?湖北省部分高中高二九月聯(lián)考
數(shù)學(xué)試題
命題學(xué)校：襄陽四中
★?？荚図樌?br /> 一、單項選擇題：本題共8 小題，每小題5 分，共40 分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 已知直線，，若且，則的值為（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】由兩直線的平行與垂直求得值后可得結(jié)論.
【詳解】由題意,，，，
所以．
故選：C．
2. “幸福感指數(shù)”是指某個人主觀地評價他對自己目前生活狀態(tài)的滿意程度的指標(biāo)，常用區(qū)間內(nèi)的一個數(shù)來表示，該數(shù)越接近10表示滿意度越高．現(xiàn)隨機抽取10位某市居民，他們的幸福感指數(shù)為 3，4，5，5，6，7，7，8，9，10，則這組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)是（ ）
A. 7.5 B. 8 C. 8.5 D. 9
【答案】C
【解析】
【分析】先計算分位數(shù)的位置，再求出這個數(shù)即可.
【詳解】由題意，這10個人的幸福指數(shù)已經(jīng)從小到大排列，
因，
所以這10個人的分位數(shù)為.
故選：C.
3. 已知三棱錐中，點M為棱的中點，點G為的重心，設(shè)，，，則向量（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用空間向量的加、減運算即可求解.
【詳解】由題意知，，
則，
故選：A
4. 從裝有2個紅球、4個白球的袋子中任意摸出2個球，事件“至少有1個紅球”，事件“至多有1個白球”，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由古典概型的概率公式求出，即可得到答案
【詳解】記2個紅球分別為，，4個白球分別為，
則從袋子中任意摸出2個球的所有情況為：，，，，，
，，，，，，，，，，共15種，
其中事件“至少有1個紅球”包括：，，，，，
，，，，共9種，
事件“至多有1個白球”包括：，，，，，
，，，，共9種，
故，
，
故選：B
5. 數(shù)學(xué)家歐拉1765年在其所著的《三角形幾何學(xué)》一書中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一條直線上，后人稱這條直線為歐拉線．已知的頂點分別為，，，則的歐拉線方程為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求出重心坐標(biāo)，求出AB邊上高和AC邊上高所在直線方程，聯(lián)立兩直線可得垂心坐標(biāo)，即可求出歐拉線方程.
【詳解】由題可知，的重心為，
可得直線AB的斜率為，則AB邊上高所在的直線斜率為，
則方程為，即，
直線AC的斜率為，則AC邊上高所在的直線斜率為，
則方程為，即，
聯(lián)立方程，解得，即的垂心為，
則直線GH斜率為，則可得直線GH方程為，
故的歐拉線方程為.
故選：A.
6. 一個透明密閉的正方體容器中恰好盛有該容器一半容積的水，任意轉(zhuǎn)動這個正方體容器，則水面在容器中形成的所有可能的形狀是（????）
①三角形?? ②非正方形的菱形??? ③五邊形??? ④正方形??? ⑤正六邊形
A. ②④ B. ③④⑤ C. ②④⑤ D. ①②③④⑤
【答案】C
【解析】
【分析】正方體容器中盛有一半容積的水，無論怎樣轉(zhuǎn)動，其水面總是過正方體的中心，從而將問題轉(zhuǎn)化為過正方體中心，作正方體的截面問題.
【詳解】因為正方體容器中盛有一半容積的水，無論怎樣轉(zhuǎn)動，其水面總是過正方體的中心，
過正方體一面上一邊的中點和此邊外的頂點以及正方體的中心作一截面，其截面形狀為菱形，且不為正方形，所以②是正確的；

過正方體一面上相對兩邊的中點以及正方體的中心作一截面，得截面形狀為正方形，所以④是正確的；

過正方體的一個面相鄰兩邊的中點以及正方體的中心作一截面，得截面形狀為正六邊形，所以⑤是正確的；

過正方體的中心的平面截正方體得到的截面，且該截面將正方體的體積平分，顯然截面不能是三角形和五邊形；
故選：C.
7. 定義空間兩個向量的一種運算，則關(guān)于空間向量上述運算的以下結(jié)論中恒成立的有（ ）
A.
B.
C.
D. 若，，則
【答案】D
【解析】
【分析】A．按的正負(fù)分類討論可得，B．由新定義的意義判斷，C．可舉反例說明進(jìn)行判斷，D．與平面向量的數(shù)量積進(jìn)行聯(lián)系，用數(shù)量積求出兩向量夾角的余弦值，轉(zhuǎn)化為正弦值，代入計算可判斷．
【詳解】A．，
時，，，
時，，成立，
時，，，
綜上，A不恒成立；
B．是一個實數(shù)，無意義，B不成立；
C．若，，則，
，，
，
，
，C錯誤；
D．若，，則，，
，
，
所以，成立．
故選：D．
【點睛】本題考查向量的新定義運算，解題關(guān)鍵是理解新定義，并能運用新定義求解．解題方法一種方法是直接利用新定義的意義判斷求解，另一種方法是把新定義與向量的數(shù)量積進(jìn)行聯(lián)系，把新定義中的用，而余弦可由數(shù)量積進(jìn)行計算．
8. 八卦文化是中華文化的精髓，襄陽市古隆中景區(qū)建有一巨型八卦圖（圖1），其輪廓分別為正八邊形和圓（圖2），其中正八邊形的中心是點，魚眼（黑白兩點）是圓半徑的中點，且關(guān)于點對稱,若，圓的半徑為，當(dāng)太極圖轉(zhuǎn)動（即圓面及其內(nèi)部點繞點轉(zhuǎn)動）時，的最小值為（ ）

A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)題意，利用向量的線性運算，化簡得到，結(jié)合，進(jìn)而求得取得最小值，得到答案.
【詳解】由題意，點是圓半徑的中點，且關(guān)于點對稱，設(shè)的位置，如圖所示，
在八卦圖中，知,
又由，
則由
，
當(dāng)八卦圖轉(zhuǎn)動（即圓面及其內(nèi)部點繞轉(zhuǎn)動）時，，
當(dāng)時，取得最小值，最小值為.
故選：C.

二、多項選擇題：本題共 4小題，每小題5分，共20 分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求. 全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.
9. 下列說法正確的有（????）
A. 若直線經(jīng)過第一、二、四象限，則在第二象限.
B. 直線不過定點.
C. 過點，且斜率為的直線的點斜式方程為.
D. 斜率為，且在軸上的截距為的直線方程為.
【答案】AC
【解析】
【分析】根據(jù)直線方程的相關(guān)定義一一判定即可.
【詳解】對于A項，若直線經(jīng)過第一、二、四象限，則，即在第二象限正確；
對于B項，直線方程可化為，易知時，故該直線過定點，B錯誤；
對于C項，由點斜式方程的定義可知其正確；
對于D項，由斜截式方程的定義可知斜率為，且在軸上的截距為的直線方程為，即D錯誤.
故選：AC
10. 在中，內(nèi)角所對的邊分別為，且，則（ ）
A. B.
C. 周長的最大值為3 D. 的最大值為
【答案】BCD
【解析】
【分析】對于AB，利用正弦定理判斷即可，對于C，利用余弦定理結(jié)合基本不等式可判斷，對于D，由選項C可知，結(jié)合基本不等式可得，從而可求出的最大值
【詳解】對于A，因為，所以由正弦定理得，所以，所以A錯誤.
對于B，因為，所以由正弦定理得，所以，所以B正確.
對于C，根據(jù)余弦定理得，所以，即，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以，所以C正確.
對于D，由選項C可知，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立. ，所以D正確.
故選：BCD
11. 一個質(zhì)地均勻的正四面體木塊的四個面上分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，連續(xù)拋擲這個正四面體木塊兩次，記事件A為“第一次向下的數(shù)字為2或3”，事件B為“兩次向下的數(shù)字之和為奇數(shù)”，事件C為“兩次能看見的所有面向上的數(shù)字之和不小于15”，則下列結(jié)論正確的是（????）
A. 事件A與事件B相互獨立
B 事件A與事件B互斥
C.
D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】對于A、B：根據(jù)古典概型求，結(jié)合獨立事件和互斥事件分析判斷；對于C：根據(jù)事件的運算求解；對于D：根據(jù)古典概型運算求解.
【詳解】由題意可知：第一次向下的數(shù)字為1，2，3，4，共4個基本事件，則，
設(shè)為連續(xù)拋擲這個正四面體木塊兩次向下的數(shù)字組合，其中為第一次向下的數(shù)字，為第二次向下的數(shù)字，
則有，
共16個基本事件，
可知事件包含，共8個基本事件，則，
事件包含，共4個基本事件，則，
可知，
所以事件A與事件B相互獨立，且事件A與事件B不互斥，故A正確，B錯誤；
因為，故C正確；
事件C等價于為“兩次向下的數(shù)字之和小于等于5”，
包含，共10個基本事件，
則，故D正確；
故選：ACD.
12. 如圖，在正方體中，，點M在正方體內(nèi)部及表面上運動，下列說法正確的是（ ）

A. 若M為棱的中點，則直線∥平面
B. 若M在線段上運動，則的最小值為
C. 當(dāng)M與重合時，以M為球心，為半徑的球與側(cè)面的交線長為
D. 若M在線段上運動，則M到直線的最短距離為
【答案】AC
【解析】
【分析】對于A：作交點，連接，可證，進(jìn)而得到∥平面；對于B：展開與到同一平面上，由兩點間直線段最短，結(jié)合余弦定理運算求解；對于C：在側(cè)面上的射影為，確定交線為以為圓心的圓弧，結(jié)合弧長公式即可求解；對于D：根據(jù)垂直關(guān)系分析可知直線與直線的距離為，當(dāng)為中點，為中點時，可得，即能找出此點恰在上.
【詳解】對于選項A：作交點，連接，
因為為中點，M為棱的中點，則∥，
且平面，平面，所以∥平面，故A正確；

對于選項B：展開與到同一平面上如圖：

可知，故B錯誤；
對于選項C：M與重合時，在側(cè)面上的射影為，
故交線是以為圓心的一段圓?。▊€圓），且圓半徑，
故圓弧長，故C正確；

對于選項D：取的中點，則，
因為平面，平面，則，
且，平面，所以平面，
由平面，則，
又因為∥，則，所以直線與直線的距離為，
當(dāng)為中點，為中點時，
則∥，且，且∥，且，
可得∥，且，可知為平行四邊形，
則∥，且，
所以為M到直線最短距離，選項D錯誤.

故選：AC.
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共 20分.
13. 已知直線l的一方向向量為.則直線l的傾斜角為 ___.
【答案】##
【解析】
【分析】根據(jù)直線斜率公式結(jié)合已知直線的方向向量可以直接求出直線的斜率，進(jìn)而根據(jù)斜率求解傾斜角.
【詳解】解：因為直線l的一方向向量為，
所以直線的斜率為，，
設(shè)直線l的傾斜角，則，
所以，即.
故答案為：
14. 已知，若三向量共面，則實數(shù)=_____.
【答案】
【解析】
【分析】由題意結(jié)合向量基本定理得到方程組，求解方程組即可確定的值.
【詳解】由題意可知，存在實數(shù)滿足：，
據(jù)此可得方程組：，求解方程組可得：.
故答案為．
【點睛】本題主要考查空間向量基本定理，方程的數(shù)學(xué)思想等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.
15. 某校高二年級有男生400人和女生600人，為分析期末物理調(diào)研測試成績，按照男女比例通過分層隨機抽樣方法取到一個樣本，樣本中男生的平均成績?yōu)?0分，方差為10，女生的平均成績?yōu)?0分，方差為20，由此可以估計該校高二年級期末物理調(diào)研測試成績的方差為_____________.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)分層抽樣的性質(zhì)，利用平均數(shù)以及方差的計算，建立方程，可得答案.
【詳解】由，不妨設(shè)樣本由男生2人和女生3人組成.由題設(shè)：
，，解得，；
，
解得，；
所以樣本的平均分，樣本的方差.
故答案為：.
16. 《九章算術(shù)》卷五《商功》中描述幾何體“陽馬”為“底面為矩形，一棱垂直于底面的四棱錐”，現(xiàn)有陽馬（如圖），平面，，，點，分別在，上，當(dāng)空間四邊形的周長最小時，三棱錐外接球的表面積為____________.

【答案】
【解析】
【分析】把剪開，使得與矩形在同一個平面內(nèi).延長到M，使得，則四點，E，F(xiàn)，M在同一條直線上時，取得最小值，即空間四邊形的周長取得最小值.可得，.設(shè)的外心為，外接圓的半徑為r，則，利用勾股定理進(jìn)而得出結(jié)論.
【詳解】如圖所示，把剪開，使得與矩形在同一個平面內(nèi).
延長到M，使得，則四點，E，F(xiàn)，M在同一條直線上時，取得最小值，即空間四邊形的周長取得最小值.
在中，C是MD的中點，又，得，.

設(shè)的外心為，外接圓的半徑為r，由得，
,則，即.

設(shè)三棱錐外接球的半徑為R，球心為O，連接，則，
則.
所以三棱錐外接球的表面積等于.
故答案為：.
四、解答題：本題共6小題，共 70分. 解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟.
17. （1）求經(jīng)過點，且在x軸上的截距和y軸上的截距相等的直線的方程．
（2）己知的頂點，AB邊上的中線CM所在的直線方程為，AC邊上的高BH所在直線方程為，求直線的方程；
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)已知條件及直線的截距式方程即可求解；
（2）利用中點坐標(biāo)公式及點在直線上，結(jié)合直線垂直斜率的關(guān)系及兩直線相交求交點的方法，再利用直線的兩點式方程即可求解.
【詳解】（1）設(shè)直線在軸上的截距分別為，
當(dāng)時，直線經(jīng)過原點，則直線斜率，
直線方程為，即；
當(dāng)時，可設(shè)直線方程為，則，
直線方程為；
（2）由題意知：點在直線上，則可設(shè)，
中點為，
，解得：，

，
，
直線方程為：，即，
由得：，即；
直線的方程為：，即；
18. 在中，分別為內(nèi)角A，B，C的對邊， ．
（1）求A；
（2）若是線段的中點，且，，求的面積．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意利用正弦定理結(jié)合三角恒等變換運算求解即可；
（2）法一：取中點，連接，在中，利用余弦定理可得，進(jìn)而可得，再利用面積公式運算求解；法二：根據(jù)中線的向量關(guān)系可得，結(jié)合數(shù)量積可得，再利用面積公式運算求解.
【小問1詳解】
因為，
根據(jù)正弦定理邊角互化得，
整理得，即，
因為，則，
可得，且，所以.
【小問2詳解】
法一：如圖，取中點，連接，

因為是線段的中點，所以，
又因為，，，
在中，，
由余弦定理，即，
整理得，解得或（舍去），
可得，
所以的面積為；
法二：因為是線段中點，則，
可得，即，
可得，解得或（舍去），
所以的面積為.
19. 已知函數(shù)，集合，若分別從集合P，Q中隨機抽取一個數(shù)a和b，構(gòu)成數(shù)對．
（1）記事件A為“函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為”，求事件A的概率；
（2）記事件B為“方程有4個根”，求事件B的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）列舉樣本空間所有的樣本點，依題意有，列舉滿足條件的樣本點，根據(jù)古典概型概率公式計算；
（2）依題意有，列出所有符合條件的樣本點，根據(jù)古典概型概率公式計算.
【小問1詳解】
由題知，所以，數(shù)對的可能取值為：
共16對．
若函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，則函數(shù)的對稱軸為，即
所以，滿足條件的基本事件有：，共4對，
所以，事件A的概率為
【小問2詳解】
因為，二次函數(shù)開口向上，
所以，方程有4個根，即和各有2個根，
所以，二次函數(shù)的最小值小于．
所以，即，
滿足條件的基本事件有：，共11對，
所以，事件B的概率．
20. 如圖，在四棱錐中，底面是邊長為的正方形，側(cè)面為等腰直角三角形，且，點為棱上的點，平面與棱交于點．

（1）求證：；
（2）若，，求證：平面平面．
【答案】（1）證明見解析
（2）證明見解析
【解析】
【分析】（1）先證得平面，然后利用線面平行的性質(zhì)定理來證得.
（2）通過證明平面來證得平面平面．
【小問1詳解】
因為底面是正方形，所以，
平面，平面，所以平面，
又因為平面與交于點，平面，
平面平面， 所以．
【小問2詳解】
側(cè)面為等腰直角三角形，且，即，，
因為，，且兩直線在平面內(nèi)，可得平面，
因為平面，則．
又因為，，且兩直線在平面內(nèi)，
則平面，
因為平面，則，
因為，所以為等腰三角形，所以點為的中點.
又因為，所以為等腰直角三角形，
因為平面，
所以平面，因為平面，所以面平面.
21. “難度系數(shù)”反映試題的難易程度，難度系數(shù)越大，題目得分率越高，難度也就越小，“難度系數(shù)”的計算公式為，其中L為難度系數(shù)，Y為樣本平均失分，W為試卷總分（一般為100分或150分）．某校高二年級的老師命制了某專題共5套測試卷（總分150分），用于對該校高二年級480名學(xué)生進(jìn)行每周測試，測試前根據(jù)自己對學(xué)生的了解，預(yù)估了每套試卷的難度系數(shù)，如下表所示：
試卷序號i
1
2
3
4
5
考前預(yù)估難度系數(shù)
0.7
0.64
0.6
0.6
0.55
測試后，隨機抽取了50名學(xué)生的數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計，結(jié)果如下：
試卷序號i
1
2
3
4
5
平均分/分
102
99
93
93
87

（1）根據(jù)試卷2的預(yù)估難度系數(shù)估計這480名學(xué)生第2套試卷的平均分；
（2）試卷的預(yù)估難度系數(shù)和實測難度系數(shù)之間會有偏差，設(shè)為第i套試卷的實測難度系數(shù)，并定義統(tǒng)計量， 若，則認(rèn)為試卷的難度系數(shù)預(yù)估合理，否則認(rèn)為不合理．以樣本平均分估計總體平均分，試檢驗這5套試卷難度系數(shù)的預(yù)估是否合理．
（3）聰聰與明明是學(xué)習(xí)上的好伙伴，兩人商定以同時解答上述試卷易錯題進(jìn)行“智力競賽”，規(guī)則如下：雙方輪換選題，每人每次只選1道題，先正確解答者記1分，否則計0分，先多得2分者為勝方.若在此次競賽中，聰聰選題時聰聰?shù)梅值母怕蕿?，明明選題時聰聰?shù)梅值母怕蕿椋黝}的結(jié)果相互獨立，二人約定從0:0計分并由聰聰先選題，求聰聰3:1獲勝的概率 .
【答案】（1）96分；
（2）預(yù)估合理 （3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)考前預(yù)估難度系數(shù)即可求出平均分；
（2）計算出各試卷難度系數(shù)，求出統(tǒng)計量，即可預(yù)估這5套試卷難度系數(shù)的預(yù)估是否合理；
（3）根據(jù)規(guī)則即可求出聰聰3:1獲勝的概率.
【小問1詳解】
由題意，
由試卷2的難度系數(shù)，
解得平均失分：，
∴這480名學(xué)生第2套試卷的平均分為分；
【小問2詳解】
由題意及（1）得，
，，，
，，
則
，
∴這5套試卷難度系數(shù)的預(yù)估合理
【小問3詳解】
由題意及（1）（2）得，
聰聰先答對第一題：
聰聰沒先答對第一題：
∴聰聰3:1獲勝的概率聰聰3:1獲勝的概率：
22. 如圖，菱形的邊長為2，，E為AB的中點．將沿DE折起，使A到達(dá)，連接，，得到四棱錐．

（1）證明：；
（2）當(dāng)二面角的平面角在內(nèi)變化時，求直線與平面所成角的正弦值的取值范圍．
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）通過證明面面垂直，即可得出結(jié)論；
（2）求出平面的法向量，得出直線與平面所成角的余弦值表達(dá)式，進(jìn)而求出正弦值的取值范圍.
【小問1詳解】
由題意證明如下，
在菱形中，為的中點，，
∴，
在翻折過程中，恒有，，
又，平面，
∴平面，
而平面，
∴
【小問2詳解】
由題意及（1）得，
為二面角的平面角，記其為，則，
以的方向為軸的正方向，的方向為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，

則，，，，
， ，
設(shè)平面的法向量，則，得
令，得，，
則，
令，，得
，
當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，
設(shè)直線與平面所成角為，
則，
故直線與平面所成角的正弦值的最大值為，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，
∵，∴直線與平面所成角的正弦值的范圍為
【點睛】關(guān)鍵點睛：本題第二問的關(guān)鍵是利用空間向量法得到關(guān)于線面角正弦值的表達(dá)式，設(shè)，則得到，再結(jié)合換元法和基本不等式求出其最大值，再代入端點得到其最小值，從而得到正弦值范圍.




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湖北省武漢市新洲區(qū)部分學(xué)校2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（Word版附解析）：

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湖北省部分省級示范高中溫德克英新高考協(xié)作體2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（Word版附解析）：

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