湖南省長(zhǎng)沙市雅禮中學(xué)2023-2024學(xué)年高三下學(xué)期月考數(shù)學(xué)試題（六）（Word版附解析）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

命題人：黃文輝審題人陳朝陽(yáng)?黃愛(ài)民
注意事項(xiàng)：
1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名?考生號(hào)?考場(chǎng)號(hào)?座位號(hào)填寫(xiě)在答題卡上.
2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上.寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.
3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.
一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 設(shè)集合，，則（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)式有意義列出不等式，求解不等式，利用集合的交集定義即得.
【詳解】在中，由得，即，
又由可得：，解得：，即，
故.
故選:B.
2. 已知，若為純虛數(shù)，則（）
A. B. 1C. 2D.
【答案】B
【解析】
【分析】結(jié)合虛數(shù)單位的性質(zhì)以及復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，化簡(jiǎn)z，根據(jù)z為純虛數(shù)求出a的值，即可求得答案.
【詳解】由題意得，
因?yàn)闉榧兲摂?shù)，所以，
故，所以，故，
故選：B．
3. 已知等比數(shù)列的前3項(xiàng)和為168，，則（）
A. 14B. 12C. 6D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，易得，根據(jù)題意求出首項(xiàng)與公比，再根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)即可得解.
【詳解】解：設(shè)等比數(shù)列的公比為，
若，則，與題意矛盾，
所以，
則，解得，
所以.
故選：D.
4. 色差和色度是衡量毛絨玩具質(zhì)量?jī)?yōu)劣的重要指標(biāo)，現(xiàn)抽檢一批產(chǎn)品測(cè)得數(shù)據(jù)列于表中：已知該產(chǎn)品的色度y和色差x之間滿足線性相關(guān)關(guān)系，且，現(xiàn)有一對(duì)測(cè)量數(shù)據(jù)為，則該數(shù)據(jù)的殘差為（）
A B. C. 0.8D. 0.96
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)表中的數(shù)據(jù)求出，，根據(jù)回歸直線方程必過(guò)樣本中心，即可求出，從而得到回歸直線方程，再將代入回歸方程，求出預(yù)測(cè)值，從而求出殘差.
【詳解】由題意可知，，，
將代入，即，解得，
所以，
當(dāng)時(shí)，，
所以該數(shù)據(jù)的殘差為.
故選：C.
5. 的展開(kāi)式中的系數(shù)為（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求出展開(kāi)式的通項(xiàng)，進(jìn)而多項(xiàng)式的展開(kāi)運(yùn)算可得展開(kāi)式中的系數(shù).
【詳解】展開(kāi)式通項(xiàng)為，
則的展開(kāi)式中含項(xiàng)為，
即的系數(shù)為.
故選：A.
6. “方斗”常作為盛米的一種容器，其形狀是一個(gè)上大下小的正四棱臺(tái)，現(xiàn)有“方斗”容器如圖所示，已知，，現(xiàn)往容器里加米，當(dāng)米的高度是“方斗”高度的一半時(shí)，用米，則該“方斗”可盛米的總質(zhì)量為（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】設(shè)線段、、、的中點(diǎn)分別為、、、，利用臺(tái)體的體積公式計(jì)算出棱臺(tái)與棱臺(tái)的體積之比，即可得出原“方斗”可盛米的總質(zhì)量.
【詳解】設(shè)線段、、、中點(diǎn)分別為、、、，如下圖所示：
易知四邊形為等腰梯形，因?yàn)榫€段、的中點(diǎn)分別為、，
則，
設(shè)棱臺(tái)的高為，體積為，
則棱臺(tái)的高為，設(shè)其體積為，
則，則，
所以，，所以，該“方斗”可盛米的總質(zhì)量為.
故選：D.
7. 學(xué)校從高一名男數(shù)學(xué)老師和名女?dāng)?shù)學(xué)老師中選派人，擔(dān)任本次模擬考試數(shù)學(xué)閱卷任務(wù)，則在選派的人中至少有名男老師的條件下，有名女老師的概率為（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)條件概率的計(jì)算公式，結(jié)合組合數(shù)的計(jì)算公式，即可求解
【詳解】記“選派人中至少有名男老師”為事件，“選派人中有名女老師”為事件，
則，，
顯然，所以.
故選：B.
8. 已知對(duì)任意實(shí)數(shù)都有，若不等式，（其中）的解集中恰有兩個(gè)整數(shù)，則的取值范圍是
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)利用已知條件，得出，求導(dǎo)，得出函數(shù)的單調(diào)性，令，利用過(guò)定點(diǎn)以及函數(shù)的圖像，數(shù)形結(jié)合列出不等式組，求解即可.
【詳解】令
，即，(為常數(shù))
則
因?yàn)?，所以，?br>
，
在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增
令，由于過(guò)定點(diǎn)，則函數(shù)和圖像如下圖所示
要使得的解集中恰有兩個(gè)整數(shù)，則有

解得：
故選C
【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)構(gòu)造函數(shù)以及求參數(shù)范圍，關(guān)鍵是看出過(guò)定點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)的圖像，數(shù)形結(jié)合來(lái)分析問(wèn)題，屬于難題.
二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 若，則下列說(shuō)法一定正確的是（）
A. B.
C. D. 若，則
【答案】BCD
【解析】
【分析】舉例說(shuō)明判斷A；利用對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性判斷B；利用不等式性質(zhì)判斷C；利用基本不等式判斷D.
【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，由，得，B正確；
對(duì)于C，由，得，則，C正確；
對(duì)于D，由，，得，，D正確.
故選：BCD
10. 拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)（點(diǎn)在軸的下方），則下列結(jié)論正確的是（）
A. 若，則中點(diǎn)到軸的距離為4
B. 弦的中點(diǎn)的軌跡為拋物線
C. 若，則直線的斜率
D. 的最小值等于9
【答案】BCD
【解析】
【分析】根據(jù)焦半徑公式及中點(diǎn)坐標(biāo)公式判斷A，設(shè)直線方程為并聯(lián)立拋物線方程，應(yīng)用韋達(dá)定理，利用中點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)系表示出中點(diǎn)坐標(biāo)，消去可得軌跡判斷B，結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算求出點(diǎn)的坐標(biāo)，然后利用兩點(diǎn)式斜率公式求解判斷C，由題可得，然后根據(jù)基本不等式求解判斷D.
【詳解】拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，設(shè)，
對(duì)于A，依題意，，解得，
線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)，該點(diǎn)到軸的距離為，A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，顯然直線不垂直于y軸，設(shè)直線：，
由消去x得，，
則，，，
設(shè)線段中點(diǎn)坐標(biāo)為，則，消去可得，
因此弦中點(diǎn)的軌跡為拋物線，B正確；
對(duì)于C，顯然，由，得，，
由選項(xiàng)B知，有，又，則，，
因此直線的斜率，C正確；
對(duì)于D，由選項(xiàng)B知，，
則，
因此，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取得等號(hào)，D正確.
故選：BCD
11. 如圖，在直四棱柱中，底面為菱形，為的中點(diǎn)，點(diǎn)滿足，則下列結(jié)論正確的是（）
A. 若，則四面體的體積為定值
B. 若的外心為，則為定值2
C. 若，則點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為
D. 若且，則存在點(diǎn)，使得的最小值為
【答案】ACD
【解析】
【分析】A選項(xiàng)，作出輔助線，結(jié)合空間向量基本定理得到三點(diǎn)共線，得到平面，故點(diǎn)為平面的距離為定值，四面體的體積為定值，A正確；B選項(xiàng)，作出輔助線，結(jié)合空間向量數(shù)量積的幾何意義得到；C選項(xiàng)，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，表達(dá)出，故點(diǎn)的軌跡為以為圓心，為半徑的圓，落在正方形內(nèi)的部分，結(jié)合弧長(zhǎng)公式求出答案；D選項(xiàng)，求出，，得到，畫(huà)出圖形，數(shù)形結(jié)合得到其最小值.
【詳解】A選項(xiàng)，在上分別取，使得，，
因?yàn)椋裕?br>因?yàn)?，所以，即?br>故，即，
所以三點(diǎn)共線，
因?yàn)?，，所以?br>故平面，故點(diǎn)為平面的距離為定值，
又為定值，故四面體的體積為定值，A正確；

B選項(xiàng)，取的中點(diǎn)，因?yàn)榈耐庑臑?，所以⊥?br>又題意得，
則，B錯(cuò)誤；

C選項(xiàng)，取的中點(diǎn)，因?yàn)榈酌鏋榱庑?，?br>故⊥，
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
故，設(shè)，
則，
化簡(jiǎn)得，
點(diǎn)滿足，
即點(diǎn)在正方形內(nèi)，包括邊界，
故點(diǎn)的軌跡為以為圓心，為半徑的圓，落在正方形內(nèi)的部分，
如圖所示：

因?yàn)?，，故?br>故為等腰直角三角形，，
故點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為，C正確；
D選項(xiàng)，若且，，
即，即，
又，，設(shè)，
設(shè)，即，
解得，即，
，
如圖所示，

設(shè)，且⊥，⊥，
在線段上取一點(diǎn)，設(shè)，則，
故，
顯然，直接連接，此時(shí)取得最小值，最小值即為，
由勾股定理得，
故的最小值為，
D正確.
故選：ACD
【點(diǎn)睛】空間向量解決幾何最值問(wèn)題，通常有兩種思路：
①形化，即用空間向量的幾何意義將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為空間幾何中的最值或取值范圍問(wèn)題，然后根據(jù)圖形的特征直接進(jìn)行求解；
②數(shù)化，即利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)中的函數(shù)最值與值域，不等式的解集，方程有解等問(wèn)題，然后利用函數(shù)，不等式，方程的有關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解.
三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分，
12. 已知向量.若，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)_________.
【答案】##
【解析】
【分析】根據(jù)向量平行的坐標(biāo)運(yùn)算即可.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以.
又，
所以，解得.
故答案為：.
13. 若，，則tanα＝__________．
【答案】##
【解析】
【分析】由商數(shù)關(guān)系，二倍角公式變形后求得，再由同角關(guān)系式求得，．
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，
因?yàn)椋?br>所以，
所以，
解得，
所以，
所以．
故答案為：．
14. 已知雙曲線，F(xiàn)為右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F作軸交雙曲線于第一象限內(nèi)的點(diǎn)A，點(diǎn)B與點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，連接AB，BF，當(dāng)取得最大值時(shí)，雙曲線的離心率為_(kāi)_____．
【答案】
【解析】
【分析】由條件求，結(jié)合基本不等式求其取最大值的條件，由此可得的齊次方程，化簡(jiǎn)可得雙曲線的離心率.
【詳解】解：如圖，
根據(jù)題意，，，
∴，，
設(shè)直線的傾斜角為，
∴，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
即，，，又
∴，
故答案為：．
四?解答題：本題共5小題，共77分.請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答.解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.
15. 在中，角，，的對(duì)邊分別為，，．已知．
（1）求角；
（2）過(guò)作，交線段于，且，求角．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)正弦定理結(jié)合三角恒等變換求解即可；
（2）根據(jù)平面向量基本定理可得，再根據(jù)數(shù)量積為0求解得即可.
【小問(wèn)1詳解】
由正弦定理得：．
∵，∴，
∴
∴，
又，∴，又為三角形內(nèi)角，∴．
【小問(wèn)2詳解】
因?yàn)樵谶吷?，且，所以?br>因?yàn)?，所以?br>所以．
在中，，，∴．
16. 在三棱錐中，是邊長(zhǎng)為4的正三角形，平面平面，，分別為的中點(diǎn).

（1）證明：；
（2）求二面角的正弦值的大小.
【答案】（1）證明見(jiàn)解析
（2）
【解析】
【分析】（1）取AC得中點(diǎn)O，得，，可知平面，進(jìn)而得結(jié)論；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面CMN與平面的法向量，根據(jù)向量的夾角公式求解.
【小問(wèn)1詳解】
取得中點(diǎn)，連接，
，，，，
又，平面，平面，
所以平面，
又平面，；
【小問(wèn)2詳解】
∵平面平面，平面平面，平面，，
∴平面，
以O(shè)A為x軸，OB為y軸，OS為z軸建立空間直角坐標(biāo)系,如圖，

則，
∴，
設(shè)為平面CMN的一個(gè)法向量，則，
取，則，故，
又為平面的一個(gè)法向量，
，，
故二面角的正弦值為.
17. 為落實(shí)立德樹(shù)人的根本任務(wù)，堅(jiān)持“五育”并舉，全面推進(jìn)素質(zhì)教育，某校舉行了乒乓球比賽，其中參加男子乒乓球決賽階段比賽的12名隊(duì)員來(lái)自3個(gè)不同校區(qū)，3個(gè)校區(qū)的隊(duì)員人數(shù)分別是3，4，5.本次決賽的比賽賽制采取單循環(huán)方式，即每名隊(duì)員進(jìn)行11場(chǎng)比賽（每場(chǎng)比賽都采取5局3勝制），根據(jù)積分選出最后的冠軍.積分規(guī)則如下：比賽中以3：0或3：1取勝的隊(duì)員積3分，失敗的隊(duì)員積0分；以3：2取勝的隊(duì)員積2分，失敗的隊(duì)員積1分
（1）若每名隊(duì)員獲得冠?亞軍的可能性相同，則比賽結(jié)束后，冠?亞軍恰好來(lái)自不同校區(qū)的概率是多少？
（2）已知第10輪小李對(duì)抗小王，設(shè)每局比賽小李取勝概率均為.
①記小李以3：1取勝的概率為.若當(dāng)時(shí)，取最大值.求的值；
②若以①中的值作為的值，這輪比賽小李所得積分為，求分布列及均值，
【答案】（1）
（2）①；②分布列見(jiàn)解析，
【解析】
【分析】（1）利用互斥事件的概率公式求解即可；
（2）由題可得，然后利用導(dǎo)數(shù)可求最值，再利用條件可求隨機(jī)變量的分布列，期望.
【小問(wèn)1詳解】
比賽結(jié)束后，冠?亞軍恰好來(lái)自不同校區(qū)的概率是
；
【小問(wèn)2詳解】
①由題可知，
，
令，得，
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，
所以的最大值點(diǎn)；
②的可能取值為，
，
，
，
.
所以的分布列為
的期望為
.
18. 已知為的兩個(gè)頂點(diǎn)，為的重心，邊上的兩條中線長(zhǎng)度之和為.
（1）求點(diǎn)的軌跡的方程；
（2）過(guò)作不平行于坐標(biāo)軸的直線交于D，E兩點(diǎn)，若軸于點(diǎn)M，軸于點(diǎn)N，直線DN與EM交于點(diǎn)Q.
①求證：點(diǎn)Q在一條定直線上，并求此定直線；
②求面積的最大值.
【答案】（1）
（2）①證明見(jiàn)解析，；②
【解析】
【分析】（1）根據(jù)橢圓的定義求解即可；
（2）①求出直線DN與EM方程，得到Q點(diǎn)坐標(biāo)，即可判定；②將面積表示出來(lái)，然后換元，利用基本不等式求最值.
【小問(wèn)1詳解】
因?yàn)闉榈闹匦?，且邊上的兩條中線長(zhǎng)度之和為，
所以，
故由橢圓的定義可知的軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓（不包括長(zhǎng)軸的端點(diǎn)），
且，所以，
所以的軌跡的方程為.
【小問(wèn)2詳解】
①依題意，設(shè)直線DE方程為.
聯(lián)立，得，
易知
設(shè)，，則，.
因?yàn)檩S，軸，
所以，.
所以直線DN：，
直線EM：，
聯(lián)立解得.
從而點(diǎn)Q在定直線上.
②因?yàn)椋?br>又，則，
設(shè)，則，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，
故面積的最大值為.
19. 給出下列兩個(gè)定義：
I.對(duì)于函數(shù)，定義域?yàn)?，且其在上是可?dǎo)的，若其導(dǎo)函數(shù)定義域也為，則稱該函數(shù)是“同定義函數(shù)”.
II.對(duì)于一個(gè)“同定義函數(shù)”，若有以下性質(zhì)：
①；②，其中為兩個(gè)新的函數(shù)，是的導(dǎo)函數(shù).
我們將具有其中一個(gè)性質(zhì)的函數(shù)稱之為“單向?qū)Ш瘮?shù)”，將兩個(gè)性質(zhì)都具有的函數(shù)稱之為“雙向?qū)Ш瘮?shù)”，將稱之為“自導(dǎo)函數(shù)”.
（1）判斷函數(shù)和是“單向?qū)Ш瘮?shù)”，或者“雙向?qū)Ш瘮?shù)”，說(shuō)明理由.如果具有性質(zhì)①，則寫(xiě)出其對(duì)應(yīng)的“自導(dǎo)函數(shù)”；
（2）已知命題是“雙向?qū)Ш瘮?shù)”且其“自導(dǎo)函數(shù)”為常值函數(shù)，命題.判斷命題是的什么條件，證明你的結(jié)論；
（3）已知函數(shù).
①若的“自導(dǎo)函數(shù)”是，試求的取值范圍；
②若，且定義，若對(duì)任意，不等式恒成立，求的取值范圍.
【答案】（1）答案見(jiàn)解析
（2）既不充分也不必要條件；證明見(jiàn)解析
（3）
【解析】
【分析】（1）由和，結(jié)合題設(shè)中函數(shù)的定義，即可得到答案；
（2）由成立，得到，設(shè)，得出為“單向?qū)Ш瘮?shù)”，再設(shè)，得到為“雙向?qū)Ш瘮?shù)”，結(jié)合不是常值函數(shù)，求得不是的必要條件；再由成立，得到，進(jìn)而得出結(jié)論；
（3）①由題意得到，求得；②由題意求得且，令，求得，得到存在使得，進(jìn)而得到單調(diào)性，分類(lèi)討論，即可求解.
小問(wèn)1詳解】
解：對(duì)于函數(shù)，則，
這兩個(gè)函數(shù)的定義域都是，
所以函數(shù)為“同定義域函數(shù)”，此時(shí)，，
由函數(shù)的定義，對(duì)于，無(wú)法同時(shí)成立，
所以為“單向?qū)Ш瘮?shù)”，其“自導(dǎo)函數(shù)”為，
對(duì)于函數(shù)，則，
因?yàn)檫@兩個(gè)函數(shù)的定義域不同，所以不是“同定義函數(shù)”.
【小問(wèn)2詳解】
解：若成立，，則，
設(shè)，則，所以為“單向?qū)Ш瘮?shù)”，
又設(shè)，則，所以為“雙向?qū)Ш瘮?shù)”，
但不是常值函數(shù)，所以不是的必要條件；
若成立，則，所以，所以，
所以不成立，所以是的既不充分也不必要條件.
【小問(wèn)3詳解】
解：①由題意，，且，
所以，所以；
②由題意，所以且，
令，
可得，且，
因?yàn)闉閱握{(diào)遞增函數(shù)，且，
所以存在使得，
且當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
（i）當(dāng)時(shí)，即，
所以，
此時(shí)，在上單調(diào)遞增，可得；
（ii）當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，
所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
又由，所以；
（iii）當(dāng)且時(shí)，，
所以函數(shù)在上存在兩個(gè)極值點(diǎn)，
若，即時(shí)，極大值點(diǎn)為；
若，即時(shí)，極大值點(diǎn)為，
則為函數(shù)的極大值或，
由當(dāng)時(shí)，，
令，則，
設(shè)，
則，
所以，即單調(diào)遞增，所以，
所以單調(diào)遞增，所以，
綜上可得，，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.
【點(diǎn)睛】方法技巧：對(duì)于利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的恒成立與有解問(wèn)題的求解策略：
1、通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；
2、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題．色差x
21
23
25
27
色度y
15
18
19
20

相關(guān)試卷

相關(guān)試卷更多

相關(guān)試卷

相關(guān)試卷 更多

相關(guān)試卷更多