專題14?圓中的兩解及多解問題（分類討論思想）歸類集訓(xùn)學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________ 評卷人得分  一、單選題1．已知的直徑，是的弦，，垂足為，且，則的長為（    ）A． B． C．或 D．或2．已知△ABC是半徑為2的圓內(nèi)接三角形，若BC=，則∠A的度數(shù)（　　?。?/span>A．30° B．60° C．120° D．60°或120°3．已知同一平面內(nèi)有⊙O和點A與點B，如果O的半徑為3cm，線段OA＝5cm，線段OB＝3cm，那么直線AB與⊙O的位置關(guān)系為（　?。?/span>A．相離 B．相交 C．相切 D．相交或相切4．如圖，已知直線的解析式是，并且與軸、軸分別交于A、B兩點．一個半徑為1.5的⊙C，圓心C從點（0，1.5）開始以每秒0.5個單位的速度沿著軸向下運動，當(dāng)⊙C與直線相切時，則該圓運動的時間為（　?。?/span>A．3秒或6秒 B．6秒 C．3秒 D．6秒或16秒 評卷人得分  二、填空題5．在半徑為10的中，弦AB的長為16，點P在弦AB上，且OP的長為8，AP長為                            ；6．在半徑為的⊙O中，弦AB垂直于弦CD，垂足為P，AB=CD=4，則S△ACP=      ．7．已知⊙O的半徑為2cm，弦AB長為cm，則這條弦的中點到弦所對劣弧中點的距離為     cm．8．如圖所示，AB，AC與⊙O相切于點B，C，∠A=50°，點P是圓上異于B，C的一動點，則∠BPC的度數(shù)是     ．9．圓的一條弦把圓分成度數(shù)的比為1：3的兩條弧，則該弦所對的圓周角等于       .10．半徑為5的是銳角三角形ABC的外接圓，，連接、，延長交弦于點D．若是直角三角形，則弦的長為  ．11．若⊙O所在平面內(nèi)一點P到⊙O上的點的最大距離為a，最小距離為b（a＞b），則此圓的半徑為      ．12．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，若以點C為圓心，r為半徑的圓與邊AB所在直線相離，則r的取值范圍為      ；若⊙C與AB邊只有一個有公共點，則r的取值范圍為      ．13．已知l1//l2，l1、l2之間的距離是3cm，圓心O到直線l1的距離是1cm，如果圓O與直線l1、l2有三個公共點，那么圓O的半徑為         cm． 評卷人得分  三、解答題14．一下水管道的截面如圖所示．已知排水管的直徑為100cm，下雨前水面寬為60cm．一場大雨過后，水面寬為80cm，求水面上升多少？15．（1）半徑為1的圓中有一條弦，如果它的長為，那么這條弦所對的圓周角的度數(shù)等于　 　；（2）在半徑為1的中，弦的長分別為和，則的度數(shù)是　 ；（3）已知圓內(nèi)接中．，圓心O到的距離為，圓的半徑為，求腰長．16．已知等腰的三個頂點都在半徑為5的上，如果底邊的長為8，求邊上的高．17．已知點P到的最長距離為，最短距離為．試求的半徑長．18．綜合與實踐問題情境：數(shù)學(xué)活動課上，老師出示了一個直角三角板和量角器，把量角器的中心O點放置在AC的中點上，DE與直角邊AC重合，如圖1所示，∠C＝90°，BC＝6，AC＝8，OD＝3，量角器交AB于點G，F，現(xiàn)將量角器DE繞點C旋轉(zhuǎn)，如圖2所示．（1）點C到邊AB的距離為 　 　．（2）在旋轉(zhuǎn)過程中，求點O到AB距離的最小值．（3）若半圓O與Rt△ABC的直角邊相切，設(shè)切點為K，求BK的長．
參考答案：1．C【分析】先畫好一個圓，標(biāo)上直徑CD，已知AB的長為8cm，可知分為兩種情況，第一種情況AB與OD相交，第二種情況AB與OC相交，利用勾股定理即可求出兩種情況下的AC的長；【詳解】連接AC，AO，∵圓O的直徑CD=10cm，AB⊥CD，AB=8cm，∴AM=AB=×8=4cm，OD=OC=5cm，當(dāng)C點位置如圖1所示時，∵OA=5cm，AM=4cm，CD⊥AB，∴OM==3cm，∴CM=OC+OM=5+3=8cm，∴AC=cm；當(dāng)C點位置如圖2所示時，同理可得OM=3cm，∵OC=5cm，∴MC=5?3=2cm，在Rt△AMC中，AC=cm．故選C．【點睛】本題考查垂徑定理和勾股定理，根據(jù)題意正確畫出圖形進行分類討論，熟練運用垂徑定理是解決本題的關(guān)鍵．2．D【分析】首先根據(jù)題意畫出圖形，然后由圓周角定理與含30°角的直角三角形的性質(zhì)，求得答案．【詳解】解：如圖，作直徑BD，連接CD，則∠BCD=90°，∵△ABC是半徑為2的圓內(nèi)接三角形，BC=，∴BD=4，∴CD==2，∴CD=BD，∴∠CBD=30°，∴∠A=∠D=60°，∴∠A′=180°-∠A=120°，∴∠A的度數(shù)為：60°或120°．故選：D．【點睛】此題考查了圓周角定理與含30°角的直角三角形的性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．3．D【分析】根據(jù)圓心到直線的距離與圓的半徑大小的關(guān)系進行判斷，即當(dāng)圓心到直線的距離小于半徑時，直線與圓相交；圓心到直線的距離等于半徑時，直線與圓相切；圓心到直線的距離大于半徑時，直線與圓相離．【詳解】∵⊙O的半徑為3cm，線段OA＝5cm，線段OB＝3cm∴點A在以O為圓心5cm長為半徑的圓上，點B在以O圓心3cm長為半徑的⊙O上當(dāng)AB⊥OB時，如左圖所示，由OB=3cm知，直線AB與⊙O相切；當(dāng)AB與OB不垂直時，如右圖所示，過點O作OD⊥AB于點D，則OD<OB，所以直線AB與⊙O相交； ∴直線AB與⊙O的位置關(guān)系為相交或相切故選：D．【點睛】本題主要考查了直線與圓的位置關(guān)系，要確定直線與圓的位置關(guān)系，要比較圓心到直線的距離與半徑的大小，從而可確定位置關(guān)系．4．D【詳解】試題解析：如圖，∵x=0時，y=-4，y=0時，x=3，∴A（3，0）、B（0，-4），∴AB=5，當(dāng)C在B上方，直線與圓相切時，連接CD，則C到AB的距離等于1.5，∴CB=1.5÷sin∠ABC=1.5×=2.5；∴C運動的距離為：1.5+（4-2.5）=3，運動的時間為：3÷0.5=6；同理當(dāng)C在B下方，直線與圓相切時，連接CD，則C運動的距離為：1.5+（4+2.5）=8，運動的時間為：8÷0.5=16．故選D．5．【分析】作OC⊥AB于點C，根據(jù)垂徑定理求出OC的長，根據(jù)勾股定理求出PC的長，分當(dāng)點P在線段AC上和當(dāng)點P在線段BC上兩種情況計算即可．【詳解】作OC⊥AB于點C，∴AC=AB=8，OC=，又OP=8，∴PC=，當(dāng)點P在線段AC上時，AP=，當(dāng)點P在線段BC上時，AP=．故答案為．【點睛】本題考查的是垂徑定理的應(yīng)用和勾股定理的應(yīng)用，正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形、運用分情況討論思想是解題的關(guān)鍵．6．或或【分析】作OE垂直于AB于E，OF垂直于CD于F，連接OD、OB，則可以求出OE、OF的長度，進而求出OP的長度，進一步得PE與PF長度，最后可求出答案.【詳解】如圖所示，作OE垂直于AB于E，OF垂直于CD于F，∴AE=BE==2，DF=CF==2，在中，∵OB=，BE=2，∴OE=1，同理可得OF=1，∵AB垂直于CD，∴四邊形OEPF為矩形，又∵OE=OF=1，∴四邊形OEPF為正方形，又∵ 有如圖四種情況，∴（1）=AP?CP=×1×3=，  （2）=AP?PC=×1×1=，  （3）=PC?PA=×3×3=，  （4）=AP?PC=×3×1=，故答案為：或或【點睛】本題主要考查的是垂徑定理和勾股定理還有圓的綜合運用，熟練掌握方法是關(guān)鍵.7．1【分析】由垂徑定理得出AC，再由勾股定理得出OC，從而得出CD的長．【詳解】解：如圖，∵AB＝cm，∴AC＝cm，在Rt△AOC中，OC＝cm，∴CD＝2﹣1＝1cm．故答案為1．【點睛】本題考查了垂徑定理和勾股定理，是基礎(chǔ)知識要熟練掌握．8．65°或115°/115°或65°【詳解】本題要分兩種情況考慮，如下圖，分別連接OC；OB；BP1；BP2；CP1；CP2（1）當(dāng)∠BPC為銳角，也就是∠BP1C時：∵AB，AC與⊙O相切于點B，C兩點∴OC⊥AC，OB⊥AB，∴∠ACO=∠ABO=90°，∵∠A=50°，∴在四邊形ABOC中，∠COB=130°，∴∠BP1C=65°，（2）如果當(dāng)∠BPC為鈍角，也就是∠BP2C時∵四邊形BP1CP2為⊙O的內(nèi)接四邊形，∵∠BP1C=65°，∴∠BP2C=115°.綜合（1）、（2）可知，∠BPC的度數(shù)為65°或115°.9．45°或135°【詳解】試題分析：如圖弦AB把圓分成度數(shù)的比為1：3的兩條弧，∴∠AOB=360÷（1+3）=90°，∠P=45°，∴∠P’=180°-∠P=135°，故答案為45°或135°；考點：1．圓周角定理；2．圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)．10．或【分析】如圖1，當(dāng)時，可得是等邊三角形，解直角可求解；如圖2，當(dāng)，推出是等腰直角三角形，解可求解．【詳解】解：如圖1，當(dāng)時，即，∴，∴，∵，∴是等邊三角形，∴，∵，∴，∴，如圖2，當(dāng)，∴，∴是等腰直角三角形，∴，綜上所述：若是直角三角形，則弦的長為或，故答案為：或．【點睛】本題考查了三角形的外接圓與外心，等邊三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)；正確的作出圖形是解題的關(guān)鍵．11．或【分析】點P可能在圓內(nèi)，也可能在圓外；當(dāng)點P在圓內(nèi)時，直徑為最大距離與最小距離的和；當(dāng)點P在圓外時，直徑為最大距離與最小距離的差；再分別計算半徑．【詳解】解：若⊙O所在平面內(nèi)一點P到⊙O上的點的最大距離為a，最小距離為b，若這個點在圓的內(nèi)部或在圓上時，圓的直徑為a+b，因而半徑為；當(dāng)此點在圓外時，圓的直徑是a﹣b，因而半徑是；故答案為或．【點睛】本題考查了點與圓的位置關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生分類的思想及對點P到圓上最大距離、最小距離的認(rèn)識．12．     0<r<     r=【分析】根據(jù)d＞r時，點在圓外；當(dāng)d=r時，點在圓上；當(dāng)d＜r時，點在圓內(nèi)，可得答案；根據(jù)圓心到直線的距離等于半徑時直線與圓只有一個公共點．【詳解】解：如圖，作CH⊥AB于H．在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，AC=6，BC=8， ∴AB==10，∵S△ABC=?AC?BC=?AB?CH，∴CH=，∵以點C為圓心，r為半徑的圓與邊AB所在直線相離，∴0<r<；∵以點C為圓心，r為半徑的圓與邊AB所在直線只有一個公共點，∴r=．故答案為：0<r<；r=．【點睛】本題考查了點與圓的位置關(guān)系，d＞r時，點在圓外；當(dāng)d=r時，點在圓上；當(dāng)d＜r時，點在圓內(nèi)．13．2或4【詳解】分析：分兩種情況進行討論即可.詳解：圓與直線有三個公共點，則：圓與直線相交，與直線相切，分兩種情況進行討論.如圖所示：半徑為：     半徑為： 故答案為2或4.點睛：考查直線與圓的位置關(guān)系，根據(jù)圓與直線有三個公共點，得出圓與直線相交，與直線相切，是解答此題的關(guān)鍵.14．水面上升的高度為10cm或70cm．【分析】分兩種情形分別求解即可解決問題．【詳解】解：作半徑OD⊥AB于C，連接OB由垂徑定理得：BC＝AB＝30cm，在Rt△OBC中，OC＝＝40cm，當(dāng)水位上升到圓心以下時  水面寬80cm時，則OC′＝＝30cm，水面上升的高度為：40﹣30＝10cm；當(dāng)水位上升到圓心以上時，水面上升的高度為：40+30＝70cm，綜上可得，水面上升的高度為10cm或70cm．【點睛】本題考查了垂徑定理的應(yīng)用，掌握垂徑定理、靈活運用分情況討論思想是解題的關(guān)鍵．15．（1）60°或120度；（2）75°或15°；（3） 或．【分析】（1）如圖1，過O作，利用垂徑定理得到，解直角三角形求出，同理得，則，由圓周角定理得到．再由四邊形是圓內(nèi)接四邊形，求出即可得到答案；（2）①如圖2所示：連接，過O作于E，于F，②如圖3所示：連接，過O作于E，于F，分別解直角三角形求出即可得到答案；（3）如圖4，假若是銳角，是銳角三角形，連接，作于D，連接，如圖5，若是鈍角，則是鈍角三角形，分別求出對應(yīng)的的長即可得到答案．．【詳解】解：（1）如圖1，過O作，∴，∵，∴，∴，同理得，∴，∴．又∵四邊形是圓內(nèi)接四邊形，∴．故這條弦所對的圓周角的度數(shù)等于60°或120度．故答案為：60°或120度．（2）解：有兩種情況：①如圖2所示：連接，過O作于E，于F，∴，由垂徑定理得： ， ，∴cos∠OAE，cos∠OAF，∴，∴；②如圖3所示：連接，過O作于E，于F，∴，由垂徑定理得： ， ，∴cos∠OAE，cos∠OAF，∴，∴；故答案為：75°或15°；（3）分圓心在內(nèi)接三角形內(nèi)和在內(nèi)接三角形外兩種情況討論，如圖4，假若是銳角，是銳角三角形，連接，作于D，連接，∵，∴是的中垂線，∴也是的中垂線，∴A、O、D三點共線，∵，∴，，∴；如圖5，若是鈍角，則是鈍角三角形，和圖4解法一樣可得，，∴，綜上可得腰長的長為或．【點睛】本題主要考查了垂徑定理，勾股定理，圓周角定理，解直角三角形，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，利用分類討論的思想求解是解題的關(guān)鍵．16．8或2【分析】連接并延長交于D點，連接，根據(jù)垂徑定理得出，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出，根據(jù)勾股定理求出，分兩種情況求出即可．【詳解】解：連接并延長交于D點，連接，∵，∴，∴根據(jù)垂徑定理得：，∴，∵，，∴，在中，根據(jù)勾股定理得：；①圓心在三角形內(nèi)部時，如圖所示：三角形底邊上的高；②圓心在三角形外部時，如圖所示：三角形底邊上的高．∴邊上的高是8或2．【點睛】本題主要考查了垂徑定理，等腰三角形的三線合一，勾股定理，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意作出圖形，注意分類討論．17．或【分析】分兩種情況進行討論：①點P在圓內(nèi)；②點P在圓外，進行計算即可【詳解】解：①當(dāng)P在外時，如圖，∵P當(dāng)的最長距離是為，最短距離為，∴，∴，∴的半徑為'；當(dāng)P在內(nèi)時，，此時，的半徑為．即的半徑長為或．【點睛】本題考查了點和圓的位置關(guān)系，分類討論是解此題的關(guān)鍵．18．（1）；（2）；（3）【分析】（1）先利用勾股定理求得，進而根據(jù)等面積法求解即可；（2）根據(jù)點到直線的距離垂線段最短，即當(dāng)時，即時，進而即可求得的長，即點O到AB距離的最小值；（3）根據(jù)切線的性質(zhì)可得，勾股定理求得，進而即可求得的長【詳解】（1）∠C＝90°，BC＝6，AC＝8，則設(shè)點C到邊AB的距離為，故答案為：（2）當(dāng)時，即時，點O到AB距離的最小； 中心O點放置在AC的中點上點O到AB距離的最小值為：（3） OD＝3，半圓O與Rt△ABC的直角邊相切，設(shè)切點為K，在中，,，【點睛】本題考查了勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，垂線段最短，切線的性質(zhì)定理，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵． 

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