，則，，所以選項(xiàng)B正確，選項(xiàng)C、D錯(cuò)誤，故選：B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵是牢牢抓住黎曼函數(shù)在上的定義去分析.二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分．9. 若不等式的解集是，則下列選項(xiàng)正確的是（    ）A. 且 B. C.  D. 不等式的解集是【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)一元二次不等式的解集可判斷出的正負(fù)以及的關(guān)系，由此可判斷各選項(xiàng)的對(duì)錯(cuò).【詳解】因?yàn)?/span>的解集為，解集屬于兩根之內(nèi)的情況，所以，又因?yàn)?/span>，所以；A．，故正確；B．因?yàn)?/span>，所以，故正確；C．因?yàn)榻饧癁?/span>，所以，故錯(cuò)誤；D．因?yàn)?/span>即為，即，解得，故正確；故選：ABD.10. 命題，為假命題，則實(shí)數(shù)m的取值可以是（    ）A.  B. 0 C. 1 D. 2【答案】ABC【解析】【分析】先求出命題為真命題時(shí)實(shí)數(shù)m的取值范圍，然后利用補(bǔ)集思想求出命題為假命題時(shí)m的取值范圍，由此可得出合適的選項(xiàng).【詳解】若命題，為真命題，則，解得，所以當(dāng)命題，為假命題時(shí)，，符合條件的為、B、C選項(xiàng).故選：BC.11. 設(shè)，為兩個(gè)正數(shù)，定義，的算術(shù)平均數(shù)為，幾何平均數(shù)為，則有：，這是我們熟知的基本不等式．上個(gè)世紀(jì)五十年代，美國(guó)數(shù)學(xué)家D．H．Lehmer提出了“Lehmer均值”，即，其中為有理數(shù)．如：．下列關(guān)系正確的是（　?。?/span>A.  B. C.  D. 【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)新定義逐個(gè)選項(xiàng)代入，化簡(jiǎn)后根據(jù)基本不等式與柯西不等式判斷即可.詳解】A：，故A對(duì)；B：，故B錯(cuò)；C：，，而，故C對(duì)；D：由柯西不等式，，故D錯(cuò).故選：AC.12. 已知集合有且僅有兩個(gè)子集，則下面正確的是（    ）A. B. C. 若不等式的解集為，則D. 若不等式的解集為，且，則【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)集合子集的個(gè)數(shù)列方程，求得的關(guān)系式，對(duì)A，利用二次函數(shù)性質(zhì)可判斷；對(duì)B，利用基本不等式可判斷；對(duì)CD，利用不等式的解集及韋達(dá)定理可判斷.【詳解】由于集合有且僅有兩個(gè)子集，所以，由于，所以.A，，當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故A正確.B，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故B正確.C，不等式的解集為，，故C錯(cuò)誤.D，不等式的解集為，即不等式的解集為，且，則，則，，故D正確，故選：ABD三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13. 已知，那么f(x)的解析式為________.【答案】.【解析】【分析】用代換已知式中的，可得，注意有取值范圍．【詳解】解：由可知，函數(shù)的定義域?yàn)?/span>{x|x≠0，x≠﹣1}，用代換，代入上式得：f(x)= =，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查求函數(shù)解析式，掌握函數(shù)這定義是解題關(guān)鍵．求解析式時(shí)要注意自變量的取值范圍．14. 設(shè)集合，，若，則實(shí)數(shù)t取值范圍為____________．【答案】【解析】【分析】由可知，討論與，即可求出答案.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，當(dāng)時(shí)：，滿(mǎn)足題意；當(dāng)時(shí)：，無(wú)解；所以實(shí)數(shù)t的取值范圍為.故答案為：15. 已知函數(shù)，，若對(duì)任意，存在，使得，則的取值范圍______．【答案】【解析】【分析】由題意可判斷，由此求出，可得相應(yīng)不等式恒成立，轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問(wèn)題，求解即可.【詳解】由題意知；當(dāng)時(shí)，，故需同時(shí)滿(mǎn)足以下兩點(diǎn)：①對(duì)時(shí)，∴恒成立，由于當(dāng)時(shí)，增函數(shù)，∴；②對(duì)時(shí)，，∴恒成立，由于，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取得等號(hào)，∴，∴，故答案為：16. 若，且，則的最小值為_______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)a2+2ab﹣3b2=1得到(a+3b)(a﹣b)=1，令x=a+3b，y=a﹣b，用x，y表示a，b，然后代入a2+b2，利用均值不等式求解.【詳解】由a2+2ab﹣3b2=1得(a+3b)(a﹣b)=1，令x=a+3b，y=a﹣b，則xy=1且a，b，所以a2+b2=()2+()2，當(dāng)且僅當(dāng)x2，y2時(shí)取等號(hào).故答案為.【點(diǎn)睛】本題主要考查均值不等式的應(yīng)用，還考查了轉(zhuǎn)化求解問(wèn)題的能力，屬于中檔題.四、解答題：共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．（其中第17題10分，18~22題每題12分，共70分）17. 已知全集，集合，.（1）當(dāng)時(shí)，求；（2）若是的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）或    （2）【解析】【分析】（1）當(dāng)時(shí)，求出集合、，利用補(bǔ)集和交集的定義可求得集合；（2）分析可知，?，利用集合的包含關(guān)系可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式組，由此可解得實(shí)數(shù)的取值范圍.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?/span>，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)槿?/span>，則或，或，因此，或.【小問(wèn)2詳解】易知集合為非空集合，因?yàn)?/span>是的必要不充分條件，則?，所以，，解得.因此，實(shí)數(shù)取值范圍是.18. 已知，，均為正實(shí)數(shù)，且．（1）求證：；（2）求的最小值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析    （2）9【解析】【分析】（1）根據(jù)結(jié)合基本不等式即可得證；（2）根據(jù)結(jié)合基本不等式即可得解.【小問(wèn)1詳解】原式.當(dāng)且僅當(dāng)是取等號(hào)，所以；【小問(wèn)2詳解】原式.當(dāng)且僅當(dāng)是取等號(hào)，所以的最小值為．19. 已知x>0，y>0，且2x+8y-xy=0，求：（1）xy的最小值；（2）x+y的最小值..【答案】（1）64    （2）18【解析】【分析】（1）利用基本不等式構(gòu)建不等式即可得結(jié)果；（2）將變形為分式型，利用“1”的代換和基本不等式可得結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】∵， ， ，∴ ，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，∴ ∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故的最小值為64.【小問(wèn)2詳解】∵，則 ，又∵， ，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故的最小值為18.20. 濟(jì)南市地鐵項(xiàng)目正在加火如荼的進(jìn)行中，通車(chē)后將給市民出行帶來(lái)便利，已知某條線(xiàn)路通車(chē)后，列車(chē)的發(fā)車(chē)時(shí)間間隔t（單位：分鐘）滿(mǎn)足，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)研測(cè)算，列車(chē)載客量與發(fā)車(chē)時(shí)間間隔t相關(guān)，當(dāng)時(shí)列車(chē)為滿(mǎn)載狀態(tài)，載客量為500人，當(dāng)時(shí)，載客量會(huì)減少，減少的人數(shù)與的平方成正比，且發(fā)車(chē)時(shí)間間隔為2分鐘時(shí)的載客量為372人，記列車(chē)載客量為.（1）求的表達(dá)式，并求當(dāng)發(fā)車(chē)時(shí)間間隔為5分鐘時(shí)，列車(chē)的載客量；（2）若該線(xiàn)路每分鐘的凈收益為（元），問(wèn)當(dāng)發(fā)車(chē)時(shí)間間隔為多少時(shí)，該線(xiàn)路每分鐘的凈收益最大，并求出最大值.【答案】（1）；    （2）發(fā)車(chē)時(shí)間間隔為4分鐘時(shí)，每分鐘的凈收益最大為132元.【解析】【分析】（1）由題設(shè)，有且，求k值，進(jìn)而寫(xiě)出其分段函數(shù)的形式即可.（2）由（1）寫(xiě)出解析式，討論、求最大值即可.【小問(wèn)1詳解】由題設(shè)，當(dāng)時(shí)，令，又發(fā)車(chē)時(shí)間間隔為2分鐘時(shí)的載客量為372人，∴，解得.∴，故時(shí)，，所以當(dāng)發(fā)車(chē)時(shí)間間隔為5分鐘時(shí)，列車(chē)的載客量為人.【小問(wèn)2詳解】由（1）知：，∵時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)等號(hào)成立，∴上，而上，單調(diào)遞減，則，綜上，時(shí)間間隔為4分鐘時(shí)，每分鐘的凈收益最大為132元.21. 已知二次函數(shù)（，為實(shí)數(shù)）（1）若時(shí)，且對(duì)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若時(shí)，且對(duì)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）由題意求出可得對(duì)恒成立，分離參數(shù)，即得，令，則可得，利用基本不等式即可求得答案；（2）由題意，變更主元：令為主元，視為參數(shù)，則，對(duì)恒成立，由此可得不等式組，即可求得答案.【小問(wèn)1詳解】將，代入得∴對(duì)恒成立，即對(duì)恒成立，當(dāng)時(shí)，由于在上單調(diào)遞增，故，∴，，令，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，∴；【小問(wèn)2詳解】由題意，變更主元：令為主元，視為參數(shù)，令，對(duì)，恒成立，故只需，即，解得.22. 已知函數(shù)，．（1）求函數(shù)的定義域和值域；（2）已知為非零實(shí)數(shù)，記函數(shù)的最大值為，求．【答案】（1），    （2）【解析】【分析】（1）根據(jù)根式的概念可得定義域，再計(jì)算，結(jié)合二次函數(shù)值域求解可得值域；（2）令，設(shè)函數(shù)，，再根據(jù)二次函數(shù)對(duì)稱(chēng)軸與區(qū)間的位置關(guān)系分類(lèi)討論求解即可.【小問(wèn)1詳解】定義域：，當(dāng)時(shí)，，∴，∴；【小問(wèn)2詳解】，令，則，設(shè)，，1°若，此時(shí)二次函數(shù)對(duì)稱(chēng)軸，開(kāi)口向上，則.2°若，此時(shí)對(duì)稱(chēng)軸：，①當(dāng)即時(shí)，開(kāi)口向下，則；②當(dāng)即，對(duì)稱(chēng)軸，開(kāi)口向下，則，③即時(shí)，開(kāi)口向下，；綜上：. 

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