?武漢外國(guó)語(yǔ)學(xué)校2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期數(shù)學(xué)9月考試題（三）
一、單選題（每題5分，共40分）
1．已知復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)（????）
A． B． C．0 D．1
2．有一個(gè)人在打靶中，連續(xù)射擊2次，事件“至少有1次中靶”的對(duì)立事件是（????）.
A．至多有1次中靶 B．2次都中靶 C．2次都不中靶 D．只有1次中靶
3．某中學(xué)舉行了一次“網(wǎng)絡(luò)信息安全”知識(shí)競(jìng)賽，將參賽的100名學(xué)生成績(jī)分為6組，繪制了如圖所示的頻率分布直方圖，則成績(jī)?cè)趨^(qū)間內(nèi)的學(xué)生有（????）

A．15名 B．20名 C．25名 D．40名
4．若m，n是互不相同的直線，是不重合的平面，則下列說(shuō)法不正確的是（????）
A．若，則
B．若，則
C．若，則
D．若，則
5．已知樣本數(shù)據(jù)，，…，的平均數(shù)和方差分別為3和56，若，則，，…，的平均數(shù)和方差分別是（????）
A．12，115 B．12，224 C．9，115 D．9，224
6．如圖，正方體中，點(diǎn)，，分別是，的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)，，的截面將正方體分割成兩個(gè)部分，記這兩個(gè)部分的體積分別為，則（????）
A． B． C． D．


7．已知正方體的棱長(zhǎng)為為棱上的靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，點(diǎn)在側(cè)面上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)平面與平面和平面所成的角相等時(shí)，則的最小值為（????）
A． B． C． D．

8．如圖所示，是邊長(zhǎng)為3正三角形，，S是空間內(nèi)一點(diǎn)，分別是，的二面角，滿足，點(diǎn)D到直線SB的距離是1，則（????）??
A． B． C． D．
二、多選題(每題5分，共20分)
9．在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，根據(jù)下列條件解三角形，其中有兩解的是（????）
A． B． C． D．
10．下列四個(gè)命題中，假命題有（????）
A．對(duì)立事件一定是互斥事件
B．若為兩個(gè)事件，則
C．若事件彼此互斥，則
D．若事件滿足，則是對(duì)立事件
11．如圖，正方體的棱長(zhǎng)為，，，分別為，，的中點(diǎn)，則（????）
A．直線與直線垂直
B．直線與平面平行
C．平面截正方體所得的截面面積為
D．點(diǎn)與點(diǎn)B到平面的距離相等
12．單位向量，，的兩兩夾角為，若實(shí)數(shù)，，滿足，則下列結(jié)論中正確的是（????）
A．的最大值是 B．的最大值是
C．的最大值是 D．的最大值是
三、填空題（每題5分，共20分）
13．2023年是全面貫徹黨的二十大精神的開(kāi)局之年，某中學(xué)為了解教師學(xué)習(xí)“黨的二十大精神”的情況，采用比例分配分層隨機(jī)抽樣的方法從高一、高二、高三的教師中抽取一個(gè)容量為30的樣本，已知高一年級(jí)有教師80人，高二年級(jí)有教師72人，高三年級(jí)有教師88人，則高一年級(jí)應(yīng)抽取 人.
14．在平行六面體中，°，則= ．
15．設(shè)的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，已知，點(diǎn)在邊上，，且，則的面積為 ．

16．如圖，正四棱錐P-ABCD的底面邊長(zhǎng)和高均為2，M是側(cè)棱PC的中點(diǎn).若過(guò)AM作該正四棱錐的截面，分別交棱PB?PD于點(diǎn)E?F（可與端點(diǎn)重合），則四棱錐P-AEMF的體積的取值范圍是 .
四、解答題（共70分）
17．已知三條直線，，．
(1)若，且過(guò)點(diǎn)，求、的值；
(2)若，求、的值．




18．（1）寫(xiě)出點(diǎn)到直線的距離公式并證明.
（2）證明：點(diǎn)到直線的距離恒小于．




19．某足球俱樂(lè)部舉辦新一屆足球賽,按比賽規(guī)則,進(jìn)入淘汰賽的兩支球隊(duì)如果在120分鐘內(nèi)未分出勝負(fù),則需進(jìn)行點(diǎn)球大戰(zhàn).點(diǎn)球大戰(zhàn)規(guī)則如下:第一階段,雙方各派5名球員輪流罰球,雙方各罰一球?yàn)橐惠?球員每罰進(jìn)一球則為本方獲得1分,未罰進(jìn)不得分,當(dāng)分差拉大到即使落后一方剩下的球員全部罰進(jìn)也不能追上的時(shí)候,比賽即宣告結(jié)束,剩下的球員無(wú)需出場(chǎng)罰球.若5名球員全部罰球后雙方得分一樣,則進(jìn)入第二階段,雙方每輪各派一名球員罰球,直到出現(xiàn)某一輪一方罰進(jìn)而另一方未罰進(jìn)的局面,則罰進(jìn)的一方獲勝.設(shè)甲、乙兩支球隊(duì)進(jìn)入點(diǎn)球大戰(zhàn),由甲隊(duì)球員先罰球,甲隊(duì)每位球員罰進(jìn)點(diǎn)球的概率均為,乙隊(duì)每位球員罰進(jìn)點(diǎn)球的概率均為.假設(shè)每輪罰球中,兩隊(duì)進(jìn)球與否互不影響,各輪結(jié)果也互不影響.
(1)求每一輪罰球中,甲、乙兩隊(duì)打成平局的概率;
(2)若在點(diǎn)球大戰(zhàn)的第一階段,甲隊(duì)前兩名球員均得分而乙隊(duì)前兩名球員均未得分,甲隊(duì)暫時(shí)以2:0領(lǐng)先,求甲隊(duì)第5個(gè)球員需出場(chǎng)罰球的概率.



20．如圖，四棱錐中，平面，梯形滿足，，且，，為中點(diǎn)，，.
(1)求證：，，，四點(diǎn)共面；
(2)求二面角的正弦值.


21．如圖，在多面體中，四邊形為正方形，平面，，，是線段上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)和直線的平面與，分別交于，兩點(diǎn).
(1)若為的中點(diǎn)，請(qǐng)?jiān)趫D中作出線段，并說(shuō)明，的位置及作法理由；
(2)線段上是否存在點(diǎn)，使得直線與平面所成角的正弦值為？若存在，求出的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.


22．某校興趣小組在如圖所示的矩形區(qū)域內(nèi)舉行機(jī)器人攔截挑戰(zhàn)賽，在處按方向釋放機(jī)器人甲，同時(shí)在處按方向釋放機(jī)器人乙，設(shè)機(jī)器人乙在處成功攔截機(jī)器人甲，兩機(jī)器人停止運(yùn)動(dòng)．若點(diǎn)在矩形區(qū)域內(nèi)（包含邊界），則挑戰(zhàn)成功，否則挑戰(zhàn)失敗．已知米，為中點(diǎn)，比賽中兩機(jī)器人均勻速直線運(yùn)動(dòng)方式行進(jìn)，記與的夾角為（），與的夾角為（）．
（1）若兩機(jī)器人運(yùn)動(dòng)方向的夾角為，足夠長(zhǎng)，機(jī)器人乙挑戰(zhàn)成功，求兩機(jī)器人運(yùn)動(dòng)路程和的最大值；
（2）已知機(jī)器人乙的速度是機(jī)器人甲的速度的倍．
（i）若，足夠長(zhǎng)，機(jī)器人乙挑戰(zhàn)成功，求．
（ii）如何設(shè)計(jì)矩形區(qū)域的寬的長(zhǎng)度，才能確保無(wú)論的值為多少，總可以通過(guò)設(shè)置機(jī)器人乙的釋放角度使機(jī)器人乙挑戰(zhàn)成功？

參考答案：
1．B
【分析】由純虛數(shù)的定義得出實(shí)數(shù).
【詳解】，因?yàn)閺?fù)數(shù)是純虛數(shù)，所以，且，解得.
故選：B
2．C
【分析】根據(jù)對(duì)立事件的概念可得結(jié)果.
【詳解】根據(jù)對(duì)立事件的概念，連續(xù)射擊2次，事件“至少有1次中靶”的對(duì)立事件是“2次都不中靶”.
故選：C.
3．B
【分析】先根據(jù)頻率分布直方圖的性質(zhì)，求得的值，再根據(jù)樣本中成績(jī)?cè)趨^(qū)間內(nèi)的頻率×參賽的100名學(xué)生即可求解．
【詳解】由頻率分布直方圖可知，得，
所以成績(jī)?cè)趨^(qū)間內(nèi)的學(xué)生有名．
故選：B．
4．D
【分析】由線面的位置關(guān)系以及面面平行的判定定理以及面面垂直的關(guān)系逐一判斷選項(xiàng)即可.
【詳解】對(duì)于A：由線面平行的性質(zhì)可知，故A正確；
對(duì)于B：垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行，故B正確；
對(duì)于C：平面內(nèi)兩條相交直線分別和另一個(gè)平面平行，則兩個(gè)平面平行，故C正確；
對(duì)于D：，則或或或與相交，故D錯(cuò)誤；
故選：D
5．D
【分析】根據(jù)平均數(shù)和方差的性質(zhì)求解：若數(shù)據(jù)，，…，的平均數(shù)和方差分別為和，則數(shù)據(jù)，，…，的平均數(shù)和方差分別為和.
【詳解】若數(shù)據(jù)，，…，的平均數(shù)和方差分別為和，則數(shù)據(jù)，，…，的平均數(shù)和方差分別為和.
題中，樣本數(shù)據(jù)，，…，的平均數(shù)和方差分別為3和56，，
則，，…，的平均數(shù)為，方差為.
故選：D.
6．C
【分析】如圖所示，過(guò)點(diǎn)，，的截面下方幾何體轉(zhuǎn)化為一個(gè)大的三棱錐，減去兩個(gè)小的三棱錐，上方部分，用總的正方體的體積減去下方的部分體積即可.
【詳解】作直線，分別交于兩點(diǎn)，連接分別交于兩點(diǎn)，
如圖所示， 過(guò)點(diǎn)，，的截面即為五邊形 ，

設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，
因?yàn)辄c(diǎn)，，分別是，的中點(diǎn)
所以，即，
因?yàn)椋?br /> 所以
則過(guò)點(diǎn)，，的截面下方體積為：，
∴另一部分體積為，
∴.
故選：C.
7．A
【分析】以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，根據(jù)二面角的空間向量坐標(biāo)公式表達(dá)平面與平面和平面所成的角，再化簡(jiǎn)結(jié)合的取值范圍求解即可.
【詳解】如圖，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，正方體棱長(zhǎng)為3，
??
則，，，設(shè)，則，，
由正方體的性質(zhì)可得平面的一個(gè)法向量為，平面的一個(gè)法向量，
設(shè)平面的法向量，則，即，
取，則，，故，
又平面與平面和平面所成的角相等，故，即，
故，即，.
①當(dāng)，即時(shí)，因?yàn)?，所以?br /> 又，則，，此時(shí).
②當(dāng)，即時(shí)，因?yàn)?，所以?br /> 又，故，
此時(shí)，
故當(dāng)時(shí)取最小值.
綜上的最小值為.
故選：A
8．D
【分析】先求得，根據(jù)二面角以及解直角三角形等知識(shí)分別求得和，由此求得正確答案.
【詳解】由于，所以，
由余弦定理得，
則，而為銳角，
所以，，
同理可求得.
??
設(shè)平面，且平面，
過(guò)作，垂足為，過(guò)作，垂足為，連接，
由于平面，所以，
由于平面，所以平面，
由于平面，所以，所以，
同理可證得，依題意，
即，
設(shè)，則，
所以，
，，
所以三點(diǎn)共線，而平面，所以，
，，
連接，過(guò)作，垂足為，則，
所以，所以????，
由兩邊平方得
，
即，為銳角，故解得.
由兩邊平方得
，
即，為銳角，故解得，
所以.
??
故選：D
【點(diǎn)睛】求解二面角有關(guān)問(wèn)題，關(guān)鍵是利用二面角的定義作出二面角的平面角.常用的方法有定義法和線面垂直法.定義法是：在交線上任取一點(diǎn)，過(guò)這點(diǎn)在兩個(gè)面內(nèi)分別引交線的垂線，這兩條射線所成的角就是二面角的平面角.線面垂直法是：自二面角的一個(gè)面上的一點(diǎn)向另一個(gè)面引垂線，再由垂足向交線作垂線，連線后得到二面角的平面角.
9．BC
【分析】對(duì)于A，直接判斷即可；對(duì)于B，，結(jié)合即可判斷；對(duì)于C，，結(jié)合即可判斷；對(duì)于D，，結(jié)合即可判斷.
【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，所以，所以只有一解；故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，因?yàn)椋?br /> 所以由正弦定理得，
因?yàn)?，即，所以，所以有兩解（，或），故B正確；
對(duì)于C，因?yàn)椋?br /> 所以由正弦定理得，即，
因?yàn)椋杂袃山猓?，或，），故C正確；
對(duì)于D，因?yàn)椋?br /> 所以由正弦定理得，
由于，故，所以只有一解，故D錯(cuò)誤；
故選：BC
10．BCD
【分析】根據(jù)對(duì)立事件和互斥事件的關(guān)系可判斷A；根據(jù)事件的和事件的概率可判斷B；舉反例可判斷C，D,
【詳解】對(duì)于A，因?yàn)閷?duì)立事件一定是互斥事件，A正確；
對(duì)B，當(dāng)且僅當(dāng)A與B互斥時(shí)才有，
對(duì)于任意兩個(gè)事件，滿足，B不正確；
對(duì)C，若事件彼此互斥，不妨取分別表示擲骰子試驗(yàn)中的事件“擲出1點(diǎn)”，“擲出2點(diǎn)”，“擲出3點(diǎn)”，
則，所以C不正確；
對(duì)于D，例如，袋中有大小相同的紅、黃、黑、藍(lán)4個(gè)球，
從袋中任摸一個(gè)球，設(shè)事件A={摸到紅球或黃球}，事件B={摸到黃球或黑球），
滿足，
但事件A與B不互斥，也不對(duì)立，D錯(cuò)誤，
故選：BCD.
11．BCD
【分析】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可判斷ABD選項(xiàng)；作出截面，計(jì)算出截面面積，可判斷C選項(xiàng).
【詳解】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則、、、、、、、
、、、，
對(duì)于A選項(xiàng)，，，則，
所以直線與直線不垂直，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B選項(xiàng)，設(shè)平面的法向量為，，，
則，取，可得，
，所以，即，
因?yàn)槠矫?，平面，故B正確；
對(duì)于C選項(xiàng)，連接、、，
因?yàn)?、分別為、的中點(diǎn)，則，
且，所以四邊形為平行四邊形，則，
所以，所以、、、四點(diǎn)共面，
故平面截正方體所得截面為，
且，同理可得，，
所以四邊形為等腰梯形，
分別過(guò)點(diǎn)、在平面內(nèi)作，，垂足分別為、，如下圖所示：

因?yàn)?，，?br /> 所以，故，，
因?yàn)椋?，，則四邊形為矩形，
所以，
，故，
故梯形的面積為，故C正確；
對(duì)于D選項(xiàng)，，則點(diǎn)到平面的距離為，
，則點(diǎn)到平面的距離為，
所以點(diǎn)與點(diǎn)到平面的距離相等，故D正確.
故選：BCD.
12．AC
【分析】利用特例可判斷BD的正誤，利用判別式的非負(fù)可判斷A的正誤，利用基本不等式可判斷C的正誤.
【詳解】由題設(shè)有.
因?yàn)?，故?br /> 整理得到：，
所以，
整理得到，
故即，
所以，所以即，
當(dāng)時(shí)，，，
故的最大值是，故A正確.
取，此時(shí)滿足，但，故B錯(cuò)誤.
因?yàn)椋?br /> 故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.
所以，
故，
故，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
故的最大值是，故C正確.
對(duì)于D，取，，
則，
而此時(shí)，
又，
而
，
故，
故D錯(cuò)誤.
故選：AC.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題中單位向量，，的兩兩夾角為，故它們可構(gòu)成空間向量的一個(gè)基底，對(duì)于所得的多變量的恒等關(guān)系，可利用基本不等式轉(zhuǎn)化，也可以將其中一個(gè)變量看成主變量，從而可判斷方程有解的角度分析問(wèn)題.
13．10
【分析】根據(jù)高一年級(jí)教師所占的比例抽取即可.
【詳解】高一年級(jí)教師所占的比例為：，
則高一年級(jí)應(yīng)抽取的教師人數(shù)為：.
故答案為：10.
14．
【分析】利用空間向量基本定理，得到，即可求出.
【詳解】在平行六面體中，.
因?yàn)?，所?
所以



.
故答案為：
15．
【分析】一方面有，另一方面


由此即可算出的正弦值，結(jié)合以及三角形面積公式即可求解.

【詳解】如下圖所示：
????
一方面：由，得．
另一方面：設(shè)，則，由..
結(jié)合以上兩方面得，整理得，則，
且注意到，即，所以的面積為



．
故答案為：.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:本題的關(guān)鍵在于發(fā)現(xiàn)以及，，
由此找到轉(zhuǎn)換已知條件的橋梁，進(jìn)而順利求解.
16．
【分析】首先證明一個(gè)結(jié)論：在三棱錐中，棱，，上取點(diǎn)，，，則，再設(shè)設(shè)，，分析可得，，，與，間的關(guān)系，再由換元法結(jié)合對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性求得答案．
【詳解】首先證明一個(gè)結(jié)論：在三棱錐中，棱，，上取點(diǎn)，，，
則，

設(shè)與平面所成角為，
則;
再來(lái)解答本題：設(shè)，， ,
則，
，
，
，
，
則，，
，則，
，
令，
則，
，，，，
當(dāng)時(shí)，函數(shù) 單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，函數(shù) 單調(diào)遞增，
故最小值為2，當(dāng) 時(shí)，都取到最大值 ，
則，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取最小值），
，，
故答案為：，．
17．(1)或；
(2)

【分析】（1）由直線垂直的特征及直線過(guò)的點(diǎn)可得關(guān)于a、b的方程組，即可得解；
（2）由直線平行的特征求解a，b，再代入驗(yàn)證即可.
【詳解】（1）因?yàn)?，，且，所以?br /> 又直線過(guò)點(diǎn)，所以，所以，
所以，所以或；
（2）若，則，解得，
當(dāng)時(shí)，，也即，
，也即，滿足 ，
所以若，.
18．見(jiàn)詳解
【分析】根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式得，分與兩種情況討論，再結(jié)合配方，放縮可證．
【詳解】證明：∵與不同時(shí)為0，
∴由點(diǎn)到直線的距離公式得

當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
綜上，對(duì)任意的，點(diǎn)到直線的距離恒小于．
19．(1)
(2)

【分析】(1)每一輪罰球中兩隊(duì)打成平局的情況有兩種:甲、乙均未罰進(jìn)點(diǎn)球,或甲、乙均罰進(jìn)點(diǎn)球.
(2) 甲隊(duì)第5個(gè)球員需出場(chǎng)罰球,則前四輪罰球甲、乙兩隊(duì)分差不能超過(guò)1分,即四輪罰球結(jié)束時(shí)比分可能為2:1或2:2或3:2.
【詳解】（1）設(shè)每一輪罰球中,甲隊(duì)球員罰進(jìn)點(diǎn)球的事件為,未罰進(jìn)點(diǎn)球的事件為;乙隊(duì)球員罰進(jìn)點(diǎn)球的事件為,未罰進(jìn)點(diǎn)球的事件為.
設(shè)每一輪罰球中,甲、乙兩隊(duì)打成平局的事件為C,由題意,得在每一輪罰球中兩隊(duì)打成平局的情況有兩種:甲、乙均未罰進(jìn)點(diǎn)球,或甲、乙均罰進(jìn)點(diǎn)球,
則,
故每一輪罰球中,甲、乙兩隊(duì)打成平局的概率為.
（2）因?yàn)榧钻?duì)第5個(gè)球員需出場(chǎng)罰球,則前四輪罰球甲、乙兩隊(duì)分差不能超過(guò)1分,即四輪罰球結(jié)束時(shí)比分可能為2:1或2:2或3:2.
①比分為2:1的概率為

.
②比分為2:2的概率為.
③比分為3:2的概率為
.
綜上,甲隊(duì)第5個(gè)球員需出場(chǎng)罰球的概率為.
20．(1)證明見(jiàn)解析
(2)

【分析】（1）如圖建立空間直角坐標(biāo)系，求出點(diǎn)的坐標(biāo)即可得到，，，令，依題意得到方程組，解得、，即可得證；
（2）利用空間向量法求出二面角的余弦值，再根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系計(jì)算可得；
【詳解】（1）證明：以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量??方向分別為??軸的正方向建立坐標(biāo)系，

則，，，，，，所以，因?yàn)椋O(shè)，則，所以，解得，所以，同理可得，
∴，，，
令，則，
∴，∴，∴，∴???四點(diǎn)共面.
（2）解：由（1）可知，，，∴，.
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，則，令，則.
取平面的一個(gè)法向量為，則，所以，
∴二面角的正弦值為.
21．(1)作圖見(jiàn)解析，為的中點(diǎn)，為靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，理由見(jiàn)解析
(2)存在，

【分析】（1）根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理得到，再結(jié)合為的中點(diǎn)即可得到為的中點(diǎn)，根據(jù)面面平行的性質(zhì)得到平分，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可得到為的三等分點(diǎn)；
（2）設(shè)的坐標(biāo)為，然后利用空間向量的方法列方程，解方程即可求解.
【詳解】（1）如圖，取為的中點(diǎn)，為靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn).
理由如下：由四邊形為正方形得，，，
又平面，平面，所以平面.
又平面平面，為的中點(diǎn)，得，且為的中點(diǎn).
因?yàn)?，，平面，平面，所以∥平面?br /> 又，平面，所以平面平面，
平面平面，平分，得平分，
又，得到為的三等分點(diǎn)，且，從而作出線段.
（2）由題意，可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
??
則，，，，，
于是，，，
設(shè)，則的坐標(biāo)為.
設(shè)平面的法向量為，則由得
令，得平面的一個(gè)法向量為.
設(shè)直線與平面所成角為，則，
假設(shè)存在點(diǎn)使得直線與平面所成角的正弦值為，
則有，解得，.
所以線段上存在點(diǎn)，位于靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)處，使得直線與平面所成角的正弦值為.
22．（1）6；（2）（i）；（ii）至少為米.
【分析】（1）用余弦定理列方程，結(jié)合基本不等式求得，也即兩機(jī)器人運(yùn)動(dòng)路程和的最大值.
（2）（i）利用正弦定理求得；
（ii）設(shè)，利用余弦定理求得，求得的最大值，由此求得的最小值.
【詳解】（1）如圖，在中

由余弦定理得，，
所以
所以，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）
故兩機(jī)器人運(yùn)動(dòng)路程和的最大值為
（2）（i）在中
由于機(jī)器人乙的速度是機(jī)器人甲的速度的倍，故，
由正弦定理可得
所以
（ii）設(shè)，則，
由余弦定理可得，
所以
所以
由題意得對(duì)任意恒成立，
故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到等號(hào)．
答：矩形區(qū)域的寬至少為米，才能確保無(wú)論的值為多少，總可以通過(guò)設(shè)置機(jī)器人乙的釋放角度使機(jī)器人乙在矩形區(qū)域內(nèi)成功攔截機(jī)器人甲．
【點(diǎn)睛】正弦定理、余弦定理是解題的重要數(shù)學(xué)知識(shí)，二次函數(shù)最值的求法在本題中是重要的方法.

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