小題滿(mǎn)分練5一、單項(xiàng)選擇題1．(2022·濟(jì)寧模擬)已知復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足z·i3＝1－2i，則的虛部為(　　)A．1  B．－1  C．2  D．－2答案　B解析　因?yàn)?/span>z·i3＝1－2i，可得z＝＝＝(1－2i)i＝2＋i，所以＝2－i，所以的虛部為－1.2．(2022·衡水模擬)已知集合A＝{x|y＝ln(x－1)}，B＝{x|x≤a}，若A∪B＝R，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為(　　)A．(1，＋∞)   B．[1，＋∞)C．(－∞，1)   D．(－∞，1]答案　B解析　由題意可知A＝{x|y＝ln(x－1)}＝{x|x>1}，所以由A∪B＝R得a≥1.3．(2022·莆田質(zhì)檢)若sin 12°＋cos 12°＝a，則cos 66°等于(　　)A．1－a   B．a－1C．1－a2   D．a2－1答案　D解析　依題意知sin 12°＋cos 12°＝a，兩邊平方并化簡(jiǎn)得1＋sin 24°＝a2，則sin 24°＝a2－1，所以cos 66°＝cos(90°－24°)＝sin 24°＝a2－1.4．(2022·新高考全國(guó)Ⅰ)南水北調(diào)工程緩解了北方一些地區(qū)水資源短缺問(wèn)題，其中一部分水蓄入某水庫(kù)．已知該水庫(kù)水位為海拔148.5 m時(shí)，相應(yīng)水面的面積為140.0 km2；水位為海拔157.5 m時(shí)，相應(yīng)水面的面積為180.0 km2.將該水庫(kù)在這兩個(gè)水位間的形狀看作一個(gè)棱臺(tái)，則該水庫(kù)水位從海拔148.5 m上升到157.5 m時(shí)，增加的水量約為(≈2.65)(　　)A．1.0×109 m3   B．1.2×109 m3C．1.4×109 m3   D．1.6×109 m3答案　C解析　如圖，由已知得該棱臺(tái)的高為157．5－148.5＝9(m)，所以該棱臺(tái)的體積V＝×9×(140＋＋180)×106＝60×(16＋3)×106≈60×(16＋3×2.65)×106＝1.437×109≈1.4×109(m3)．故選C.5．(2022·淄博模擬)若4x＝5y＝20，z＝logxy，則x，y，z的大小關(guān)系為(　　)A．x<y<z   B．z<x<yC．y<x<z   D．z<y<x答案　D解析　∵4x＝5y＝20，根據(jù)指數(shù)與對(duì)數(shù)的關(guān)系和y＝logax(a>1)為增函數(shù)，得x＝log420>log416＝2，y＝log520，由log55<log520<log525，得1<log520<2，故1<y<2，∴1<y<x，可得logxy<logxx＝1，即z<1，綜上，z<y<x.6．(2022·廣東六校聯(lián)考)我國(guó)最早按樂(lè)器的制造材料對(duì)樂(lè)器進(jìn)行分類(lèi)，《周禮·春宮》中記載，中國(guó)古典樂(lè)器一般按“八音”分類(lèi)，分為“金、石、土、革、絲、木、匏(páo)、竹”八音，其中“金、石、木、革”為打擊樂(lè)器，“土、匏、竹”為吹奏樂(lè)器，“絲”為彈撥樂(lè)器．現(xiàn)從“金、石、土、匏、絲”中任取三音，則三音來(lái)自?xún)煞N不同類(lèi)型樂(lè)器的概率為(　　)A.   B.C.   D.答案　B解析　由題意可得，從“金、石、土、匏、絲”中任取三音，共有C＝10(種)不同的取法，三音來(lái)自?xún)煞N不同類(lèi)型樂(lè)器的取法共有CC＋CC＋CC＋CC＝6(種)，故所求概率P＝＝.7．(2022·泰安模擬)已知數(shù)列{an}是首項(xiàng)為a，公差為1的等差數(shù)列，數(shù)列{bn}滿(mǎn)足bn＝.若對(duì)任意的n∈N*，都有bn≥b5成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　)A．[－6，－5]   B．(－6，－5)C．[－5，－4]   D．(－5，－4)答案　D解析　根據(jù)題意，數(shù)列{an}是首項(xiàng)為a，公差為1的等差數(shù)列，所以an＝n＋a－1，由于數(shù)列{bn}滿(mǎn)足bn＝＝＋1，所以≥對(duì)任意的n∈N*都成立，故數(shù)列{an}單調(diào)遞增，且滿(mǎn)足a5<0，a6>0，所以解得－5<a<－4.8．(2022·全國(guó)乙卷)已知函數(shù)f(x)，g(x)的定義域均為R，且f(x)＋g(2－x)＝5，g(x)－f(x－4)＝7.若y＝g(x)的圖象關(guān)于直線(xiàn)x＝2對(duì)稱(chēng)，g(2)＝4，則 f(k)等于(　　)A．－21  B．－22  C．－23  D．－24答案　D解析　由y＝g(x)的圖象關(guān)于直線(xiàn)x＝2對(duì)稱(chēng)，可得g(2＋x)＝g(2－x)．在f(x)＋g(2－x)＝5中，用－x替換x，可得f(－x)＋g(2＋x)＝5，可得f(－x)＝f(x)．在g(x)－f(x－4)＝7中，用2－x替換x，得g(2－x)＝f(－x－2)＋7，代入f(x)＋g(2－x)＝5中，得f(x)＋f(－x－2)＝－2，可得f(x)＋f(x＋2)＝－2，所以f(x＋2)＋f(x＋4)＝－2，所以f(x＋4)＝f(x)，所以函數(shù)f(x)是以4為周期的周期函數(shù)．由f(x)＋g(2－x)＝5可得f(0)＋g(2)＝5，又g(2)＝4，所以可得f(0)＝1，又f(x)＋f(x＋2)＝－2，所以f(0)＋f(2)＝－2，f(－1)＋f(1)＝－2，得f(2)＝－3，f(1)＝f(－1)＝－1，又f(3)＝f(－1)＝－1，f(4)＝f(0)＝1，所以 f(k)＝6f(1)＋6f(2)＋5f(3)＋5f(4)＝6×(－1)＋6×(－3)＋5×(－1)＋5×1＝－24.故選D.二、多項(xiàng)選擇題9．(2022·龍巖質(zhì)檢)已知二項(xiàng)式n的展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)之和是，則下列說(shuō)法正確的有(　　)A．展開(kāi)式共有7項(xiàng)B．二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第4項(xiàng)C．所有二項(xiàng)式系數(shù)和為128D．展開(kāi)式的有理項(xiàng)共有4項(xiàng)答案　CD解析　因?yàn)槎?xiàng)式n的展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)之和是，所以令x＝1，可得n＝?＝?n＝7.因?yàn)?/span>n＝7，所以展開(kāi)式共有8項(xiàng)，因此A不正確；因?yàn)?/span>n＝7，所以二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第4項(xiàng)和第5項(xiàng)，因此B不正確；因?yàn)?/span>n＝7，所以所有二項(xiàng)式系數(shù)和為27＝128，所以C正確；展開(kāi)式通項(xiàng)為Tk＋1＝C·k·，k＝0,1,2，…，7，當(dāng)k＝1,3,5,7時(shí)，對(duì)應(yīng)的項(xiàng)是有理項(xiàng)，故D正確．10．(2022·聊城質(zhì)檢)已知實(shí)數(shù)a，b，c滿(mǎn)足a>b>c>0，則下列說(shuō)法正確的是(　　)A.<B.<C．ab＋c2>ac＋bcD．(a＋b)的最小值為4答案　BC解析　對(duì)于A，因?yàn)?/span>a>b>c>0，所以<，<0，所以>，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)?/span>a>b>c>0，所以c(a－b)>0，a(a＋c)>0，所以－＝＝＝>0，所以<，所以B正確；對(duì)于C，因?yàn)?/span>a>b>c>0，所以a－c>0，b－c>0，所以ab＋c2－(ac＋bc)＝a(b－c)－c(b－c)＝(a－c)(b－c)>0，所以ab＋c2>ac＋bc，所以C正確；對(duì)于D，因?yàn)?/span>a>0，b>0，所以(a＋b)＝2＋＋≥2＋2＝4，當(dāng)且僅當(dāng)＝，即a＝b時(shí)取等號(hào)，因?yàn)?/span>a>b，所以取不到等號(hào)，所以(a＋b)的最小值不為4，所以D錯(cuò)誤．11．(2022·保定模擬)在正方體ABCD－A1B1C1D1中，點(diǎn)M，N分別是棱A1D1，AB的中點(diǎn)，則下列選項(xiàng)中正確的是(　　)A．MC⊥DNB．A1C1∥平面MNCC．異面直線(xiàn)MD與NC所成角的余弦值為D．平面MNC截正方體所得的截面是五邊形答案　AD解析　以點(diǎn)D為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，則D(0,0,0)，M(1,0,2)，C(0,2,0)，N(2,1,0)，A(2,0,0)．所以＝(－1,2，－2)，＝(2,1,0)，·＝－2＋2＝0，所以MC⊥DN，故A正確；因?yàn)?/span>＝(－1,2，－2)，＝(1,1，－2)，設(shè)平面MNC的法向量為n＝(x，y，z)，所以由·n＝0，·n＝0，可得所以可取n＝(2,4,3)，因?yàn)?/span>＝(－2,2,0)，·n＝－4＋8＝4≠0，又＝，所以A1C1不與平面MNC平行，故B錯(cuò)誤；因?yàn)?/span>＝(1,0,2)，＝(－2,1,0)，所以cos〈，〉＝＝－，所以異面直線(xiàn)MD與NC所成角的余弦值為，故C錯(cuò)誤；連接CN，在D1C1上取靠近D1的四等分點(diǎn)Q，連接MQ，則MQ∥CN，連接CQ，在AA1上取靠近A1的三等分點(diǎn)P，連接NP，則NP∥CQ，連接MP，所以平面MNC截正方體所得的截面是五邊形CQMPN，故D正確．12．(2022·山東名校大聯(lián)考)設(shè)函數(shù)f(x)＝sin ωx－cos ωx(ω>0)，已知f(x)在[0，π]上有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是(　　)A．在(0，π)上存在x1，x2，滿(mǎn)足f(x1)－f(x2)＝4B．f(x)在(0，π)上有2個(gè)最大值點(diǎn)C．f(x)在上單調(diào)遞增D．ω的取值范圍為答案　AD解析　f(x)＝sin ωx－cos ωx＝2sin(ω>0)，則函數(shù)f(x)的大致圖象如圖所示，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝2sin＝－1，因?yàn)?/span>ω>0，所以當(dāng)x>0時(shí)，f(x)在y軸右側(cè)第一個(gè)最大值區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，因?yàn)?/span>f(x)在[0，π]上有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，所以π的位置在C與D之間(包括C，不包括D)，令f(x)＝2sin＝0，則ωx－＝kπ，k∈Z，得x＝，k∈Z，所以y軸右側(cè)第一個(gè)零點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，周期T＝，所以＋T≤π<＋T，即＋≤π<＋·，解得≤ω<，所以D正確；在區(qū)間(0，π)上，函數(shù)f(x)可以取到最大值和最小值，所以在(0，π)上存在x1，x2，滿(mǎn)足f(x1)－f(x2)＝4，所以A正確；由圖象可得，f(x)在(0，π)上不一定有2個(gè)最大值點(diǎn)，所以B錯(cuò)誤；當(dāng)0<x<時(shí)，－<ωx－<－，因?yàn)?/span>≤ω＜，所以≤－＜，所以f(x)在上不單調(diào)遞增，所以C錯(cuò)誤．三、填空題13．(2022·濟(jì)南模擬)已知圓錐的軸截面是一個(gè)頂角為，腰長(zhǎng)為2的等腰三角形，則該圓錐的體積為________．答案　π解析　因?yàn)閳A錐的軸截面是一個(gè)頂角為，腰長(zhǎng)為2的等腰三角形，則此等腰三角形底邊上的高即為圓錐的高，設(shè)為h，因此h＝2cos ＝1，圓錐底面圓半徑r＝＝，所以圓錐的體積為V＝πr2h＝×()2×1＝π.14．(2022·六安模擬)若函數(shù)f(x)＝為奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為________．答案　±1解析　因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝為奇函數(shù)，所以f(x)＋f(－x)＝0，即＋＝0，解得a＝±1.15．(2022·威海模擬)已知在△ABC中，AB＝3，AC＝5，其外接圓的圓心為O，則·的值為______．答案　8解析　如圖，過(guò)O作OD⊥AB交AB于D，OE⊥AC交AC于E，可得D，E分別為AB，AC的中點(diǎn)，則·＝·(－)＝·－·＝(＋)·－(＋)·＝·＋·－·－·＝2＋0－2－0＝×(25－9)＝8.16．(2022·如皋模擬)在平面直角坐標(biāo)系中，F1，F2分別是雙曲線(xiàn)C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)，過(guò)F1的直線(xiàn)l與雙曲線(xiàn)的左、右兩支分別交于點(diǎn)A，B，點(diǎn)T在x軸上，滿(mǎn)足＝3，且BF2經(jīng)過(guò)△BF1T的內(nèi)切圓圓心，則雙曲線(xiàn)C的離心率為________．答案　解析　如圖所示，設(shè)|AF1|＝m，因?yàn)?/span>|F1F2|＝2c，＝3，則AF2∥BT，所以△F1AF2∽△F1BT，所以＝＝＝，所以|BF1|＝3m，|F2T|＝4c，由雙曲線(xiàn)的定義可得，|AF2|＝|AF1|＋2a＝m＋2a，|BF2|＝|BF1|－2a＝3m－2a，因?yàn)?/span>BF2經(jīng)過(guò)△BF1T的內(nèi)切圓圓心，即BF2平分∠F1BT，所以＝＝＝，則|BT|＝2|BF1|＝6m，所以|AF2|＝|BT|＝2m，所以2m＝m＋2a，則m＝2a，則|AB|＝2m＝4a＝|AF2|，|BF2|＝3m－2a＝4a，故△ABF2為等邊三角形，則∠BAF2＝，故∠F1AF2＝，在△F1AF2中，|AF1|＝2a，|AF2|＝4a，|F1F2|＝2c，由余弦定理可得|F1F2|2＝|AF1|2＋|AF2|2－2|AF1|·|AF2|cos ，即4c2＝4a2＋16a2－16a2×，可得c＝a，因此，該雙曲線(xiàn)的離心率為e＝＝.

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