在解決有關(guān)圓的計算或證明題時，往往需要添加輔助線，根據(jù)題目特點選擇恰當(dāng)?shù)妮o助線至關(guān)重要．圓中常用的輔助線作法有：作半徑，巧用同圓的半徑相等；連接圓上兩點，巧用同弧所對的圓周角相等；作直徑，巧用直徑所對的圓周角是直角；證切線時“連半徑，證垂直”以及“作垂直，證半徑”等．
作半徑，巧用同圓的半徑相等
1．如圖，兩正方形彼此相鄰，且大正方形ABCD的頂點A，D在半圓O上，頂點B，C在半圓O的直徑上；小正方形BEFG的頂點F在半圓O上，E點在半圓O的直徑上，點G在大正方形的邊AB上．若小正方形的邊長為4 cm，求該半圓的半徑．
(第1題)
連接圓上兩點，巧用同弧所對的圓周角相等
2．如圖，圓內(nèi)接三角形ABC的外角∠ACM的平分線與圓交于D點，DP⊥AC，垂足是P，DH⊥BM，垂足為H.求證：AP＝BH.
(第2題)
作直徑，巧用直徑所對的圓周角是直角
3．如圖，⊙O的半徑為R，弦AB，CD互相垂直，連接AD，BC.
(1)求證：AD2＋BC2＝4R2；
(2)若弦AD，BC的長是方程x2－6x＋5＝0的兩個根(AD>BC)，求⊙O的半徑及點O到AD的距離．
(第3題)
證切線時輔助線作法的應(yīng)用
4．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，CA＝CB，CD∥AB且與OA的延長線交于點D.判斷CD與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由．
(第4題)
遇弦加弦心距或半徑
5．如圖，在半徑為5的⊙O中，AB，CD是互相垂直的兩條弦，垂足為P，且AB＝CD＝8，則OP的長為( )
A．3 B．4 C．3eq \r(2) D．4eq \r(2)
(第5題)
6．如圖，AB是⊙O的弦，OH⊥AB于點H，點P是優(yōu)弧上一點，若AB＝2eq \r(3)，OH＝1，則∠APB＝________.
(第6題)
遇直徑巧加直徑所對的圓周角
7．如圖，在△ABC中，AB＝BC＝2，以AB為直徑的⊙O分別交BC，AC于點D，E，且點D是BC的中點．
(1)求證：△ABC為等邊三角形；
(2)求DE的長．
(第7題)
遇切線巧作過切點的半徑
8．如圖，⊙O是Rt△ABC的外接圓，∠ABC＝90°，點P是圓外一點，PA切⊙O于點A，且PA＝PB.
(1)求證：PB是⊙O的切線；
(2)已知PA＝eq \r(3)，∠ACB＝60°，求⊙O的半徑．
(第8題)
巧添輔助線計算陰影部分的面積
9．如圖，點B，C，D都在⊙O上，過點C作AC∥BD交OB的延長線于點A，連接CD，且∠CDB＝∠OBD＝30°，DB＝6eq \r(3) cm.
(1)求證：AC是⊙O的切線；
(2)求由弦CD，BD與eq \(BC,\s\up8(︵))所圍成的陰影部分的面積(結(jié)果保留π)．
(第9題)
參考答案
1．解：如圖，連接OA，OF.設(shè)OA＝OF＝r cm，AB＝a cm.
(第1題)
在Rt△OAB中，r2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2)))eq \s\up12(2)＋a2，
在Rt△OEF中，r2＝42＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4＋\f(a,2)))eq \s\up12(2)，
∴eq \f(a2,4)＋a2＝16＋16＋4a＋eq \f(a2,4).
解得a1＝8，a2＝－4(舍去)．
∴r2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8,2)))eq \s\up12(2)＋82＝80.
∴r1＝4eq \r(5)，r2＝－4eq \r(5)(舍去)．
即該半圓的半徑為4eq \r(5) cm.
【解析】在有關(guān)圓的計算題中，求角度或邊長時，常連接半徑構(gòu)造等腰三角形或直角三角形，利用特殊三角形的性質(zhì)來解決問題．
2．證明：如圖，連接AD，BD.
(第2題)
∵∠DAC，∠DBC都是eq \(DC,\s\up8(︵))所對的圓周角．
∴∠DAC＝∠DBC.
∵CD平分∠ACM，DP⊥AC，DH⊥CM，
∴DP＝DH.
在△ADP和△BDH中，
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(∠DAP＝∠DBH，,∠DPA＝∠DHB＝90°，,DP＝DH.))
∴△ADP≌△BDH.∴AP＝BH.
【解析】本題通過作輔助線構(gòu)造圓周角，然后利用“同弧所對的圓周角相等”得到∠DAC＝∠DBC，為證兩三角形全等創(chuàng)造了條件．
3．(1)證明：如圖，過點D作⊙O的直徑DE，連接AE，EC，AC.
(第3題)
∵DE是⊙O的直徑，
∴∠ECD＝∠EAD＝90°.
又∵CD⊥AB，∴EC∥AB.
∴∠BAC＝∠ACE.
∴eq \(BC,\s\up8(︵))＝eq \(AE,\s\up8(︵)).∴BC＝AE.
在Rt△AED中，AD2＋AE2＝DE2，
∴AD2＋BC2＝4R2.
(2)解：如圖，過點O作OF⊥AD于點F.∵弦AD，BC的長是方程x2－6x＋5＝0的兩個根(AD>BC)，
∴AD＝5，BC＝1.
由(1)知，AD2＋BC2＝4R2，
∴52＋12＝4R2.∴R＝eq \f(\r(26),2).
∵∠EAD＝90°，OF⊥AD，∴OF∥EA.
又∵O為DE的中點，∴OF＝eq \f(1,2)AE＝eq \f(1,2)BC＝eq \f(1,2)，即點O到AD的距離為eq \f(1,2).
【解析】本題作出直徑DE，利用“直徑所對的圓周角是直角”構(gòu)造了兩個直角三角形，給解題帶來了方便．
4．解：CD與⊙O相切，理由如下：如圖，作⊙O的直徑CE，連接AE.
(第4題)
∵CE是⊙O的直徑，∴∠EAC＝90°.
∴∠E＋∠ACE＝90°.
∵CA＝CB，∴∠B＝∠CAB.
∵AB∥CD，
∴∠ACD＝∠CAB.∴∠B＝∠ACD.
又∵∠B＝∠E，∴∠ACD＝∠E.
∴∠ACE＋∠ACD＝90°，即OC⊥DC.
又∵OC為⊙O的半徑，∴CD與⊙O相切．
5．C 6.60°
(第7題)
7．(1)證明：如圖，連接AD，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB＝90°.
∵點D是BC的中點，
∴AD是線段BC的垂直平分線．
∴AB＝AC.
又∵AB＝BC，
∴AB＝BC＝AC.
∴△ABC為等邊三角形．
(2)解：如圖，連接BE.∵AB是⊙O的直徑，
∴∠AEB＝90°.∴BE⊥AC.
∵△ABC是等邊三角形，
∴AE＝EC，即E為AC的中點．
又∵D是BC的中點，故DE為△ABC的中位線．
∴DE＝eq \f(1,2)AB＝eq \f(1,2)×2＝1.
8．(1)證明：如圖，連接OB，∵OA＝OB，
(第8題)
∴∠OAB＝∠OBA.
∵PA＝PB，
∴∠PAB＝∠PBA.
∴∠OAB＋∠PAB＝∠OBA＋∠PBA，
即∠PAO＝∠PBO.
又∵PA是⊙O的切線，∴∠PAO＝90°.
∴∠PBO＝90°.∴OB⊥PB.
又∵OB是⊙O的半徑，
∴PB是⊙O的切線．
(2)解：如圖，連接OP，
∵PA＝PB，
∴點P在線段AB的垂直平分線上．
∵OA＝OB，
∴點O在線段AB的垂直平分線上．
∴OP為線段AB的垂直平分線．
又∵BC⊥AB，
∴PO∥BC.∴∠AOP＝∠ACB＝60°.
由(1)知∠PAO＝90°.
∴∠APO＝30°.∴PO＝2AO.
∵在Rt△APO中，AO2＋PA2＝PO2，
∴AO2＋3＝(2AO)2.
又∵AO＞0，
∴AO＝1.
∴⊙O的半徑為1.
(第9題)
9．(1)證明：如圖，連接CO，交DB于點E，∴∠O＝2∠CDB＝60°.
又∵∠OBE＝30°，
∴∠BEO＝180°－60°－30°＝90°.
∵AC∥BD，
∴∠ACO＝∠BEO＝90°，即OC⊥AC.
又∵點C在⊙O上，
∴AC是⊙O的切線．
(2)解：∵OE⊥DB，
∴EB＝eq \f(1,2)DB＝3eq \r(3) cm.
在Rt△EOB中，∵∠OBE＝30°，
∴OE＝eq \f(1,2)OB.
∵EB＝3eq \r(3) cm，
∴由勾股定理可求得OB＝6 cm.
∵∠CDB＝∠DBO，DE＝BE，∠CED＝∠OEB，
∴△CDE≌△OBE.∴S△CDE＝S△OBE.
∴S陰影＝S扇形COB＝eq \f(60,360)π·62＝6π(cm2)．

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