小題滿分練8一、單項選擇題1．(2022·武漢模擬)設(shè)全集U＝R，集合A＝{x|x2－x－2>0}，B＝{x|ln x>0}，則(?UA)∩B等于(　　)A．(0,2)   B．(0,2]C．(1,2)   D．(1,2]答案　D解析　因為A＝{x|x2－x－2>0}＝{x|(x－2)(x＋1)>0}＝{x|x<－1或x>2}，故?UA＝{x|－1≤x≤2}，又B＝{x|ln x>0}＝{x|ln x>ln 1}＝{x|x>1}，故(?UA)∩B＝{x|1<x≤2}＝(1,2]．2．(2022·葫蘆島模擬)某生物興趣小組為研究一種紅鈴蟲的產(chǎn)卵數(shù)y與溫度x(單位：℃)的關(guān)系．現(xiàn)收集了7組觀測數(shù)據(jù)(xi，yi)(i＝1,2，…，7)得到如圖所示的散點圖．由此散點圖，在20 ℃至36 ℃之間，下面四個經(jīng)驗回歸方程類型中最適宜作為紅鈴蟲產(chǎn)卵數(shù)y和溫度x的經(jīng)驗回歸方程類型的是(　　)A．y＝a＋bx   B．y＝a＋C．y＝a＋bex   D．y＝a＋bln x答案　C解析　由散點圖可以看出紅鈴蟲產(chǎn)卵數(shù)y隨著溫度x的升高，增長速度越來越快，所以y＝a＋bex最適宜作為紅鈴蟲產(chǎn)卵數(shù)y和溫度x的經(jīng)驗回歸方程類型．3．(2022·中山模擬)已知{an}為正項等比數(shù)列，且a2a4＝4，設(shè)Tn為該數(shù)列的前n項積，則T5等于(　　)A．8  B．16  C．32  D．64答案　C解析　因為{an}是正項等比數(shù)列，所以a＝a2a4＝4，a3＝2或a3＝－2(舍去)，T5＝a1a2a3a4a5＝a＝25＝32.4．(2022·新高考全國Ⅱ)已知向量a＝(3,4)，b＝(1,0)，c＝a＋tb，若〈a，c〉＝〈b，c〉，則t等于(　　)A．－6  B．－5  C．5  D．6答案　C解析　由題意，得c＝a＋tb＝(3＋t，4)，所以a·c＝3×(3＋t)＋4×4＝25＋3t，b·c＝1×(3＋t)＋0×4＝3＋t.因為〈a，c〉＝〈b，c〉，所以cos〈a，c〉＝cos〈b，c〉，即＝，即＝3＋t，解得t＝5，故選C.5．(2022·福州模擬)充電電池是電動汽車的核心零件之一，如何提高充電速度是電池制造商重點關(guān)注的研究方向，已知電池充入的電量E(單位：kW·h)與充電時間t(單位：min)滿足函數(shù)E(t)＝M(1－e－kt)，其中M表示電池的容量，k表示電池的充電效率，研究人員對A，B兩個型號的電池進行充電測試，電池A的容量為80 kW·h，充電30 min充入了40 kW·h的電量；電池B的容量為60 kW·h，充電15 min充入了20 kW·h的電量．設(shè)電池A的充電效率為k1，電池B的充電效率為k2，則(　　)A．k1>k2B．k1<k2C．k1＝k2D．k1，k2的大小關(guān)系無法確定答案　B解析　由題意得則同理則得由指數(shù)函數(shù)單調(diào)性得－30k2<－30k1，即k1<k2. 6．(2022·邯鄲模擬)已知直線x－y＋m＝0與圓C：x2＋y2＋4y＝0相交于A，B兩點，若·＝0，則m的值為(　　)A．－4或0   B．－4或4C．0或4   D．－4或2答案　A解析　由x2＋y2＋4y＝0，得x2＋(y＋2)2＝4，則圓心為C(0，－2)，半徑為2，由·＝0，得CA⊥CB，即圓心C到直線x－y＋m＝0的距離為2×＝，即＝，即m＝0或m＝－4.7.(2022·濰坊模擬)如圖，已知雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的左、右頂點分別是A1，A2，圓x2＋y2＝a2與C的漸近線在第一象限的交點為M，直線A1M交C的右支于點P，若△MPA2是等腰三角形，且∠PA2M的內(nèi)角平分線與y軸平行，則C的離心率為(　　)A．2  B.  C.  D.答案　B解析　聯(lián)立且M在第一象限，可得M，而A1(－a，0)，A2(a，0)，所以|MA1|2＝2＋2＝2a2，|MA2|2＝2＋2＝2a2，由題意知，∠A1MA2＝∠PMA2＝90°，故△MPA2是等腰直角三角形，所以∠MA2P＝45°，而∠PA2M的內(nèi)角平分線與y軸平行，所以∠MA1A2＝22.5°，又tan 45°＝＝1，可得tan 22.5°＝－1，則tan2∠MA1A2＝2＝＝(－1)2，可得＝3－2，所以e＝.8．(2022·全國甲卷)已知a＝，b＝cos ，c＝4sin ，則(　　)A．c>b>a   B．b>a>cC．a>b>c   D．a>c>b答案　A解析　因為b＝cos ＝1－2sin2，所以b－a＝1－2sin2－＝－2sin2＝2×.令f(x)＝x－sin x，則f′(x)＝1－cos x≥0，所以函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增，所以當(dāng)x>0時，f(x)>f(0)＝0，即有x>sin x(x>0)成立，所以>sin ，得>sin2，所以b>a.因為＝＝4tan ，所以令g(x)＝tan x－x，則g′(x)＝－1＝≥0，所以函數(shù)g(x)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，所以當(dāng)x>0時，g(x)>g(0)＝0，即有tan x>x(x>0)成立，所以tan >，即4tan >1，所以>1，又b>0，所以c>b.綜上c>b>a.故選A.二、多項選擇題9．(2022·濰坊質(zhì)檢)已知復(fù)數(shù)z滿足|z|＝|z－1|＝1，且復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點在第一象限，則下列結(jié)論正確的是(　　)A．復(fù)數(shù)z的虛部為iB.＝－iC．z2＝z－1D．復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)為－＋i答案　BC解析　設(shè)復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)．因為|z|＝|z－1|＝1，且復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點在第一象限，所以解得即z＝＋i.對于A，復(fù)數(shù)z的虛部為，故A錯誤；對于B，＝＝－i，故B正確；對于C，因為z2＝2＝－＋i，z－1＝－＋i，所以z2＝z－1，故C正確；對于D，復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)為－i，故D錯誤． 10.(2022·深圳模擬)如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E為AB的中點，則下列條件中，能使直線EF∥平面ACD1的有(　　)A．F為AA1的中點B．F為BB1的中點C．F為CC1的中點D．F為A1D1的中點答案　ACD解析　如圖，M，G，H，I，J分別是棱BC，CC1，C1D1，D1A1，A1A的中點，易證E與M，G，H，I，J共面，由EM∥AC，AC?平面ACD1，EM?平面ACD1，得EM∥平面ACD1，同理EJ∥平面ACD1，而EM，EJ是平面EMGHIJ內(nèi)的相交直線，則得平面EMGHIJ∥平面ACD1，若EF∥平面ACD1，則F∈平面EMGHIJ，觀察各選項，A，C，D滿足．11．(2022·邯鄲模擬)已知函數(shù)f(x)＝|sin x|sin x，則(　　)A．f(x)為周期函數(shù)B．y＝f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱C．f(x)的值域為[－1,1]D．f(x)在上單調(diào)遞增答案　ACD解析　對于A選項，因為f(x＋2π)＝|sin(x＋2π)|sin(x＋2π)＝|sin x|sin x＝f(x)，所以2π是函數(shù)f(x)的一個周期，A正確；對于B選項，因為f(－x)＝|sin(－x)|sin(－x)＝－|sin x|sin x＝－f(x)，則y＝f(x)的圖象關(guān)于原點對稱，B錯誤；對于C選項，當(dāng)x∈[2kπ，2kπ＋π]，k∈Z時，f(x)＝sin2x＝∈[0,1]；當(dāng)x∈[2kπ＋π，2kπ＋2π]，k∈Z時，f(x)＝－sin2x＝∈[－1,0]．故函數(shù)f(x)的值域為[－1,1]，C正確；對于D選項，當(dāng)x∈時，2x∈(－4π，－3π)，因為f(x)＝sin2x＝，所以f(x)在上單調(diào)遞增，D正確．12．(2022·益陽模擬)定義f″(x)是y＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)y＝f′(x)的導(dǎo)函數(shù)，若方程f″(x)＝0有實數(shù)解x0，且在x0兩側(cè)f″(x)異號，則稱點(x0，f(x0))為函數(shù)y＝f(x)的“拐點”．可以證明，任意三次函數(shù)f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)都有“拐點”和對稱中心，且“拐點”就是其對稱中心，請你根據(jù)這一結(jié)論判斷下列命題，其中正確命題是(　　)A．存在有兩個及兩個以上對稱中心的三次函數(shù)B．函數(shù)f(x)＝x3－3x2－3x＋5的對稱中心也是函數(shù)y＝tan x的一個對稱中心C．存在三次函數(shù)h(x)，方程h′(x)＝0有實數(shù)解x0，且點(x0，h(x0))為函數(shù)y＝h(x)的對稱中心D．若函數(shù)g(x)＝x3－x2－，則g＋g＋g＋…＋g＝－1 011答案　BCD解析　對于A，設(shè)三次函數(shù)f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，易知y＝f″(x)是一次函數(shù)，∴任何三次函數(shù)都只有一個對稱中心，故A不正確；對于B，由f(x)＝x3－3x2－3x＋5，得f′(x)＝3x2－6x－3，f″(x)＝6x－6，由6x－6＝0，得x＝1，∴函數(shù)f(x)的對稱中心為(1,0)，又由x＝，k∈Z，得x＝k，k∈Z，∴f(x)的對稱中心是函數(shù)y＝tan x的一個對稱中心，故B正確；對于C，設(shè)三次函數(shù)h(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，所以h′(x)＝3ax2＋2bx＋c，h″(x)＝6ax＋2b，聯(lián)立得3ac－b2＝0，即當(dāng)3ac－b2＝0時，存在三次函數(shù)h(x)，方程h′(x)＝0有實數(shù)解x0，且點(x0，h(x0))為函數(shù)y＝h(x)的對稱中心，故C正確；對于D，∵g(x)＝x3－x2－，∴g′(x)＝x2－x，g″(x)＝2x－1，令g″(x)＝2x－1＝0，得x＝，∵g＝×3－×2－＝－，∴函數(shù)g(x)＝x3－x2－的對稱中心是，∴g(x)＋g(1－x)＝－1，設(shè)T＝g＋g＋g＋…＋g，∴2T＝＋＋…＋＝－2 022，∴g＋g＋g＋…＋g＝－1 011，故D正確．三、填空題13．(2022·濰坊模擬)為了解某社區(qū)居民2022年家庭年收入與年支出的關(guān)系，隨機調(diào)查了該社區(qū)5戶家庭，得到如下統(tǒng)計數(shù)據(jù)表：收入x(萬元)8.28.610.011.311.9支出y(萬元)6.27.58.0t9.8 根據(jù)上表可得經(jīng)驗回歸方程＝0.76x＋0.4，則t＝________.答案　8.5解析　由題意知，＝＝10，＝＝，將(，)代入＝0.76x＋0.4可得，＝0.76×10＋0.4，解得t＝8.5.14．(2022·邵陽模擬)一次考試后，學(xué)校準(zhǔn)備表彰在該次考試中排名前10位的同學(xué)，其中有2位是高三(1)班的同學(xué)，現(xiàn)要選4人去“表彰會”上演講，若高三(1)班的2人同時參加，則2人演講的順序不能相鄰，則要求高三(1)班至少有1人參加的演講的方案共有________種．(用數(shù)字作答)答案　3 024解析　若高三(1)班只有1人參加，則有CCA＝2 688(種)不同的方案；若高三(1)班2人都參加，則有CAA＝336(種)不同的方案，故共有3 024種不同的方案．15．(2022·天津模擬)已知a>0，b>0，且ab＝1，則＋＋的最小值為__________．答案　2解析　因為a>0，b>0，且ab＝1，所以＋＋＝＋＋＝＋≥2＝2，當(dāng)且僅當(dāng)＝，且ab＝1，即或時，等號成立．16．(2022·濰坊模擬)已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為1，空間一動點P滿足A1P⊥AB1，且∠APB1＝∠ADB1，則tan∠APB1＝________，點P的軌跡圍成的封閉圖形的面積為________．答案　　解析　tan∠APB1＝tan∠ADB1＝＝.由正方體ABCD－A1B1C1D1知AB1⊥平面A1BCD1，又點P滿足A1P⊥AB1，所以點P在平面A1BCD1內(nèi)運動，如圖，連接A1B，交AB1于點O，連接PO.由對稱性知，∠APO＝∠B1PO，所以tan∠APB1＝＝，解得tan∠APO＝，所以PO＝＝，所以點P的軌跡圍成的封閉圖形是以點O為圓心，為半徑的圓，所以面積S＝π×2＝.

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