新高考數(shù)學三輪復習考前沖刺逐題訓練大題保分練2（含解析）

這是一份新高考數(shù)學三輪復習考前沖刺逐題訓練大題保分練2（含解析），共5頁。
大題保分練21．(2022·武漢模擬)在△ABC中，A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足acos C＋ccos A＝1，B＝.(1)求b的值；(2)求△ABC面積的最大值．解　(1)在△ABC中，由正弦定理知，＝＝＝2R，∵acos C＋ccos A＝1，∴2R(sin Acos C＋cos Asin C)＝1，即2Rsin B＝1，∴b＝2Rsin B＝1.(2)在△ABC中，由余弦定理得cos B＝＝，∴a2＋c2＝ac＋1≥2ac(當且僅當a＝c時取“＝”)，∴(2－)ac≤1，∴ac≤2＋，又∵S△ABC＝acsin B＝ac，∴S△ABC≤，即△ABC面積的最大值為.2．(2022·蘇州四校聯(lián)考)甲、乙相約進行“某競技體育項目”比賽．比賽采用三局二勝制，先勝二局者獲勝．商定每局比賽(決勝局第三局除外)勝者得3分，敗者得1分，決勝局勝者得2分，敗者得0分．已知每局比賽甲獲勝的概率為，各局比賽相互獨立．(1)求比賽結束，乙得4分的概率；(2)設比賽結束，甲得X分，求X的分布列與均值．解　(1)若比賽結束，乙得4分，則比賽結果是甲以2∶1獲勝，故前兩局比賽，甲勝一場，敗一場，最后一局比賽，甲勝．則比賽結束，乙得4分的概率為C×××＝.(2)若甲連勝兩局結束比賽，甲得6分，其概率為2＝；若甲連敗兩局結束比賽，甲得2分，其概率為2＝；若甲以2∶1結束比賽，甲得6分，其概率為C×××＝；若乙以2∶1結束比賽，甲得4分，其概率為C×××＝，故X的分布列為X246P E(X)＝2×＋4×＋6×＝.3．(2022·襄陽模擬)已知等差數(shù)列{an}滿足a1＝1，且前四項和為28，數(shù)列{bn}的前n項和Sn滿足2Sn＝3bn－3λ(λ∈R)．(1)求數(shù)列{an}的通項公式，并判斷{bn}是否為等比數(shù)列；(2)對于集合A，B，定義集合A－B＝{x|x∈A且x?B}．若λ＝1，設數(shù)列{an}和{bn}中的所有項分別構成集合A，B，將集合A－B的所有元素按從小到大依次排列構成一個新數(shù)列{cn}，求數(shù)列{cn}的前30項和T30.解　(1)∵{an}是等差數(shù)列，a1＝1，且前4項和為28，∴S4＝4×1＋×d＝28，解得d＝4，∴an＝1＋4(n－1)＝4n－3.∵2Sn＝3bn－3λ，∴當n≥2時，2Sn－1＝3bn－1－3λ，兩式相減得2bn＝3bn－3bn－1(n≥2)，即bn＝3bn－1(n≥2)，又2b1＝3b1－3λ，∴b1＝3λ.∴當λ＝0時，數(shù)列{bn}的通項公式為bn＝0，不是等比數(shù)列；當λ≠0時，數(shù)列{bn}是首項為3λ，公比為3的等比數(shù)列，且bn＝λ3n.(2)由(1)知bn＝3n，則b4＝81，b5＝243，∵a30＝4×30－3＝117，∴b4<a30<b5，∴T30中要去掉{bn}的項最多4項，即3,9,27,81，其中9,81是{an}和{bn}的公共項，∴數(shù)列{cn}的前30項和T30由{an}的前32項和去掉9,81，則T30＝(a1＋a2＋…＋a32)－(9＋81)＝－90＝1 926，∴數(shù)列{cn}的前30項和T30為1 926.4.(2022·唐山模擬)如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝BC＝CC1＝2，D為BC的中點，E為棱AA1上一點，AD⊥DC1.(1)求證：BC⊥平面A1AD；(2)若平面A1DE與平面C1DE的夾角為30°，求直線CE與平面C1DE所成角的正弦值．(1)證明　在直三棱柱ABC－A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，AD?平面ABC，∴CC1⊥AD，又AD⊥DC1，CC1∩DC1＝C1，CC1?平面BCC1B1，DC1?平面BCC1B1，∴AD⊥平面BCC1B1，又BC?平面BCC1B1，∴AD⊥BC.由直三棱柱的性質知，AA1⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴AA1⊥BC，又AD∩AA1＝A，AD?平面A1AD，AA1?平面A1AD，∴BC⊥平面A1AD.(2)解　由(1)知，AD⊥BC，又D為BC的中點，∴AB＝AC.以D為坐標原點，的方向為x軸正方向，的方向為y軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系．則D(0,0,0)，C(1,0,0)，B(－1,0,0)，A(0，，0)，C1(1,0,2)，設AE＝t(0≤t≤2)，則E(0，，t)．由(1)知，平面A1DE的一個法向量可取＝(2,0,0)，設平面C1DE的法向量為n＝(x，y，z)，∵＝(1,0,2)，＝(0，，t)，∴令x＝2，解得z＝－，y＝t，∴n＝(2，t，－)，∴|cos〈，n〉|＝＝＝，解得t＝1，此時n＝(2，1，－)，設CE與平面C1DE所成角為θ，∵＝(－1，，1)，∴sin θ＝|cos〈，n〉|＝＝＝，即直線CE與平面C1DE所成角的正弦值為.