?專題07 立體幾何小題?？既珰w類
【命題規(guī)律】
高考對(duì)該部分的考查，小題主要體現(xiàn)在兩個(gè)方面：一是有關(guān)空間線面位置關(guān)系的命題的真假判斷；二是常見(jiàn)一些經(jīng)典常考?jí)狠S小題，難度中等或偏上．
【核心考點(diǎn)目錄】
核心考點(diǎn)一：球與截面面積問(wèn)題
核心考點(diǎn)二：體積、面積、周長(zhǎng)、角度、距離定值問(wèn)題
核心考點(diǎn)三：體積、面積、周長(zhǎng)、距離最值與范圍問(wèn)題
核心考點(diǎn)四：立體幾何中的交線問(wèn)題
核心考點(diǎn)五：空間線段以及線段之和最值問(wèn)題
核心考點(diǎn)六：空間角問(wèn)題
核心考點(diǎn)七：軌跡問(wèn)題
核心考點(diǎn)八：以立體幾何為載體的情境題
核心考點(diǎn)九：翻折問(wèn)題

【真題回歸】
1．（2022·北京·高考真題）已知正三棱錐的六條棱長(zhǎng)均為6，S是及其內(nèi)部的點(diǎn)構(gòu)成的集合．設(shè)集合，則T表示的區(qū)域的面積為（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】

設(shè)頂點(diǎn)在底面上的投影為，連接，則為三角形的中心，
且，故.
因?yàn)?，故?br /> 故的軌跡為以為圓心，1為半徑的圓，
而三角形內(nèi)切圓的圓心為，半徑為，
故的軌跡圓在三角形內(nèi)部，故其面積為
故選：B
2．（2022·浙江·高考真題）如圖，已知正三棱柱，E，F(xiàn)分別是棱上的點(diǎn)．記與所成的角為，與平面所成的角為，二面角的平面角為，則（????）

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如圖所示，過(guò)點(diǎn)作于，過(guò)作于，連接，

則，，，
，，，
所以，
故選：A．
3．（多選題）（2022·全國(guó)·高考真題）如圖，四邊形為正方形，平面，，記三棱錐，，的體積分別為，則（????）

A． B．
C． D．
【答案】CD
【解析】

設(shè)，因?yàn)槠矫?，，則，
，連接交于點(diǎn)，連接，易得，
又平面，平面，則，又，平面，則平面，
又，過(guò)作于，易得四邊形為矩形，則，
則，，
，則，，，
則，則，，，故A、B錯(cuò)誤；C、D正確.
故選：CD.
4．（多選題）（2022·全國(guó)·高考真題）已知正方體，則（????）
A．直線與所成的角為 B．直線與所成的角為
C．直線與平面所成的角為 D．直線與平面ABCD所成的角為
【答案】ABD
【解析】如圖，連接、，因?yàn)?，所以直線與所成的角即為直線與所成的角，
因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，則，故直線與所成的角為，A正確；

連接，因?yàn)槠矫妫矫?，則，
因?yàn)?，，所以平面?br /> 又平面，所以，故B正確；
連接，設(shè)，連接，
因?yàn)槠矫?，平面，則，
因?yàn)?，，所以平面?br /> 所以為直線與平面所成的角，
設(shè)正方體棱長(zhǎng)為，則，，，
所以，直線與平面所成的角為，故C錯(cuò)誤；
因?yàn)槠矫?，所以為直線與平面所成的角，易得，故D正確.
故選：ABD
5．（多選題）（2021·全國(guó)·高考真題）在正三棱柱中，，點(diǎn)滿足，其中，，則（????）
A．當(dāng)時(shí)，的周長(zhǎng)為定值
B．當(dāng)時(shí)，三棱錐的體積為定值
C．當(dāng)時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)，使得
D．當(dāng)時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)，使得平面
【答案】BD
【解析】

易知，點(diǎn)在矩形內(nèi)部（含邊界）．
對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，即此時(shí)線段，周長(zhǎng)不是定值，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，故此時(shí)點(diǎn)軌跡為線段，而，平面，則有到平面的距離為定值，所以其體積為定值，故B正確．
對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，取，中點(diǎn)分別為，，則，所以點(diǎn)軌跡為線段，不妨建系解決，建立空間直角坐標(biāo)系如圖，，，，則，，，所以或．故均滿足，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，取，中點(diǎn)為．，所以點(diǎn)軌跡為線段．設(shè)，因?yàn)?，所以，，所以，此時(shí)與重合，故D正確．
故選：BD．
6．（2020·海南·高考真題）已知直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的棱長(zhǎng)均為2，∠BAD=60°．以為球心，為半徑的球面與側(cè)面BCC1B1的交線長(zhǎng)為_(kāi)_______．
【答案】.
【解析】如圖：

取的中點(diǎn)為，的中點(diǎn)為，的中點(diǎn)為，
因?yàn)?0°，直四棱柱的棱長(zhǎng)均為2，所以△為等邊三角形，所以，，
又四棱柱為直四棱柱，所以平面，所以，
因?yàn)?，所以?cè)面，
設(shè)為側(cè)面與球面的交線上的點(diǎn)，則，
因?yàn)榍虻陌霃綖?，，所以?br /> 所以側(cè)面與球面的交線上的點(diǎn)到的距離為，
因?yàn)?，所以?cè)面與球面的交線是扇形的弧，
因?yàn)?，所以?br /> 所以根據(jù)弧長(zhǎng)公式可得.
故答案為：.

【方法技巧與總結(jié)】
1、幾類空間幾何體表面積的求法
（1）多面體：其表面積是各個(gè)面的面積之和．
（2）旋轉(zhuǎn)體：其表面積等于側(cè)面面積與底面面積的和．
（3）簡(jiǎn)單組合體：應(yīng)弄清各構(gòu)成部分，并注意重合部分的刪、補(bǔ)．
2、幾類空間幾何體體積的求法
（1）對(duì)于規(guī)則幾何體，可直接利用公式計(jì)算．
（2）對(duì)于不規(guī)則幾何體，可采用割補(bǔ)法求解；對(duì)于某些三棱錐，
有時(shí)可采用等體積轉(zhuǎn)換法求解．
（3）錐體體積公式為，在求解錐體體積時(shí)，不能漏掉
3、求解旋轉(zhuǎn)體的表面積和體積時(shí)，注意圓柱的軸截面是矩形，圓
錐的軸截面是等腰三角形，圓臺(tái)的軸截面是等腰梯形．
4、球的截面問(wèn)題
球的截面的性質(zhì)：
①球的任何截面是圓面；
②球心和截面（不過(guò)球心）圓心的連線垂直于截面；
③球心到截面的距離與球的半徑及截面的半徑的關(guān)系為．
注意：解決球與其他幾何體的切、接問(wèn)題，關(guān)鍵在于仔細(xì)觀察、分析，弄清相關(guān)元素的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系；選準(zhǔn)最佳角度作出截面（要使這個(gè)截面盡可能多地包含球、幾何體的各種元素以及體現(xiàn)這些元素之間的關(guān)系），達(dá)到空間問(wèn)題平面化的目的．
5、立體幾何中的最值問(wèn)題有三類：一是空間幾何體中相關(guān)的點(diǎn)、線和面在運(yùn)動(dòng)，求線段長(zhǎng)度、截面的面積和體積的最值；二是空間幾何體中相關(guān)點(diǎn)和線段在運(yùn)動(dòng)，求有關(guān)角度和距離的最值；三是在空間幾何體中，已知某些量的最值，確定點(diǎn)、線和面之間的位置關(guān)系．
6、解決立體幾何問(wèn)題的思路方法：一是幾何法，利用幾何體的性質(zhì)，探求圖形中點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系；二是代數(shù)法，通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系，利用點(diǎn)的坐標(biāo)表示所求量的目標(biāo)函數(shù)，借助函數(shù)思想方法求最值；通過(guò)降維的思想，將空間某些量的最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面三角形、四邊形或圓中的最值問(wèn)題；涉及某些角的三角函數(shù)的最值，借助模型求解，如正四面體模型、長(zhǎng)方體模型和三余弦角模（為平面的斜線與平面內(nèi)任意一條直線所成的角，為該斜線與該平面所成的角，為該斜線在平面上的射影與直線所成的角）．
7、立體幾何中的軌跡問(wèn)題，這是一類立體幾何與解析幾何的交匯題型，既考查學(xué)生的空間想象能力，即點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系，又考查用代數(shù)方法研究軌跡的基本思想，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象等素養(yǎng)．
8、解決立體幾何中的軌跡問(wèn)題有兩種方法：一是幾何法．對(duì)于軌跡為幾何體的問(wèn)題，要抓住幾何體中的不變量，借助空間幾何體（柱、錐、臺(tái)、球）的定義；對(duì)于軌跡為平面上的問(wèn)題，要利用降維的思想，熟悉平面圖形（直線、圓、圓錐曲線）的定義．二是代數(shù)法（解析法）．在圖形中，建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系或平面直角坐標(biāo)系．
9、以立體幾何為載體的情境題大致有三類：
（1）以數(shù)學(xué)名著為背景設(shè)置問(wèn)題，涉及中外名著中的數(shù)學(xué)名題名人等；
（2）以數(shù)學(xué)文化為背景設(shè)置問(wèn)題，包括中國(guó)傳統(tǒng)文化，中外古建筑等；
（3）以生活實(shí)際為背景設(shè)置問(wèn)題，涵蓋生產(chǎn)生活、勞動(dòng)實(shí)踐、文化精神等．
10、以立體幾何為載體的情境題都跟圖形有關(guān)，涉及在具體情境下的圖形閱讀，需要通過(guò)數(shù)形結(jié)合來(lái)解決問(wèn)題．圖形怎么閱讀?一是要讀特征，即從圖形中讀出圖形的基本特征；二是要讀本質(zhì)，即要善于將所讀出的信息進(jìn)行提升，實(shí)現(xiàn)“圖形→文字→符號(hào)”的轉(zhuǎn)化；三是要有問(wèn)題意識(shí)，帶著問(wèn)題閱讀圖形，將研究圖形的本身特征和關(guān)注題目要解決的問(wèn)題有機(jī)地融合在一起；四是要有運(yùn)動(dòng)觀點(diǎn)，要“動(dòng)手”去操作，動(dòng)態(tài)地去閱讀圖形．
【核心考點(diǎn)】
核心考點(diǎn)一：球與截面面積問(wèn)題
【規(guī)律方法】
球的截面問(wèn)題
球的截面的性質(zhì)：
①球的任何截面是圓面；
②球心和截面（不過(guò)球心）圓心的連線垂直于截面；
③球心到截面的距離與球的半徑及截面的半徑的關(guān)系為．
【典型例題】
例1．（2022·全國(guó)·高三階段練習(xí)）已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD是矩形，且該四棱錐的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，PA⊥平面ABCD, ，點(diǎn)E在棱PB上，且， 過(guò)E作球O的截面，則所得截面面積的最小值是____________.
【答案】
【解析】如圖，將四棱錐P-ABCD補(bǔ)為長(zhǎng)方體，則此長(zhǎng)方體與四棱錐的外接球均為球O，
則球O半徑.O位于PC中點(diǎn)處.
因底面ABCD是矩形，則.因PA⊥平面ABCD，平面ABCD，則，又平面PAB，AB平面PAB，，則平面PAB.
因PB平面PAB，則.取PB的中點(diǎn)為F，
則，..
因，則，得.
則在直角三角形OEF中，.
當(dāng)EO與截面垂直時(shí)，截面面積最小，
則截面半徑為.
故截面面積為.
故答案為：

例2．（2022·湖北省紅安縣第一中學(xué)高三階段練習(xí)）球體在工業(yè)領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用，某零件由兩個(gè)球體構(gòu)成，球的半徑為為球表面上兩動(dòng)點(diǎn)，為線段的中點(diǎn).半徑為2的球在球的內(nèi)壁滾動(dòng)，點(diǎn)在球表面上，點(diǎn)在截面上的投影恰為的中點(diǎn)，若，則三棱錐體積的最大值是___________.
【答案】15
【解析】如圖一所示：


在圓中，因?yàn)辄c(diǎn)在截面上的投影恰為的中點(diǎn)，且，
所以為直角三角形，且，
又因?yàn)椋?br /> 所以可得，
設(shè)，
則有，
所以，
所以，當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
所以；
如圖二所示：

因?yàn)榍虻陌霃綖?，為線段的中點(diǎn)，
所以，
當(dāng)三點(diǎn)共線且為如圖所示的位置時(shí)，點(diǎn)為到平面的距離最大，
即此時(shí)三棱錐的高最大，此時(shí),
所以此時(shí),
即三棱錐體積的最大值是15.
故答案為：15.
例3．（2022·江西·高三階段練習(xí)（理））如圖，正方體的棱長(zhǎng)為6，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，則過(guò)，，三點(diǎn)的平面截該正方體所得截面的面積為_(kāi)________．

【答案】
【解析】如圖，過(guò)點(diǎn)作，連接，

由面面平行的性質(zhì)可得：四邊形為平行四邊形，
又因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為6，，
點(diǎn)是的中點(diǎn)，所以點(diǎn)，所以，
因?yàn)槠叫兴倪呅蔚母邽椋?br /> 所以，
故答案為：.
例4．（2022·北京市十一學(xué)校高三階段練習(xí)）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，分別是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，給出下列四個(gè)結(jié)論：

①平面截正方體所得的截面圖形是五邊形；
②直線到平面的距離是；
③存在點(diǎn)，使得；
④面積的最小值是．
其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是__________．
【答案】①③④
【解析】對(duì)于①，如圖直線與的延長(zhǎng)線分別交于,連接分別交于,連接，

則五邊形即為所求的截面圖形，故①正確；
對(duì)于②，由題知，平面，平面，
所以平面，
所以點(diǎn)到平面的距離即為直線到平面的距離，

設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，由正方體的棱長(zhǎng)為2可得，
，，
所以，
，
所以由，可得，
所以直線到平面的距離是，故②錯(cuò)誤；
對(duì)于③，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，

則，
設(shè)，
所以，
又因?yàn)椋?br /> 所以，
所以，
假設(shè)存在點(diǎn)使得，
所以，
整理得，
所以（舍去），或，
所以存在點(diǎn)使得，故③正確；
對(duì)于④，由③知，
所以點(diǎn)在的射影為，
所以點(diǎn)到的距離為
，
當(dāng)時(shí)，，
所以面積的最小值是，故④正確；
故答案為：①③④
核心考點(diǎn)二：體積、面積、周長(zhǎng)、角度、距離定值問(wèn)題
【規(guī)律方法】
幾類空間幾何體體積的求法
（1）對(duì)于規(guī)則幾何體，可直接利用公式計(jì)算．
（2）對(duì)于不規(guī)則幾何體，可采用割補(bǔ)法求解；對(duì)于某些三棱錐，
有時(shí)可采用等體積轉(zhuǎn)換法求解．
（3）錐體體積公式為，在求解錐體體積時(shí)，不能漏掉
【典型例題】
例5．（2022·河南省實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一期中）如圖，在正方體中，，，分別為，的中點(diǎn)，，分別為棱，上的動(dòng)點(diǎn)，則三棱錐的體積（???????）

A．存在最大值，最大值為 B．存在最小值，最小值為
C．為定值 D．不確定，與，的位置有關(guān)
【解析】如下圖，連接，在正方體中，，分別為，的中點(diǎn)，可得，，所以當(dāng)在棱移動(dòng)時(shí)，到平面的距離為定值，當(dāng)在棱移動(dòng)時(shí)，到的距離為定值，所以為定值，則三棱錐的體積為定值．平面即平面，作，由于，可得平面MABN，由，可得，而，．
故選：C．

例6．（2022·山西運(yùn)城·模擬預(yù)測(cè)（文））如圖，正方體的棱長(zhǎng)為1，線段上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)E，F(xiàn)，且，點(diǎn)P，Q分別為的中點(diǎn)，G在側(cè)面上運(yùn)動(dòng)，且滿足G∥平面，以下命題錯(cuò)誤的是（　?。?br />
A．
B．多面體的體積為定值
C．側(cè)面上存在點(diǎn)G，使得
D．直線與直線BC所成的角可能為
【解析】對(duì)A：連接，作圖如下：

因?yàn)闉檎襟w，故可得//，又，與是同一條直線，
故可得，則，故A正確；
對(duì)B：根據(jù)題意，，且線段在上運(yùn)動(dòng)，且點(diǎn)到直線的距離不變，
故△的面積為定值，又點(diǎn)到平面的距離也為定值，
故三棱錐的體積為定值，故B正確；
對(duì)C：取的中點(diǎn)分別為，連接，作圖如下：

容易知在△中，//，又//，，
面面，故面//面，
又G在側(cè)面上運(yùn)動(dòng)，且滿足G∥平面，故的軌跡即為線段；
又因?yàn)闉檎襟w，故面面，故，
則當(dāng)與重合時(shí)，，故C正確；
對(duì)D：因?yàn)?/，故直線與所成角即為直線與所成角，即，
在中，，
故，而當(dāng)直線與直線BC所成的角為時(shí)，
，故直線與直線BC所成的角不可能為，故D錯(cuò)誤．
故選：D．
例7．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖所示，在正方體中，過(guò)對(duì)角線的一個(gè)平面交于E，交于F，給出下面幾個(gè)命題：

①四邊形一定是平行四邊形；
②四邊形有可能是正方形；
③平面有可能垂直于平面；
④設(shè)與DC的延長(zhǎng)線交于M，與DA的延長(zhǎng)線交于N，則M?N?B三點(diǎn)共線；
⑤四棱錐的體積為定值．
以上命題中真命題的個(gè)數(shù)為（???????）
A．2 B．3 C．4 D．5
【解析】因?yàn)槠矫媾c平面平行，截面與它們交于，BF，可得，
同樣可得，所以四邊形是一個(gè)平行四邊形，故①正確；
如果四邊形是正方形，則，
因?yàn)椋云矫妫?br /> 又平面，E與A重合，此時(shí)不是正方形，故②錯(cuò)誤；
當(dāng)兩條棱上的交點(diǎn)是中點(diǎn)時(shí)，四邊形為菱形，平面，
此時(shí)四邊形垂直于平面，故③正確；
由與DC的延長(zhǎng)線交于M，可得，且，
又因?yàn)槠矫?，平面ABCD，
所以平面，平面ABCD，
又因?yàn)槠矫?，平面ABCD，
所以平面平面，
同理平面平面，
所以BM，BN都是平面與平面ABCD的交線，
所以B，M，N三點(diǎn)共線，故④正確；
由于，平面，
則E，F(xiàn)到平面的距離相等，且為正方體的棱長(zhǎng)，三角形的面積為定值，
所以四棱錐的體積為定值，故⑤正確．
故選：C．
核心考點(diǎn)三：體積、面積、周長(zhǎng)、距離最值與范圍問(wèn)題
【規(guī)律方法】
幾何法，利用幾何體的性質(zhì)，探求圖形中點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系；二是代數(shù)法，通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系，利用點(diǎn)的坐標(biāo)表示所求量的目標(biāo)函數(shù)，借助函數(shù)思想方法求最值
【典型例題】
例8．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，正方形的中心為正方形的中心，，截去如圖所示的陰影部分后，翻折得到正四棱錐（，，，四點(diǎn)重合于點(diǎn)），則此四棱錐的體積的最大值為（????）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】設(shè)，則所得的棱錐側(cè)面的高為，
棱錐的高為其體積為：

，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
即體積的最大值為，
故選：B.
例9．（2022·江西南昌·三模（理））已知長(zhǎng)方體中，，，，為矩形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)二面角為，直線與平面所成的角為，若，則三棱錐體積的最小值是（???????）
A． B． C． D．
【解析】如圖，作平面，垂足為，再作，垂足為，
連接，由題意可知，，所以，
由拋物線定義可知，的軌跡為拋物線一部分，所以的軌跡為拋物線一部分，
當(dāng)點(diǎn)到線段距離最短時(shí)，三角形面積最小，三棱錐體積最小，
建立如圖所示直角坐標(biāo)系，則直線的方程為，
拋物線的方程為，，
由題意，，得，代入，得，
所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以到直線的最短距離為
，因?yàn)椋?br /> 所以，
所以三棱錐體積的最小值為．
故選：C


例10．（2022·浙江·高三階段練習(xí)）如圖，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為的正方形，，為的中點(diǎn)．過(guò)作截面將此四棱錐分成上?下兩部分，記上?下兩部分的體積分別為，，則的最小值為（???????）

A． B． C． D．
【解析】

過(guò)作平面的垂線，垂足為，連，設(shè)的交點(diǎn)為，在中過(guò)作直線交于兩點(diǎn)，由相交直線確定平面，則四邊形為過(guò)的截面．由計(jì)算可得，得為正三角形，，所以為的重心，設(shè)，由向量運(yùn)算可得，又，可得，所以，由三點(diǎn)共線，得，即，易得到平面的距離為，到平面的距離為1，因?yàn)?，所以，，得，，由，，得，?dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)，所以，即的最小值為．
故選：A．
例11．（2022·河南省實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一期中）如圖，在正方體中，，，分別為，的中點(diǎn)，，分別為棱，上的動(dòng)點(diǎn)，則三棱錐的體積（???????）

A．存在最大值，最大值為 B．存在最小值，最小值為
C．為定值 D．不確定，與，的位置有關(guān)
【解析】如下圖，連接，在正方體中，，分別為，的中點(diǎn)，可得，，所以當(dāng)在棱移動(dòng)時(shí)，到平面的距離為定值，當(dāng)在棱移動(dòng)時(shí)，到的距離為定值，所以為定值，則三棱錐的體積為定值．平面即平面，作，由于，可得平面MABN，由，可得，而，．
故選：C．

核心考點(diǎn)四：立體幾何中的交線問(wèn)題
【規(guī)律方法】
幾何法
【典型例題】
例12．（2022·浙江寧波·一模）在棱長(zhǎng)均相等的四面體ABCD中，P為棱AD（不含端點(diǎn)）上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A的平面α與平面PBC平行．若平面α與平面ABD，平面ACD的交線分別為m，n，則m，n所成角的正弦值的最大值為_(kāi)_________．
【答案】
【解析】過(guò)點(diǎn)A的平面α與平面PBC平行．若平面α與平面ABD，平面ACD的交線分別為m，n，由于平面平面，平面平面,，平面平面 所以,
所以或其補(bǔ)角即為m，n所成的平面角，
設(shè)正四棱錐ABCD的棱長(zhǎng)為1，，則，
在中，由余弦定理得： ，
同理,
故在中，，
由于，則，進(jìn)而，當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
故的最小值為，進(jìn)而，
故的最大值為，
故答案為：

例13．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知一個(gè)正四面體的棱長(zhǎng)為2，則其外接球與以其一個(gè)頂點(diǎn)為球心，1為半徑的球面所形成的交線的長(zhǎng)度為_(kāi)__________.
【答案】
【解析】設(shè)外接球半徑為，外接球球心到底面的距離為，

則，所以，
兩球相交形成形成的圖形為圓，
如圖，在中，，，
在中，，
所以交線所在圓的半徑為，
所以交線長(zhǎng)度為.
故答案為：
例14．（2022·福建福州·三模）已知正方體的棱長(zhǎng)為，以為球心，半徑為2的球面與底面的交線的長(zhǎng)度為_(kāi)__________.
【答案】
【解析】正方體中，平面，所以平面與球的截面是以為圓心的圓，且半徑為，所以球面與底面的交線為以為圓心，1為半徑的弧，該交線為.
故答案為：.

例15．（2022·陜西·武功縣普集高級(jí)中學(xué)高三階段練習(xí)（理））如圖，在四面體中，，，兩兩垂直，，以為球心，為半徑作球，則該球的球面與四面體各面交線的長(zhǎng)度和為_(kāi)__．

【答案】
【解析】因?yàn)?，所以是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，
所以邊長(zhǎng)為的等邊三角形的高為：，所以，
設(shè)到平面的距離為，，所以，
所以，解得，則，
所以以為球心，為半徑的球與平面，平面，平面的交線為個(gè)半徑
為的圓的弧線，與面的交線為一個(gè)圓，且圓的半徑為，
所以交線總長(zhǎng)度為：.
故答案為：.
核心考點(diǎn)五：空間線段以及線段之和最值問(wèn)題
【規(guī)律方法】
幾何法，利用幾何體的性質(zhì)，探求圖形中點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系；二是代數(shù)法，通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系，利用點(diǎn)的坐標(biāo)表示所求量的目標(biāo)函數(shù)，借助函數(shù)思想方法求最值
【典型例題】
例16．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知正三棱錐的底面邊長(zhǎng)為，外接球表面積為，，點(diǎn)M，N分別是線段AB，AC的中點(diǎn)，點(diǎn)P，Q分別是線段SN和平面SCM上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（???????）
A． B． C． D．
【解析】依題意，，解得，
由是正三角形可知：其外接圓半徑為，
設(shè)點(diǎn)S到平面ABC的距離為h，故，
解得或，
則或（舍去），
故，則，而，故為等腰直角三角形，，
故為等腰直角三角形，，則，
又，故平面SCM，
取CB中點(diǎn)F，連接NF交CM于點(diǎn)O，則，則平面SCM，

故平面SCM，則，
要求最小，首先需PQ最小，此時(shí)可得平面SCM，則；
再把平面SON繞SN旋轉(zhuǎn)，與平面SNA共面，即圖中位置，
當(dāng)共線且時(shí)，的最小值即為的長(zhǎng)，
由為等腰直角三角形，
故，，
∴，即，∴，
可得，，
故選：B．
例17．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在棱長(zhǎng)為3的正方體中，點(diǎn)滿足，點(diǎn)在平面內(nèi)，則的最小值為（???????）
A． B． C． D．
【解析】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸的正方向，
建立空間直角坐標(biāo)系，則，
因?yàn)?，且，則平面，
所以，同理得平面，所以，
而，所以平面，
記與平面交于點(diǎn)，連接，且，
則，易得，
從而得點(diǎn)關(guān)于平面對(duì)稱的點(diǎn)為，
所以的最小值為．
故選：B．

例18．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖所示，在直三棱柱中，，，，P是上的一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（???????）

A． B． C． D．3
【解析】連接，得，以所在直線為軸，將所在平面旋轉(zhuǎn)到平面，


設(shè)點(diǎn)的新位置為，連接，則有．
當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，則即為的最小值．
在三角形ABC中，，，由余弦定理得：，所以，即
在三角形中，，，由勾股定理可得：，且．
同理可求：
因?yàn)?，所以為等邊三角形，所以?br /> 所以在三角形中，，，
由余弦定理得：．
故選B．
核心考點(diǎn)六：空間角問(wèn)題
【規(guī)律方法】
1、用綜合法求空間角的基本數(shù)學(xué)思想主要是轉(zhuǎn)化與化歸，即把空間角轉(zhuǎn)化為平面角，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為三角形的內(nèi)角，然后通過(guò)解三角形求得．求解的一般步驟為：
（1）作圖：作出空間角的平面角．
（2）證明：證明所給圖形是符合題設(shè)要求的．
（3）計(jì)算：在證明的基礎(chǔ)上計(jì)算得出結(jié)果．
簡(jiǎn)稱：一作、二證、三算．
2、用定義作異面直線所成角的方法是“平移轉(zhuǎn)化法”，可固定一條，平移另一條；或兩條同時(shí)平移到某個(gè)特殊的位置，頂點(diǎn)選在特殊的位置上．
3、求直線與平面所成角的常見(jiàn)方法
（1）作角法：作出斜線、垂線、斜線在平面上的射影組成的直角三角形，根據(jù)條件求出斜線與射影所成的角即為所求．
（2）等積法：公式，其中是斜線與平面所成的角，h是垂線段的長(zhǎng)，是斜線段的長(zhǎng)，其中求出垂線段的長(zhǎng)（即斜線上的點(diǎn)到面的距離）既是關(guān)鍵又是難點(diǎn)，為此可構(gòu)造三棱錐，利用等體積法來(lái)求垂線段的長(zhǎng)．
（3）證垂法：通過(guò)證明線面垂直得到線面角為90°．
4、作二面角的平面角常有三種方法
（1）棱上一點(diǎn)雙垂線法：在棱上任取一點(diǎn)，過(guò)這點(diǎn)分別在兩個(gè)面內(nèi)作垂直于棱的射線，這兩條射線所成的角，就是二面角的平面角．
（2）面上一點(diǎn)三垂線法：自二面角的一個(gè)面上一點(diǎn)向另一面引垂線，再由垂足向棱作垂線得到棱上的點(diǎn)（即垂足），斜足與面上一點(diǎn)連線和斜足與垂足連線所夾的角，即為二面角的平面角．
（3）空間一點(diǎn)垂面法：自空間一點(diǎn)作與棱垂直的平面，截二面角得兩條射線，這兩條射線所成的角就是二面角的平面角．
【典型例題】
例19．（2022·浙江金華·高三期末）已知正方體中，為內(nèi)一點(diǎn)，且，設(shè)直線與所成的角為，則的取值范圍為（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如圖1，設(shè)與平面相交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接，
∵平面，平面，則，
，，平面
∴平面，
由平面，則，
同理可證：，
，平面，
∴平面，
∵，由正三棱錐的性質(zhì)可得：為的中心，
連接，
∵為的中點(diǎn)，∴交于點(diǎn)，連接，
由平面，平面，則，即是的高，
設(shè)，，則，且的內(nèi)切圓半徑，
則，，
∵，即，則，
∴點(diǎn)的軌跡是以為圓心，為半徑的圓.

∵平面，平面，則，
∴，
故為底面半徑為，高為的圓錐的母線，如圖2所示，

設(shè)圓錐的母線與底面所成的角，則，
所以，即直線與平面所成的角為.
直線在平面內(nèi)，所以直線與直線所成角的取值范圍為，
因?yàn)?，所以直線與直線所成角的取值范圍為，即，
所以.
故選：C.
例20．（2022·浙江·效實(shí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）在等腰梯形中，，，AC交BD于O點(diǎn)，沿著直線BD翻折成，所成二面角的大小為，則下列選項(xiàng)中錯(cuò)誤的是（????）

A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】等腰梯形中，，,可知：
取中點(diǎn),中點(diǎn)連接,則，,所以為 二面角的平面角，即
設(shè)，則
,
,
因?yàn)樵谏嫌嘞液瘮?shù)單調(diào)遞減，又 ，故A對(duì).


當(dāng)時(shí), 與重合,此時(shí),故C不對(duì).
在翻折的過(guò)程中，角度從減少到
在翻折的過(guò)程中，角度從減少到
BD選項(xiàng)根據(jù)圖形特征及空間關(guān)系，可知正確..
故選:C

例21．（2022·浙江·湖州中學(xué)高三階段練習(xí)）如圖，中，，，，D為AB邊上的中點(diǎn)，點(diǎn)M在線段BD（不含端點(diǎn)）上，將沿CM向上折起至，設(shè)平面與平面ACM所成銳二面角為，直線與平面AMC所成角為，直線MC與平面所成角為，則在翻折過(guò)程中，下列三個(gè)命題中正確的是（????）

①，②，③.
A．① B．①② C．②③ D．①③
【答案】B
【解析】如圖，


設(shè)直線與直線垂直相交于點(diǎn)，在折疊圖里，線段與平面垂直相交于點(diǎn)，，
由圖象知：，，
，
，，，
① ，
，
所以；
② ，
設(shè)，
則，
，
由，
得，
，
則，
由得；
③ ，
則，即，
所以，則.
故選：B
例22．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）已知等邊，點(diǎn)分別是邊上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足，將沿著翻折至點(diǎn)處，如圖所示，記二面角的平面角為，二面角的平面角為，直線與平面所成角為，則（????）

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】在等邊中，取BC邊中點(diǎn)D，連接AD，交EF于O，連接PO，
則，，平面，平面
故平面，又平面，則平面平面
在中，過(guò)P做PM垂直于OD于M，則平面，連接MF，
在等邊中，過(guò)M做MN垂直于AC于N，連接PN.

由，則為二面角的平面角即，
由平面，，則為二面角的平面角即
由平面，則直線與平面所成角，即，
設(shè)，則，，，
，
，
則有，
由
可得，則有，則
又
故，又
故
故選：A
例23．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)三棱錐的底面是正三角形，側(cè)棱長(zhǎng)均相等，P是棱上的點(diǎn)（不含端點(diǎn)），記直線與直線所成的角為，直線與平面所成的角為，二面角的平面角是則三個(gè)角，，中最小的角是（????）
A． B． C． D．不能確定
【答案】B
【解析】如圖，取BC的中點(diǎn) D，作VO⊥平面ABC于點(diǎn)O，
由題意知點(diǎn)O在AD上，且AO=2OD.
作PE//AC，PE交VC于點(diǎn)E，作PF⊥AD于點(diǎn)F，連接BF，則PF⊥平面ABC
取AC的中點(diǎn)M，連接BM，VM，VM交 PE于點(diǎn)H，
連接BH，易知BH⊥PE，
作于點(diǎn)G，連接FG，
由PG⊥AC，PF⊥AC，PGPF=P，
由線面垂直判定定理可得AC⊥平面PGF，又平面PGF
∴??FG⊥AC,
作FN⊥BM于點(diǎn)N.
∵???PG∥VM，PF∥VN
∴???平面PGF∥平面VMB， 又 PH∥FN,
四邊形PFNH為平行四邊形，
所以PH=FN
因此，直線PB 與直線AC所成的角，
直線PB與平面ABC所成的角，
二面角P-AC-B的平面角，
又
又，
∴??
因?yàn)?br />

∴??
綜上所述，中最小角為，故選 B.

核心考點(diǎn)七：軌跡問(wèn)題
【規(guī)律方法】
解決立體幾何中的軌跡問(wèn)題有兩種方法：一是幾何法．對(duì)于軌跡為幾何體的問(wèn)題，要抓住幾何體中的不變量，借助空間幾何體（柱、錐、臺(tái)、球）的定義；對(duì)于軌跡為平面上的問(wèn)題，要利用降維的思想，熟悉平面圖形（直線、圓、圓錐曲線）的定義．二是代數(shù)法（解析法）．在圖形中，建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系或平面直角坐標(biāo)系．
【典型例題】
例24．（2022·北京·昌平一中高三階段練習(xí)）設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，，分別為，的中點(diǎn)，點(diǎn)在正方體的表面上運(yùn)動(dòng)，且滿足，則下列命題：

①點(diǎn)可以是棱的中點(diǎn)；
②點(diǎn)的軌跡是菱形；
③點(diǎn)軌跡的長(zhǎng)度為；
④點(diǎn)的軌跡所圍成圖形的面積為.
其中正確的命題個(gè)數(shù)為（????）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】連接，交于，則為中點(diǎn)，
因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，
由正方體的性質(zhì)可知平面，
所以平面，
因?yàn)槠矫妫?br /> 所以，
過(guò)點(diǎn)作，分別交于，
過(guò)點(diǎn)分別作，分別交于點(diǎn)，連接，
所以，四點(diǎn)共面，且，
所以，四邊形為平行四邊形，
因?yàn)槠矫妫?br /> 所以平面，平面，
所以
所以，四邊形為矩形，
因?yàn)?，平面?br /> 所以平面，
因?yàn)辄c(diǎn)在正方體的表面上運(yùn)動(dòng)，且滿足
所以，當(dāng)面時(shí)，始終有，
所以，點(diǎn)的軌跡是矩形，

如下圖，因?yàn)椋?br /> 所以，，
所以，，
因?yàn)椋?br /> 所以∽，
所以，即，即
所以，，
所以，點(diǎn)不可能是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)的軌跡是矩形，
軌跡長(zhǎng)度為矩形的周長(zhǎng)，
軌跡所圍成圖形的面積為
故正確的命題為③④.個(gè)數(shù)為2個(gè).
故選：B

例25．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知正方體的邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為棱CD，的中點(diǎn)，點(diǎn)P為四邊形內(nèi)（包括邊界）的一動(dòng)點(diǎn)，且滿足平面BEF，則點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)為（????）
A． B．2 C． D．1
【答案】A
【解析】畫(huà)出示意圖如下：

取中點(diǎn)N，取 中點(diǎn)M，連接 ,
則,則四邊形為平行四邊形，所以BE，
連接,則,故MNEF，
又 ，平面 平面BEF,
所以平面BEF平面B1MN，
平面∩平面=MN，所以P點(diǎn)軌跡即為MN，
長(zhǎng)度為；
證明：因?yàn)槠矫鍮EF平面 ，
P點(diǎn)是MN上的動(dòng)點(diǎn)，故平面，
所以平面BEF，滿足題意.
故選：A．
例26．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)（理））如圖，在四棱錐中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，PA⊥平面ABCD，且，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別為棱AB，AD，PC的中點(diǎn)，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（????）

A．AG⊥平面PBD
B．直線FG和直線AC所成的角為
C．過(guò)點(diǎn)E，F(xiàn)，G的平面截四棱錐所得的截面為五邊形
D．當(dāng)點(diǎn)T在平面ABCD內(nèi)運(yùn)動(dòng)，且滿足的面積為時(shí)，動(dòng)點(diǎn)T的軌跡是圓
【答案】D
【解析】可將四棱錐補(bǔ)形成正方體，如圖①，

直線AG即體對(duì)角線，易證平面PDB，A選項(xiàng)正確；
如圖②，取CD的中點(diǎn)H，連接FH，可知，所以
（或其補(bǔ)角）與直線FG和直線AC所成的角相同，在中，
，所以，B選項(xiàng)正確；

如圖③，延長(zhǎng)EF交直線CD于點(diǎn)H，交直線BC于點(diǎn)I，連接GI交PB
于點(diǎn)M，連接GH交PD于點(diǎn)N，則五邊形EFNGM即為平面EFG截
四棱錐所得的截面，C選項(xiàng)正確；

當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以點(diǎn)T到AG的距離為，點(diǎn)T在以AC為軸，底面半徑的圓柱上，又點(diǎn)T在平面ABCD上，所以點(diǎn)T的軌跡是橢圓．D選項(xiàng)錯(cuò)誤．
故選：D
例27．（2022·浙江溫州·高三開(kāi)學(xué)考試）如圖，正方體，P為平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)二面角的大小為，直線與平面所成角的大小為.若，則點(diǎn)P的軌跡是（????）

A．圓 B．拋物線 C．橢圓 D．雙曲線
【答案】D
【解析】連接AC交BD于O，取中點(diǎn),連接
以O(shè)為原點(diǎn),分別以O(shè)A、OB、所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖：

令正方體邊長(zhǎng)為2，則，
面的一個(gè)法向量為，
面的一個(gè)法向量為
則，故二面角的大小為
又二面角的大小，則或
由，，可得
又

整理得
即，是雙曲線.
故選：D
例28．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，正方體中，M為BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)P在底面和側(cè)面上運(yùn)動(dòng)并且使，那么點(diǎn)P的軌跡是（????）

A．兩段圓弧 B．兩段橢圓弧
C．兩段雙曲線弧 D．兩段拋物線弧
【答案】C
【解析】由P點(diǎn)的軌跡實(shí)際是一個(gè)正圓錐面和兩個(gè)平面的交線，
其中這個(gè)正圓錐面的中心軸即為，頂點(diǎn)為A，頂角的一半即為，
以A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，
則，可得，
，
設(shè)與底面所成的角為，
則，所以，
所以該正圓錐面和底面的交線是雙曲線弧，
同理可知，P點(diǎn)在平面的交線是雙曲線弧，
故選：C．

核心考點(diǎn)八：以立體幾何為載體的情境題
【規(guī)律方法】
以立體幾何為載體的情境題都跟圖形有關(guān)，涉及在具體情境下的圖形閱讀，需要通過(guò)數(shù)形結(jié)合來(lái)解決問(wèn)題．圖形怎么閱讀？一是要讀特征，即從圖形中讀出圖形的基本特征；二是要讀本質(zhì)，即要善于將所讀出的信息進(jìn)行提升，實(shí)現(xiàn)“圖形→文字→符號(hào)”的轉(zhuǎn)化；三是要有問(wèn)題意識(shí)，帶著問(wèn)題閱讀圖形，將研究圖形的本身特征和關(guān)注題目要解決的問(wèn)題有機(jī)地融合在一起；四是要有運(yùn)動(dòng)觀點(diǎn)，要“動(dòng)手”去操作，動(dòng)態(tài)地去閱讀圖形．
【典型例題】
例29．（2022·寧夏·平羅中學(xué)高三階段練習(xí)（理））設(shè)P為多面體M的一個(gè)頂點(diǎn)，定義多面體M在P處的離散曲率為為多面體M的所有與點(diǎn)P相鄰的頂點(diǎn)，且平面，，……，遍及多面體M的所有以P為公共點(diǎn)的面如圖是正四面體、正八面體、正十二面體和正二十面體，若它們?cè)诟黜旤c(diǎn)處的離散曲率分別是a，b，c，d，則a，b，c，d的大小關(guān)系是（????）

A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】對(duì)于正四面體，其離散曲率為，
對(duì)于正八面體，其離散曲率為，
對(duì)于正十二面體，其離散曲率為，
對(duì)于正二十面體，其離散曲率為，
則，
所以.
故選：B.
例30．（2022·廣東·廣州市從化區(qū)第三中學(xué)高三階段練習(xí)）北京大興國(guó)際機(jī)場(chǎng)的顯著特點(diǎn)之一是各種彎曲空間的運(yùn)用，在數(shù)學(xué)上用曲率刻畫(huà)空間彎曲性.規(guī)定：多面體的頂點(diǎn)的曲率等于與多面體在該點(diǎn)的面角之和的差（多面體的面的內(nèi)角叫做多面體的面角，角度用弧度制），多面體面上非頂點(diǎn)的曲率均為零，多面體的總曲率等于該多面體各頂點(diǎn)的曲率之和.例如：正四面體在每個(gè)頂點(diǎn)有個(gè)面角，每個(gè)面角是，所以正四面體在每個(gè)頂點(diǎn)的曲率為，故其總曲率為.給出下列三個(gè)結(jié)論：

①正方體在每個(gè)頂點(diǎn)的曲率均為；
②任意四棱錐的總曲率均為；
③若某類多面體的頂點(diǎn)數(shù)，棱數(shù)，面數(shù)滿足，則該類多面體的總曲率是常數(shù).
其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是（????）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】D
【解析】①根據(jù)曲率的定義可得正方體在每個(gè)頂點(diǎn)的曲率為，故①正確；
②由定義可得多面體的總曲率頂點(diǎn)數(shù)各面內(nèi)角和，因?yàn)樗睦忮F有5個(gè)頂點(diǎn)，5個(gè)面，分別為4個(gè)三角形和1個(gè)四邊形，所以任意四棱錐的總曲率為，故②正確；
③設(shè)每個(gè)面記為邊形，
則所有的面角和為，
根據(jù)定義可得該類多面體的總曲率為常數(shù)，故③正確.
故選：D.
例31．（2022·遼寧·沈陽(yáng)二十中三模）我國(guó)南北朝時(shí)期的著名數(shù)學(xué)家祖暅原提出了祖暅原理：“冪勢(shì)既同，則積不容異.”意思是，夾在兩個(gè)平行平面之間的兩個(gè)幾何體，被平行于這兩個(gè)平面的任意一個(gè)平面所截，若截面面積都相等，則這兩個(gè)幾何體的體積相等.運(yùn)用祖暅原理計(jì)算球的體積時(shí)，構(gòu)造一個(gè)底面半徑和高都與球的半徑相等的圓柱，與半球（如圖①）放置在同一平面上，然后在圓柱內(nèi)挖去一個(gè)以圓柱下底面圓心為頂點(diǎn)，圓柱上底面為底面的圓錐后得到一新幾何體（如圖②），用任何一個(gè)平行于底面的平面去截它們時(shí)，可證得所截得的兩個(gè)截面面積相等，由此可證明新幾何體與半球體積相等，即.現(xiàn)將橢圓繞軸旋轉(zhuǎn)一周后得一橄欖狀的幾何體（如圖③），類比上述方法，運(yùn)用祖暅原理可求得其體積等于（????）

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】構(gòu)造一個(gè)底面半徑為，高為的圓柱，
在圓柱中挖去一個(gè)以圓柱下底面圓心為頂點(diǎn)的圓錐，
則當(dāng)截面與頂點(diǎn)距離為時(shí)，小圓錐底面半徑為，
則，
，
故截面面積為：，
把代入，
即，
解得：，
橄欖球形幾何體的截面面積為，
由祖暅原理可得橄欖球形幾何體的體積為：
圓柱圓錐.
故選：D.
例32．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）將地球近似看作球體.設(shè)地球表面某地正午太陽(yáng)高度角為，為此時(shí)太陽(yáng)直射緯度（當(dāng)?shù)叵陌肽耆≌?，冬半年取?fù)值），為該地的緯度值，如圖．已知太陽(yáng)每年直射范圍在南北回歸線之間，即．北京天安門(mén)廣場(chǎng)的漢白玉華表高為9.57米，北京天安門(mén)廣場(chǎng)的緯度為北緯，若某天的正午時(shí)刻，測(cè)得華表的影長(zhǎng)恰好為9.57米，則該天的太陽(yáng)直射緯度為（????）

A．北緯 B．南緯
C．北緯 D．南緯
【答案】D
【解析】由題可知，天安門(mén)廣場(chǎng)的太陽(yáng)高度角，
由華表的高和影長(zhǎng)相等可知，所以.
所以該天太陽(yáng)直射緯度為南緯，
故選：D.
核心考點(diǎn)九：翻折問(wèn)題
【規(guī)律方法】
1、處理圖形翻折問(wèn)題的關(guān)鍵是理清翻折前后長(zhǎng)度和角度哪些發(fā)生改變，哪些保持不變．
2、把空間幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面幾何問(wèn)題，把握?qǐng)D形之間的關(guān)系，感悟數(shù)學(xué)本質(zhì)．
【典型例題】
例33．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，已知四邊形，是以為斜邊的等腰直角三角形，為等邊三角形，，將沿對(duì)角線翻折到在翻折的過(guò)程中，下列結(jié)論中不正確的是（????）

A． B．與可能垂直
C．直線與平面所成角的最大值是 D．四面體的體積的最大是
【答案】C
【解析】如圖所示，取的中點(diǎn)，連接

是以為斜邊的等腰直角三角形,
為等邊三角形,
面 , ,故A正確
對(duì)于B，假設(shè)，又
面，，
又,，故與可能垂直，故B正確
當(dāng)面面時(shí)，此時(shí)面，即為直線與平面所成角
此時(shí)，故C錯(cuò)誤
當(dāng)面面時(shí)，此時(shí)四面體的體積最大，此時(shí)的體積為： ，故D正確
故選：C
例34．（2022·浙江·杭州高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知矩形的對(duì)角線交于點(diǎn)，將沿翻折，若在翻折過(guò)程中存在某個(gè)位置，使得，則的取值范圍是（????）

A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】如圖示,設(shè)處為沿翻折后的位置，
以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA,DC分別為x,y軸，過(guò)點(diǎn)D作平面ABCD的垂線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

則 ，設(shè) ，
由于 ,故 ，
而 ，
由于 ,故，則，
即 ；
又由在翻折過(guò)程中存在某個(gè)位置，便得，不妨假設(shè),
則，即 ，
即 ，
當(dāng)將翻折到如圖位置時(shí)，位于平面ABCD內(nèi)，
不妨假設(shè)此時(shí) ，設(shè)垂足為G,
作 AD的延長(zhǎng)線，垂足為F,此時(shí)在x軸負(fù)半軸上方向上，DF的長(zhǎng)最大，a取最小值，
由于，故 ,
所以 ,而,
故，又 ,
故 為正三角形，則,
而 ,故 ,則 ，
故， ，則 ，
故的取值范圍是 ，
故選：A
例35．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖1，在正方形中，點(diǎn)為線段上的動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)），將沿翻折，使得二面角為直二面角，得到圖2所示的四棱錐，點(diǎn)為線段上的動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)），則在四棱錐中，下列說(shuō)法正確的是（????）

A．???四點(diǎn)一定共面
B．存在點(diǎn)，使得平面
C．側(cè)面與側(cè)面的交線與直線相交
D．三棱錐的體積為定值
【答案】B
【解析】A. 假設(shè)???四點(diǎn)共面，則直線EC與BF共面，若EC與BF平行，又EC與AD平行，則AD與BF平行，這與AD與BF相交矛盾；若EC與BF相交，設(shè)交點(diǎn)為Q，則Q即在平面BAD內(nèi)，又在平面AECD內(nèi)，則點(diǎn)Q在交線AD上，這與EC與AD平行矛盾，所以假設(shè)不成立，所以B、E、C、F不共面，故錯(cuò)誤；
B.如圖所示：

在AD上取點(diǎn)G，使得AG=EC，當(dāng)時(shí)，，又平面，平面，所以平面，同理平面，又，所以平面平面，則平面，故存在點(diǎn)，使得平面，故正確；
C.設(shè)側(cè)面與側(cè)面的交線為l，因?yàn)?，且面，面，所以面，則，所以，故錯(cuò)誤；
D.因?yàn)槎娼菫橹倍娼?，?dāng)點(diǎn)E移動(dòng)時(shí)，點(diǎn)B到AE的距離即三棱錐的高變化，而是定值，故三棱錐的體積不是定值，故錯(cuò)誤；
故選：B
例36．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知直角梯形ABCD滿足：AD∥BC，CD⊥DA，且△ABC為正三角形．將△ADC沿著直線AC翻折至△AD'C如圖，且，二面角、、的平面角大小分別為α，β，γ，直線，，與平面ABC所成角分別是θ1，θ2，θ3，則（????）

A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由題意可知，不妨設(shè)，則.如圖所示，取點(diǎn)E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點(diǎn)，連結(jié)AF，DE，設(shè)G為DE與AF的交點(diǎn)，DE與AC的交于點(diǎn)H.

所以，則，則旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，點(diǎn)在平面ABC上的投影在DE上.
當(dāng)點(diǎn)的投影為點(diǎn)G時(shí)，則；當(dāng)點(diǎn)的投影在DG上時(shí)，則；
當(dāng)點(diǎn)的投影在GE上時(shí)，則；當(dāng)點(diǎn)投影為點(diǎn)E時(shí)，則.
故要使，則點(diǎn)的投影在點(diǎn)G，E兩點(diǎn)之間，此時(shí)投影點(diǎn)到AB，BC，CD的距離為
所以二面角最大，其次為二面角，而二面角最小，故；
設(shè)三棱錐的高為h.
則.
因?yàn)?，所?
因?yàn)?，所?br /> 故選：A.
【新題速遞】
1．（2022·安徽·高三階段練習(xí)）如圖，在棱長(zhǎng)為的正四面體中，點(diǎn)分別在棱上，且平面平面為內(nèi)一點(diǎn)，記三棱錐的體積為，設(shè)，關(guān)于函數(shù)，下列說(shuō)法正確的是（????）

A．，使得
B．函數(shù)在上是減函數(shù)
C．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱
D．，使得（其中為四面體的體積）
【答案】A
【解析】設(shè)點(diǎn)在平面內(nèi)的射影為點(diǎn)，連接，如圖所示，則為等邊的中心，
故，因?yàn)槠矫嫫矫妫裕?br /> 所以，所以.因?yàn)槠矫嫫矫?，則，
且點(diǎn)到平面的距離為，所以點(diǎn)到平面的距離為，
所以，其中，對(duì)于選項(xiàng)，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，；當(dāng)時(shí)，，
此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，，故正確，B錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，，故函數(shù)的圖象不關(guān)于直線對(duì)稱，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，，故對(duì)任意的，故D錯(cuò)誤.
故選：A.

2．（2022·重慶市長(zhǎng)壽中學(xué)校高三階段練習(xí)）如圖所示，在直角梯形中，?分別是?上的點(diǎn)，，且（如圖1）.將四邊形沿折起，連接（如圖2）.在折起的過(guò)程中，下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)是（????）

①平面；
②四點(diǎn)不可能共面；
③若，則平面平面；
④平面與平面可能垂直.
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解析】對(duì)于①，在圖2中記與的交點(diǎn)為，取的中點(diǎn)為，連接，
因?yàn)?，?br /> 所以四邊形為矩形，
故為的中點(diǎn)，
又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，
所以為的中位線，
故，且，
又，，
所以，且，
所以四邊形為平行四邊形，

即面面，
故平面，故①正確；
對(duì)于②，因?yàn)?，平面，平面?br /> 所以平面，
如果四點(diǎn)共面，
因?yàn)槠矫妫?br /> 而
與已知矛盾，故②正確；
對(duì)于③，在梯形中，連接DF，過(guò)點(diǎn)F作FH⊥DE于點(diǎn)H，
因?yàn)橹苯翘菪沃校?，，?br /> 所以，四邊形為正方形，為等腰直角三角形，
所以，，

又平面，
平面，
∵平面，
即有，
又與相交，平面，
平面，
∵平面，
則平面平面，故③正確；
對(duì)于④，延長(zhǎng)至使得，連接，

因?yàn)椤虯B，BC⊥AF，，平面ABF，
所以BC⊥平面ABF，
因?yàn)锽C平面BCE，
所以平面平面，交線為BG，
過(guò)作于點(diǎn)，
因?yàn)镕N平面ABF，
則平面.
過(guò)作直線與平面垂直，其垂足在上，不在BE上，故④錯(cuò)誤.
故選：A.
3．（2022·四川·成都市第二十中學(xué)校一模（理））如圖， 在棱長(zhǎng)為 2 的正方體 中，均為所在棱的中點(diǎn)， 則下列結(jié)論正確的有（????）

①棱 上一定存在點(diǎn)， 使得
②三棱錐的外接球的表面積為
③過(guò)點(diǎn) 作正方體的截面， 則截面面積為
④設(shè)點(diǎn) 在平面內(nèi)， 且平面， 則與所成角的余弦值的最大值為
A．1 個(gè) B．2 個(gè) C．3 個(gè) D．4 個(gè)
【答案】C
【解析】建立如圖空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)， 其中，
所以 ，
若棱 上存在點(diǎn)， 使得， 則，
整理得， 此方程無(wú)解， ①不正確;
設(shè) 的中點(diǎn)為， 則四邊形是邊長(zhǎng)為的正方形， 其外接圓的半徑為，
又 底面， 所以三棱錐的外接球的半徑為；
所以其表面積為 ，②正確;
過(guò)點(diǎn) 作正方體的截面， 截面如圖中六邊形所示，

因?yàn)檫呴L(zhǎng)均為 ， 且對(duì)邊平行， 所以截面六邊形為正六邊形，
其面積為， ③正確;
點(diǎn) 在平面內(nèi)，設(shè)，
則，

設(shè) 是平面的一個(gè)法向量， 則，
令 可得， 即，
因?yàn)槠矫妫?所以， 即，
設(shè)與所成角為， 則，
當(dāng)時(shí)，取最小值，
所以 與所成角的余弦值的最大值為，故④正確;
故選：C.
4．（2022·四川·成都市錦江區(qū)嘉祥外國(guó)語(yǔ)高級(jí)中學(xué)有限責(zé)任公司模擬預(yù)測(cè)（文））在棱長(zhǎng)為的正方體中，為的中點(diǎn)，點(diǎn)在正方體各棱及表面上運(yùn)動(dòng)且滿足，則點(diǎn)軌跡所圍成圖形的面積為（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】分別取、的中點(diǎn)、，連接、、，設(shè)，

在正方體中，且，
因?yàn)椤⒎謩e為、的中點(diǎn)，則且，
故四邊形為平行四邊形，故且，
因?yàn)榍?，且，故四邊形為平行四邊形?br /> 因?yàn)?，，，故?br /> 所以，，則，
所以，，故，
平面，、平面，，，
，、平面，平面，
若點(diǎn)在的邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)（不包括點(diǎn)），則平面，故，
由勾股定理可得，易知四邊形為矩形，
故點(diǎn)軌跡所圍成圖形的面積即為矩形的面積，即為.
故選：A.
5．（2022·上海市實(shí)驗(yàn)學(xué)校高三階段練習(xí)）直線平面，垂足是，正四面體的棱長(zhǎng)為4，點(diǎn)在平面上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，則點(diǎn)到直線的距離的取值范圍是（????）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】在正四面體中，分別取的中點(diǎn)，連接，
則，又，平面，平面
則平面，又平面，則
中，
等腰中，，
若固定正四面體的位置，則點(diǎn)O在以BC為直徑的球上運(yùn)動(dòng)，球半徑為2，
則點(diǎn)O到直線的距離的最小值為球心到直線的距離減去半徑即，
最大值為球心到直線的距離加上半徑即
則點(diǎn)到直線的距離的取值范圍是
故選：B


6．（2022·湖南·模擬預(yù)測(cè)）正三棱柱的底面邊長(zhǎng)是4，側(cè)棱長(zhǎng)是6，M，N分別為，的中點(diǎn)，若點(diǎn)P是三棱柱內(nèi)（含棱柱的表面）的動(dòng)點(diǎn)，MP∥平面，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡面積為（????）
A． B．5 C． D．
【答案】C
【解析】取AB的中點(diǎn)Q，連接MQ，CQ，MC，由M，N，Q分別為，，AB的中點(diǎn)可得，平面，平面，
所以平面，同理得平面，，平面，則平面平面，
所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為△MQC及其內(nèi)部（挖去點(diǎn)M）．
在正三棱柱中，△ABC為等邊三角形，Q為AB的中點(diǎn)，則，
平面平面，平面平面，則CQ⊥平面，平面，
所以．
因?yàn)?，所以?br /> 因?yàn)閭?cè)棱長(zhǎng)是6，所以．
所以，則△MQC的面積，
故動(dòng)點(diǎn)P的軌跡面積為．
故選：C

7．（2022·山西·高三階段練習(xí)）已知正方體的頂點(diǎn)都在表面積為的球面上，過(guò)球心O的平面截正方體所得的截面為一菱形，記該菱形截面為S，點(diǎn)P是正方體表面上一點(diǎn)，則以截面S為底面，以點(diǎn)P為頂點(diǎn)的四棱錐的體積的最大值為（????）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【解析】設(shè)該正方體的棱長(zhǎng)為，球的半徑為，所以有，
于是有，
所以該正方體的棱長(zhǎng)為2，
第一種情況，經(jīng)過(guò)球心垂直上下兩面時(shí)，此時(shí)的體積最大值為；
第二種情況如圖1，由題意可知，要使過(guò)球心平面截正方體截面為菱形，則該截面必過(guò)正方體相對(duì)兩棱中點(diǎn)，（不妨取圖中中點(diǎn)分別為F，E），設(shè)該截面與及的交點(diǎn)分別為M，N，顯然，而，所以，即，
顯然，而，而平面，
平面．

由圖1可以看出當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)或點(diǎn)C重合時(shí)四棱錐的高最大，
，
而，則；
綜上所述，體積的最大值為．
故選：A
8．（2022·浙江·高三階段練習(xí)）在中，，．若空間點(diǎn)滿足，則直線與平面所成角的正切的最大值是（????）
A． B． C． D．1
【答案】C
【解析】過(guò)點(diǎn)作與點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作與點(diǎn)，
設(shè)，則，
又，則，
則點(diǎn)在以為旋轉(zhuǎn)軸，底面圓半徑為的圓柱上，
如圖所示：以所在平面為，建立空間直角坐標(biāo)，則平面的法向量為：，
，
設(shè)，
則，
記直線與平面所成角為,
則，
因?yàn)椋?br /> 所以，
令，則，
則，，
又，在上單調(diào)遞減。在上單調(diào)遞增，
則，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，
又，
所以直線與平面所成角的最大值為，
此時(shí)，
故選：C

9．（多選題）（2022·云南曲靖·高三階段練習(xí)）已知正方體的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)為側(cè)面內(nèi)一點(diǎn)，則（????）
A．當(dāng)時(shí)，異面直線與所成角的正切值為2
B．當(dāng)時(shí)，四面體的體積為定值
C．當(dāng)點(diǎn)到平面的距離等于到直線的距離時(shí)，點(diǎn)的軌跡為拋物線的一部分
D．當(dāng)時(shí)，四面體的外接球的表面積為
【答案】ABC
【解析】正方體的棱長(zhǎng)為1，
對(duì)于A，如圖，CP與AD所成的角即CP與BC所成的角，因?yàn)椋?，，，由余弦定理，，由正弦定理，，所以，即CP與AD所成的角的正切值為2，A正確；

對(duì)于B，因?yàn)?，所以平面，所以?dāng)即點(diǎn)P在線段上時(shí)，點(diǎn)P到平面的距離為定值，所以四面體的體積為定值，B正確；

對(duì)于C，點(diǎn)P到平面的距離即點(diǎn)P到直線的距離，點(diǎn)P到直線的距離即點(diǎn)P到的距離，依據(jù)拋物線的定義當(dāng)兩距離相等時(shí)點(diǎn)P的軌跡為拋物線一部分，C正確；

對(duì)于D，當(dāng)即點(diǎn)P為中點(diǎn)時(shí)，因?yàn)?，所以，又因?yàn)椋訢B為四面體BCDP外接球的一條直徑，外接球半徑，
外接球表面積，D錯(cuò)誤.

故選：ABC.
10．（多選題）（2022·遼寧·本溪高中高三階段練習(xí)）如圖，矩形BDEF所在平面與正方形ABCD所在平面互相垂直，，G為線段AE上的動(dòng)點(diǎn)，則（????）

A．
B．多面體ABCDEF的體積為
C．若G為線段AE的中點(diǎn)，則平面CEF
D．點(diǎn)M，N分別為線段AF，AC上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)T在平面BCF內(nèi)，則的最小值是
【答案】ACD
【解析】如圖，將幾何體ABCDEF補(bǔ)全成棱長(zhǎng)為2的正方體，在該正方體中，因?yàn)?，，所以，故A項(xiàng)正確；
因?yàn)?，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；
當(dāng)G為線段AE的中點(diǎn)時(shí)，因?yàn)?，平面CEF，平面CEF，所以平面CEF，同理平面CEF，又，平面，所以平面平面CEF，平面， 所以平面CEF，故C項(xiàng)正確；

設(shè)A關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)為Q，N關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)為，則在線段CQ上，記d為直線AF與CQ之間的距離，因?yàn)?且平面,平面，所以平面，即轉(zhuǎn)化為點(diǎn)C到平面AEF的距離，即IC長(zhǎng)度的三分之二， ，則，經(jīng)檢驗(yàn)點(diǎn)M，都分別在線段上，故D項(xiàng)正確．
附證：，
因?yàn)槠矫妫矫妫裕?br /> 又因?yàn)?，，所以平面，平面?br /> 所以，同理，且，
所以平面，
設(shè)點(diǎn)到平面的距離為,根據(jù)等體積可知，
，得,所以點(diǎn)到平面的距離為.

故選ACD項(xiàng)．
11．（多選題）（2022·廣東·東涌中學(xué)高三期中）如圖，已知正方體的棱長(zhǎng)為1，，，分別為，，的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，平面，則以下說(shuō)法正確的是（????）

A．點(diǎn)為的中點(diǎn)
B．三棱錐的體積為
C．直線與平面所成的角的正弦值為
D．過(guò)點(diǎn)、、作正方體的截面，所得截面的面積是
【答案】ABC
【解析】以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則，
設(shè)平面EFG的法向量為，
則，
令，則，故，
A選項(xiàng)，設(shè)，則，
因?yàn)槠矫妫?br /> 所以，即，
解得：，
故，故，
，
所以，則點(diǎn)為的中點(diǎn)，A正確；

設(shè)點(diǎn)到平面EFG的距離為d，
則，
又，，，
即，
由余弦定理得：，
故，則，
由三角形面積公式可得：，
故三棱錐的體積為，B正確；
，設(shè)直線與平面所成的角為，
則，
故直線與平面所成角的正弦值為，C正確；
取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接，
則過(guò)點(diǎn)、、作正方體的截面，截面為正六邊形，邊長(zhǎng)為，
正六邊形的面積為
則截面面積為，D錯(cuò)誤.

故選：ABC
12．（多選題）（2022·安徽·阜陽(yáng)師范大學(xué)附屬中學(xué)高三階段練習(xí)）已知為等腰直角三角形，，其高，為線段的中點(diǎn)，將沿折成大小為的二面角，連接，形成四面體，動(dòng)點(diǎn)在內(nèi)（含邊界），且平面，則在變化的過(guò)程中（????）
A．
B．點(diǎn)到平面的距離的最大值為
C．點(diǎn)在內(nèi)（含邊界）的軌跡長(zhǎng)度為
D．當(dāng)時(shí)，與平面所成角的正切值的取值范圍為
【答案】AD
【解析】如圖，，，，平面，
所以平面，又平面，所以，A正確，
因?yàn)椋?，所以為二面角的平面角，故，?br /> 過(guò)點(diǎn)作，垂足為，因?yàn)槠矫?，平面，所以，又，平面，所以平面，所以為點(diǎn)到平面的距離，在中，,，，所以，又，所以點(diǎn)到平面的距離的最大值為，B錯(cuò)誤；
連接，為的中點(diǎn)，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，平面，平面，所以平面，又平面，，平面，所以平面平面，平面平面，平面平面，所以，記的中點(diǎn)為，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，故點(diǎn)的軌跡為線段，，C錯(cuò)誤；
過(guò)點(diǎn)作，垂足為，因?yàn)槠矫妫矫?，所以，又，平面，所以平面，所以為與平面所成角的平面角，
因?yàn)槠矫妫矫?，所以，因?yàn)椋?，平面，所以平面，又平面，所以，因?yàn)椋裕?br /> 在中，，，，所以，
所以，
在中，，，，所以，
在中，，所以，
所以與平面所成角的正切值為，
設(shè)，其中，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，故與平面所成角的正切值的取值范圍為.
故選：AD.

13．（多選題）（2022·江蘇省泰興中學(xué)高三階段練習(xí)）棱長(zhǎng)為1的正方體內(nèi)部有一圓柱，此圓柱恰好以直線為軸，且圓柱上下底面分別與正方體中以為公共點(diǎn)的3個(gè)面都有一個(gè)公共點(diǎn)，以下命題正確的是（????）
A．在正方體內(nèi)作與圓柱底面平行的截面，則截面的最大面積為
B．無(wú)論點(diǎn)在線段上如何移動(dòng)，都有
C．圓柱的母線與正方體所有的棱所成的角都相等
D．圓柱外接球體積的最小值為
【答案】BCD
【解析】如圖所示：設(shè)分別為對(duì)應(yīng)棱的中點(diǎn)，易知共面，
因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，
因?yàn)?，所以?br /> 因?yàn)槠矫?，平面，所以?br /> 因?yàn)?，平面，所以平面?br /> 因?yàn)槠矫?，所以，同理可得?br /> 因?yàn)槠矫?，所以平面?br /> 所以平面為其中一個(gè)截面，其面積為，A錯(cuò)誤；

B：因?yàn)槠矫妫矫?，所?br /> 平面
平面又平面
正確；
C：易知圓柱的母線與平行，易得與所成的夾角相等，故與其每條側(cè)棱間的夾角都相等，C正確；
D:設(shè)圓柱底面半徑為，則圓柱的底面必與過(guò)點(diǎn)的三個(gè)面相切，
且切點(diǎn)分別在線段上，設(shè)在上的切點(diǎn)為，為圓柱的一條高，
在中，，所以在中，，
根據(jù)對(duì)稱性知：，則圓柱的高為，
所以外接球的半徑，
當(dāng)時(shí)，外接球體積的最小值為，D正確
故選：BCD
14．（多選題）（2022·江蘇鹽城·高三階段練習(xí)）已知正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為，其外接球的球心為O．點(diǎn)E滿足，，過(guò)點(diǎn)E作平面平行于AC和BD，平面分別與該正四面體的棱BC，CD，AD相交于點(diǎn)M，G，H，則（????）
A．四邊形EMGH的周長(zhǎng)為是變化的
B．四棱錐的體積的最大值為
C．當(dāng)時(shí)，平面截球O所得截面的周長(zhǎng)為
D．當(dāng)時(shí)，將正四面體ABCD繞EF旋轉(zhuǎn)后與原四面體的公共部分體積為
【答案】BD
【解析】對(duì)于邊長(zhǎng)為2的正方體，則ABCD為棱長(zhǎng)為的正四面體，則球心O即為正方體的中心，
連接，設(shè)
∵，，則為平行四邊形
∴，
又∵平面，平面，
∴平面，
又∵平面，，平面，
∴平面平面，
對(duì)A：如圖1，
∵平面平面，平面平面，平面平面，
∴，則，即，
同理可得： ，，，，
∴四邊形EMGH的周長(zhǎng)（定值），A錯(cuò)誤；

對(duì)B：如圖1，由A可知：，，，，
∵為正方形，則，
∴為矩形，
根據(jù)平行可得：點(diǎn)A到平面的距離，
故四棱錐的體積，則，
∵，則當(dāng)時(shí)，則，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，則，在上單調(diào)遞減，
∴當(dāng)時(shí)，取到最大值，
故四棱錐的體積的最大值為，B正確；
對(duì)C：正四面體ABCD的外接球即為正方體的外接球，其半徑，
設(shè)平面截球O所得截面的圓心為，半徑為，
當(dāng)時(shí)，則，
∵，則，
∴平面截球O所得截面的周長(zhǎng)為，C錯(cuò)誤；
對(duì)D：如圖2，將正四面體ABCD繞EF旋轉(zhuǎn)后得到正四面體，設(shè)，
∵，則分別為各面的中心，
∴兩個(gè)正四面體的公共部分為，為兩個(gè)全等的正四棱錐組合而成，
根據(jù)正方體可得：，正四棱錐的高為，
故公共部分的體積，D正確；
故選：BD.

15．（2022·安徽·石室中學(xué)高三階段練習(xí)）已知三棱錐的高為分別為的中點(diǎn)，若平面ABD，平面BCE，平面ACF相交于O點(diǎn)，則O到平面ABC的距離h為_(kāi)__________.
【答案】
【解析】如圖所示，平面ABD與平面BCE交于BQ，平面ABD與平面ACF交于AP，

所以O(shè)為AP與BQ的交點(diǎn).
因?yàn)镈，E，F(xiàn)分別為VC，VA，VB的中點(diǎn)，
所以P，Q分別為，的重心，
所以，
連接DO并延長(zhǎng)交AB于H，連接PQ，
設(shè)PQ與DO交于S，則，，
易得，
所以，，
所以，
設(shè)三棱錐的高為，三棱錐的高為，
所以，所以，故.
16．（2022·北京八十中高三期末）如圖，在正方體ABCD—中，E為棱的中點(diǎn).動(dòng)點(diǎn)P沿著棱DC從點(diǎn)D向點(diǎn)C移動(dòng)，對(duì)于下列四個(gè)結(jié)論：

①存在點(diǎn)P，使得；
②存在點(diǎn)P，使得平面平面；
③的面積越來(lái)越??；
④四面體的體積不變.
所有正確的結(jié)論的序號(hào)是___________.
【答案】①③④
【解析】設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1，，
由平面，平面得，同理，、
所以，，
由得，存在使得，①正確，


正方體中，由平面，平面，則，，
，平面，所以平面，
若平面平面；則平面或平面，
但當(dāng)在上移動(dòng)時(shí)，與平面總是相交，②錯(cuò)；
正方體中，平面，，所以到平面的距離不變，即到平面的距離不變，而面積不變，因此三棱錐，即四面體的體積不變，④正確；
以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖，
設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2，則，，設(shè)，，
，
，，，
，
設(shè)到直線的距離為，則
，
由二次函數(shù)性質(zhì)知時(shí)，遞減，所以遞減，又不變，
所以的面積為遞減，③正確，
故答案為：①③④．

17．（2022·重慶市萬(wàn)州第二高級(jí)中學(xué)高三階段練習(xí)）已知空間四邊形的各邊長(zhǎng)及對(duì)角線的長(zhǎng)度均為6，平面平面，點(diǎn)M在上，且，過(guò)點(diǎn)M作四邊形外接球的截面，則截面面積的最小值為_(kāi)__________.
【答案】
【解析】由題意知和為等邊三角形，取中點(diǎn)為連接，
則
由平面平面平面平面平面
故平面，，則易知，
易知球心在平面的投影為的外心，
在上作于，易得
則在中，，
所以外接球半徑，連接
因?yàn)?br /> 所以三點(diǎn)共線，所以
當(dāng)為截面圓圓心時(shí)截面面積最小，此時(shí)截面圓半徑為，截面面積為.
故答案為：.

.
18．（2022·北京交通大學(xué)附屬中學(xué)高三階段練習(xí)）如圖，正方體的棱長(zhǎng)為4，點(diǎn)P在正方形的邊界及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng).平面區(qū)域W由所有滿足的點(diǎn)P組成，則四面體的體積的取值范圍_________.

【答案】
【解析】連接，如圖所示，

因?yàn)槠矫?，平面，所以?br /> ∵，由，，則；
所以在以為圓心2為半徑的圓面上，由題意可知，，
所以當(dāng)在邊上時(shí)，四面體的體積的最大值是.
所以當(dāng)在邊的中點(diǎn)時(shí)，的面積取得最小值，此時(shí)，
所以四面體的體積的最小值是，所以，
故答案為：.
19．（2022·黑龍江·鶴崗一中高三階段練習(xí)）已知點(diǎn)P是棱長(zhǎng)為2的正方體的表面上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若使的點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為a；使直線平面BDC的點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為b；使直線AP與平面ABCD所成的角為45°的點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為c．則a，b，c的大小關(guān)系為_(kāi)_____．（用“＜”符號(hào)連接）
【答案】b＜c＜a
【解析】若點(diǎn)到點(diǎn)的距離為2，則點(diǎn)的軌跡為球的表面與正方體交軌，
在平面內(nèi)，的軌跡為以為圓心，2為半徑的圓弧，
由對(duì)稱性知，這樣的圓弧同樣在平面內(nèi)和平面內(nèi)，故的軌跡長(zhǎng)度；
若平面，則點(diǎn)的軌跡為過(guò)點(diǎn)且平行于平面的平面與正方體交軌，
而平面平面，所以點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為三角形的周長(zhǎng)（除掉點(diǎn)，不影響周長(zhǎng)），故，
若直線與平面所成的角為，則點(diǎn)的軌跡為圓錐的側(cè)面與正方體交軌，
在平面內(nèi)，點(diǎn)的軌跡為對(duì)角線（除掉點(diǎn)，不影響）；
在平面內(nèi)，點(diǎn)的軌跡為對(duì)角線（除掉點(diǎn)，不影響）；
在平面內(nèi)是以點(diǎn)為圓心2為半徑的圓弧，如圖，

故點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為，
∵，∴，即．
故答案為：．
20．（2022·四川·高三開(kāi)學(xué)考試（理））已知點(diǎn)是棱長(zhǎng)為2的正方體的表面上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若使的點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為；使直線平面的點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為；使直線與平面所成的角為的點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為．則的大小關(guān)系為_(kāi)_____．（用“”符號(hào)連接）
【答案】
【解析】若點(diǎn)到點(diǎn)的距離為2，則點(diǎn)的軌跡為球的表面與正方體交軌，
在平面內(nèi)，的軌跡為以為圓心，2為半徑的圓弧，
由對(duì)稱性知，這樣的圓弧同樣在平面內(nèi)和平面內(nèi)，故的軌跡長(zhǎng)度；
若平面，則點(diǎn)的軌跡為過(guò)點(diǎn)且平行于平面的平面與正方體交軌，
而平面平面，所以點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為三角形的周長(zhǎng)（除掉點(diǎn)，不影響周長(zhǎng)），故，
若直線與平面所成的角為，則點(diǎn)的軌跡為圓錐的側(cè)面與正方體交軌，
在平面內(nèi)，點(diǎn)的軌跡為對(duì)角線（除掉點(diǎn)，不影響）；
在平面內(nèi)，點(diǎn)的軌跡為對(duì)角線（除掉點(diǎn)，不影響）；
在平面內(nèi)是以點(diǎn)為圓心2為半徑的圓弧，如圖，

故點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為，
∵，∴，即．
故答案為：．



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