?專題19?尋找或構建相似三角形的基本模型解決問題
學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________

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一、單選題
1．如圖，在△ABC中，點D、E分別在邊AB、AC上，若DE∥BC，，DE＝6cm，則BC的長為（????）

A．9cm B．12cm C．15cm D．18cm
2．如圖，某零件的外徑為，用一個交叉卡鉗（兩條尺長和相等）可測量零件的內(nèi)孔直徑．如果，且量得，則零件的厚度x為（????）

A． B． C． D．
3．如圖所示，在中，是的中點，交于點，已知，連接交于點，下列結論：
①；②；③；④，其中正確的有　　

A．1個 B．4個 C．3個 D．2個
4．如圖，在中，是延長線上一點，分別與交于點．下列結論：① ② ③ ④ ⑤，其中正確的個數(shù)是（　?。?br />
A．5 B．4 C．3 D．2
5．如圖，把兩個含30°角的兩個直角三角板按如圖所示拼接在一起，點N是AB邊的中點，連接DN交BC于點M，則的值為（????）

A． B． C． D．
6．如圖，點A，B，C在同一直線上，∠A＝∠DBE＝∠C，則下列結論：①∠D＝∠CBE，②ABD∽CEB，③，其中正確的結論有（????）個

A．0 B．1 C．2 D．3
7．如圖，在矩形ABCD中，點E是對角線上一點，連接AE并延長交CD于點F，過點E作EG⊥AE交BC于點G，若AB＝8，AD＝6，BG＝2，則AE＝（????）

A． B． C． D．
8．如圖，在矩形ABCD中，E，F(xiàn)，G分別在AB，BC，CD上，DE⊥EF，EF⊥FG，BE＝3，BF＝2，F(xiàn)C＝6，則DG的長是（??????）

A．4 B． C． D．5

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二、填空題
9．如圖，在中，點分別在邊上，且，與四邊形的面積的比為 ．

10．如圖，在中，，，動點P從點A開始沿邊運動，速度為；動點Q同時從點B開始沿BC邊運動，速度為的速度，當P、Q運動 時，與相似．

11．在等邊△ABC中，P為BC上一點，D為AC上一點，且∠APD＝60°，BP＝4，CD＝2，則△ABC的邊長為 ．

12．如圖，在矩形中，過點D作對角線的垂線，垂足為E，過點E作的垂線，交邊于點F，如果，，那么的長是 ．

13．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，點D是AC邊上的一點，DE垂直平分AB，垂足為點E，若AC=8，BC=6，則線段DE的長度為 ．

14．將一張直角三角形紙片沿一條直線剪開，將其分成一張三角形紙片與一張四邊形紙片，如果所得四邊形紙片如圖所示，其中，厘米，厘米，厘米，那么原來的直角三角形紙片的面積是 平方厘米．

15．如圖，在中，，，點P在邊AC上運動（可與點A，C重合），將線段BP繞點P逆時針旋轉120°，得到線段DP，連接BD，CD，則CD長的最小值為 ．


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三、解答題
16．如圖，已知是的角平分線，E是延長線上的一點，且．

(1)求證：．
(2)若，求的長．
17．如圖，在中，，，，D是上一點，，，垂足為E．

(1)求證：；
(2)求線段的長．
18．已知，如圖1，在四邊形中，，，．
　　
(1)當時（如圖2），求的長；
(2)連接，交邊于點，
①設，，求關于的函數(shù)解析式并寫出定義域；
②當是等腰三角形時，求的長．
19．如圖，在等邊中，點P是上一點，點D是上一點，．

(1)若，，求的邊長；
(2)若，，，求y與x之間的函數(shù)關系，并求y的最大值．
20．如圖，正方形中，點在邊上（不與端點，重合），點關于直線的對稱點為點，連接，設．

(1)求的大?。ㄓ煤氖阶颖硎荆?br /> (2)過點作，垂足為，連接．判斷與的位置關系，并說明理由；
(3)將繞點順時針旋轉得到，點的對應點為點，連接，．當為等腰三角形時，求的值．
21．如圖，已知中，，，點在邊上，．

(1)求證：；
(2)當，時，求的長．
22．在等腰直角中，，點D為射線上一動點（點D不與點B、C重合），以為腰且在的右側作等腰直角，，射線與射線交于點E，聯(lián)結．

(1)如圖1所示，當點D在線段上時，
①求證：；
②設，求y關于x的函數(shù)解析式，并寫出x的取值范圍；
(2)當時，求的長．
23．已知是等腰三角形，，將繞點逆時針旋轉得到，點、點的對應點分別是點、點．

(1)感知：如圖①，當落在邊上時，與之間的數(shù)量關系是 　　(不需要證明)；
(2)探究：如圖②，當不落在邊上時，與是否相等？如果相等，請證明；如果不相等，請說明理由；
(3)應用：如圖③，若，、交于點，則 　　度．

參考答案：
1．C
【分析】根據(jù)平行得到，根據(jù)相似的性質得出，再結合，DE＝6cm，利用相似比即可得出結論．
【詳解】解：在△ABC中，點D、E分別在邊AB、AC上，若DEBC，
，
，
，
，
，
，
，
，
故選：C．
【點睛】本題考查利用相似求線段長，涉及到平行線的性質、兩個三角形相似的判定與性質等知識點，熟練掌握相似三角形的判定與性質是解決問題的關鍵．
2．D
【分析】求出和相似，利用相似三角形對應邊成比例列式計算求出，再根據(jù)外徑的長度解答．
【詳解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵外經(jīng)為，
∴，
∴．
故選：D．
【點睛】本題考查相似三角形的應用，解題的關鍵是利用相似三角形的性質求出的長．
3．C
【分析】要解答本題，首先由中垂線的性質可以求得，利用外角與內(nèi)角的關系可以得出，通過作輔助線利用等腰三角形的性質和三角形全等可以得出，根據(jù)等高的兩三角形的面積關系求出，，利用角的關系代替證明，從而得出與不相似．根據(jù)以上的分析可以得出正確的選項答案．
【詳解】解：是的中點，且，
是的垂直平分線，，
，故①正確；
，
，
，
，
，
，即，故②正確；

作于點，交于點，連接

，，
，，，
，，
由與相互平分知，四邊形是平行四邊形，
，，
，，，
在與中，，
，
，，且，
，
，
，
，故③正確；
，且，，
，
，
，不成立，故④錯誤．
綜上所述：正確的答案有3個．
故選：．
【點睛】本題考查了中垂線的判定及性質，等腰三角形的性質，三角形全等的判定及性質，三角形的中位線及相似三角形的判定及性質和等積變換等知識，正確添加輔助線并靈活應用相關知識是解題的關鍵．
4．A
【分析】根據(jù)平行四邊形對邊平行的特點，判定，，，再根據(jù)相似三角形對應邊成比例即可作出判斷．
【詳解】解：在中，
AB//CD


故①，②正確；
在中，
AD//BC


故③正確；
AD//BC




故④正確；



故⑤正確，即正確的個數(shù)為5個，
故選：A．
【點睛】本題考查相似三角形的判定與性質、平行四邊形的性質等知識，是重要考點，掌握相關知識是解題關鍵．
5．B
【分析】連接CN，設AC=2a，則可得AB、CN、BC、CD及BD的長，且CN∥DB，則可得△CMN∽△BMD，可求得的值，從而求得結果的值．
【詳解】如圖，連接CN，設AC=2a．
∵∠ACB=∠CDB=90°，∠ABC=∠CBD=30°，
∴AB=2AC=4a，，∠ABD=∠ABC+∠CBD=60°．
由勾股定理得：，
∴．
∴由勾股定理得：．
∵N是AB的中點，則CN是斜邊AB上的中線，
∴．
∴AC=CN=AN．
∴△CAN是等邊三角形．
∴∠ANC=∠ABD=60°．
∴CN∥DB．
∴△CMN∽△BMD．
∴．
即．
∵，
∴．

故選：B．
【點睛】本題考查了含30度角直角三角形的性質，直角三角形斜邊上中線的性質，等邊三角形的判定與性質，平行線的判定，相似三角形的判定與性質，勾股定理等知識，本題涉及的知識點較多，有一定的綜合性，但題目難度不大．
6．D
【分析】根據(jù)三角形的外角性質以及∠A＝∠DBE＝∠C，可判斷①正確，進而得ABD∽CEB，判斷②正確，最后根據(jù)相似三角形的性質判斷③成立．
【詳解】解：∵∠A＝∠DBE＝∠C，∠CBD=∠DBE+∠CBE=∠A+∠D，
∴∠D＝∠CBE，故①正確，
∴ABD∽ CEB，故②正確，
∴ ，故③正確，
∴正確的結論有3個，，
故選：D．
【點睛】本題考查了三角形的外角性質及相似三角形的判定及性質，熟練掌握相似三角形的判定是解題的關鍵．
7．B
【分析】過點作的平行線，分別交于點，先根據(jù)矩形的性質與判定可得四邊形和四邊形都是矩形，設，則，再根據(jù)相似三角形的判定證出，根據(jù)相似三角形的性質可得，從而可得，然后根據(jù)相似三角形的判定證出，根據(jù)相似三角形的性質可得的值，最后在中，利用勾股定理即可得．
【詳解】解：如圖，過點作的平行線，分別交于點，

四邊形是矩形，，
，
四邊形是矩形，
，
同理可得：四邊形是矩形，
，
設，則，
，
，
，即，
解得，
，，
，
，
，
，
，
在和中，，
，
，即，
解得或，
經(jīng)檢驗，是所列分式方程的根，且符合題意；不是所列分式方程的根，舍去，
，
，
故選：B．
【點睛】本題考查了矩形的判定與性質、相似三角形的判定與性質等知識點，通過作輔助線，構造相似三角形是解題關鍵．
8．B
【分析】先運用勾股定理可求得EF, 過G作GH⊥DE垂足為H，則四邊形EFGH是矩形可得HG=EF,再說明△EBF∽△DAE、△DAE∽△GHD，進一步可得△EBF∽△GHD，最后運用相似三角形的性質解答即可.
【詳解】解：∵在Rt△BEF中，BF=2,BE=3
∴EF=
如圖：過G作GH⊥DE垂足為H，
∵DE⊥EF，EF⊥FG
∴四邊形EFGH是矩形
∴HG=EF=
∵矩形ABCD
∴∠A=∠B=90°
∴∠AED+∠ADE=90°
∵DE⊥EF
∴∠AED+∠BEF=90°
∴∠BEF=∠ADE
又∵∠A=∠B=90°
∴△EBF∽△DAE
同理：△DAE∽△GHD
∴△EBF∽△GHD
∴,即,解得DG=.
故選B.

【點睛】本題主要考查了矩形的判定與性質、運用勾股定理解直角三角形、相似三角形的判定與性質等知識點，靈活運用相似三角形的判定與性質是解答本題的關鍵.
9．
【分析】先證明，再根據(jù)相似三角形的性質，即可得到，進而即可求解．
【詳解】解：∵，
∴??
∴
∵∠B=∠B，
∴，
∴
∴與四邊形的面積的比=．
故答案是：．
【點睛】本題主要考查相似三角形的判定和性質，掌握相似三角形的面積比等于相似比的平方，是解題的關鍵．
10．或
【分析】設運動時間為，分及兩種情況考慮，利用相似三角形的性質即可完成．
【詳解】設運動時間為，則，，
當時，則，
即，
解得：；
當時，則，
即，
解得：；
綜上，當?shù)闹禐榛颍?br /> 故答案為：或．
【點睛】本題是與相似三角形有關的動點問題，考查了相似三角形的性質，注意分類討論．
11．8
【分析】根據(jù)等邊三角形性質求出AB＝BC＝AC，∠B＝∠C＝60°，推出∠BAP＝∠DPC，即可證得△ABP∽△PCD，據(jù)此知 ，即 ，解之可得．
【詳解】解：∵△ABC是等邊三角形，
∴AB＝BC＝AC，∠B＝∠C＝60°，
∴∠BAP＋∠APB＝180°?60°＝120°，
∵∠APD＝60°，
∴∠APB＋∠DPC＝180°?60°＝120°，
∴∠BAP＝∠DPC，
即∠B＝∠C，∠BAP＝∠DPC，
∴△ABP∽△PCD；
∴，
∵BP＝4、CD＝2，
∴，解得AB＝8，
∴△ABC的邊長為8．
故答案為：8．
【點睛】本題考查了相似三角形的性質和判定，等邊三角形的性質，三角形的內(nèi)角和定理的應用，關鍵是推出△ABP∽△PCD，主要考查了學生的推理能力和計算能力．
12．
【分析】利用矩形的性質求出，利用三角形的面積、勾股定理求出、的長，再利用等角的余角相等說明、，得，最后利用相似三角形的性質得結論．
【詳解】解：∵四邊形是矩形，
∴，，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴．
∴．
∴．
∴．
．
故答案為：．
【點睛】本題主要考查了相似三角形，掌握相似三角形的性質與判定、三角形的內(nèi)角和定理及勾股定理是解決本題的關鍵．
13．
【分析】先求出AE長，根據(jù)相似三角形的判定得出△AED∽△ACB，得出比例式，代入求出DE長即可．
【詳解】解：∵∠C=90°，AC=8，BC=6，
∴AB===10，
∵DE垂直平分AB，
∴∠DEA=90°，AE==5，
∴∠DEA=∠C，
又∵∠A=∠A，
∴△AED∽△ACB，
∴，
即
∴DE=．
故答案為．
【點睛】本題考查了勾股定理，線段的垂直平分線的性質，相似三角形的性質和判定的應用，能推出△AED∽△ACB是解此題的關鍵．
14．或
【分析】先由勾股定理求得厘米，再分情況討論，利用三角形相似求解即可．
【詳解】解：連接，
∵，厘米，厘米，厘米，
∴即，
∴厘米，
如下圖，延長，相交于點N，設厘米，

∵，，厘米，
∴，
∴即，
∴厘米，厘米，
平方厘米；
如下圖，延長，相交于點M，設厘米，

∵，，厘米，
∴，
∴即，
∴厘米，
平方厘米，
故答案為或．
【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定及性質，勾股定理，熟練掌握相似三角形的判定及性質是解題的關鍵．
15．
【分析】以為邊構建出和相似的三角形，通過將邊轉化為其他邊來求值．
【詳解】解：如圖所示，以為底邊向上作等腰，使，連接．

由題意可得和均為頂角為的等腰三角形，
可得，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴當時，有最小，即此時最小，

如圖所示，設，延長與交K，此時的最小值，
可得，
∵，
∴，
∴QK，
∵， ，
∴
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【點睛】本題考查的是瓜豆原理的知識點，重難點在于構造相似三角形的手拉手模型，屬于難題．
16．(1)見解析
(2)2

【分析】（1）是角平分線可得，可得，從而，再利用對頂角相等可得，根據(jù)有兩個角對應相等的兩個三角形相似可得結論；
（2）由（1）中的結論，利用相似三角形對應邊成比例得出比例式，將已知線段代入可求．
【詳解】（1）證明：∵是的角平分線，
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴．
∴．
【點睛】本題主要考查了相似三角形的性質與判定，等腰三角形的性質，熟知相似三角形的性質與判定條件是解題的關鍵
17．(1)見解析
(2)4

【分析】（1）根據(jù)相似三角形的判定方法可證明；
（2）根據(jù)相似三角形的性質可得出答案．
【詳解】（1）證明：∵，
∴，
又∵，
∴．
又∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴．
【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質，利用相似三角形的性質得出是解題關鍵．
18．(1)；
(2)的長為或．

【分析】（1）在中，解直角三角形得，，再證即可得解；
（2）①先求得，，根據(jù)， 可得定義域，證明可得關于的函數(shù)解析式；②分兩類討論求解，當時，作于點Q，作于點P，證得解，當時，作垂直直線于點N， 證得解．
【詳解】（1）解：∵在中，，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴即，
∴；
（2）解：①如圖2，作于點N，

∵，，，，
∴，
∴，，
∵，
∴，，
∵， ，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，
②∵，
∴，
∴，
當時，作于點Q，作于點P，如下圖，易知四邊形是矩形，

∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴即，
∴；
當時，作垂直直線于點N，如下圖，

∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴即，
∴，
∵⊥，
∴，，
∴，
解得或（舍去），
綜上的長為或．
【點睛】本題主要考查了解直角三角形、勾股定理、求函數(shù)解析式、矩形的判定及性質以及相似三角形的判定及性質，熟練掌握勾股定理以及相似三角形的判定及性質是解題的關鍵．
19．(1)3；
(2)，最大值為．

【分析】（1）根據(jù)等邊三角形性質求出，，推出，證得，得到，從而得到，求解即可得到的邊長；
（2）由（1）知，據(jù)此得到y(tǒng)與x之間的函數(shù)關系式，再將其化為頂點式，依據(jù)二次函數(shù)的性質即可得到答案．
【詳解】（1）解：是等邊三角形，
，，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
即的邊長為3；
（2）解：由（1）可知，，即，
則，
，
當x時，．
【點睛】本題考查了相似三角形的性質和判定，等邊三角形的性質，三角形的內(nèi)角和定理的應用，二次函數(shù)的性質，解題關鍵是推出，主要考查了學生的推理能力和計算能力．
20．(1)
(2)，見解析
(3)

【分析】（1）由軸對稱的性質可得，，可求，由等腰三角形的性質可求解；
（2）通過證明點，點，點，點四點共圓，可得，由等腰三角形的性質可得，可得，可證；
（3）分三種情況討論，由旋轉的性質可得，，，，由“”可證，可得，即可求解．
【詳解】（1）如圖1，連接，

∵點關于直線的對稱點為點，
∴，，
∴，
∴，
∵四邊形是正方形，
∴，
∴，
∴；
（2），
理由如下：如圖2，連接，

∵四邊形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴點，點，點，點四點共圓，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）∵，
∴，
∴；
如圖3，當時，過點作于，

∵將繞點順時針旋轉得到，
∴，，
∴，，，，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴（），
∴，
∴，
∴，
當時，
∴，
∴，
∴，
即點與點重合，則點與點重合，
∵點在邊上（不與端點，重合），
∴不成立，
綜上所述：的值為．
【點睛】本題是四邊形綜合題，考查了正方形的性質，旋轉的性質，全等三角形的判定和性質，銳角三角函數(shù)，圓的有關知識，等腰三角形的性質等知識，添加恰當輔助線構造全等三角形是解題的關鍵．
21．(1)見解析
(2)

【分析】（1）先利用等腰直角三角形的性質求出，再利用“兩邊對應成比例，夾角相等”判斷，最后利用相似三角形的性質得結論；
（2）先利用等腰直角三角形的性質及勾股定理求出的長，進而得到，再利用相似三角形的性質求出，最后利用線段的和差關系得結論．
【詳解】（1）證明：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∵，
∴．
【點睛】本題主要考查了相似三角形，掌握等腰直角三角形的性質、勾股定理及相似三角形的性質和判定是解決本題的關鍵．
22．(1)①見解析；②
(2)

【分析】（1）①由和是等腰直角三角形，證明，由相似三角形的性質和角相等直接證明即可；②過點D作于點H，通過證明是等腰直角三角形和相似三角形的性質求出，設，則，根據(jù)等腰直角三角形的性質表示出的長度，代入整理即可；
（2）分兩種情況：當點D在線段上時，當點D在線段的延長線上時，利用相似三角形的性質和正切函數(shù)建立方程，進行求解即可．
【詳解】（1）①∵和是等腰直角三角形，
∴，，
∴，，
∴，，
∴；
②過點D作于點H，如圖，

∵，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
設，則，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）①當點D在線段上時，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
整理得，
∵，方程無解，
∴這種情況無意義；
②當點D在線段的延長線上時，如圖，

∵，，
過點D作于G，
∴，
∴，
整理得，解得（負舍），
∴．
【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質，解直角三角形，解一元二次方程，能夠準確添加輔助線進行分析是解題的關鍵．
23．(1)相等
(2)，見解析
(3)

【分析】（1）感知：由旋轉知，，是頂角相等的等腰三角形，從而得出答案；
（2）探究：由旋轉知，可證明，從而結論不變；
（3）應用：設與相交于點，由，得，則，再利用三角形內(nèi)角和解決問題．
【詳解】（1）感知：將繞點逆時針旋轉得到，
∴，
又，，
，
即，
故答案為：相等；
（2）探究：，證明如下：
將繞點逆時針旋轉得到，
，，，
，
，
；
（3）應用：，
，，
將繞點逆時針旋轉得到，
，
，
設與相交于點，

，
，
，，
，
．
【點睛】本題是幾何變換綜合題，主要考查了等腰三角形的性質，旋轉的性質，相似三角形的判定與性質等知識，證明是解題的關鍵

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