壓軸題突破練31．(2022·泰安模擬)“學(xué)習(xí)強(qiáng)國(guó)”學(xué)習(xí)平臺(tái)的答題競(jìng)賽包括三項(xiàng)活動(dòng)，分別為“四人賽”“雙人對(duì)戰(zhàn)”和“挑戰(zhàn)答題”．在一天內(nèi)參與“四人賽”活動(dòng)，每局第一名積3分，第二、三名各積2分，第四名積1分，每局比賽相互獨(dú)立．在一天內(nèi)參與“雙人對(duì)戰(zhàn)”活動(dòng)，每局比賽有積分，獲勝者得2分，失敗者得1分，每局比賽相互獨(dú)立．已知甲參加“四人賽”活動(dòng)，每局比賽獲得第一名、第二名的概率均為，獲得第四名的概率為；甲參加“雙人對(duì)戰(zhàn)”活動(dòng)，每局比賽獲勝的概率為.(1)記甲在一天中參加“四人賽”和“雙人對(duì)戰(zhàn)”兩項(xiàng)活動(dòng)(兩項(xiàng)活動(dòng)均只參加一局)的總得分為X，求X的分布列與均值；(2)“挑戰(zhàn)答題”比賽規(guī)則如下：每位參賽者每次連續(xù)回答5道題，在答對(duì)的情況下可以持續(xù)答題，若第一次答錯(cuò)，則答題結(jié)束，積分為0分，只有全部答對(duì)5道題可以獲得5個(gè)積分．某部門為了吸引更多職工參與答題，設(shè)置了一個(gè)“得積分進(jìn)階”活動(dòng)，從1階到n(n≥10)階，規(guī)定每輪答題獲得5個(gè)積分進(jìn)2階，沒有獲得積分進(jìn)1階，按照獲得的階級(jí)給予相應(yīng)的獎(jiǎng)品，記乙每次獲得5個(gè)積分的概率互不影響，均為，記乙進(jìn)到n階的概率為Pn，求P12.解　(1)甲參加“四人賽”時(shí)，每局比賽獲得第三名的概率為1－＝，依題意，X所有可能的取值為5,4,3,2，P(X＝5)＝×＝，P(X＝4)＝×＋×＋×＝，P(X＝3)＝×＋×＋×＝，P(X＝2)＝×＝，所以X的分布列為X5432P 所以E(X)＝5×＋4×＋3×＋2×＝.(2)依題意，P1＝，P2＝，“進(jìn)到n＋1階”的情況包括：第一種情況是進(jìn)到n階后下一輪未獲得5個(gè)積分，其概率為Pn；第二種情況是進(jìn)到n－1階后下一輪獲得5個(gè)積分，其概率為Pn－1，兩種情況互斥，所以Pn＋1＝Pn＋Pn－1(n≥2，n∈N*)，則Pn＋1－Pn＝Pn＋Pn－1－Pn＝－(Pn－Pn－1)，所以＝－(n≥2，n∈N*)，又P2－P1＝，所以數(shù)列{Pn＋1－Pn}是首項(xiàng)為，公比為－的等比數(shù)列，所以Pn＋1－Pn＝×n－1，故P12＝P1＋(P2－P1)＋…＋(P11－P10)＋(P12－P11)＝＋＋×＋…＋×10 ＝＋×＝＋，即P12＝＋.2．(2022·濟(jì)寧模擬)已知拋物線E：y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M(4，m)在拋物線E上，且△OMF的面積為p2(O為坐標(biāo)原點(diǎn))．(1)求拋物線E的方程；(2)過焦點(diǎn)F的直線l與拋物線E交于A，B兩點(diǎn)，過A，B分別作垂直于l的直線AC，BD，分別交拋物線于C，D兩點(diǎn)，求|AC|＋|BD|的最小值．解　(1)由題意可得解得p＝2.故拋物線E的方程為y2＝4x.(2)由題意知，直線l的斜率一定存在且不為0，設(shè)直線l的方程為x＝ty＋1，t≠0，F(1,0)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，由消去x得y2－4ty－4＝0.所以y1＋y2＝4t，y1y2＝－4.由AC垂直于l可知，直線AC的方程為y－y1＝－t(x－x1)，由消去x得ty2＋4y－4tx1－4y1＝0.所以y1＋y3＝－，y1y3＝.所以|AC|＝＝＝＝＝·|ty1＋2|＝·(ty1＋2)．同理可得|BD|＝·(ty2＋2)，所以|AC|＋|BD|＝·[t(y1＋y2)＋4]＝(t2＋1)＝8，令f(x)＝，x>0，則f′(x)＝，x>0，所以當(dāng)x∈(0,2)時(shí)，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x∈(2，＋∞)時(shí)，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增．所以當(dāng)x＝2時(shí)，f(x)取得最小值，即當(dāng)t＝±時(shí)，|AC|＋|BD|取得最小值，最小值為12.

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