2023-2024學(xué)年河南省鄭州五十七中八年級（上）月考數(shù)學(xué)試卷（10月份）學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________第I卷（選擇題）一、選擇題（本大題共10小題，共30.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）1.下列四個數(shù)中，屬于無理數(shù)的是(    )A.  B.  C.  D. 2.下列說法正確的是(    )A. 的平方根是 B. 的立方根是
C. 沒有平方根 D. 是的一個平方根3.若代數(shù)式有意義，則實數(shù)的取值范圍是(    )A.  B.  C.  D. 且4.在中，，，的對邊分別是，，，下列條件不能判定為直角三角形的是(    )A.  B. ：：：：
C.  D. ：：：：5.下列計算正確的是(    )A.  B.  C.  D. 6.如圖，小明從點出發(fā)，先向西走米，再向南走米到達點，如果用表示點的位置，那么表示的位置是(    )A. 點
B. 點
C. 點
D. 點
 7.如圖，四個全等的直角三角形圍成一個大正方形，中間陰影部分是一個小正方形，這樣就組成一個“趙爽弦圖”若，，則正方形的面積為(    )A.
B.
C.
D. 8.下列各組數(shù)中，能作為直角三角形三邊長的是(    )A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，9.如圖，中，，分別以，為邊向外作正方形，面積分別為，，若，，則(    )A.
B.
C.
D. 10.如圖，數(shù)軸上，，，兩點對應(yīng)的實數(shù)分別是和，則點所對應(yīng)的實數(shù)是(    )

 A.  B.  C.  D. 第II卷（非選擇題）二、填空題（本大題共5小題，共15.0分）11.的平方根是______ ．12.如圖，以數(shù)軸的單位長度線段為邊長作一個正方形，以表示數(shù)的點為圓心，正方形對角線的長為半徑畫半圓，交數(shù)軸于點和點，則點表示的數(shù)是_____________．

 13.設(shè)為正整數(shù)，且，則的值為______ ．14.如圖是放在地面上的一個長方體盒子，其中，，，點在棱上，且，點是的中點，一只螞蟻要沿著長方體盒子的表面從點爬行到點，它需要爬行的最短路程為______．
 15.如圖，等邊的邊長為，，兩點分別從點，同時出發(fā)，沿的邊順時針運動，點的速度為，點的速度為，當(dāng)點第一次到達點時，，兩點同時停止運動，則當(dāng)，運動時間          時，為等腰三角形．
 三、解答題（本大題共8小題，共75.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）16.本小題分
計算下列各題：
；
；
；
．17.本小題分
意大利著名畫家達芬奇用如圖所示的方法證明了勾股定理，其中圖的空白部分是由兩個正方形和兩個直角三角形組成，圖的空白部分由兩個直角三角形和一個正方形組成設(shè)圖中空白部分的面積為，圖中空白部分的面積為．

請用含，，的代數(shù)式分別表示，；
請利用達芬奇的方法證明勾股定理．18.本小題分
已知某正數(shù)的兩個平方根分別是和，的立方根是是的整數(shù)部分．求的平方根．19.本小題分

學(xué)過勾股定理后，李老師和“幾何小分隊”的隊員們到操場上測量旗桿高度，得到如下信息：
測得從旗桿頂端垂直掛下來的升旗用的繩子比旗桿長米如圖；
當(dāng)將繩子拉直時，測得此時拉繩子的手到地面的距離為米，到旗桿的距離為米如圖．
根據(jù)以上信息，求旗桿的高度．
20.本小題分

如圖，正方形網(wǎng)格的每個小方格都是邊長為的正方形，的頂點都在格點上．
分別求出______，______，______；
試判斷是什么三角形，并說明理由．
的面積是多少？并寫出解答過程．
21.本小題分
觀察下列一組等式，然后解答問題：，，，，．
利用上面的規(guī)律，計算：；
請利用上面的規(guī)律，比較與的大小．22.本小題分
閱讀材料
大家知道是無理數(shù)，而無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，因此的小數(shù)部分我們不可能全部地寫出來，于是小明用來表示的小數(shù)部分，你同意小明的表示方法嗎？
事實上，小明的表示方法是有道理，因為的整數(shù)部分是，將這個數(shù)減去其整數(shù)部分，差就是小數(shù)部分．
又例如：，即，
的整數(shù)部分為，小數(shù)部分為．
解答問題
直接寫出的整數(shù)部分和小數(shù)部分；
已知：，其中是整數(shù)，且，求．23.本小題分
閱讀材料：我們來看看完全平方公式在無理數(shù)化簡中的作用．
問題提出：該如何化簡？
建立模型：形如的化簡，只要我們找到兩個數(shù)，，使，，這樣，．
那么便有：，
問題解決：化簡：，
解：首先把化為，這里，，由于，，即，．
，
模型應(yīng)用：利用上述解決問題的方法化簡下列各式：
；
．
模型應(yīng)用：
在中，，，，那么邊的長為多少？直接寫出結(jié)果，結(jié)果化成最簡．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：是整數(shù)，它是有理數(shù)，則不符合題意；
，是分?jǐn)?shù)，它們均為有理數(shù)，則，均不符合題意；
是無限不循環(huán)小數(shù)，它是無理數(shù)，則符合題意；
故選：．
整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)，無理數(shù)即無限不循環(huán)小數(shù)，據(jù)此進行判斷即可．
本題考查無理數(shù)的識別，熟練掌握相關(guān)定義是解題的關(guān)鍵．2.【答案】 【解析】解：的平方根是，故選項錯誤，不符合題意；
B.，的立方根是，故選項錯誤，不符合題意；
C.，有平方根，故選項錯誤，不符合題意；
D.是的一個平方根，故選項正確，符合題意．
故選：．
根據(jù)平方根和立方根的性質(zhì)即可作出判斷．
本題主要考查平方根的相關(guān)知識，求一個數(shù)的平方根的運算，叫做開平方，其中叫做被開方數(shù)，時，有兩個平方根；時，只有一個平方根；時，沒有平方根．3.【答案】 【解析】【分析】
本題考查的是二次根式及分式有意義的條件，熟知二次根式具有非負(fù)性是解答此題的關(guān)鍵．
先根據(jù)分式及二次根式有意義的條件列出關(guān)于的不等式組，求出的取值范圍即可．
【解答】
解：代數(shù)式有意義，
，
解得且．
故選D．4.【答案】 【解析】解：、，，能判定為直角三角形，不符合題意；
B、，能判定為直角三角形，不符合題意；
C、，，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形，不符合題意；
D、：：：：，那么、、，不是直角三角形，符合題意；
故選：．
由三角形內(nèi)角和定理及勾股定理的逆定理進行判斷即可．
本題考查了直角三角形的判定，注意在應(yīng)用勾股定理的逆定理時，應(yīng)先認(rèn)真分析所給邊的大小關(guān)系，確定最大邊后，再驗證兩條較小邊的平方和與最大邊的平方之間的關(guān)系，進而作出判斷．5.【答案】 【解析】【分析】
本題考查立方根與平方根，解題的關(guān)鍵是熟練運用立方根與平方根的定義，本題屬于基礎(chǔ)題型．
根據(jù)平方根與立方根的定義即可求出答案．
【解答】
解：原式，故A錯誤；
原式，故B正確；
原式，故C錯誤；
與不是同類二次根式，故D錯誤；
故選：．6.【答案】 【解析】解：根據(jù)如圖所建的坐標(biāo)系，易知表示的位置是點，
故選：．
根據(jù)題意可得：小明從點出發(fā)，先向西走米，再向南走米到達點，如果點的位置用表示，即向西走為軸負(fù)方向，向南走為軸負(fù)方向；則表示的位置是所在位置．
本題考查了學(xué)生利用類比點坐標(biāo)解決實際問題的能力和閱讀理解能力．解決此類問題需要先確定原點的位置，再求未知點的位置，或者直接利用坐標(biāo)系中的移動法則“右加左減，上加下減”來確定坐標(biāo)．7.【答案】 【解析】解：直角三角形較短的直角邊為，
所以，正方形的面積．
故選：．
根據(jù)勾股定理求出另一條直角邊，利用中間小正方形的面積大正方形的面積個全等的直角三角形的面積，求出即可．
本題考查勾股定理的應(yīng)用，解答時需要通過圖形獲取信息解題．8.【答案】 【解析】解：、，
不能組成三角形，
故A不符合題意；
B、，，
，
不能構(gòu)成直角三角形，
故B不符合題意；
C、，，
，
能成直角三角形，
故C符合題意；
D、，，
，
不能構(gòu)成直角三角形，
故D不符合題意；
故選：．
根據(jù)勾股定理的逆定理進行計算，逐一判斷即可解答．
本題考查了勾股定理的逆定理，熟練掌握勾股定理的逆定理是解題的關(guān)鍵．9.【答案】 【解析】解：由勾股定理得，
，
，，
即，，
，
故選：．
根據(jù)勾股定理結(jié)合正方形的面積公式即可求解．
本題考查了勾股定理，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．10.【答案】 【解析】解：由題可得：，
因為，點對應(yīng)的實數(shù)是，
即點坐標(biāo)為：，
故選D．11.【答案】 【解析】解：，
，，
的平方根是，
故答案為：．
先求得，根據(jù)平方根的定義即可求得答案．
本題考查平方根的定義，此為基礎(chǔ)且重要知識點，必須熟練掌握．12.【答案】 【解析】【分析】
本題考查了實數(shù)與數(shù)軸的有關(guān)問題，解題的關(guān)鍵是利用勾股定理求出的長．
先求出單位正方形的對角線的長，設(shè)點表示的數(shù)為，則單位正方形的對角線的長，求出即可．
【解答】
解：如圖：

由題意可知：，
設(shè)點表示的數(shù)為，
則：，
，
即點表示的數(shù)為，
故答案為：．13.【答案】 【解析】解：，
，
即，
，
故答案為：．
先對該算式進行計算，再進行無理數(shù)大小的估算．
此題考查了對無理數(shù)大小的估算能力，關(guān)鍵是能準(zhǔn)確理解并運用該方法．14.【答案】 【解析】解：如圖，
，，，
，，
；
如圖，
，，，
，，
．
，
螞蟻沿長方體表面爬到米粒處的最短距離為．
故答案為
利用平面展開圖有兩種情況，畫出圖形利用勾股定理求出的長即可．
此題主要考查了平面展開圖的最短路徑問題和勾股定理的應(yīng)用，利用展開圖有兩種情況分析得出是解題關(guān)鍵．15.【答案】或 【解析】解：如圖，設(shè)點、運動秒后，，

由運動知，，，
，
解得：，
點、運動秒后，是等腰三角形；
如圖，假設(shè)是等腰三角形，

，
，
，
是等邊三角形，
，
在和中，
≌，
，
設(shè)當(dāng)點、在邊上運動時，、運動的時間秒時，是等腰三角形，
，，
，
，
解得：故假設(shè)成立．
點、運動時間為秒或秒時，為等腰三角形．
故答案為：或．
分兩種情況求解：如圖，由，可列方程求解；如圖，首先假設(shè)是等腰三角形，可證出≌，可得，設(shè)出運動時間，表示出，，的長，列出方程，可解出未知數(shù)的值．
此題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)及等腰三角形的判定，關(guān)鍵是根據(jù)題意計算動點和的路程，理清線段之間的數(shù)量關(guān)系．16.【答案】解：

；



；



；


． 【解析】先化簡，然后合并同類二次根式即可；
先算負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、零指數(shù)冪和去絕對值，然后計算加減法即可；
先算乘除法，然后合并同類二次根式即可；
根據(jù)平方差公式和完全平方公式將題目中的式子展開，然后合并同類二次根式和合并同類項即可．
本題考查二次根式的混合運算，熟練掌握運算法則是解答本題的關(guān)鍵．17.【答案】解：根據(jù)題意得，圖中空白部分的面積，
圖中空白部分的面積；
由得，
． 【解析】根據(jù)正方形和三角形的面積公式即可得到結(jié)論；
根據(jù)題意列方程即可得到結(jié)論．
本題考查勾股定理的證明，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．18.【答案】解：由題可知：，
解得：，
，
，
，
，
，
的平方根是． 【解析】根據(jù)一個正數(shù)的兩個平方根的和為，立方根的定義，無理數(shù)大小估算的法則，得，，，求得，，，進而解決代值計算便可．
本題主要考查平方根的性質(zhì)以及立方根的定義，熟練掌握平方根的性質(zhì)以及立方根的定義是解決本題的關(guān)鍵．19.【答案】解：設(shè)，則，，根據(jù)題意得：
在中，根據(jù)勾股定理得：，
，
．
答：旗桿的高度為米． 【解析】設(shè)，在中根據(jù)勾股定理列方程求解即可．
本題考查了勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理的相關(guān)知識并在直角三角形中正確運用是解題的關(guān)鍵．20.【答案】     【解析】解：由題意得：
，
，
，
，，，
故答案為：；；；
是直角三角形，
理由：，，
，
是直角三角形；
由得：
，
的面積
，
的面積為．
利用勾股定理，進行計算即可解答；
利用勾股定理的逆定理，進行計算即可解答；
利用三角形的面積公式，進行計算即可解答．
本題考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，三角形的面積，熟練掌握勾股定理的逆定理，以及勾股定理是解題的關(guān)鍵．21.【答案】解：原式

；
由題意得，，，
，
． 【解析】歸納總結(jié)得到一般性規(guī)律，計算即可求出式子的值；
利用得出的規(guī)律將與進行轉(zhuǎn)化，再進行比較即可．
本題考查了二次根式的運算，數(shù)字類規(guī)律，解題的關(guān)鍵是理解題意，找出規(guī)律，準(zhǔn)確計算．22.【答案】解：，即，
的整數(shù)部分是，小數(shù)部分是；
，
，
即，
的整數(shù)部分是，小數(shù)部分是，
是整數(shù)，且，
，，
． 【解析】確定即可解答；
利用估算分別得到和的值，再代入計算即可．
此題考查了無理數(shù)的估算，正確掌握無理數(shù)估算的方法是解題的關(guān)鍵．23.【答案】解：，．
，，
，，
．
．
，，
，，
，，
．
．
，
，，
，，
，，
． 【解析】根據(jù)模型，得，，進而求得和分別為和，代入求解即可；
將原式化為根據(jù)模型，得，，進而求得和分別為和，代入求解即可；
根據(jù)勾股定理，求得邊的長度，再根據(jù)模型化簡即可．
本題考查二次根式的應(yīng)用、完全平方公式及勾股定理等，熟練掌握并能夠靈活運用它們是本題的關(guān)鍵．

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