2023~2024學年度第一學期月考考試高二數學試題姓名：                  分數：             卷I（選擇題）一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分。）1．下列說法正確的是（    ）A．棱柱的兩個互相平行的面一定是棱柱的底面B．有兩個面平行且相似，其余各面都是梯形的多面體是棱臺C．如果一個棱錐的各個側面都是等邊三角形，那么這個棱錐可能為六棱錐D．如果一個棱柱的所有面都是長方形，那么這個棱柱是長方體2．如圖所示的正方形的邊長為，它是水平放置的一個平面圖形的直觀圖，則原圖形的面積為（    ）  A． B． C． D． 3．手工課上某同學用六個邊長相等的正方形卡片拼接成一個幾何圖形，如圖所示，其中為對角線，該幾何圖形恰好能折疊組裝成一個正方體卡片紙盒，則在正方體卡片紙盒中，下列各選項正確的是（    ）  A．                      B．C． D．4．設為兩條直線，為兩個平面，下列四個命題中，正確的命題是（    ）A．若，，則 B．若，，，則C．若，，，則 D．若，則5．在正四面體中，，，分別為，，的中點，則（    ）  A．與平行，平面平面B．與異面，平面平面C．與平行，與平面平行D．與異面，與平面平行6．如圖，在長方體中，為的中點，M為的中點．則與的位置關系為（    ）  A．平行 B．異面C．垂直 D．以上都不對7．已知某圓錐的側面展開圖是一個半徑為的半圓，且該圓錐的體積為，則（    ）A． B． C． D．38．攢尖是古代中國建筑中屋頂的一種結構形式，依其平面有圓形攢尖?三角攢尖?四角攢尖?六角攢尖等，多見于亭悶式建筑.如故宮中和殿的屋頂為四角攢尖頂，它的主要部分的輪廓可近似看作一個正四棱錐，設正四棱錐的側面等腰三角形的頂角為，則該正四棱錐的底面積與側面積的比為（    ）  A． B． C． D．二、多項選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題意．全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯的得0分）9．下列命題正確的是（    ）A．不共線的三點確定一個平面B．平行于同一條直線的兩條直線平行C．經過兩條平行直線，有且只有一個平面D．如果空間中兩個角的兩條邊分別對應平行，那么這兩個角一定相等10．如圖，在棱長為2的正方體中，，，分別是，，的中點，則（    ）  A．，，，四點共面B．C．直線平面D．三棱錐的體積為 11．如圖，在四棱錐中，四邊形是邊長為2的正方形，與交于點，面，且，則以下說法正確的是（    ）  A．平面 B．與平面所成角為C．面 D．點到面的距離為212．如圖，一個圓柱和一個圓錐的底面直徑和它們的高都與一個球的直徑相等，下列結論正確的是（    ）  A．圓柱的側面積為 B．圓錐的側面積為C．圓柱的側面積與球面面積相等D．圓柱、圓錐、球的體積之比為3:1:2卷II（非選擇題，共90分）三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分。）13．已知正三棱錐P﹣ABC，底面ABC的中心為點O，給出下列結論：①PO⊥底面ABC；    ②棱長都相等；③側面是全等的等腰三角形．其中所有正確結論的序號是        ．14．已知一個正方形的邊長為2，則它的直觀圖的面積為           ．15．如圖，在長方體中，，，，是的中點，則異面直線與所成的角等于          16．我國古代數學名著《九章算術》中將底面為矩形且有一側棱垂直于底面的四棱錐稱為“陽馬”．現(xiàn)有一“陽馬”（如圖所示），其中底面，，，，則該“陽馬”的外接球的表面積為      ．  四、解答題（本大題共6小題，共70分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17題10分，18-22分12分。）17．如圖，AB是圓柱的底面直徑，AB＝2，PA是圓柱的母線且PA＝2，點C是圓柱底面圓周上的點. (1)求圓柱的側面積和體積；(2)若AC＝1，D是PB的中點，點E在線段PA上，求CE＋ED的最小值.    18．在棱長為1的正方體中，E，F，G分別是的中點  (1)求AE的長；(2)求EF與CG所成角的余弦值.19．如圖，在直四棱柱中，底面為菱形，為中點．求證：平面．  20．如圖，在斜三棱柱中，，為的中點．  (1)證明：平面；(2)證明：平面平面．21．如圖，四棱錐中，底面是邊長為的正方形，是的中心，底面，是的中點.   (1)求證：平面；(2)若，求三棱錐的體積.22．如圖，三棱柱的側棱垂直于底面，其高為，底面三角形的邊長分別為，，.  (1)   以上、下底面的內切圓為底面，挖去一個圓柱，求剩余部分幾何體的體積；  高二數學試題1．D【分析】由棱柱、棱錐、棱臺的結構特征，判斷各選項是否正確.【詳解】選項A，例如六棱柱的相對側面也互相平行，故A錯誤；選項B，其余各面的邊延長后不一定交于一點，故B錯誤；選項C，當棱錐的各個側面共頂點的角的角度之和是時，各側面構成平面圖形，故這個棱錐不可能為六棱錐，故C錯誤；選項D，若每個側面都是長方形，則說明側棱與底面垂直，又底面也是長方形，符合長方體的定義，故D正確．故選：D2．C【分析】根據斜二測畫法的規(guī)則，可得，結合面積公式，即可求解.【詳解】由正方形的邊長為，可得，根據斜二測畫法的規(guī)則，平面圖形中，可得，如圖所示，所以原圖形的面積為.故答案為：C.  3．A【分析】先還原出正方體，然后利用正方體中的位置關系判斷每個選項.【詳解】由題意可得正方體卡片紙盒如圖所示，則易知，，A正確，B錯誤，連接，則是等邊三角形，于是與，的夾角均為，C，D選項錯誤.故選：A  4．D【分析】ABC可舉出反例，D可利用線面平行的判定定理證得.【詳解】A選項，如圖1，滿足，，但不平行，A錯誤；  B錯誤，如圖2，滿足，，，但不平行，B錯誤；  C選項，如圖3，滿足，，，但不平行，C錯誤；  D選項，若，由線面平行的判斷定理可得，D正確.故選：D5．B【分析】根據直線與直線、直線與平面、平面與平面位置關系有關知識進行分析，從而確定正確答案.【詳解】與：平面，平面，，所以與異面，A選項錯誤.與：由于分別是的中點，所以，由于，所以與是異面直線，C選項錯誤.連接，由于是等邊三角形，所以，由于平面，所以平面，由于平面，所以平面平面，所以B選項正確.設是的中點，連接，由于是的中點，所以，所以，所以平面也即平面，平面，所以D選項錯誤.故選：B  6．C【分析】取的中點，利用勾股定理及三垂線定理即可判定.【詳解】如圖所示，取的中點，連接，由長方體性質及已知，易知：平面，所以為在平面內的投影，由題意得，，所以，所以，由三垂線定理知.故選：C7．C【分析】根據給定條件，用表示出圓錐底面圓半徑及高，再利用錐體的體積公式求解作答.【詳解】令圓錐底面圓半徑為，則，解得，從而圓錐的高，因此圓錐的體積，解得.故選：C8．B【分析】由側面為等邊三角形，結合面積公式求解即可.【詳解】設底面棱長為，因為正四棱錐的側面等腰三角形的頂角為60°，所以側面為等邊三角形，則該正四棱錐的底面積與側面積的比為.故選：B9．ABC【分析】根據平面的確定情況及點線面的位置關系直接判斷即可得到答案.【詳解】由空間中不共線的三點可以確定唯一一個平面，可知A正確；由平行公理可得平行于同一條直線的兩條直線平行，可知B正確；由兩條相互平行的直線能確定一個平面，可知C選項正確;如果空間中兩個角的兩條邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補，可知D錯誤；故選:ABC．10．BCD【分析】對于A，根據四點所在線是否是異面直線可判斷四點是否共面；對于B，根據垂直的傳遞性判斷；對于C，根據線線平行證明線面平行；對于D，根據等體積法先對所求三棱錐進行簡化.【詳解】易知與為異面直線，所以，，，不可能四點共面，故A錯誤；由，而，所以，故B正確；由，平面，平面，所以平面，故C正確；由平面，所以，故D正確.故選：BCD.11．ABC【分析】利用線線垂直可判定A項，利用線面角定義可判定B項，利用線線平行可判定C項，利用線面垂直可判定D項.【詳解】由于四邊形是邊長為2的正方形，故，又面，面，∴面，故A正確；  連接PO，由A可知：與平面所成角為，由條件可得，故B正確；易知面，面，即面，故C正確；由A可知點到面的距離為，而，故D錯誤.故選：ABC12．CD【分析】根據圓柱、圓錐的側面積公式，結合圓柱、圓錐、球的體積公式逐一判斷即可.【詳解】因為圓柱和圓錐的底面直徑和它們的高都與一個球的直徑相等，則圓柱的側面積為，A錯誤；圓錐的母線長，側面積為，B錯誤；球的表面積為，所以圓柱的側面積與球面面積相等，C正確；，，，D正確．故選：CD．13．①③【分析】由正三棱錐性質對選項一一判斷即可得出答案.【詳解】解：由正三棱錐性質可得：PO⊥底面ABC，①對；側棱棱長都相等，底面邊長與棱棱長不一定相等，②錯；側面是全等的等腰三角形，③對，故答案為：①③．14．【分析】根據直觀圖面積是原圖形面積的倍即可得出結果.【詳解】由題意可知，原圖形面積為，又直觀圖面積是原圖形面積的倍，所以直觀圖的面積為.故答案為：15．/【分析】取中點，根據平行關系和異面直線所成角定義可知所求角為，由長度關系可得結果.【詳解】取中點，連接，  ，，四邊形為平行四邊形，，異面直線與所成角即為直線與所成角，即（或其補角），，，，為等邊三角形，，即異面直線與所成角為.故答案為：.16．【分析】以為棱作長方體，長方體的對角線即為外接球的直徑，從而求出外接球的半徑，進而求出外接球的表面積.【詳解】如圖，以為棱作長方體，則長方體的對角線即為該“陽馬”的外接球的直徑，設直徑為，則，所以，所以該“陽馬”的外接球的表面積為.故答案為：.  17．(1)圓柱的側面積為，體積為(2)【分析】（1）根據圓柱的側面積和體積公式即可求解；（2）將CE和ED轉化到一個平面中，利用兩點間線段最短即可求得最小值.【詳解】（1）圓柱的底面半徑r＝1，高h＝2，圓柱的側面積.圓柱的體積.（2）將△PAC繞著PA旋轉到使其與平面PAB共面，且在AB的反向延長線上.∵，，，，∴在三角形中，由余弦定理得，∴CE＋ED的最小值等于.18．(1)(2)【分析】（1）在直角中，利用勾股定理，即可求解；（2）連接，證得，把異面直線與所成的角轉化為直線與所成的角，在中，利用余弦定理，即可求解.【詳解】（1）解：在正方體中，可得，因為正方體的棱長為，在直角中，可得.（2）解：取的中點，連接，可得，再連接，因為為棱的中點，可得，所以，所以異面直線與所成的角即為直線與所成的角，設，因為正方體的棱長為，在直角中，可得，在直角中，可得，在直角中，可得在，所以異面直線與所成的角的余弦值為  19．證明見解析【分析】連接交于點，接，證明，再根據線面平行的判定定理即可得證.【詳解】連接交于點，接，∵底面是菱形，為中點，又∵是的中點， ，面，平面，平面  20．(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）由三角形中位線可得∥，進而結合線面平行的判定定理分析證明；（2）由題意可得平面，進而結合面面垂直的判定定理分析證明.【詳解】（1）設與交于點，連接，如圖，  在斜三棱柱中，四邊形是平行四邊形，則點為的中點，因為點為的中點，點為的中點，則∥，且平面，平面，∥平面.（2）因為，則四邊形是菱形，則，又因為，，可知平面，且平面，所以平面平面．21．(1)證明見詳解(2)【分析】（1）連接，由三角形中位線定理可得，再由直線與平面的判定定理可判定平面；（2）取中點，連接，可得，且,易得平面，再由棱錐體積公式得解.【詳解】（1）證明：連接，分別是，的中點，，又平面，平面，平面.  （2）取中點，連接，是的中點，為的中位線，則，且，又平面，平面，所以三棱錐的體積為.22．(1)(2)外接球的表面積為，內切球的體積為【分析】（1）求出三棱柱的體積，得到三角形ABC的內切圓的半徑，進而去除圓柱的體積，相減即可答案；（2）結合第一問得到內切球半徑，求出內切球體積，再根據將三棱柱補形為長方體得到外接球半徑，求出外接球的表面積.【詳解】（1）因為底面三角形的邊長分別為，，，由勾股定理逆定理可知：底面三角形為直角三角形，兩直角邊分別為，，又因為三棱柱的側棱垂直于底面，其高為，所以  設圓柱底面圓的半徑為，則，圓柱體積 所以剩下的幾何體的體積（2）由（1）可知該直三棱柱的內切球半徑為，則內切球球的體積 直三棱柱可補形為棱長分別為的長方體，它的外接球的球半徑滿足，即 

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