?景勝學(xué)校2023-2024學(xué)年度第一學(xué)期高二月考（9月）
數(shù)學(xué)試題（A卷） 2023.09
一、單選題
1．對于空間中的任意三個向量，，，它們一定是（????）
A．共面向量 B．共線向量 C．不共面向量 D．既不共線也不共面的向量
2．四面體中，，，，則（????）
A． B． C． D．
3．向量（﹣1，2，﹣2），（k，4，5）夾角的余弦值為，則實數(shù)k為（　　）
A．3 B．﹣11 C．﹣3或11 D．3或﹣11
4．如圖正方體的棱長為a，以下結(jié)論不正確的是（　?。?br />
A．異面直線與所成的角為 B．直線與垂直
C．直線與平行 D．三棱錐的體積為
5．在空間直角坐標系中，已知點，點A關(guān)于平面對稱的點為B，點A關(guān)于x軸對稱的點為C，則的面積為（????）
A．2 B．4 C．8 D．16
6．正方體棱長為2，是棱的中點，是四邊形內(nèi)一點（包含邊界），且，當三棱錐的體積最大時，與平面所成角的正弦值為（????）
A． B． C． D．
7．在長方體中，，，O是AC的中點，點P在線段上，若直線OP與平面所成的角為，則的取值范圍是（????）
A． B． C． D．
8．正方體的棱長為3，點E，F(xiàn)分別在棱上，且，，下列幾個命題：①異面直線與垂直；②過點B，E，F(xiàn)的平面截正方體，截面為等腰梯形；③三棱錐的體積為④過點作平面，使得，則平面截正方體所得的截面面積為．其中真命題的序號為（????）
A．①④ B．①③④ C．①②③ D．①②③④
二、多選題
9．已知，分別為直線l1，l2的方向向量（l1，l2不重合），，分別為平面α，β的法向量（α，β不重合），則下列說法中，正確的是（????）
A．?l1//l2 B．⊥?l1⊥l2 C．?α//β D．⊥?α⊥β
10．如圖所示，在正方體中，下列各組向量的夾角為的是（????）

A．與 B．與 C．與 D．與
11．已知三棱錐B-ACD的側(cè)棱兩兩垂直，E為棱CD的中點，且，，，則（????）
A． B．異面直線BE與AD所成角的正弦值為
C．平面ABE與平面ABD不垂直D．平面ABE與平面ACD所成銳二面角的余弦值為
12．如圖，在幾何體中，四邊形是矩形，，且平面平面，，，則下列結(jié)論正確的是（????）

A． B．異面直線、所成的角為
C．幾何體的體積為 D．平面與平面間的距離為
三、填空題
13．在三棱柱中，點在線段上，且，若以為基底表示，則 ．
14．已知直線a，b的方向向量分別為和，若，則 .
15．若平面向量為單位向量，， 空間向量滿足，，，則對任意的實數(shù)，的最小值為 ．
16．三棱錐中，兩兩垂直，，點M為平面內(nèi)的動點，且滿足，記直線與直線的所成角的余弦值的取值范圍為 ．
四、解答題
17．已知，點P在z軸上，且，求點P的坐標．
18．如圖，在直三棱柱中，，，，P為的中點，點Q，R分別在棱，上，，．求平面與平面夾角的余弦值．

19．如圖，已知正方形的邊長為，為兩條對角線的交點，如圖所示，將沿BD所在的直線折起，使得點E移至點C，滿足．
????
（1）求四面體的體積； （2）請計算：
①直線與所成角的大小； ②直線與平面所成的角的正弦．
20．如圖， 和所在平面垂直，且．

(1)求證：； (2)若，求平面和平面的夾角的余弦值．
21．如圖，四邊形ABCD是梯形，AD∥BC，∠BAD=90°，四邊形CC1D1D為矩形，已知AB⊥BC1，AD=4，AB=2，BC=1.

（I）求證：BC1∥平面ADD1；
（II）若DD1=2，求平面AC1D1與平面ADD1所成的銳二面角的余弦值；
（III）設(shè)P為線段C1D上的一個動點（端點除外），判斷直線BC1與直線CP能否垂直?并說明理由.
22．如圖，在棱長為2的正方體中，點M是正方體的中心，將四棱錐繞直線逆時針旋轉(zhuǎn)后，得到四棱錐．
??
(1)若，求證：平面平面；
(2)是否存在，使得直線平面？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由。

高二數(shù)學(xué)參考答案（A）
1．A
【分析】根據(jù)空間向量共面定理，即可直接判斷并選擇.
【詳解】若，不共線，則由空間共面向量定理知，，，共面；
若，共線，則，，共線，也共面.
故選：.
2．C
【分析】根據(jù)題意得
，由數(shù)量積公式計算即可.
【詳解】由題知，，
所以
，
所以，解得，
故選：C
3．B
【分析】根據(jù)向量的數(shù)量積的運算，代入公式得到關(guān)于k的方程，解出即可．
【詳解】由題意得：||3，||，
故cos，，解得：k＝﹣11，
故選：B
4．C
【分析】如圖所示，建立空間直角坐標系．利用正方體的性質(zhì)、向量的夾角公式與數(shù)量積的關(guān)系、三棱錐的體積計算公式即可得出．
【詳解】如圖所示，建立空間直角坐標系．
A．A1（a，0，a），D（0，0，0），A（a，0，0），B1（a，a，a）．
∴（﹣a，0，﹣a），（0，a，a），
∴，
∴異面直線A1D與AB1所成的角為60°．
B．C1（0，a，a），B（a，a，0）．
（﹣a，0，﹣a）?（﹣a，0，a）＝a2﹣a2＝0．
∴直線A1D與BC1垂直．
C．D1（0，0，a）．
∵（﹣a，0，﹣a）?（﹣a，﹣a，a）＝a2﹣a2＝0，∴直線A1D與BD1垂直，不平行；
D．三棱錐A﹣A1CD的體積．
綜上可知：只有C不正確．
故選C．

【點睛】本題考查了正方體的性質(zhì)、向量的夾角公式與數(shù)量積的關(guān)系、三棱錐的體積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．
5．B
【分析】利用空間中的對稱求出坐標，再根據(jù)兩點之間的距離求出長度，利用勾股定理證得三角形為直角三角形，進而求得面積.
【詳解】由題意可得，點關(guān)于平面對稱的點為，
點關(guān)于x軸對稱的點為，
，，即為直角三角形，
所以的面積為
故選：B
6．A
【分析】建立空間直角坐標系，設(shè)出，利用向量的數(shù)量積及體積最大值求得，從而得到與平面所成角的正弦值.
【詳解】如圖，以A為坐標原點，AB，AD，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標系，
則，，，設(shè)，，
則，
由于為定值，要想三棱錐的體積最大，則F到底面ADE的距離最大，
其中，
所以當時，取得最大值，
因為，
所以的最大值為，
所以，，
平面的法向量，
所以與平面所成角的正弦值為

故選：A
7．D
【分析】建立空間直角坐標系，利用向量法求得的取值范圍，由此求得，即可得解.
【詳解】以D為原點，分別以所在直線為軸，建立空間直角坐標系，如圖所示
則，，，，，
設(shè)，則，
設(shè)平面的法向量為
則，令，得
所以，
由于，，，
，，，
由于，所以
故選：D

8．B
【解析】對于①：取的三等分點為，使，利用已知條件找到異面直線， 所成的角，即可得出結(jié)果；
對于②：取 的三等分點為，使，利用已知條件得到四邊形 即為所求截面，即可得出結(jié)論；
對于③：利用等體積法求解即可；
對于④：取 的三等分點為，使，取 的三等分點為，使，
猜想出面 即為所求的截面，建立空間坐標證明推測，代入數(shù)值即可求出結(jié)論．
【詳解】解：對于①：取的三等分點為，使，又，
且，
四邊形為平行四邊形，
且，
四邊形 為平行四邊形，
，
則 為異面直線， 所成的角，
連接，由題意得：，
所以，
故①正確；
對于②：取 的三等分點為，使，又，
且，
四邊形 為平行四邊形，
則 且，
又由①得： 且，
于是且，
四邊形 為平行四邊形，
，
取的中點為，連接，
又，
，
則四邊形 即為所求截面，
由題意知：，
則②不正確；
對于③：，
又面，，
所以，
故③正確；
對于④：取 的三等分點為，使，取 的三等分點為，使，
，
則面 即為所求的截面，
建立如圖所示的空間坐標系，

則，0，，，3，，，3，，，0，，，1，，
，，，

所以面，
由已知條件得：
，
等腰梯形 的高為：
，
所以截面面積為：，
故④正確．
故選：．
【點睛】本題主要考查異面直線所成角以及線線平行問題，還考查了等體積法求四棱錐的體積以及利用空間向量解決線面垂直問題； 問題的關(guān)鍵是截面不容易找．
9．ABCD
【分析】根據(jù)方向向量的關(guān)系和法向量的關(guān)系可判斷線線關(guān)系和面面關(guān)系，即可得到答案．
【詳解】解：若兩條直線不重合，則空間中直線與直線平行（或垂直）的充要條件是它們的方向向量平行（或垂直），
故選項A，B正確；
若兩個平面不重合，則空間中面面平行（或垂直）的充要條件是它們的法向量平行（或垂直），
故選項C，D正確．
故選：ABCD．
10．AD
【分析】如圖建立空間直角坐標系，然后利用向量的夾角公式逐個計算
【詳解】如圖，以為原點，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標系，
設(shè)正方體的棱長為1，
則,
對于A，因為，，所以，因為，所以，所以A正確，
對于B，因為，，所以,因為，所以，所以B錯誤，
對于C，因為，，所以，因為，所以，所以C錯誤，
對于D，因為，，所以，因為，所以，所以D正確，
故選：AD

11．ACD
【解析】建立如圖所示的空間直角坐標系，
A．證明，所以該選項正確；
B．利用向量法求出異面直線BE與AD所成角的正弦值為，所以該選項錯誤；
C. 反證法證明平面ABE與平面ABD不垂直，所以該選項正確；
D.利用向量法證明平面ABE與平面ACD所成銳二面角的余弦值為，所以該選項正確.
【詳解】
因為三棱錐B-ACD的側(cè)棱兩兩垂直，所以建立如圖所示的空間直角坐標系，則,
A.，所以，所以該選項正確；
B.，所以異面直線BE與AD所成角的余弦值為
所以異面直線BE與AD所成角的正弦值為，所以該選項錯誤；
C. 假設(shè)平面ABE與平面ABD垂直，因為平面ABE與平面ABD交于,,
平面，故平面，因為平面，
所以,顯然不成立，所以平面ABE與平面ABD不垂直，所以該選項正確；
D.設(shè)平面ABE的法向量為所以，所以，
設(shè)平面ACD的法向量為所以，所以，
所以平面ABE與平面ACD所成銳二面角的余弦值為.所以該選項正確.
故選：ACD
【點睛】方法點睛：二面角的求法
方法一：（幾何法）找作（定義法、三垂線法、垂面法）證（定義）指求（解三角形）；方法二：（向量法）首先求出兩個平面的法向量；再代入公式（其中分別是兩個平面的法向量，是二面角的平面角.）求解.（注意先通過觀察二面角的大小選擇“”號）.
12．ABD
【分析】過點作使得，過點作，分析可知幾何體為正方體，以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，利用空間向量法可判斷BD選項；證明出四邊形為平行四邊形，可判斷A選項；計算出幾何體的體積，可判斷C選項.
【詳解】過點作使得，過點作，如圖所示：
因為四邊形為矩形，則，
又因為，則，
所以，四邊形為平行四邊形，則，，
因為平面平面，則與、共面，
即與、共面，所以，、、、四點共面，
同理可知，、、、四點共面，
故幾何體為四棱柱，
因為四邊形為矩形，則，
又因為，，、平面，
所以，平面，
因為，則，，
所以，在底面中，，，故四邊形為平行四邊形，
因為，則，所以，，即，
所以，平行四邊形為正方形，
又因為，故幾何體為正方體，
對于A選項，在正方體中，且，
故四邊形為平行四邊形，所以，，A對；
對于B選項，以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，
??
則、、、、、，
，，
，
所以，異面直線、所成的角為，B對；
對于C選項，，C錯；
對于D選項，因為，平面，平面，所以，平面，
因為，平面，平面，所以，平面，
又因為，、平面，所以，平面平面，
設(shè)平面的法向量為，，，
則，取，可得，
又因為，所以，平面與平面間的距離為，D對.
故選：ABD.
13．
【分析】利用向量的線性關(guān)系結(jié)合圖形運算即得.
【詳解】在三棱柱中，點在線段上，且，
所以，，
??
所以
.
故答案為：.
14．6
【解析】先根據(jù)兩直線平行得到直線的方向向量共線，列出關(guān)于的方程，由此求解出的值即可.
【詳解】因為，所以，
解得：，
故答案為：.
【點睛】本題考查根據(jù)空間向量的共線關(guān)系求解參數(shù)，難度較易.已知，若，則.
15．
【分析】由，求出的最小值.
【詳解】


即，當且僅當取等號
即的最小值為
故答案為：
【點睛】關(guān)鍵點睛：解決本題的關(guān)鍵在于由，結(jié)合不等式的性質(zhì)得出最值.
16．
【分析】根據(jù)已知條件先確定出在平面內(nèi)的軌跡，然后通過建立空間直角坐標系，根據(jù)兩直線方向向量夾角的余弦值結(jié)合三角函數(shù)值的范圍，計算出兩直線所成角的余弦值的取值范圍.
【詳解】因為兩兩垂直，且，所以由勾股定理可知，
所以三棱錐為正三棱錐，記在底面內(nèi)的投影為，
所以，
因為，所以，所以，
因為，所以，所以的軌跡是以為圓心半徑為的圓，
取中點，連接，可知經(jīng)過點，建立如下圖所示的空間直角坐標系：

設(shè)，，，
所以，
所以，
設(shè)直線與直線的所成角為.
所以
故答案為：.
【點睛】思路點睛：異面直線所成角的余弦值的向量求法：
（1）先分別求解出兩條異面直線的一個方向向量；
（2）計算出兩個方向向量夾角的余弦值；
（3）根據(jù)方向向量夾角的余弦值的絕對值等于異面直線所成角的余弦值求解出結(jié)果.
17．.
【分析】根據(jù)給定條件設(shè)出點P的坐標，再建立方程求解作答.
【詳解】因點P在z軸上，則設(shè)，而，且，
因此，，解得，
所以點P的坐標是.
18．
【分析】以為原點，，，所在直線為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系，然后求出兩個平面的法向量，然后可算出答案.
【詳解】以為原點，，，所在直線為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系．

設(shè)平面的法向量為，平面的法向量為，則平面與平面的夾角就是與的夾角或其補角．
因為平面，所以平面的一個法向量為．
根據(jù)所建立的空間直角坐標系，可知，，．
所以，．設(shè)，
則，，所以
取，則．
設(shè)平面與平面的夾角為，則
．
即平面與平面的夾角的余弦值為．
19．（1）；（2）①；②.
【分析】（1）利用勾股定理證明，結(jié)合，證明平面，從而CO是三棱錐的高，由錐體的體積公式求解即可；
（2）建立合適的空間直角坐標系，求出所需點的坐標和向量的坐標．
①利用異面直線所成角的計算公式求解即可；
②利用待定系數(shù)法求出平面的法向量，然后由線面角的計算公式求解即可．
【詳解】（1）由已知，有，，，，
又由已知，有，
因為，所以平面，即CO是三棱錐的高，
所以
（2）分別以、、為坐標軸建立空間直角坐標系．

則有，，，，
，，
①設(shè)與所成角的大小為，
則．又，
故與所成角的大小為．
②設(shè)為平面的一個法向量，
則即令，得．
，
故與平面所成的角的正弦值為.
20．(1)見解析；
(2).

【分析】（1）取的中點，可得，根據(jù)可得，由線面垂直的判定定理及性質(zhì)定理可證明；
（2）作于點,以點為原點，所在直線分別為軸建立空間坐標系，求出兩個平面的法向量即可求解.
【詳解】（1）取的中點，連接，

因為，所以.
因為為公共邊，
所以，所以,所以.
因為平面，所以平面，
因為平面,所以.
（2）當,可設(shè),
作于點,連接，易證兩兩垂直，
以點為原點，所在直線分別為軸建立空間坐標系，

則,
設(shè)平面的法向量為，
,
所以，
令,可得，則.
易知平面，所以平面的法向量為，
設(shè)平面和平面的夾角為，
則,
故平面和平面的夾角的余弦值為.
21．（I）證明見解析；（II）；（III）直線BC1與CP不可能垂直.
【詳解】試題分析：（1）先根據(jù)線面平行的判定定理證明平面平面，再由面面垂直的判定定理可得平面平面，根據(jù)面面平行的性質(zhì)可得結(jié)果；（2）先證明平面，過在底面中作，所以,兩兩垂直，以分別為軸、軸和軸，建立空間直角坐標系，求出平面與平面的法向量，利用空間向量夾角余弦公式可得結(jié)果；（3）利用反證法，若兩直線垂直，根據(jù)向量垂直數(shù)量積為零可得到點不在線段上，從而假設(shè)不成立.
試題解析：（I）證明：由CC1D1D為矩形，得CC1∥DD1，又因為DD1平面ADD1，CC1平面ADD1，
所以CC1∥平面ADD1，
同理BC∥平面ADD1，又因為BCCC1=C，所以平面BCC1∥平面ADD1，
又因為BC1平面BCC1，所以BC1∥平面ADD1.
（II）.由平面ABCD中，AD∥BC，∠BAD=90°，得AB⊥BC，又因為AB⊥BC1，BCBC1=B，所以AB⊥平面BCC1，所以AB⊥CC1，又因為四邊形CC1D1D為矩形，且底面ABCD中AB與CD相交一點，所以CC1⊥平面ABCD，因為CC1∥DD1，所以DD1⊥平面ABCD.
過D在底面ABCD中作DM⊥AD，所以DA，DM，DD1兩兩垂直，以DA，DM，DD1分別為x軸、y軸和z軸，如圖建立空間直角坐標系，

則D（0，0，0），A（4，0，0），B（4，2，0），C（3，2，0），C1（3，2，2），D1（0，0，2），
所以=（-l，2，2），=（-4，0，2）.
設(shè)平面AC1D1的一個法向量為 =（x，y，z），
由·=0，·=0，得
令x=2，得=（2，-3，4）????
易得平面ADD1的法向量=（0，1，0）.
所以cos=.
即平面AC1D1與平面ADD1所成的銳二面角的余弦值為
（III）結(jié)論：直線BC1與CP??不可能垂直，
證明：設(shè)DD1=m（m>0），=（∈（0，1）），
由B（4，2，0），C（3，2，0），C1（3，2，m），D（0，0，0），
得=（-l，0，m），=（3，2，m），==（3，2，m），=（-3，-2，0），=+=（3-3，2-2，m）.??
若BC1⊥CP，則·=-（3-3）+m2=0，即（m2-3）=-3，因為≠0，
所以m2=-+3>0，解得>1，這與0

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