小題滿分練7一、單項(xiàng)選擇題1．(2022·全國(guó)甲卷)若z＝－1＋i，則等于(　　)A．－1＋i   B．－1－iC．－＋i   D．－－i答案　C解析　＝＝＝－＋i，故選C.2．定義集合運(yùn)算：A*B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}，設(shè)A＝{1,2}，B＝{1,2,3}，則集合A*B的所有元素之和為(　　)A．16  B．18  C．14  D．8答案　A解析　由題設(shè)知A*B＝{1,2,3,4,6}，∴所有元素之和為1＋2＋3＋4＋6＝16.3．(2022·卓越高中聯(lián)盟聯(lián)考)若“?x∈R，sin x－cos x＝a”為假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　)A．[－2,2]   B．(－2,2)C．(－∞，－2]∪[2，＋∞)   D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)答案　D解析　因?yàn)?/span>“?x∈R，sin x－cos x＝a”為假命題，則“?x∈R，sin x－cos x≠a”為真命題，因?yàn)?/span>f(x)＝sin x－cos x＝2sin∈[－2,2]，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是(－∞，－2)∪(2，＋∞)．4．(2022·湖北七市(州)聯(lián)考)某學(xué)校高一年級(jí)、高二年級(jí)、高三年級(jí)的人數(shù)分別為1 600,1 100,800，現(xiàn)用比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法從高一年級(jí)、高二年級(jí)、高三年級(jí)抽取一個(gè)學(xué)生樣本測(cè)量學(xué)生的身高．如果在這個(gè)樣本中，有高一年級(jí)學(xué)生32人，且測(cè)得高一年級(jí)、高二年級(jí)、高三年級(jí)學(xué)生的平均身高分別為160 cm,165 cm,170 cm.則下列說法正確的是(　　)A．高三年級(jí)抽取的學(xué)生人數(shù)為32B．高二年級(jí)每個(gè)學(xué)生被抽取到的概率為C．所有年級(jí)中，高一年級(jí)每個(gè)學(xué)生被抽取到的概率最大D．所有學(xué)生的平均身高估計(jì)要小于165 cm答案　D解析　根據(jù)比例分配的分層隨機(jī)抽樣的定義，高三抽取的學(xué)生人數(shù)為×32＝16，A錯(cuò)誤；分層隨機(jī)抽樣中每個(gè)個(gè)體被抽取的概率相等，均為＝，B錯(cuò)誤，C錯(cuò)誤；平均身高為×160＋×165＋×170≈163.9(cm)，D正確．5．(2022·全國(guó)乙卷)嫦娥二號(hào)衛(wèi)星在完成探月任務(wù)后，繼續(xù)進(jìn)行深空探測(cè)，成為我國(guó)第一顆環(huán)繞太陽(yáng)飛行的人造行星．為研究嫦娥二號(hào)繞日周期與地球繞日周期的比值，用到數(shù)列{bn}：b1＝1＋，b2＝1＋，b3＝1＋，…，依此類推，其中αk∈N*(k＝1,2，…)．則(　　)A．b1<b5   B．b3<b8C．b6<b2   D．b4<b7答案　D解析　方法一　當(dāng)n取奇數(shù)時(shí)，由已知b1＝1＋，b3＝1＋，因?yàn)?/span>>，所以b1>b3，同理可得b3>b5，b5>b7，…，于是可得b1>b3>b5>b7>…，故A不正確；當(dāng)n取偶數(shù)時(shí)，由已知b2＝1＋，b4＝1＋，因?yàn)?/span>>，所以b2<b4，同理可得b4<b6，b6<b8，…，于是可得b2<b4<b6<b8<…，故C不正確；因?yàn)?/span>>，所以b1>b2，同理可得b3>b4，b5>b6，b7>b8，又b3>b7，所以b3>b8，故B不正確；故選D.方法二　(特殊值法)不妨取αk＝1(k＝1,2，…)，則b1＝1＋＝2，b2＝1＋＝1＋＝1＋＝，b3＝1＋＝1＋＝1＋＝，所以b4＝1＋＝1＋＝，b5＝1＋＝1＋＝，b6＝1＋＝1＋＝，b7＝1＋＝1＋＝，b8＝1＋＝1＋＝.逐一判斷選項(xiàng)可知選D.6．(2022·咸陽(yáng)模擬)設(shè)a>0，b>0,2是4a與4b的等比中項(xiàng)，則的最大值為(　　)A.  B.  C.  D.答案　B解析　∵2是4a與4b的等比中項(xiàng)，∴4a·4b＝22，∴a＋b＝1.∵＝，＋＝(a＋b)＝5＋＋≥5＋2＝9，當(dāng)且僅當(dāng)a＝，b＝時(shí)取等號(hào)，∴≤，∴的最大值為.7．(2022·湖北八市聯(lián)考)各種不同的進(jìn)制在我們生活中隨處可見，計(jì)算機(jī)使用的是二進(jìn)制，數(shù)學(xué)運(yùn)算一般使用十進(jìn)制．通常我們用函數(shù)f(x)＝表示在x進(jìn)制下表達(dá)M(M>1)個(gè)數(shù)字的效率，則下列選項(xiàng)中表達(dá)效率最高的是(　　)A．二進(jìn)制   B．三進(jìn)制C．八進(jìn)制   D．十進(jìn)制答案　B解析　因?yàn)?/span>f(x)＝＝＝·，f′(x)＝·，令f′(x)>0，易知f(x)在(0，e)上單調(diào)遞增，在(e，＋∞)上單調(diào)遞減，而f(2)＝f(4)，故可得f(3)>f(2)>f(8)>f(10)．則效率最高的是三進(jìn)制．8.(2022·長(zhǎng)沙十六校聯(lián)考)如圖，在△ABC中，AB＝4，AC＝3，∠BAC＝90°，D在邊BC上，延長(zhǎng)AD到P，使得AP＝9，若＝m＋(m為常數(shù))，則CD的長(zhǎng)度是(　　)A.   B．0或C.   D．0或答案　D解析　∵A，D，P三點(diǎn)共線，∴可設(shè)＝λ(λ>0)，∵＝m＋，∴λ＝m＋，即＝＋，當(dāng)m≠0且m≠時(shí)，B，D，C三點(diǎn)共線，∴＋＝1，即λ＝，∵AP＝9，∴AD＝3，∵AB＝4，AC＝3，∠BAC＝90°，∴BC＝5，設(shè)CD＝x，∠CDA＝θ，則BD＝5－x，∠BDA＝π－θ.∴根據(jù)余弦定理可得cos θ＝＝，cos(π－θ)＝＝，∵cos θ＋cos(π－θ)＝0，∴＋＝0，解得x＝，∴CD的長(zhǎng)度為；當(dāng)m＝0時(shí)，＝，C，D重合，此時(shí)CD的長(zhǎng)度為0；當(dāng)m＝時(shí)，＝，即＝＋，B，D重合，此時(shí)PA＝12，不符合題意，舍去．二、多項(xiàng)選擇題9．(2022·新高考全國(guó)Ⅰ)已知正方體ABCD－A1B1C1D1，則(　　)A．直線BC1與DA1所成的角為90°B．直線BC1與CA1所成的角為90°C．直線BC1與平面BB1D1D所成的角為45°D．直線BC1與平面ABCD所成的角為45°答案　ABD解析　如圖，連接AD1，在正方形A1ADD1中，AD1⊥DA1，因?yàn)?/span>AD1∥BC1，所以BC1⊥DA1，所以直線BC1與DA1所成的角為90°，故A正確；在正方體ABCD－A1B1C1D1中，CD⊥平面BCC1B1，又BC1?平面BCC1B1，所以CD⊥BC1.連接B1C，則B1C⊥BC1.因?yàn)?/span>CD∩B1C＝C，CD，B1C?平面DCB1A1，所以BC1⊥平面DCB1A1，又CA1?平面DCB1A1，所以BC1⊥CA1，所以直線BC1與CA1所成的角為90°，故B正確；連接A1C1，交B1D1于點(diǎn)O，則易得OC1⊥平面BB1D1D，連接OB.因?yàn)?/span>OB?平面BB1D1D，所以OC1⊥OB，∠OBC1為直線BC1與平面BB1D1D所成的角．設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a，則易得BC1＝a，OC1＝，所以在Rt△BOC1中，OC1＝BC1，所以∠OBC1＝30°，故C錯(cuò)誤；因?yàn)?/span>C1C⊥平面ABCD，所以∠CBC1為直線BC1與平面ABCD所成的角，易得∠CBC1＝45°，故D正確．故選ABD.10．在數(shù)列{an}中，對(duì)任意n∈N*，都有＝k(k為常數(shù))，則稱{an}為“等差比數(shù)列”．下面對(duì)“等差比數(shù)列”的判斷正確的是(　　)A．k不可能為0B．等差數(shù)列一定是等差比數(shù)列C．等比數(shù)列一定是等差比數(shù)列D．通項(xiàng)公式為an＝a·bn＋c(a≠0，b≠0,1)的數(shù)列一定是等差比數(shù)列答案　AD解析　A選項(xiàng)，若k＝0，則數(shù)列{an}是常數(shù)列，所以分母為0，所以k不可能為0，故A正確；B選項(xiàng)，當(dāng)?shù)炔顢?shù)列是常數(shù)列時(shí)，分母等于0，不成立，故B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，當(dāng)?shù)缺葦?shù)列是常數(shù)列時(shí)，分母等于0，不成立，故C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，因?yàn)?/span>an＝a·bn＋c(a≠0，b≠0,1)，所以＝＝＝b，為常數(shù)，是等差比數(shù)列，故D正確． 11．(2022·湖南六校聯(lián)考)已知橢圓C：＋＝1上有一點(diǎn)P，F1，F2分別為其左、右焦點(diǎn)，∠F1PF2＝θ，△F1PF2的面積為S，則下列說法正確的是(　　)A．△F1PF2的周長(zhǎng)為4＋2B．角θ的最大值為90°C．若S＝，則相應(yīng)的點(diǎn)P共有2個(gè)D．若△F1PF2是鈍角三角形，則S的取值范圍是(0，)答案　ABD解析　由已知可得a＝2，b＝，所以c＝，△F1PF2的周長(zhǎng)為2a＋2c＝4＋2，故A正確；因?yàn)?/span>b＝c，所以以F1F2為直徑的圓與橢圓C相切于上、下頂點(diǎn)，所以θ≤90°，故B正確；設(shè)△F1PF2的邊F1F2上的高為h，則S＝×2×h＝h＝，所以h＝1<＝b，由橢圓的對(duì)稱性可知，點(diǎn)P共有4個(gè)，故C錯(cuò)誤；因?yàn)?/span>△PF1F2為鈍角三角形，所以△PF1F2中有一個(gè)角大于90°，由選項(xiàng)B知∠F1PF2不可能為鈍角，所以∠PF2F1或∠PF1F2為鈍角，當(dāng)∠PF2F1＝90°時(shí)，將x＝代入＋＝1得y＝±1，此時(shí)△F1PF2的面積為S＝×2×1＝，所以若△F1PF2是鈍角三角形，則其面積S∈(0，)，故D正確．12．(2022·蘇州模擬)已知直線y＝a與曲線y＝相交于A，B兩點(diǎn)，與曲線y＝相交于B，C兩點(diǎn)，A，B，C的橫坐標(biāo)分別為x1，x2，x3，則(　　)A． B．x2＝ln x1C．   D．x1x3＝x答案　ACD解析　y＝，令y′＝＝0，則x＝1.則y＝在(－∞，1)上單調(diào)遞增，在(1，＋∞)上單調(diào)遞減，ymax＝.y＝，令y′＝＝0，則x＝e，則y＝在(0，e)上單調(diào)遞增，在(e，＋∞)上單調(diào)遞減，∴ymax＝.＝a，則x2＝，A正確；＝a＝＝ ，y＝在(0,1)上單調(diào)遞增，0<x1<1,1<x2<e,0<ln x2<1，∴x1＝ln x2，B錯(cuò)誤；＝a＝，y＝在(e，＋∞)上單調(diào)遞減，∈(e，ee)，x3>e，∴＝x3，C正確；x1x3＝ln x2＝·ax2＝x，D正確．三、填空題13．(2022·日照模擬)6展開式中的常數(shù)項(xiàng)為________．答案　解析　Tk＋1＝Cx6－kk令6－k＝0，得k＝4，∴常數(shù)項(xiàng)為4C＝.14．(2022·濰坊模擬)已知函數(shù)f(x)＝則f(－1)＋f(log312)＝__________.答案　7解析　因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝所以f(－1)＝2＋log22＝3，f(log312)＝所以f(－1)＋f(log312)＝7.15.(2022·鹽城模擬)某同學(xué)的通用技術(shù)作品如圖所示，該作品由兩個(gè)相同的正四棱柱制作而成．已知正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為3 cm，這兩個(gè)正四棱柱的公共部分構(gòu)成的多面體的面數(shù)為__________，體積為________ cm3.答案　8　18解析　公共部分是兩個(gè)正四棱錐且底面重疊的空間幾何體，共8個(gè)面．底面是以3 cm為邊長(zhǎng)的正方形，其面積為S＝18 cm2，其中一個(gè)正四棱錐的高為 cm.∴V＝×18××2＝18(cm3)．16．若函數(shù)y＝f(x)的定義域內(nèi)存在x1，x2(x1≠x2)，使 ＝1成立，則稱該函數(shù)為“互補(bǔ)函數(shù)”．若函數(shù)f(x)＝cos－sin(ω>0)在[π，2π]上為“互補(bǔ)函數(shù)”，則ω的取值范圍為______________．答案　∪解析　f(x)＝cos＋sin＝cos＝sin ωx，由“互補(bǔ)函數(shù)”的定義得，存在x1，x2∈[π，2π](x1≠x2)，f(x1)＋f(x2)＝2，所以令t＝ωx，則函數(shù)y＝sin t在區(qū)間[ωπ，2ωπ]上至少存在兩個(gè)極大值點(diǎn)，則ωπ≥2π，得ω≥2.當(dāng)2T＝2×≤π，即ω≥4時(shí)，顯然符合題意；當(dāng)2≤ω<4時(shí)，分以下兩種情況討論，當(dāng)ωπ≤，即ω≤時(shí)，2ωπ≥，即ω≥，所以≤ω≤；當(dāng)<ωπ<4π，即<ω<4時(shí)，2ωπ≥，即ω≥，所以≤ω<4.綜上，ω的取值范圍為∪.

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