小題滿分練2一、單項(xiàng)選擇題1．(2022·濟(jì)寧模擬)若集合A＝{x|x2－2x－3<0}，B＝{x|3x≥9}，則A∪B等于(　　)A．(－1,2]   B．[2,3)C．(－1，＋∞)   D．(－∞，3)答案　C解析　A＝{x|x2－2x－3<0}＝{x|－1<x<3}，B＝{x|3x≥9}＝{x|x≥2}，故A∪B＝(－1，＋∞)．2．(2022·新高考全國(guó)Ⅰ)若i(1－z)＝1，則z＋等于(　　)A．－2  B．－1  C．1  D．2答案　D解析　因?yàn)?/span>i(1－z)＝1，所以z＝1－＝1＋i，所以＝1－i，所以z＋＝(1＋i)＋(1－i)＝2.3．(2022·唐山模擬)已知角α的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，點(diǎn)A(－1,3)在角α的終邊上，則sin 2α等于(　　)A.  B.  C．－  D．－答案　D解析　根據(jù)三角函數(shù)的定義可知sin α＝＝＝，cos α＝＝＝－，由二倍角公式得sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝－.4.(2022·廣州模擬)如圖，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝2AD＝4CD，點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，設(shè)＝x＋y，則x＋y等于(　　)A.  B.  C.  D.答案　A解析　連接BD(圖略)，因?yàn)?/span>E為AD的中點(diǎn)，所以＝＋，因?yàn)?/span>＝＋＝＋，所以＝＋＝＋，因?yàn)?/span>＝x＋y，所以x＝，y＝，所以x＋y＝＋＝.5．(2022·廣東六校聯(lián)考)一般來(lái)說(shuō)，事物總是經(jīng)過(guò)發(fā)生、發(fā)展、成熟三個(gè)階段，每個(gè)階段的發(fā)展速度各不相同，通常在發(fā)生階段變化速度較為緩慢、在發(fā)展階段變化速度加快、在成熟階段變化速度又趨于緩慢，按照上述三個(gè)階段發(fā)展規(guī)律得到的變化曲線稱為生長(zhǎng)曲線．美國(guó)生物學(xué)家和人口統(tǒng)計(jì)學(xué)家雷蒙德·皮爾提出一種能較好地描述生物生長(zhǎng)規(guī)律的生長(zhǎng)曲線，稱為“皮爾曲線”，常用的“皮爾曲線”的函數(shù)解析式為f(x)＝(K>0，a>0，b>0)，x∈[0，＋∞)，該函數(shù)也可以簡(jiǎn)化為f(x)＝(K>0，a>1，k<0)的形式．已知f(x)＝(x∈N)描述的是一種果樹(shù)的高度隨著時(shí)間x(單位：年)的變化規(guī)律，若剛栽種時(shí)該果樹(shù)的高為1 m，經(jīng)過(guò)一年，該果樹(shù)的高為2.5 m，則該果樹(shù)的高度超過(guò)8 m，至少需要(　　)A．4年   B．3年C．5年   D．2年答案　A解析　由題意知則解得b＝2，k＝－1，∴f(x)＝.由函數(shù)解析式知，f(x)在[0，＋∞)上單調(diào)遞增，而f(3)＝＝＝7.5<8，f(4)＝＝9>8，∴該果樹(shù)的高度超過(guò)8 m，至少需要4年．6.(2022·太原模擬)七巧板又稱七巧圖、智慧板，是中國(guó)古代勞動(dòng)人民的發(fā)明，其歷史至少可以追溯到公元前一世紀(jì)，到了明代基本定型，于明、清兩代在民間廣泛流傳．某同學(xué)用邊長(zhǎng)為12 cm的正方形木板制作了一套七巧板，如圖所示，包括5個(gè)等腰直角三角形，1個(gè)正方形和1個(gè)平行四邊形．現(xiàn)他從5個(gè)三角形中隨意取出兩個(gè)，則這兩個(gè)三角形的面積之和不小于另外三個(gè)三角形面積之和的概率是(　　)A.  B.  C.  D.答案　D解析　如圖所示，設(shè)△ADO，△ABO，△GHO，△BEF，△MCF的面積分別為S1，S2，S3，S4，S5，所以有S1＝S2＝×12×12＝36，S3＝S4＝××12×12＝9，S5＝××12×12＝18，所以5個(gè)等腰直角三角形的面積之和為108，依題意得所取的兩個(gè)等腰直角三角形的面積之和大于或等于54，故只能在面積為18或36中取兩個(gè)，所以所求概率為P＝＝.7．(2022·德州質(zhì)檢)已知奇函數(shù)f(x)是定義在R上的單調(diào)函數(shù)，若正實(shí)數(shù)a，b滿足f(2a)＋f(b－4)＝0，則＋的最小值是(　　)A.  B.  C．2  D．4答案　B解析　因?yàn)?/span>f(2a)＋f(b－4)＝0，所以f(2a)＝－f(b－4)，因?yàn)槠婧瘮?shù)f(x)是定義在R上的單調(diào)函數(shù)，所以f(2a)＝－f(b－4)＝f(4－b)，所以2a＝4－b，即2a＋b＝4，所以2a＋2＋b＝6，即2(a＋1)＋b＝6，所以＋＝[2(a＋1)＋b]＝＝≥＝×(4＋4)＝，當(dāng)且僅當(dāng)＝，即當(dāng)a＝，b＝3時(shí)取等號(hào)，所以＋的最小值是.8．(2022·景德鎮(zhèn)模擬)已知橢圓C：x2＋＝1(b>0，且b≠1)與直線l：y＝x＋m交于M，N兩點(diǎn)，B為橢圓的上頂點(diǎn)，若|BM|＝|BN|，則橢圓C的離心率的取值范圍是(　　)A.   B.C.   D.答案　C解析　設(shè)直線l：y＝x＋m與橢圓x2＋＝1的交點(diǎn)為M(x1，y1)，N(x2，y2)，聯(lián)立得(b2＋1)x2＋2mx＋m2－b2＝0，所以x1＋x2＝－，x1x2＝，Δ＝(2m)2－4(b2＋1)(m2－b2)＝4b2(b2＋1－m2)>0.設(shè)線段MN的中點(diǎn)為G，知G點(diǎn)坐標(biāo)為，因?yàn)?/span>|BM|＝|BN|，所以直線BG垂直平分線段MN，所以直線BG的方程為y＝－x＋b，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)G，可得＝＋b，解得m＝.因?yàn)?/span>b2＋1－m2>0，所以b2＋1－2>0，解得0<b<，因?yàn)?/span>e2＝1－＝1－b2，所以<e<1.二、多項(xiàng)選擇題9．已知等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為實(shí)數(shù)，公比為q，則下列結(jié)論正確的是(　　)A．若a1a2>0，則a2a3>0B．若a1＋a2<0，且a1＋a3<0，則q>－1C．若an＋1>an>0，則an＋an＋2>2an＋1D．若anan＋1<0，則(an＋1－an)(an＋1－an＋2)<0答案　ABC解析　顯然q≠0.因?yàn)?/span>a1a2>0，所以(a1q)·(a2q)＝(a1a2)·q2>0，因此A正確；由a1＋a3<0?a1(1＋q2)<0?a1<0，而a1＋a2<0?a1(1＋q)<0，顯然1＋q>0?q>－1，因此B正確；由an＋1>an>0?>1?q>1，an＋an＋2－2an＋1＝an＋anq2－2anq＝an(1－q)2>0?an＋an＋2>2an＋1，因此C正確；由anan＋1<0?an·an·q<0?q<0，(an＋1－an)(anq－an＋1q)＝－q(an＋1－an)2>0，因此D不正確．10．(2022·石家莊模擬)在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，下列條件能判斷△ABC是鈍角三角形的有(　　)A．a＝2，b＝3，c＝4B.·＝－2aC.＝D．b2sin2C＋c2sin2B＝2bccos Bcos C答案　AC解析　因?yàn)?/span>a＝2，b＝3，c＝4，所以角C最大，由cos C＝＝－<0?<C<π，所以△ABC是鈍角三角形，因此A正確；由·＝－2a?－cacos B＝－2a?ccos B＝2?B∈，不能判斷△ABC是鈍角三角形，因此B不正確；由正弦定理，知＝?＝?a2＝b2＋c2＋bc，由余弦定理可知cos A＝＝＝－?A＝，所以△ABC是鈍角三角形，因此C正確；由正弦定理，知b2sin2C＋c2sin2B＝2bccos Bcos C?sin2Bsin2C＋sin2Csin2B＝2sin Bsin Ccos Bcos C?sin Bsin C＝cos Bcos C?cos(B＋C)＝0?cos(π－A)＝0?cos A＝0?A＝，所以△ABC是直角三角形，因此D不正確．11.(2022·泰安模擬)如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝BC＝1，AA1＝2，D是棱AA1的中點(diǎn)，DC1⊥BD，點(diǎn)E在BB1上，且BB1＝4BE，則下列結(jié)論正確的是(　　)A．直線DC1與BC所成角為90°B．三棱錐D－BCC1的體積為C．CE⊥平面BC1DD．直三棱柱ABC－A1B1C1外接球的表面積為6π答案　ABD解析　對(duì)于A，在矩形ACC1A1中，因?yàn)?/span>AA1＝2，AC＝1，D是棱AA1的中點(diǎn)，所以CD＝C1D＝，所以CD2＋C1D2＝CC，所以CD⊥C1D，又因?yàn)?/span>DC1⊥BD，BD∩CD＝D，所以DC1⊥平面BCD，因?yàn)?/span>BC?平面BCD，所以DC1⊥BC，即直線DC1與BC所成角為90°，故A正確；對(duì)于B，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，CC1⊥BC，又DC1⊥BC，DC1∩CC1＝C1，所以BC⊥平面DCC1，又DC?平面DCC1，所以DC⊥BC，則＝×××1×＝，故B正確；對(duì)于C，由選項(xiàng)AB可知，AC，BC，CC1兩兩垂直，如圖，以C為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，則C(0,0,0)，B(0,1,0)，D(1,0,1)，E，則＝，＝(1，－1,1)，所以·＝－1＋＝－≠0，所以CE，BD不垂直，所以CE不垂直于平面BC1D，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，連接A1B，則線段A1B即為直三棱柱ABC－A1B1C1外接球的直徑，A1B＝＝，所以外接球的半徑R＝，所以直三棱柱ABC－A1B1C1外接球的表面積為4πR2＝6π，故D正確．12．對(duì)于偶函數(shù)f(x)＝，下列結(jié)論中正確的是(　　)A．函數(shù)f(x)在x＝處的切線斜率為B．函數(shù)f(x)<1恒成立C．若0<x1<x2<π，則f(x1)<f(x2)D．若m<f(x)對(duì)于?x∈恒成立，則m的最大值為答案　ABD解析　因?yàn)?/span>f(x)＝為偶函數(shù)，所以f(－x)＝f(x)，所以a＝0.對(duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)?/span>f(x)＝，所以f′(x)＝，所以f′＝，所以函數(shù)f(x)在x＝處的切線斜率為，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，令g(x)＝sin x－x，則g′(x)＝cos x－1，當(dāng)x>0時(shí)，g′(x)≤0，所以g(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，所以g(x)<g(0)＝0，即sin x<x，所以f(x)＝<1在(0，＋∞)上恒成立，因?yàn)?/span>f(x)為偶函數(shù)，所以函數(shù)f(x)<1在定義域上恒成立，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，f′(x)＝，令h(x)＝xcos x－sin x，則h′(x)＝cos x－xsin x－cos x＝－xsin x，當(dāng)x∈(0，π)時(shí)，g′(x)<0，所以h(x)在(0，π)上單調(diào)遞減，所以h(x)<h(0)＝0，即f′(x)＝<0在(0，π)上恒成立，因此函數(shù)f(x)＝在(0，π)上單調(diào)遞減．又0<x1<x2<π，所以f(x1)>f(x2)，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D，因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝在(0，π)上單調(diào)遞減，所以函數(shù)f(x)＝在上也單調(diào)遞減，所以f(x)＝>f ＝在上恒成立，即<在上恒成立，即m的最大值為，故選項(xiàng)D正確．三、填空題13．(2022·石家莊模擬)在(3＋y)(x－y)4的展開(kāi)式中x2y3的系數(shù)為________．答案　6解析　∵(3＋y)(x－y)4＝(3＋y)·(C·x4－C·x3y＋C·x2y2－C·xy3＋Cy4)，∴展開(kāi)式中含x2y3的項(xiàng)為y·C·x2y2＝Cx2y3＝6x2y3，故它的展開(kāi)式中x2y3的系數(shù)為6.14．(2022·全國(guó)甲卷)若雙曲線y2－＝1(m>0)的漸近線與圓x2＋y2－4y＋3＝0相切，則m＝________.答案　解析　雙曲線的漸近線方程為x±my＝0，圓x2＋y2－4y＋3＝0的方程可化為x2＋(y－2)2＝1，則圓心坐標(biāo)為(0,2)，半徑r＝1.∵雙曲線的漸近線與圓相切，∴圓心到漸近線的距離d＝＝1，得m＝或m＝－(舍去)．  15．(2022·福州質(zhì)檢)寫出一個(gè)使等式＋＝2成立的α的值為________．答案　(答案不唯一，只要滿足α＝π－(k∈Z)即可)解析　∵＋＝＝＝2，∴sin＝sin，∴2α＋＋2α＋＝(2k＋1)π(k∈Z)，解得α＝－(k∈Z)，當(dāng)k＝0時(shí)，α＝，∴使得等式成立的一個(gè)α的值為(答案不唯一)．16.(2022·承德模擬)某中學(xué)開(kāi)展勞動(dòng)實(shí)習(xí)，學(xué)習(xí)加工制作模具，有一個(gè)模具的毛坯直觀圖如圖所示，是由一個(gè)圓柱與兩個(gè)半球?qū)佣傻慕M合體，其中圓柱的底面半徑為1，高為2，半球的半徑為1.現(xiàn)要在該毛坯的內(nèi)部挖出一個(gè)中空的圓柱形空間，該中空的圓柱形空間的上、下底面與毛坯的圓柱底面平行，挖出中空的圓柱形空間后模具制作完成，則該模具體積的最小值為________．答案　解析　如圖，設(shè)中空?qǐng)A柱的底面半徑為r，圓柱的高為2＋h(0<h<2)，則r2＋2＝1，r2＝1－，∴中空?qǐng)A柱的體積V＝πr2(2＋h)＝π(2＋h)．V′＝－π，可得當(dāng)h∈時(shí)，V′>0，當(dāng)h∈時(shí)，V′<0，則當(dāng)h＝時(shí)，V取得最大值為，又毛坯的體積為π×12×2＋×13＝，∴該模具體積的最小值為－＝.

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