雅禮中學2023年下學期高二10月檢測試卷數(shù)學時量：120分鐘        滿分：150分一、單選題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請把答案填涂在答題卡相應位置上.1. 已知集合，，則（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】先分別求出集合，再根據(jù)并集的運算求解．【詳解】∵集合，
，
∴．
故選:B．2. 已知復數(shù)，則的虛部是（   ）A. 2 B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】根據(jù)復數(shù)運算求得，根據(jù)虛部定義求得結(jié)果.【詳解】 ，∴z的虛部為：2故選：A3. 已知向量，，則“，的夾角為銳角”是“”的（    ）A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】利用充分條件和必要條件的定義判斷.【詳解】若，的夾角為銳角，則且，不同向，可得且，故“，的夾角為銳角”是“”的充分不必要條件．故選：A4. 已知a，b為兩條不同的直線，α為平面，則下列命題正確的是（    ）A. 若a⊥α，a⊥b，則b//α B. 若a//α，a⊥b，則b⊥αC. 若a//α，b//α，則a//b D. 若a⊥α，a//b，則b⊥α【答案】D【解析】【分析】根據(jù)線線，線面的位置關系，定義以及判斷定理，性質(zhì)定理，即可求解.【詳解】對于A，若a⊥α，a⊥b，則b//α或b?α，故A錯誤；對于B，若a//α，a⊥b，則b//α或b?α，或b與α相交，故B錯誤；對于C，若a//α，b//α，則a與b相交、平行或異面，故C錯誤；對于D，若a⊥α，a//b，則由直線與平面垂直的判定定理知b⊥α，故D正確．故選：D．5. 在中，，M是邊的中點，O為的外心，則（    ）A. 8 B.  C. 16 D. 17【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意可將向量數(shù)量積轉(zhuǎn)化到向量上去，再代入數(shù)據(jù)即可計算得出結(jié)論.【詳解】由題意，取的中點為，連接，如下圖所示：  易知，；可得，又，同理；所以故選：B6. 已知則（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】設，則，則化簡，由余弦的二倍角公式可得答案.【詳解】設，則，從而.故選：D【點睛】關鍵點睛：本題考查三角函數(shù)中知值求值問題，解答本題的關鍵是設，然后可得，屬于中檔題.7. 在平面中，過定點作一直線交軸正半軸于點，交軸正半軸于點，面積的最小值為（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】設直線的截距式，再根據(jù)面積公式結(jié)合基本不等式求解最小值即可【詳解】易得直線不經(jīng)過原點，故設直線的方程為，因為直線過定點，故，所以，故.當時等號成立故故選：C8. 已知函數(shù)的定義域均為，且為偶函數(shù)，函數(shù)滿足，對于，均有，則（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】根據(jù)可知是以6為周期的函數(shù)，則，根據(jù)函數(shù)的對稱性可得.由可得.結(jié)合、計算求出和即可.【詳解】，兩式相減，得，所以函數(shù)是周期函數(shù)，周期，有.因為為偶函數(shù)，圖象關于y軸對稱，將的圖象上的點橫坐標擴大3倍，縱坐標不變，得，圖象關于y軸對稱，再向左平移一個單位長度，得，圖象關于對稱，有.又，令，則，即.當時，，則①，，所以，即②，由①②，得，解得，所以，又，所以.故選：A.【點睛】方法定睛：函數(shù)的性質(zhì)主要是函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性和周期性以及函數(shù)圖象的對稱性，在解題中根據(jù)問題的條件通過變換函數(shù)的解析式或者已知的函數(shù)關系，推證函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)解決問題．二、多選題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，請把答案填涂在答題卡相應位置上．全部選對得5分，部分選對得2分，不選或有錯選的得0分.9. 一個質(zhì)地均勻的正四面體木塊的四個面上分別標有數(shù)字1，2，3，4，連續(xù)拋擲這個正四面體木塊兩次，并記錄每次正四面體木塊朝下的面上的數(shù)字，記事件A為“第一次向下的數(shù)字為2或3”，事件B為“兩次向下的數(shù)字之和為奇數(shù)”，則下列結(jié)論正確的是（    ）A.  B. 事件A與事件B互斥C. 事件A與事件B相互獨立 D. 【答案】CD【解析】【分析】A.利用古典概型的概率求解判斷；B.利用互斥事件的定義判斷；C.利用獨立事件的概率求解判斷；D.利用并事件的概率求解判斷.【詳解】解：依題意，拋擲正四面體木塊，第一次向下的數(shù)字有1，2，3，4四個基本事件，則，A不正確：事件B含有的基本事件有8個：，，，，，，，，其中事件，，，發(fā)生時，事件A也發(fā)生，即事件A，B可以同時發(fā)生，B不正確；拋擲正四面體木塊兩次的所有基本事件有16個，，，即事件A與事件B相互獨立，C正確；，D正確.故選：CD.10. 如圖（1）是一段依據(jù)正弦曲線設計安裝的過山車軌道.建立平面直角坐標系如圖（2），（單位：m）表示在時間（單位：s）時.過山車（看作質(zhì)點）離地平面的高度.軌道最高點距離地平面50m.最低點距離地平面10m.入口處距離地平面20m.當時，過山車到達最高點，時，過山車到達最低點.設，下列結(jié)論正確的是（    ）A. 函數(shù)最小正周期為12B. C. 時，過山車距離地平面40mD. 一個周期內(nèi)過山車距離地平面低于20m的時間是4s【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)題意抽象出函數(shù)的最值，列式求，根據(jù)周期求，最后根據(jù)求，再根據(jù)函數(shù)的解析式判斷CD.【詳解】由題意可知，周期滿足，得，所以，得，又，解得，.所以，又，即，得，因為，所以，所以.對于A，，A正確；對于B，，B錯誤；對于C，，C正確；對于D，由，得，即，，，解得，，所以一個周期內(nèi)過山車距離底面低于20m的時間是，D正確.故選：ACD.11. 已知圓和圓相交于、兩點，下列說法正確的為（    ）A. 兩圓有兩條公切線 B. 直線的方程為C. 線段長為 D. 圓上點，圓上點，的最大值為【答案】AD【解析】【分析】由圓與圓相交可判斷A；兩圓方程作差可判斷B；利用垂徑定理可判斷C；轉(zhuǎn)化為圓心間的距離可判斷D.【詳解】對于A，因為兩圓相交，所以兩圓有兩條公切線，故A正確；對于B，因為圓，圓，兩圓作差得即，所以直線的方程為，故B錯誤；對于C，圓的圓心為，半徑為2，則圓心到直線的距離，所以，故C錯誤；對于D，圓的圓心，半徑為1，所以，故D正確.故選：AD.12. 如圖，若正方體的棱長為，點是正方體的側(cè)面上的一個動點（含邊界），是棱的中點，則下列結(jié)論正確的是（    ）  A. 沿正方體的表面從點到點的最短路程為B. 過三點作正方體的截面，則截面面積為C. 三棱錐的體積最大值為D. 若保持，則點在側(cè)面內(nèi)運動路徑的長度為【答案】ACD【解析】【分析】作出正方體相鄰兩個側(cè)面的展開圖，對比線段的長度即可得到最短路程，知A正確；作出截面，由矩形面積公式可求得B錯誤；利用體積橋可知當與重合時，體積最大，利用割補法可求得C正確；分析可知點軌跡是以中點為圓心，為半徑的圓在正方形內(nèi)的部分，結(jié)合扇形弧長公式可求得D正確.【詳解】對于A，將側(cè)面和側(cè)面沿展成平面，如下圖所示，  此時；將底面和側(cè)面沿展成平面，如下圖所示，  此時；，沿正方體的表面從點到點的最短路程為，A正確；對于B，取中點，連接，，四點共面，則過三點作正方體的截面，截面即為四邊形，如下圖陰影部分所示，  平面，平面，，，，四邊形為矩形，又，，，B錯誤；對于C，，為定值，當點到平面距離最大時，取得最大值，又點為側(cè)面（含邊界）上的一個動點，當點與點重合時，點到平面距離最大，  ，C正確；對于D，若，則點在以為球心，為半徑的球面上，取中點，則，，  點的軌跡是以為圓心，為半徑的圓在正方形內(nèi)的部分，即劣弧，如下圖所示，  ，，劣弧的長度為：，即點在側(cè)面內(nèi)運動路徑的長度為，D正確.故選：ACD.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．請把答案填寫在答題卡相應位置上.13. 已知直線：與：平行，則實數(shù)a的值為_____.【答案】【解析】【分析】根據(jù)直線平行的充要條件計算即可.【詳解】由題意可知：，且，解之得.故答案為：-114. 已知點，，若直線與線段相交，則的取值范圍________．【答案】【解析】【分析】首先求出直線過定點，利用斜率計算公式求出，，再數(shù)形結(jié)合即可得解．【詳解】解：直線經(jīng)過定點，，，又直線與線段相交，由圖可知，即；故答案為：．    15. 已知函數(shù)，若方程恰有四個不同的實數(shù)解，分別記為，，，，則的取值范圍是____________【答案】【解析】【分析】明確分段函數(shù)兩段的性質(zhì)，進而作出其圖像，將方程恰有四個不同的實數(shù)解轉(zhuǎn)化為的圖象與直線有4個不同的交點，由圖象確定，，，的范圍，結(jié)合對勾函數(shù)單調(diào)性性質(zhì)，即可求得答案.【詳解】由題意知，當時，，令，則；當時，；當時，，令，則或4；令，則或2；由此可作出函數(shù)的圖象如圖：  由于方程恰有四個不同的實數(shù)解，分別記為，，，，故的圖象與直線有4個不同的交點，由圖象可知，不妨設，則，且關于對稱，所以，又即，則，故，由于在上單調(diào)遞增，故，所以，故的取值范圍是，故答案為：【點睛】關鍵點睛：本題綜合考查函數(shù)與方程的應用知識，涉及到知識點較多，綜合性強，解答的關鍵時要明確分段函數(shù)的性質(zhì)，進而作出其圖象，數(shù)形結(jié)合，即可求解.16. 若圓與圓外切，則的最大值為________________.【答案】【解析】【分析】先根據(jù)兩圓外切可得，再根據(jù)可知，點的軌跡為圓弧，圓的四分之一，而表示定點與圓弧上的動點連線的斜率，然后數(shù)形結(jié)合即可求出．【詳解】由題可得圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為.因為兩圓外切，可得，，可看作平面直角坐標系中的定點與圓弧上的動點連線的斜率，結(jié)合圖形可知，當點為時，最大，此時其最大值為．  故答案為：.【點睛】本題主要考查圓與圓的位置關系的應用，以及利用幾何意義求最值，意在考查學生的轉(zhuǎn)換能力和數(shù)學運算能力，屬于基礎題．四、解答題：本大題共6小題，共70分．請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟.17. 中，角A，B，C所對的邊分別為. 已知.（1）求的值；（2）求的面積.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)求出，根據(jù)求出，根據(jù)正弦定理求出；（2）先求出，再利用面積公式即可求出.【詳解】（1）在中，由題意知，又因，所有，由正弦定理可得.（2）由得，由,得.所以.因此，的面積.【點睛】本題考查正弦定理和三角形面積公式的應用，屬于中檔題.18. 《中華人民共和國民法典》于2021年1月1日正式施行．某社區(qū)為了解居民對民法典的認識程度，隨機抽取了一定數(shù)量的居民進行問卷測試（滿分：100分），并根據(jù)測試成績繪制了如圖所示的頻率分布直方圖.（1）估計該組測試成績的平均數(shù)和第57百分位數(shù)；（2）該社區(qū)在參加問卷且測試成績位于區(qū)間和的居民中，采用分層隨機抽樣，確定了5人.若從這5人中隨機抽取2人作為該社區(qū)民法典宣講員，設事件“兩人的測試成績分別位于和”，求.【答案】（1）平均數(shù)76.2；第57百分位數(shù)79；    （2）.【解析】【分析】（1）利用頻率分布直方圖計算平均數(shù)及百分位數(shù)；（2）根據(jù)分層抽樣確定測試成績分別位于和的人數(shù)，按照古典概型計算即可.【小問1詳解】由頻率分布直方圖可知測試成績的平均數(shù).測試成績落在區(qū)間的頻率為，落在區(qū)間的頻率為，所以設第57百分位數(shù)為a，有，解得；【小問2詳解】由題知，測試分數(shù)位于區(qū)間、的人數(shù)之比為，所以采用分層隨機抽樣確定的5人，在區(qū)間中3人，用，，表示，在區(qū)間中2人，用，表示，從這5人中抽取2人的所有可能情況有：，，，，，，，，，，共10種，其中“分別落在區(qū)間和”有6種，所以.19. 已知圓：.（1）求過點且與圓相切的直線的方程；（2）已知點，，是圓上的動點，求面積的最大值.【答案】（1）或；（2）.【解析】【分析】（1）將圓化為標準式，求出圓心與半徑，討論直線的斜率存在或不存在，當不存在時，設出點斜式，利用點到直線的距離等于半徑即可求解.（2）將問題轉(zhuǎn)化為求圓上的點到直線距離的最大值即可求解.【詳解】（1）當直線的斜率不存在時：，此時圓心到直線的距離等于半徑，滿足題意，當直線的斜率存在時，設直線方程為：，圓：，因為直線與圓相切，所以圓心到直線的距離等于圓的半徑，即，∴所以直線方程為：.（2）∵，，∴，直線的方程為：，圓心到直線AB的距離為：，所以點P到直線AB的距離的最大值為，所以.20. 如圖，D為圓錐的頂點，O是圓錐底面的圓心，AE為底面直徑，，是底面的內(nèi)接正三角形，且，P是線段DO上一點.（1）若，求三棱錐P-ABC的體積.（2）當PO為何值時，直線EP與平面PBC所成的角的正弦值最大.【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）應用棱錐的體積公式即可；（2）建立空間直角坐標系，用向量法求解.【小問1詳解】在，，，因為，，【小問2詳解】如圖所示，建立以點O為坐標原點的空間直角坐標系..設，，所以，，，，所以，，，設平面PBC的法向量為，所以，所以.設直線EP與平面PBC所成角為，由題意得.當且僅當時等號成立，此時直線EP與平面PBC所成的角的正弦值最大.21. 已知函數(shù)已知函數(shù)，（1）若的解集，求實數(shù)的取值范圍；（2）若在區(qū)間內(nèi)有兩個零點，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）討論集合是否是空集，從而求解，（2），首先討論是否是0，在時，討論函數(shù)的零點的位置，從而確定實數(shù)所滿足的條件，從而求其范圍．【小問1詳解】若，則，若，則．綜上可得：．【小問2詳解】．若，則，無零點；若，則在單調(diào)，∴其在內(nèi)至多有一個零點．①若，則，解得，，經(jīng)檢驗，時不成立，②若，由，解得，，綜上所述，實數(shù)的取值范圍是．22. 在平面直角坐標系xOy中，過坐標原點O的圓M（圓心M在第一象限）與x軸正半軸交于點A（2，0），弦OA將圓M截得兩段圓弧的長度比為1：5．（1）求圓M的標準方程；（2）設點B是直線l：x+y+20上的動點，BC、BD是圓M的兩條切線，C、D為切點，求四邊形BCMD面積的最小值；（3）若過點M且垂直于y軸的直線與圓M交于點E、F，點P為直線x＝5上的動點，直線PE、PF與圓M的另一個交點分別為G、H（GH與EF不重合），求證：直線GH過定點．【答案】（1）    （2）    （3）證明見解析【解析】【分析】（1）由圓弧的長度比為，可得，得為等邊三角形，由此求出圓心坐標和半徑，則圓的方程可求；（2）四邊形得面積，要使四邊形面積最小，則最小即可．此時，再由點到直線的距離公式求解；（3）設點，，，，，先分析GH斜率存在時，設，根據(jù)聯(lián)立方程，由根與系數(shù)關系求出k，b關系即可得出所過定點，再驗證斜率不存在情況即可.【小問1詳解】弦將圓截得兩段圓弧的長度比為，，則為等邊三角形，又，圓心得坐標為，．圓的標準方程為；【小問2詳解】四邊形得面積，在中，，要使四邊形面積最小，則最小即可．此時，，．四邊形面積的最小值為；【小問3詳解】證明：設點，，，，，由題意知：，，，．，，①點、在圓上，將和代入①整理得：，②當斜率存在時，設直線的方程為，聯(lián)立，得．，．代入②整理得：．，解得或．當時，直線的方程為，過定點；當時，直線的方程為，過定點．與不重合，點不合題意．當斜率不存在時，聯(lián)立，解得，，．點適合．綜上，直線過定點．    

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