專題2.三角函數(shù)的圖像與最值（備戰(zhàn)2024高考數(shù)學(xué)-大一輪36個(gè)核心專題）-教案下載-教習(xí)網(wǎng)

專題2.三角函數(shù)求最值的六種類型類型1. 與輔助角公式1.輔助角公式: 形如的式子可做如下變換:--------(1)令(1)式=,其中.例1．已知.求的單調(diào)遞增區(qū)間.解析：化簡得，令，，解得，所以單調(diào)遞增區(qū)間為，.例2．已知函數(shù)，其中，且．（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若，且，求的值．解析：，，，解得：，又，，；令，解得：，的單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）.類型2.二次函數(shù)型（1）把形如或的三角函數(shù)最值問題看成與或有關(guān)的二次函數(shù)解析式，再將其解析式變形轉(zhuǎn)化為或，最后根據(jù)已知變量的范圍求最值.（2）對于和的形式，也可轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)來求解.例3．函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，值域?yàn)?/span>，則α的取值范圍是（　　）A． B．C． D．解析：由，令，得：，二次函數(shù)開口向下，對稱軸為，因?yàn)?/span>，所以函數(shù)為遞增函數(shù)，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，即時(shí)，，使函數(shù)的值域?yàn)?/span>，所以由余弦函數(shù)圖象與性質(zhì)可知，，所以的取值范圍是：．故選：A類型3. 如求三角函數(shù)的最值，可將看作，則原函數(shù)可變形為，該函數(shù)是我們熟悉的二次函數(shù)，可求它的最值.例4．已知函數(shù)，則的最大值為（）．A． B． C． D．解析：，令，即，由，則.故選：A.類型4.分式型其中同名函數(shù)利用分離常數(shù)法，形如非同名函數(shù)利用數(shù)形結(jié)合的方法，形如利用單位圓與直線相交相切來解決最值問題.例5.求值域。解：，故，則值域?yàn)?/span>.例6.求函數(shù)的最大值和最小值。解：法一：如圖所示，表示過點(diǎn)的直線與單位圓有交點(diǎn)時(shí)，直線的斜率，令直線方程為，原點(diǎn)到直線的的距離為，故函數(shù)的最大值為，最小值為0.法二：利用輔助角公式：計(jì)算，，解得：. 類型5.三次函數(shù)（1）形如：等均為三次函數(shù).（2）三倍角結(jié)構(gòu)這類函數(shù)雖然最后是借助導(dǎo)數(shù)來實(shí)現(xiàn)，但它的轉(zhuǎn)化方向是一致的，結(jié)果就是三次函數(shù)！例7．已知函數(shù)，則函數(shù)的最大值為_____.解析：因?yàn)?/span>，令，則，，令，解得，當(dāng)時(shí)，在上是減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，在上是增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，在上是減函數(shù)，又，，由此，得在時(shí)取得最大值，最大值為，故的最大值為. 故答案為：例8．函數(shù)的值域?yàn)開___________．解析：，設(shè)，，則，，令，解得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，，，，所以值域?yàn)?/span>.例9．函數(shù)在上的最大值為______.解析：.又，故令，.，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.. 故答案為：.類型6.導(dǎo)數(shù)型例10．（2018全國1卷）已知函數(shù)，則的最小值是__________．解析：，所以當(dāng)時(shí)函數(shù)單調(diào)減，當(dāng)時(shí)函數(shù)單調(diào)增，從而得到函數(shù)的減區(qū)間為，函數(shù)的增區(qū)間為，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，此時(shí)，所以，故答案是.例11．已知函數(shù)，則的最小值是（）A． B． C． D．解析：函數(shù)；顯然，，函數(shù)值才取最?。挥?/span>．令，可得：或．當(dāng)，可得；當(dāng)，，，時(shí)，函數(shù)取得最小值為．故選：A．例12．已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A．的周期為 B．的圖象關(guān)于對稱C．的最大值為 D．在區(qū)間在上單調(diào)遞減解析：由于，故A正確；由于，即的圖象不關(guān)于對稱，故B錯誤；，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)或時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；所以，故C正確；由C項(xiàng)分析可知，在上單調(diào)遞減，故D正確；故選：ACD.