?專題12 圓錐曲線壓軸小題常見題型全歸納
【命題規(guī)律】
1、圓錐曲線的定義、方程與幾何性質(zhì)是每年高考必考的內(nèi)容．一是求圓錐曲線的標準方程；二是求橢圓或雙曲線的離心率、與雙曲線的漸近線有關(guān)的問題；三是拋物線的性質(zhì)及應(yīng)用問題．多以選擇、填空題的形式考查，難度中等．
2、通過對橢圓、雙曲線、拋物線的定義、方程及幾何性質(zhì)的考查，著重考查了數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模、邏輯推理與數(shù)學(xué)運算四大核心素養(yǎng)．
【核心考點目錄】
核心考點一：阿波羅尼斯圓與圓錐曲線
核心考點二：蒙日圓
核心考點三：阿基米德三角形
核心考點四：仿射變換問題
核心考點五：圓錐曲線第二定義
核心考點六：焦半徑問題
核心考點七：圓錐曲線第三定義
核心考點八：定比點差法與點差法
核心考點九：切線問題
核心考點十：焦點三角形問題
核心考點十一：焦點弦問題
核心考點十二：圓錐曲線與張角問題
核心考點十三：圓錐曲線與角平分線問題
核心考點十四：圓錐曲線與通徑問題
核心考點十五：圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)問題
核心考點十六：圓錐曲線與四心問題
【真題回歸】
1．（2022·天津·統(tǒng)考高考真題）已知拋物線分別是雙曲線的左、右焦點，拋物線的準線過雙曲線的左焦點，與雙曲線的漸近線交于點A，若，則雙曲線的標準方程為（????）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】拋物線的準線方程為，則，則、，
不妨設(shè)點為第二象限內(nèi)的點，聯(lián)立，可得，即點，
因為且，則為等腰直角三角形，
且，即，可得，
所以，，解得，因此，雙曲線的標準方程為．
故選：C．
2．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè)F為拋物線的焦點，點A在C上，點，若，則（????）
A．2 B． C．3 D．
【答案】B
【解析】由題意得，，則，
即點到準線的距離為2，所以點的橫坐標為，
不妨設(shè)點在軸上方，代入得，，
所以．
故選：B
3．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知橢圓的離心率為，分別為C的左、右頂點，B為C的上頂點．若，則C的方程為（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因為離心率，解得，，
分別為C的左右頂點，則，
B為上頂點，所以．
所以，因為
所以，將代入，解得，
故橢圓的方程為．
故選：B．
4．（多選題）（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知O為坐標原點，點在拋物線上，過點的直線交C于P，Q兩點，則（????）
A．C的準線為 B．直線AB與C相切
C． D．
【答案】BCD
【解析】將點的代入拋物線方程得，所以拋物線方程為，故準線方程為，A錯誤；
，所以直線的方程為，
聯(lián)立，可得，解得，故B正確；
設(shè)過的直線為，若直線與軸重合，則直線與拋物線只有一個交點，
所以，直線的斜率存在，設(shè)其方程為，，
聯(lián)立，得，
所以，所以或，，
又，，
所以，故C正確；
因為，，
所以，而，故D正確．
故選：BCD
5．（多選題）（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知O為坐標原點，過拋物線焦點F的直線與C交于A，B兩點，其中A在第一象限，點，若，則（????）
A．直線的斜率為 B．
C． D．
【答案】ACD
【解析】對于A，易得，由可得點在的垂直平分線上，則點橫坐標為，
代入拋物線可得，則，則直線的斜率為，A正確；
對于B，由斜率為可得直線的方程為，聯(lián)立拋物線方程得，
設(shè)，則，則，代入拋物線得，解得，則，
則，B錯誤；
對于C，由拋物線定義知：，C正確；
對于D，，則為鈍角，
又，則為鈍角，
又，則，D正確．
故選：ACD．

6．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知橢圓，C的上頂點為A，兩個焦點為，，離心率為．過且垂直于的直線與C交于D，E兩點，，則的周長是________________．
【答案】13
【解析】∵橢圓的離心率為，∴，∴，∴橢圓的方程為，不妨設(shè)左焦點為，右焦點為，如圖所示，∵，∴，∴為正三角形，∵過且垂直于的直線與C交于D，E兩點，為線段的垂直平分線，∴直線的斜率為，斜率倒數(shù)為， 直線的方程：，代入橢圓方程，整理化簡得到：，
判別式，
∴，
∴ ， 得，
∵為線段的垂直平分線，根據(jù)對稱性，，∴的周長等于的周長，利用橢圓的定義得到周長為．
故答案為：13．


7．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè)點，若直線關(guān)于對稱的直線與圓有公共點，則a的取值范圍是________．
【答案】
【解析】關(guān)于對稱的點的坐標為，在直線上，
所以所在直線即為直線，所以直線為，即；
圓，圓心，半徑，
依題意圓心到直線的距離，
即，解得，即；
故答案為：
8．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知直線l與橢圓在第一象限交于A，B兩點，l與x軸，y軸分別交于M，N兩點，且，則l的方程為___________．
【答案】
【解析】[方法一]：弦中點問題：點差法
令的中點為，設(shè)，，利用點差法得到，
設(shè)直線，，，求出、的坐標，
再根據(jù)求出、，即可得解；
令的中點為，因為，所以，
設(shè)，，則，，
所以，即
所以，即，設(shè)直線，，，
令得，令得，即，，
所以，
即，解得或（舍去），
又，即，解得或（舍去），
所以直線，即；

故答案為：
[方法二]：直線與圓錐曲線相交的常規(guī)方法
由題意知，點既為線段的中點又是線段MN的中點，
設(shè)，，設(shè)直線，，，
則，，，因為，所以
聯(lián)立直線AB與橢圓方程得消掉y得
其中，
∴AB中點E的橫坐標，又，∴
∵，，∴，又，解得m=2
所以直線，即
[方法三]：
令的中點為，因為，所以，
設(shè)，，則，，
所以，即
所以，即，設(shè)直線，，，
令得，令得，即，，所以，
即，解得或（舍去），
又，即，解得或（舍去），
所以直線，即；

故答案為：

【方法技巧與總結(jié)】
1、在利用圓錐曲線的定義求軌跡方程時，若所求的軌跡符合某種圓錐曲線的定義，則根據(jù)定義判定軌跡曲線并寫出方程．有時還要注意軌跡是不是完整的曲線，如果不是完整的曲線，則應(yīng)對其中的變量或進行限制．
2、應(yīng)用圓錐曲線的定義時，要注意定義中的限制條件．在橢圓的定義中，要求；在雙曲線的定義中，要求；在拋物線的定義中，定直線不經(jīng)過定點．此外，通過到定點和到定直線的距離之比為定值可將三種曲線統(tǒng)一在一起，稱為圓錐曲線．
3、圓錐曲線定義的應(yīng)用主要有：求標準方程，將定義和余弦定理等結(jié)合使用，研究焦點三角形的周長、面積，求弦長、最值和離心率等．
4、用解析法研究圓錐曲線的幾何性質(zhì)是通過方程進行討論的，再通過方程來研究圓錐曲線的幾何性質(zhì)．不僅要能由方程研究曲線的幾何性質(zhì)，還要能運用兒何性質(zhì)解決有關(guān)問題，如利用坐標范圍構(gòu)造函數(shù)或不等關(guān)系等．
【核心考點】
核心考點一：阿波羅尼斯圓與圓錐曲線
【典型例題】
例1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)雙曲線的左右兩個焦點分別為、，是雙曲線上任意一點，過的直線與的平分線垂直，垂足為，則點的軌跡曲線的方程________；在曲線上，點，，則的最小值________．
【答案】???? ????
【解析】如圖所示：延長與的延長線交于點，
則，
故軌跡方程為．
取點，則，，故，
，當共線時等號成立．
故答案為：；


例2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名．他發(fā)現(xiàn)：“平面內(nèi)到兩個定點的距離之比為定值的點的軌跡是圓”．后來，人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓．已知在平面直角坐標系中，，，點是滿足的阿氏圓上的任一點，則該阿氏圓的方程為____；若點為拋物線上的動點，在軸上的射影為，則的最小值為______．
【答案】???? ????
【解析】設(shè)點，，

∴．
拋物線的焦點為點，由題意知，，

∴．
故答案為：；．
例3．（2022春·江蘇鎮(zhèn)江·高二?？计谥校┰谄矫嫔辖o定相異兩點A，B，設(shè)點P在同一平面上且滿足，當 且時，P點的軌跡是一個圓，這個軌跡最先由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，故我們稱這個圓為阿波羅尼斯圓．現(xiàn)有雙曲線， 分別為雙曲線的左?右焦點，A，B為雙曲線虛軸的上?下端點，動點P滿足， 面積的最大值為4．點M，N在雙曲線上，且關(guān)于原點O對稱，Q是雙曲線上一點，直線和的斜率滿足 ，則雙曲線方程是 ______________ ；過的直線與雙曲線右支交于C，D兩點（其中C點在第一象限），設(shè)點?分別為 ?的內(nèi)心，則的范圍是 ____________ ．
【答案】???? ????
【解析】設(shè)，
由題意知，可得，即，
整理得，可得圓心為，半徑，
所以的最大面積為，解得，即，
設(shè)，則，
則，可得，同理
則，則，
整理得，所以雙曲線的方程為．
如圖所示，設(shè)邊上的切點分別為，
則橫坐標相等，則，
由，即，即，
即，即點的橫坐標為，則，
于是，可得，
同樣內(nèi)心的橫坐標也為，則軸，
設(shè)直線的傾斜角為，則，
在中，
，
由雙曲線的方程，可得，則，
可得，
又由直線為雙曲線右支上的點，且漸近線的斜率為，傾斜角為，
可得，即，
可得的取值范圍是．
故答案為：；．

核心考點二：蒙日圓
【典型例題】
例4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）蒙日圓涉及的是幾何學(xué)中的一個著名定理，該定理的內(nèi)容為：橢圓上兩條互相垂直的切線的交點必在一個與橢圓同心的圓上，該圓稱為原橢圓的蒙日圓，若橢圓的蒙日圓為，則（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】當橢圓兩切線與坐標垂直時，則兩切線的交點坐標為，
該點在圓上，所以，，解得；
當橢圓兩切線的斜率同時存在時，不妨設(shè)兩切線的斜率分別為、，
設(shè)兩切線的交點坐標為，并設(shè)過該點的直線方程為，
聯(lián)立，
消去得，
，
化簡得，由韋達定理得，
整理得，解得．
綜上所述，．
故選：B．
例5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）“蒙日圓”涉及幾何學(xué)中的一個著名定理，該定理的內(nèi)容為：橢圓上兩條互相垂直的切線的交點必在一個與橢圓同心的圓上，該圓稱為原橢圓的蒙日圓．若橢圓：的離心率為，則橢圓的蒙日圓方程為（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因為橢圓：的離心率為，
所以，解得，所以橢圓的方程為，
所以橢圓的上頂點，右頂點，
所以經(jīng)過兩點的切線方程分別為，，
所以兩條切線的交點坐標為，又過，的切線互相垂直，
由題意知交點必在一個與橢圓同心的圓上，可得圓的半徑，
所以橢圓的蒙日圓方程為．
故選：B．
例6．（2023春·四川樂山·高二四川省樂山沫若中學(xué)?？计谥校┘铀古翣枴っ扇眨▓D1）是18～19世紀法國著名的幾何學(xué)家，他在研究圓錐曲線時發(fā)現(xiàn)：橢圓的任意兩條互相垂直的切線的交點都在同一個圓上，其圓心是橢圓的中心，這個圓被稱為“蒙日圓”（圖2）．則橢圓 的蒙日圓的半徑為（????）

A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【解析】由蒙日圓的定義，可知橢圓 的兩條切線的交點
在圓上，
所以，
故選：A
核心考點三：阿基米德三角形
【典型例題】
例7．（2023·高二課時練習(xí)）拋物線上任意兩點，處的切線交于點，稱為“阿基米德三角形”，當線段經(jīng)過拋物線的焦點時，具有以下特征：
①點必在拋物線的準線上；②．
若經(jīng)過拋物線的焦點的一條弦為，“阿基米德三角形”為，且點的縱坐標為4，則直線的方程為（????）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】設(shè)拋物線的焦點為，
由題意可知，拋物線的焦點坐標為，準線方程為，
因為為“阿基米德三角形”，且線段經(jīng)過拋物線的焦點，
所以點必在拋物線的準線上，
所以點，
直線的斜率為．
又因為，
所以直線的斜率為，
所以直線的方程為，即，
故選：A．
例8．（2023·全國·高三專題練習(xí)）阿基米德（Archimedes，公元前287年-公元前212年），出生于古希臘西西里島敘拉古（今意大利西西里島上），偉大的古希臘數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家，與高斯、牛頓并稱為世界三大數(shù)學(xué)家．有一類三角形叫做阿基米德三角形（過拋物線的弦與過弦端點的兩切線所圍成的三角形），他利用“通近法”得到拋物線的弦與拋物線所圍成的封閉圖形的面積等于阿基米德三角形面積的（即右圖中陰影部分面積等于面積的）．若拋物線方程為，且直線與拋物線圍成封閉圖形的面積為6，則（????）

A．1 B．2 C． D．3
【答案】D
【解析】由題意可知，當過焦點的弦垂直于x軸時，即時，
，即，
故選：D．
例9．（2023·全國·高三專題練習(xí)）阿基米德（公元前287年～公元前212年）是古希臘偉大的物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家．他研究拋物線的求積法得出著名的阿基米德定理，并享有“數(shù)學(xué)之神”的稱號．拋物線的弦與過弦的端點的兩條切線所圍成的三角形被稱為阿基米德三角形．如圖，為阿基米德三角形．拋物線上有兩個不同的點，以A，B為切點的拋物線的切線相交于P．給出如下結(jié)論，其中正確的為（????）
（1）若弦過焦點，則為直角三角形且；
（2）點P的坐標是；
（3）的邊所在的直線方程為；
（4）的邊上的中線與y軸平行（或重合）．

A．（2）（3）（4） B．（1）（2） C．（1）（2）（3） D．（1）（3）（4）
【答案】D
【解析】由題意設(shè)，，，由，得，則，所以，，若弦過焦點，∴，∴，∴，故（1）正確；
以點為切點的切線方程為，以點為切點的切線方程為，聯(lián)立消去得，將代入，得，所以，故（2）錯誤；
設(shè)為拋物線弦的中點，的橫坐標為，因此則直線平行于軸，即平行于拋物線的對稱軸，故（4）正確；設(shè)直線的斜率為，故直線的方程為，化簡得，故（3）正確，
故選：D．．
核心考點四：仿射變換問題
【典型例題】
例10．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知直線l與橢圓交于M，N兩點，當______，面積最大，并且最大值為______．記，當面積最大時，_____﹐_______．Р是橢圓上一點，，當面積最大時，______．
【答案】???? ???? ???? 4???? 2???? 1
【解析】作變換此時橢圓變?yōu)閳A，方程為，
當時，最大，并且最大為，
此時，．
由于，，
∴，
，
因為，所以
．
故答案為：；；4；2；1．
例11．（2023·全國·高三專題練習(xí)）過橢圓的右焦點F的直線與橢圓交于A，B兩點，則面積最大值為_______．
【答案】
【解析】作變換之后橢圓變?yōu)閳A，方程為，，
由于，因此時面積最大，
此時，
那么，
故答案為：
例12．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓左頂點為，為橢圓上兩動點，直線交于，直線交于，直線的斜率分別為且， （是非零實數(shù)），求______________．
【答案】1
【解析】解法1：可得點，設(shè)，則，
由可得，即有，
，，兩邊同乘以，可得，解得，將代入橢圓方程可得，由可得，可得；
故答案為：．
解法2：作變換之后橢圓變?yōu)閳A，方程為，
，
設(shè)，則，
，
∴，
，
∴．
故答案為：．
核心考點五：圓錐曲線第二定義
【典型例題】
例13．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)F為拋物線的焦點，過F且傾斜角為60°的直線交C于A，B兩點，則（????）
A． B．8 C．12 D．
【答案】B
【解析】依題意可知拋物線焦點為，直線AB的方程為，
代入拋物線方程得，可得，
根據(jù)拋物線的定義可知直線AB的長為．
故選：B．
例14．（2023·全國·高三專題練習(xí)）過拋物線焦點F的直線與該拋物線及其準線都相交，交點從左到右依次為A，B，C．若，則線段BC的中點到準線的距離為（????）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【解析】由拋物線的方程可得焦點，漸近線的方程為：，
由，可得
由于拋物線的對稱性，不妨假設(shè)直線和拋物線位置關(guān)系如圖示：作垂直于準線于，
準線交x軸與N，則 ，

故，故 ，
而x軸，故，
所以直線的傾斜角為 ，
所以直線的方程為，
設(shè)，，，，
聯(lián)立，整理可得：，
可得，
所以的中點的橫坐標為3，
則線段的中點到準線的距離為 ，
故選：B．
例15．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，過拋物線的焦點F的直線交拋物線于點A，B，交其準線l于點C，若F是AC的中點，且，則線段AB的長為（????）

A．5 B．6 C． D．
【答案】C
【解析】設(shè)在準線上的射影分別為，準線與軸交于，則，
由于點是的中點，且，
根據(jù)拋物線的定義，可得，所以，
設(shè)，則，即，解得，
所以，
即的長為．
故選：C．

核心考點六：焦半徑問題
【典型例題】
例16．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知點是雙曲線上的動點，，為該雙曲線的左右焦點，為坐標原點，則的最大值為（????）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【解析】由雙曲線的對稱性，假設(shè)在右支上，即，
由到的距離為，而，
所以，
綜上，，同理，則，
對于雙曲線，有且，
所以，而，即．
故選：D
例17．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知雙曲線的右支上的點，滿足，分別是雙曲線的左右焦點），則為雙曲線的半焦距）的取值范圍是（????）
A．， B．， C．， D．，
【答案】B
【解析】由雙曲線的第二定義可知，，
右支上的點，滿足，
由，解得，
在右支上，可得，可得，即，則，
令，，可得
而在，單調(diào)遞減，，，，
故選：B
例18．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知點P是雙曲線上的動點，，是左、右焦點，O是坐標原點，若的最大值為，則雙曲線的離心率為（????）
A． B． C． D．2
【答案】B
【解析】不妨設(shè)為右支上的一點，其中，可得，，
又由，
則，所以時，取得最大值，
所以，可得，故選B．
核心考點八：圓錐曲線第三定義
【典型例題】
例19．（江蘇省南京市中華中學(xué)2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期初數(shù)學(xué)試題）橢圓：的左、右頂點分別為，，點在上且直線的斜率的取值范圍是，那么直線斜率的取值范圍是（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由題意，橢圓：的左、右頂點分別為，
設(shè)，則，
又由，可得，
因為，即，可得，
所以直線斜率的取值范圍．
故選：A．
例20．（2023·全國·高三專題練習(xí)）橢圓的左、右頂點分別為，，點在上且直線的斜率的取值范圍是，，那么直線斜率的取值范圍是（????）
A．， B．， C．， D．，
【答案】A
【解析】由題意得：
由橢圓可知其左頂點，右頂點．
設(shè)，，則得．
記直線的斜率為，直線的斜率為，則
直線斜率的取值范圍是，，
直線斜率的取值范圍是，
故選：A
例21．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知O為坐標原點，橢圓的左、右焦點分別是，過點且斜率為k的直線與圓交于A，B兩點（點B在x軸上方），線段與橢圓交于點M，延長線與橢圓交于點N，且，則橢圓的離心率為___________，直線的斜率為___________．
【答案】???? ????
【解析】過原點作于點，則為的中點，
又∵，??∴，??即的中點，
∴∥，??∴，
連接， 設(shè)，則，，，
在△中，，解得，
在△中，，整理得，
解得，
．
故答案為：；．

例22．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)橢圓長軸的兩個頂點分別為、，點為橢圓上不同于、的任一點，若將的三個內(nèi)角記作、、，且滿足，則橢圓的離心率為（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因為可得，即，
而在三角形中，，所以上式可得
而，
所以可得，即，
由題意可得，，設(shè)，，
可得，由橢圓的對稱性設(shè)在第一象限，如圖所示：
在中，，
在中，，
所以，
所以可得，
所以離心率
故選：．

核心考點八：定比點差法與點差法
【典型例題】
例23．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知斜率為的直線與橢圓交于，兩點，線段的中點為（），那么的取值范圍是（????）
A． B． C． D．，或
【答案】A
【解析】設(shè)，，
又點，在橢圓上，
則，，
兩式相減可得：，
又，
則，
又點，在橢圓內(nèi)，
則，
則，
所以，
故選：A．
例24．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓，過點的直線與橢圓交于兩點，若點恰為弦中點，則直線斜率是（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】設(shè)，則，
則，，
兩式相減得，
所以，
即直線斜率是．
故選：C
例25．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓內(nèi)有一定點，過點P的兩條直線，分別與橢圓交于A、C和B、D兩點，且滿足，，若變化時，直線CD的斜率總為，則橢圓的離心率為
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】設(shè)因為，且，所以，同理．將兩點坐標代入橢圓方程并化簡得，即，同理，由于，，所以，即，即，兩式相加得，即，所以，所以，故選A．
核心考點九：切線問題
【典型例題】
例26．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知過圓錐曲線上一點的切線方程為．過橢圓上的點作橢圓的切線，則過點且與直線垂直的直線方程為（????）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】過橢圓上的點的切線的方程為，即，切線的斜率為．與直線垂直的直線的斜率為，過點且與直線垂直的直線方程為，即．
故選：B
例27．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知點?，若過?兩點的動拋物線的準線始終與圓相切，該拋物線焦點的軌跡是某圓錐曲線的一部分，則該圓錐曲線是（????）
A．橢圓 B．圓 C．雙曲線 D．拋物線
【答案】A
【解析】由題設(shè)知，拋物線焦點F到定點A和B的距離之和等于A和B分別到準線的距離和，等于
的中點O到準線的距離的二倍，由拋物線準線與圓相切知和為，
所以，
所以拋物線焦點的軌跡方程C是以A和B為焦點的橢圓．
故選：A
例28．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)P是雙曲線C：在第一象限內(nèi)的動點，O為坐標原點，雙曲線C在P點處的切線的斜率為m，直線OP的斜率為n，則當取得最小值時，雙曲線C的離心率為（???）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【解析】設(shè)，則雙曲線C在P點處的切線方程為：
，則，
，
，


，
令，則，
，
當時，，當時，，
所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
得時，取最小值，
，即時，取最小值，
．
故選：D．
核心考點十：焦點三角形問題
【典型例題】
例29．（2023春·河南洛陽·高二宜陽縣第一高級中學(xué)校考階段練習(xí)）已知橢圓的左、右焦點分別為、，點在橢圓上，若，則的面積為（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】在橢圓中，，，則，所以，，
由橢圓的定義可得，
取的中點，因為，則，
由勾股定理可得，

所以，．
故選：B．
例30．（2023·全國·高三專題練習(xí)）橢圓兩焦點分別為，，動點在橢圓上，若的面積的最大值為12，則此橢圓上使得為直角的點有（????）
A．個 B．個 C．個 D．個
【答案】A
【解析】因為的面積的最大值時，點P在短軸的頂點處，所以，即，
又，所以，所以，則，所以，所以此橢圓上使得為直角的點有個，
故選：A．
例31．（2023·全國·高三專題練習(xí)）雙曲線的左、右焦點分別、，P為雙曲線右支上的點，的內(nèi)切圓與x軸相切于點C，則圓心I到y(tǒng)軸的距離為（????）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】因為雙曲線，所以
設(shè)三角形內(nèi)切圓的切點為，，，其中在軸上，

由內(nèi)切可得，
那么，又
所以，
又，
所以點的橫坐標為4，點的橫坐標也為4，
故圓心到軸的距離為4．
故選：D．
例32．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知在雙曲線上，其左、右焦點分別為、，三角形的內(nèi)切圓切x軸于點M，則的值為（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】在雙曲線上，可得，∴、，
如圖，設(shè)，內(nèi)切圓與x軸的切點是點M，、與內(nèi)切圓的切點分別為N、H，
∵由雙曲線的定義可得，由圓的切線長定理知，，
故，即，設(shè)內(nèi)切圓的圓心橫坐標為x，
則點M的橫坐標為x，故，∴，
∴，
故選：C．

核心考點十一：焦點弦問題
【典型例題】
例33．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知拋物線的焦點F與橢圓的右焦點重合．斜率為直線l經(jīng)過點F，且與C的交點為A，B．若，則直線l的方程是（????）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】橢圓，，所以，，所以拋物線：．
設(shè)，直線的方程為．
聯(lián)立 消去，化簡整理得，
則．



因此直線的方程是．
故選：A．
例34．（2023·全國·高三專題練習(xí)）拋物線的焦點弦被焦點分成長是m和n的兩部分，則m與n的關(guān)系是（????）
A．m＋n＝mn B．m＋n＝4 C．mn＝4 D．無法確定
【答案】A
【解析】拋物線的焦點，準線x＝－1，
設(shè)，把它代入得，
設(shè)，，則，由拋物線定義可得，，
∴，，
∴m＋n＝mn．
故選：A
例35．（2023春·河南南陽·高二統(tǒng)考期中）如圖所示，，是雙曲線：的左、右焦點，過的直線與的左、右兩支分別交于A，兩點．若，則雙曲線的離心率為（????）

A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】，不妨令，，，
，，
又由雙曲線的定義得：，，
，
，．
在中，，
又，，
雙曲線的離心率．
故選；C
核心考點十二：圓錐曲線與張角問題
【典型例題】
例36．（2023·全國·高三專題練習(xí)）定義：點為曲線外的一點，為上的兩個動點，則取最大值時，叫點對曲線的張角．已知點為拋物線上的動點，設(shè)對圓的張角為，則的最小值為___________．
【答案】
【解析】如圖，，

要使最小，則最大，即需最?。?br /> 設(shè)，則，
∴當，即時，，，
此時或，．
故答案為：．
例37．（2023春·山東·高二山東省實驗中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知橢圓的左、右焦點分別為，，點P在C上，直線PF2與y軸交于點Q，點P在線段上，的內(nèi)切圓的圓心為，若為正三角形，則=___________，C的離心率的取值范圍是___________．
【答案】???? ????
【解析】設(shè)為上頂點，點位于第一象限，作交橢圓于點，則如圖所示：
依題意得
依題意得點位于點與之間，故
所以，則
化為，解得
故答案為：，

核心考點十三：圓錐曲線與角平分線問題
【典型例題】
例38．（2022春·廣東廣州·高二校聯(lián)考期中）已知橢圓的左?右焦點分別為為上不與左?右頂點重合的一點，為的內(nèi)心，且，則的離心率為（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】設(shè)是的中點，連接，如圖，則，由，得
三點共線，．由既是的平分線，又是邊上的中線，得．作軸于點，，且，．
故選：B．

例39．（2023春·遼寧鐵嶺·高二昌圖縣第一高級中學(xué)?？计谥校╇p曲線的左右焦點分別為、，是雙曲線右支上一點，為的內(nèi)心，交軸于點，若，且，則雙曲線的離心率的值為（???????）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因為為的內(nèi)心，所以是三個內(nèi)角角平分線的交點，
在中，根據(jù)角平分線性質(zhì)定理有

，
在中，根據(jù)角平分線性質(zhì)定理有
，，
故選：B
例40．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓的兩個焦點，與短軸的兩個端點，都在圓上，是上除長軸端點外的任意一點，的平分線交的長軸于點，則的取值范圍是（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由橢圓的兩個焦點，與短軸的兩個端點，都在圓上，得，則，所以橢圓的方程為，故，，
由的平分線交長軸于點，顯然，，
又，
所以，，即，
由，，得，
設(shè)，則，而，
即，也就是，所以，
所以，，
所以．
故選：B．

核心考點十四：圓錐曲線與通徑問題
【典型例題】
例41．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標系中，以點，為焦點的動橢圓與雙曲線的右支有公共點，則橢圓通徑的最小值為______．
【答案】
【解析】依題意知，為雙曲線的右焦點，設(shè)雙曲線的左焦點為，則，
設(shè)點為兩曲線的交點，則由雙曲線及橢圓的定義可知，
，，
則，所以有．
所以橢圓的通徑為，這里，
所以由函數(shù)的單調(diào)性可知，當時，橢圓的通徑最小，最小值為．
故答案為：．
例42．（2023·全國·高三專題練習(xí)）過拋物線的焦點的直線與交于兩點，且，的準線與軸交于，的面積為，則的通徑長為___________．
【答案】
【解析】設(shè)過拋物線的焦點的直線方程為，
與拋物線方程聯(lián)立得：，
設(shè)，
由根與系數(shù)的關(guān)系得：，
又因為，
所以，
解得，
所以，
即，
解得，
所以，
所以的通徑長為8
故答案為：8
例43．（2023·全國·高三專題練習(xí)）過雙曲線的焦點與雙曲線實軸垂直的直線被雙曲線截得的線段的長稱為雙曲線的通徑，其長等于（、分別為雙曲線的實半軸長與虛半軸長）．已知雙曲線（）的左、右焦點分別為、，若點是雙曲線上位于第四象限的任意一點，直線是雙曲線的經(jīng)過第二、四象限的漸近線，于點，且的最小值為3，則雙曲線的通徑為__________．
【答案】
【解析】

如圖所示，連接，由雙曲線的定義知，當且僅當三點共線時取得最小值，此時，由到直線的距離，，由定義知通徑等于，
故答案為：．
核心考點十五：圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)問題
【典型例題】
例44．（2023·全國·高三專題練習(xí)）橢圓有這樣的光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個焦點出發(fā)的光線，經(jīng)橢圓反射后，反射光線經(jīng)過橢圓的另一個焦點，今有一個水平放置的橢圓形臺球盤，點、是它的焦點，長軸長為，焦距為，靜放在點的小球（小球的半徑不計），從點沿直線出發(fā)，經(jīng)橢圓壁反彈后第一次回到點時，小球經(jīng)過的路程是（　?。?br /> A． B． C． D．以上答案均有可能
【答案】D
【解析】當小球沿有向線段AB方向運動時，小球經(jīng)過的路程是；當小球沿有向線段BA方向運動時，小球經(jīng)過的路程是；當小球沿除有向線段AB和BA方向運動時，小球經(jīng)過的路程是，故選D．
例45．（2023·全國·高三專題練習(xí)）雙曲線的光學(xué)性質(zhì)為：從雙曲線一個焦點發(fā)出的光，經(jīng)過反射后，反射光線的反向延長線都匯聚到雙曲線的另一個焦點上，若雙曲線E的焦點分別為，，經(jīng)過且與垂直的光線經(jīng)雙曲線E反射后，與成45°角，則雙曲線E的離心率為（????）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由題意得：，則，將代入到，，即，故，即，同除以得：，解得：或（舍去）

故選：B
例46．（2023·全國·高三專題練習(xí)）拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：由其焦點射出的光線經(jīng)拋物線反射后，沿平行于拋物線對稱軸的方向射出；反之，平行于拋物線對稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過拋物線的焦點．已知拋物線，一條平行于x軸的光線從點射入，經(jīng)過上的點反射后，再經(jīng)上另一點反射后，沿直線射出，則（????）
A．7 B． C． D．
【答案】D
【解析】由題意可知，軸，
又光線從點射入，經(jīng)過上的點，
所以，
又拋物線的焦點為，所以直線的方程為，即，
聯(lián)立方程，整理可得，所以或
所以，所以．
故選：D．
核心考點十六：圓錐曲線與四心問題
【典型例題】
例47．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓：，過其左焦點作直線l交橢圓于P，A兩點，取P點關(guān)于x軸的對稱點B．若G點為的外心，則（????）
A．2 B．3 C．4 D．以上都不對
【答案】C
【解析】根據(jù)題意可得，顯然直線的斜率存在，故可設(shè)其方程為，
聯(lián)立橢圓方程可得：，設(shè)，
故，，，
故，
設(shè)的中點為，則其坐標為，
顯然軸垂直平分，故可設(shè)，又直線方程為：，
令，解得，故，
故．
故選：C．
例48．（2023·全國·高三專題練習(xí)）雙曲線的漸近線與拋物線交于點，若拋物線的焦點恰為的內(nèi)心，則雙曲線的離心率為（????）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】作出雙曲線與拋物線的大致圖像，
如圖：

雙曲線的漸近線方程為：，即，
聯(lián)立，解得或，
當時，則，
所以焦點到的距離為，
焦點到漸近線的距離為，
所以，整理可得，
即，整理可得，
兩邊同除以可得，
，
又，即，解得．
故選：D
例49．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知雙曲線：的左、右焦點分別是，，是雙曲線右支上一點，且，和分別是的內(nèi)心和重心，若與軸平行，則雙曲線的離心率為（????）
A． B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】如圖所示：

由題意得：，
則，
由圓的切線長定理和雙曲線的定義得，
所以，則，
因為與軸平行，
所以，即，
則，即，
解得，
故選：B
例50．（2023·全國·高三專題練習(xí)）記橢圓：的左右焦點為，，過的直線交橢圓于，，，處的切線交于點，設(shè)的垂心為，則的最小值是（????）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】橢圓的左右焦點為，，
由題意，易知直線的斜率存在，（若斜率不存在，則三點共線，不能構(gòu)成三角形），設(shè)直線的方程為，，，
對兩邊同時求關(guān)于的導(dǎo)數(shù)，得，則，
則橢圓在點處的切線斜率為，
則橢圓在點處的切線方程為，
即，即；
同理，橢圓在點處的切線方程為，
由得，
則，
所以，即；
又的垂心為，則，，
即軸，則的橫坐標也為，記的縱坐標為，
由得，所以，則，
因此，
因為過點，所以直線與橢圓必有兩個交點，故且，
則，
當且僅當，即時，等號成立．
故選：D．

【新題速遞】
一、單選題
1．（2023春·福建泉州·高三階段練習(xí)）已知橢圓：的左右頂點分別為，，圓的方程為，動點在曲線上運動，動點在圓上運動，若的面積為，記的最大值和最小值分別為和，則的值為（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】橢圓：中，，設(shè)，因的面積為，
則，解得或，當時，，當時，，
即點或或或，
圓圓心，半徑，
此時或或或，顯然，
又點在圓上運動，則有，
此時點，，此時，
即，所以．
故選：B
2．（2023·河南鄭州·高三階段練習(xí)）公元年，唐代李淳風注《九章算術(shù)》時提到祖暅的開立圓術(shù)．祖暅在求球體積時，使用一個原理：“冪勢既同，則積不容異”．“冪”是截面積，“勢”是立體的高．意思是兩個同高的幾何體，如在等高處的截面面積相等﹐則體積相等．更詳細點說就是，界于兩個平行平面之間的兩個立體，被任一平行于這兩個平面的平面所截，如果兩個截面的面積相等，則這兩個幾何體的體積相等．上述原理在中國被稱為祖暅原理，國外則一般稱之為卡瓦列利原理．已知將雙曲線與直線圍成的圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周得到一個旋轉(zhuǎn)體，則旋轉(zhuǎn)體的體積是（????）

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】與雙曲線的交點為、，

則用垂直于軸的平面截旋轉(zhuǎn)體的截面為圓面，截面圓的半徑為，截面面積為，
與雙曲線的漸近線的交點為，
所以是用垂直于軸的平面截兩條漸近線繞軸旋轉(zhuǎn)得到的旋轉(zhuǎn)體的截面面積，
，繞軸旋轉(zhuǎn)得到的旋轉(zhuǎn)體（兩個圓錐）的體積為，
用垂直于軸的平面去截旋轉(zhuǎn)體，所得圓環(huán)的面積為，
因為底面半徑為，高為的圓柱的截面面積為，體積為，
所以根據(jù)祖暅原理得旋轉(zhuǎn)體的體積為，
故選：D．
3．（2023·廣西南寧·南寧二中?？家荒＃┰O(shè)是雙曲線的左、右兩個焦點，O為坐標原點，點P在C上且，則的面積為（????）
A．5 B．8 C．10 D．12
【答案】A
【解析】由題可知，，且．
因為，
所以．
所以點P在以為直徑的圓上，
即是以P為直角頂點的直角三角形．
故，即．
又，
所以，
解得，
所以，
則的面積為5，
故選：A．

4．（2023·全國·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在平面直角坐標系中，已知點，，動點滿足，過點的直線與動點的軌跡交于，兩點，記點的軌跡的對稱中心為，則當面積取最大值時，直線的方程是（????）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】設(shè)，由得，
化簡得的軌跡方程為，所以點，
設(shè)點到的距離為，則，
所以的面積，
等號成立時，即面積最大時，點到直線的距離為，
故直線不垂直于軸，設(shè)直線方程為，
即，則，
解得，所以直線方程為．
故選：A
5．（2023春·北京大興·高三?？茧A段練習(xí)）數(shù)學(xué)美的表現(xiàn)形式不同于自然美或藝術(shù)美那樣直觀，它蘊藏于特有的抽象概念，公式符號，推理論證，思維方法等之中，揭示了規(guī)律性，是一種科學(xué)的真實美．平面直角坐標系中，曲線就是一條形狀優(yōu)美的曲線，對于此曲線，給出如下結(jié)論：
①曲線圍成的圖形的面積是；
②曲線上的任意兩點間的距離不超過2；
③若是曲線上任意一點，則的最小值是1．
其中正確結(jié)論的個數(shù)為（????）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解析】當且時，曲線的方程可化為；
當且時，曲線的方程可化為；
當且時，曲線的方程可化為；
當且時，曲線的方程可化為，
曲線的圖像如圖所示；
由圖可知，曲線所圍成的面積為四個半圓的面積與邊長為的正方形的面積之和，
從而曲線所圍成的面積，故①正確；
過原點且連接兩個半圓圓心、的直線交曲線于、兩點，如下圖所示：

則，
所以，，故命題②錯誤；
因為到直線的距離為，
所以，
當最小時，易知在曲線的第一象限內(nèi)的圖象上，
因為曲線的第一象限內(nèi)圖象是圓心為，半徑的半圓，
所以圓心到直線的距離，
所以，
所以的最小值為，故③正確．
故選：C
6．（2023春·重慶·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知點P為拋物線上一動點，點Q為圓上一動點，點F為拋物線的焦點，點P到y(tǒng)軸的距離為d，若的最小值為2，則（????）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如圖所示：

易知圓的圓心，半徑，
拋物線焦點，準線方程，
由拋物線的定義可知：點P到y(tǒng)軸的距離，
所以，
由圖可知：當共線，且在線段之間時，最短，
而，故有，
即，解得：．
故選：D
7．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖所示，，是雙曲線：（，）的左、右焦點，的右支上存在一點滿足，與的左支的交點滿足，則雙曲線的離心率為（????）

A．3 B． C． D．
【答案】C
【解析】在中，由正弦定理得：①，
在中，由正弦定理得：②，
又，則，
所以得：，
又，則，即；
設(shè)（），由雙曲線的定義得：，，，
由得：，解得：，
所以，，
在中，由勾股定理得：，
整理得：，即雙曲線的離心率，
故選：C．
8．（2023·北京·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標系中，是直線上的兩點，且．若對于任意點，存在使成立，則的最大值為（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】設(shè)，則，滿足，
則點P在圓上，
又存在，使成立，則點P又在以為直徑的圓上，
P是圓上任意一點，，是直線上的兩點，
則應(yīng)滿足圓上點到直線的最遠距離小于等于5，
原點到直線的距離為，
則只需滿足，解得．
故選：B．
9．（2023·全國·高三專題練習(xí)）用平面截圓柱面，當圓柱的軸與所成角為銳角時，圓柱面的截線是一個橢圓．著名數(shù)學(xué)家Dandelin創(chuàng)立的雙球?qū)嶒炞C明了上述結(jié)論．如圖所示，將兩個大小相同的球嵌入圓柱內(nèi)，使它們分別位于的上方和下方，并且與圓柱面和均相切．給出下列三個結(jié)論：

①兩個球與的切點是所得橢圓的兩個焦點；
②橢圓的短軸長與嵌入圓柱的球的直徑相等；
③當圓柱的軸與所成的角由小變大時，所得橢圓的離心率也由小變大．
其中，所有正確結(jié)論的序號是（????）
A．① B．②③ C．①② D．①③
【答案】C
【解析】如圖：

在橢圓上任意一點P作平行于 的直線，與球 交于F點，與球 交于E點，
則 ， 是過點P作球 的兩條公切線， ，同理 ，
，是定值，所以 是橢圓的焦點；①正確；
由以上的推導(dǎo)可知：??， ，
平面 ， 是直角三角形， ，即 ， ，②正確；
就是平面 與軸線的夾角 ，在 中，橢圓的離心率 ，
由余弦函數(shù)的性質(zhì)可知當銳角 變大時， 變小，③錯誤；
故選：C．
10．（2023春·內(nèi)蒙古赤峰·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知圓和圓相交于A，B兩點，下列說法中錯誤的是（????）．
A．圓O與圓M有兩條公切線
B．圓O與圓M關(guān)于直線對稱
C．線段的長為
D．E，F(xiàn)分別是圓O和圓M上的點，則的最大值為
【答案】C
【解析】由題可知圓圓心為，半徑為，圓化簡得，即圓心為，半徑為，作出圖形，
圓心距為，，故兩圓相交，圓O與圓M有兩條公切線，A項正確；
兩圓半徑相等，故關(guān)于相交弦對稱，故B項正確；
兩圓方程作差可得，設(shè)中點為，作的垂直平分線交兩圓于，由幾何關(guān)系可知，圓心到直線距離為，
則，故C項錯誤；
由圖可知，兩點連線恰好垂直于時，此時距離最大，，故D項正確．
故選：C

二、多選題
11．（2023·全國·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知是拋物線的焦點，是拋物線上的兩點，為坐標原點，則

（ ?????）
A．若軸，則 B．若，則的面積為
C．長度的最小值為 D．若，則
【答案】ABD
【解析】對于A，由拋物線方程知：，則，，A正確；
對于B，，，，解得：，
，B正確；
對于C，當，時，，
最小值不是，C錯誤；
對于D，設(shè)，，
由知：，即，解得：（舍）或，，
，
（當且僅當時取等號），，D正確．
故選：ABD．
12．（2023·江蘇蘇州·蘇州中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知橢圓的左，右焦點分別為，長軸長為4，點在橢圓外，點在橢圓上，則（????）
A．橢圓的離心率的取值范圍是
B．當橢圓的離心率為時，的取值范圍是
C．存在點使得
D．的最小值為2
【答案】ABC
【解析】由題意得，又點在橢圓外，則，解得，
所以橢圓的離心率，即橢圓的離心率的取值范圍是，故A正確；
當時，，，所以的取值范圍是，即，故B正確；
設(shè)橢圓的上頂點為，，，由于，
所以存在點使得，故C正確；
，
當且僅當時，等號成立，
又，
所以，故D不正確．
故選：ABC
13．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知為坐標原點，拋物線：（）的焦點為，過點的直線交拋物線于，兩點，點為拋物線上的動點，則（????）
A．的最小值為
B．的準線方程為
C．
D．當時，點到直線的距離的最大值為
【答案】BCD
【解析】對于A、B，由拋物線的焦點，則，即，其準線方程為，
設(shè)點到準線的距離為，則，
設(shè)點到準線的距離為，易知，如下圖：

故A錯誤，B正確；
對于C，由題意可知，過點的直線可設(shè)為，代入拋物線，可得，
設(shè)，則，
，
將代入上式，可得，故C正確；
對于D，由C可得直線的方程為，可設(shè)直線的方程為，
易知點到直線的距離等于兩平行線與的距離，
令，，
當時，，當時，，
則在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
由當時，，當時，，則，，可得，故D正確．
故選：BCD．
14．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知拋物線的焦點為，，是拋物線上兩點，則下列結(jié)論正確的是（????）
A．點的坐標為
B．若直線過點，則
C．若，則的最小值為
D．若，則線段的中點到軸的距離為
【答案】BCD
【解析】拋物線，即，
對于A，由拋物線方程知其焦點在軸上，焦點為，故A錯誤；
對于B，依題意，直線斜率存在，設(shè)其方程為，
由，消去整理得，，，故B正確；
對于C，若，則直線過焦點，
所以，
所以當時，
的最小值為拋物線的通徑長，故C正確；
對于D，，，即點縱坐標為，
到軸的距離為，故D正確．
故選：BCD．
三、填空題
15．（2023春·甘肅蘭州·高三蘭化一中?？茧A段練習(xí)）已知拋物線C：y2=2px（p>0）的焦點F與橢圓的右焦點重合，點M是拋物線C的準線上任意一點，直線MA，MB分別與拋物線C相切于點A，B．設(shè)直線MA，MB的斜率分別為______
【答案】
【解析】由橢圓的方程得，右焦點為，所以拋物線的焦點為，所以，，所以拋物線方程為，準線方程為．

設(shè)，設(shè)過點的直線方程為，與拋物線聯(lián)立，消去得，令其，得，則直線MA，MB的斜率為的兩個根，有韋達定理得．
故答案為：
16．（2023·全國·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知雙曲線的離心率，直線交雙曲線于點，，為坐標原點且，則雙曲線實軸長的最小值是__________．
【答案】
【解析】聯(lián)立化簡得，
設(shè)，，則，，
由，則，
即，化簡得，，，解得，所以實軸長最小值為．
故答案為：
17．（2023春·重慶·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知圓與圓相交于A，B兩點，則________．
【答案】
【解析】兩方程作差：，化簡得，
，．
故答案為：．
18．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知拋物線C：（）的準線方程為，焦點為F，準線與x軸的交點為A?B為拋物線C上一點，且滿足，則點F到的距離為______．
【答案】
【解析】準線方程為，故，拋物線方程為，焦點，
不妨設(shè)，，，即，
化簡得到，
根據(jù)等面積法，點F到的距離為
．
故答案為：
19．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知實數(shù)x，y滿足：，則的取值范圍是______．
【答案】
【解析】解法一：因為，所以令，，
則，，
故，其中，，因為，
所以，
所以，
故的取值范圍為．
解法二：因為圓心到直線的距離，
所以圓心上的點到直線的距離的取值范圍為，
又因為，
所以的取值范圍是．
故答案為：．
20．（2023·江蘇蘇州·蘇州中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知拋物線：，圓：，在拋物線上任取一點，向圓作兩條切線和，切點分別為，，則的取值范圍是______ ．
【答案】
【解析】

由已知，，．
如圖，設(shè)點，則，
，
在中，有
，
易知，則，
則，
因為，，所以當時，取得最大值，
又，所以，．
所以，的取值范圍是．
故答案為：．



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