專題22.4 二次函數(shù)與一元二次方程【六大題型】 【人教版】 TOC \o "1-3" \h \u   HYPERLINK \l "_Toc11956" 【題型1 拋物線與x軸的交點情況】  PAGEREF _Toc11956 \h 1  HYPERLINK \l "_Toc27150" 【題型2 拋物線與x軸交點上的四點問題】  PAGEREF _Toc27150 \h 3  HYPERLINK \l "_Toc6382" 【題型3 由二次函數(shù)解一元二次方程】  PAGEREF _Toc6382 \h 6  HYPERLINK \l "_Toc10610" 【題型4 由二次函數(shù)的圖象求一元二次方程的近似解】  PAGEREF _Toc10610 \h 9  HYPERLINK \l "_Toc8367" 【題型5 由二次函數(shù)的圖象解不等式】  PAGEREF _Toc8367 \h 11  HYPERLINK \l "_Toc13" 【題型6 由二次函數(shù)與一次函數(shù)交點個數(shù)求范圍】  PAGEREF _Toc13 \h 13  【知識點1 二次函數(shù)圖象與x軸的交點情況決定一元二次方程根的情況】 【題型1 拋物線與x軸的交點情況】 【例1】（2022春?西湖區(qū)校級期末）拋物線y＝（x﹣x1）（x﹣x2）+mx+n與x軸只有一個交點（x1，0）．下列式子中正確的是（　?。?A．x1﹣x2＝m B．x2﹣x1＝m C．m（x1﹣x2）＝n D．m（x1+x2）＝n 【分析】由拋物線與x軸只有一個交點（x1，0）可得拋物線頂點式，從而可得x1，x2與m的關系． 【解答】解：∵拋物線經(jīng)過（x1，0），且拋物線與x軸只有一個交點， ∴拋物線頂點坐標為（x1，0），y＝（x﹣x1）2， ∴x2﹣2x1x+x12=（x﹣x1）（x﹣x2）+mx+n＝x2﹣（x1+x2﹣m）x+x1x2+n， ∴x1+x2﹣m＝2x1，即x2﹣x1＝m， 故選：B． 【變式1-1】（2022春?澧縣校級月考）拋物線y＝x2+2x﹣3與坐標軸的交點個數(shù)有（　?。?A．0個 B．1個 C．2個 D．3個 【分析】由b2﹣4ac的大小可判斷拋物線與x軸交點個數(shù)，由c的大小可判斷拋物線與y軸的交點，進而求解． 【解答】解：∵y＝x2+2x﹣3， ∴a＝1，b＝2，c＝﹣3， ∴b2﹣4ac＝22+12＝16＞0， ∴拋物線與x軸有2個交點， ∵c＝﹣3， ∴拋物線與y軸交點為（0．﹣3）， ∴拋物線與坐標軸有3個交點， 故選：D． 【變式1-2】（2022?廣陽區(qū)一模）已知拋物線y＝﹣3x2+bx+c與x軸只有一個交點，且過點A（m﹣2，n），B（m+4，n），則n的值為（　?。?A．﹣9 B．﹣16 C．﹣18 D．﹣27 【分析】根據(jù)點A、B的坐標易求該拋物線的對稱軸是直線x＝m+1．故設拋物線解析式為y＝﹣3（x﹣m﹣1）2，直接將A（m﹣2，n）代入，通過解方程來求n的值． 【解答】解：∵拋物線y＝﹣3x2+bx+c過點A（m﹣2，n）、B（m+4，n）， ∴對稱軸是直線x＝m+1， 又∵拋物線y＝x2+bx+c與x軸只有一個交點， ∴頂點為（m+1，0）， ∴設拋物線解析式為y＝﹣3（x﹣m﹣1）2， 把A（m﹣2，n）代入，得： n＝﹣3（m﹣2﹣m﹣1）2＝﹣27， 即n＝﹣27． 故選：D． 【變式1-3】（2022春?漢濱區(qū)期中）已知拋物線y＝x2+bx+c與x軸的兩個交點之間的距離為6，對稱軸為x＝3，則拋物線的頂點P關于x軸對稱的點P'的坐標是（　?。?A．（3，9） B．（3，﹣9） C．（﹣3，9） D．（﹣3，﹣9） 【分析】根據(jù)拋物線y＝x2+bx+c與x軸兩個交點間的距離為6．對稱軸為直線x＝3，可以得到b、c的值，然后即可得到該拋物線的解析式，再將函數(shù)解析式化為頂點式，即可得到點P的坐標，然后根據(jù)關于x軸對稱的點的特點橫坐標不變，縱坐標互為相反數(shù)，即可得到點P關于x軸的對稱點的坐標． 【解答】解：設拋物線y＝x2+bx+c與x軸兩個交點坐標為（x1，0），（x2，0）， ∵拋物線y＝x2+bx+c與x軸兩個交點間的距離為6，對稱軸為直線x＝3， ∴（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝36，-b2×1=3， ∴（﹣b）2﹣4×c＝36，b＝﹣6， 解得：c＝0， ∴拋物線的解析式為y＝x2﹣6x＝（x﹣3）2﹣9， ∴頂點P的坐標為（3，﹣9）， ∴點P關于x軸的對稱點的坐標是（3，9）， 故選：A． 【題型2 拋物線與x軸交點上的四點問題】 【例2】（2022?武漢模擬）二次函數(shù)與一元二次方程有著緊密的聯(lián)系，一元二次方程問題有時可以轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問題．請你根據(jù)這句話所提供的思想方法解決如下問題：若s，t（s＜t）是關于x的方程1+（x﹣m）（x﹣n）＝0的兩根，且m＜n，則m，n，s，t的大小關系是（　　） A．s＜m＜n＜t B．m＜s＜n＜t C．m＜s＜t＜n D．s＜m＜t＜n 【分析】由y＝（x﹣m）（x﹣n）可得拋物線與x軸交點坐標為（m，0），（n，0），開口向上，則拋物線y＝（x﹣m）（x﹣n）與直線y＝﹣1的交點坐標為（s，﹣1），（t，﹣1），從而可得m，n，s，t的大小關系． 【解答】解：由1+（x﹣m）（x﹣n）＝0可得（x﹣m）（x﹣n）＝﹣1， 由y＝（x﹣m）（x﹣n）可得拋物線y＝（x﹣m）（x﹣n）與x軸交點坐標為（m，0），（n，0），拋物線開口向上， 則拋物線y＝（x﹣m）（x﹣n）與直線y＝﹣1的交點在x軸下方，坐標為（s，﹣1），（t，﹣1）， ∴m＜s＜t＜n． 故選：C． 【變式2-1】（2022?定遠縣模擬）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分圖象如圖所示，圖象過點（﹣1，0），對稱軸為直線x＝2，方程a（x+1）（x﹣5）＝﹣3的兩根為x1和x2，且x1＜x2，則下列結(jié)論正確的是（　?。? A．x1＜﹣1＜5＜x2 B．x1＜﹣1＜x2＜5 C．﹣1＜x1＜5＜x2 D．﹣1＜x1＜x2＜5 【分析】方程a（x+1）（x﹣5）＝﹣3的兩根即為拋物線y＝a（x+1）（x﹣5）與直線y＝﹣3交點的橫坐標，據(jù)此可判斷選項． 【解答】解：令y＝a（x+1）（x﹣5）， 則拋物線y＝a（x+1）（x﹣5）與y＝ax2+bx+c形狀相同、開口方向相同，且與x軸的交點為（﹣1，0）、（5，0）， 函數(shù)圖象如圖所示， 由函數(shù)圖象可知方程a（x+1）（x﹣5）＝﹣3的兩根即為拋物線y＝a（x+1）（x﹣5）與直線y＝﹣3交點的橫坐標， ∴x1＜﹣1＜5＜x2， 故選：A． 【變式2-2】（2022?張店區(qū)期末）已知二次函數(shù)y＝（x﹣1）2﹣t2（t是常數(shù)，且t≠0），方程（x﹣1）2﹣t2﹣1＝0的兩根分別為m，n（m＜n），方程（x﹣1）2﹣t2﹣3＝0的兩根分別為p，q（p＜q），判斷m，n，p，q的大小關系是（　?。?A．p＜q＜m＜n B．p＜m＜n＜q C．m＜p＜q＜n D．m＜n＜p＜q 【分析】在平面直角坐標系中畫出二次函數(shù)y＝（x﹣1）2﹣t2（t是常數(shù)，且t≠0）的圖象，再作出直線y＝1，y＝3，它們與拋物線交于A，B和C，D，分別過交點作x軸的垂線，則垂足對應的數(shù)值為題干中方程的根，利用數(shù)形結(jié)合的方法即可得出結(jié)論． 【解答】解：在平面直角坐標系中畫出二次函數(shù)y＝（x﹣1）2﹣t2（t是常數(shù)，且t≠0）的圖象如下圖： 作直線y＝1與拋物線y＝（x﹣1）2﹣t2（t是常數(shù)，且t≠0）交于A，B， 分別經(jīng)過A，B作x軸的垂線，垂足對應的數(shù)值分別為m，n， ∴m，n是方程（x﹣1）2﹣t2﹣1＝0的兩根； 作直線y＝3與拋物線y＝（x﹣1）2﹣t2（t是常數(shù)，且t≠0）交于C，D， 分別經(jīng)過AC，D作x軸的垂線，垂足對應的數(shù)值分別為p，q， ∴p，q是方程（x﹣1）2﹣t2﹣3＝0的兩根． 由圖象可知m，n，p，q的大小關系是：p＜m＜n＜q． 故選：B． 【變式2-3】（2022?河東區(qū)期末）已知拋物線y＝x2+bx+c的圖象與x軸的兩交點的橫坐標分別α，β（α＜β），而x2+bx+c﹣2＝0的兩根為M、N（M＜N），則α、β、M、N的大小順序為（　?。?A．α＜β＜M＜N B．M＜α＜β＜N C．α＜M＜β＜N D．M＜α＜N＜β 【分析】依題意畫出函數(shù)y＝（x﹣α）（x﹣β）和y＝2的圖象草圖，根據(jù)二次函數(shù)的圖象可直接求解． 【解答】解：依題意，畫出函y＝（x﹣α）（x﹣β）的圖象，如圖所示． 函數(shù)圖象為拋物線，開口向上，與x軸兩個交點的橫坐標分別為α，β（α＜β）， 方程x2+bx+c﹣2＝0的兩根是拋物線y＝（x﹣α）（x﹣β）與直線y＝2的兩個交點． 由M＜N，可知對稱軸左側(cè)交點橫坐標為M，右側(cè)為N． 由圖象可知，M＜α＜β＜N， 故選：B． 【題型3 由二次函數(shù)解一元二次方程】 【例3】（2022?婁底一模）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象經(jīng)過（﹣1，0）與（3，0）兩點，關于x的方程ax2+bx+c+m＝0（m＞0）有兩個根，其中一個根是5．則關于x的方程ax2+bx+c+n＝0（0＜n＜m）有兩個整數(shù)根，這兩個整數(shù)根是（　?。?A．﹣2或4 B．﹣2或0 C．0或4 D．﹣2或5 【分析】根據(jù)二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象經(jīng)過（﹣1，0）與（3，0）兩點求對稱軸，后面兩個方程二次項、一次項系數(shù)沒變，所以兩根的和也不變還是2． 【解答】解：∵二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象經(jīng)過（3，0）與（﹣1，0）兩點， ∴當y＝0時，0＝ax2+bx+c的兩個根為3和﹣1，函數(shù)y＝ax2+bx+c的對稱軸是直線x＝1， 又∵關于x的方程ax2+bx+c+m＝0（m＞0）有兩個根，其中一個根是5． ∴方程ax2+bx+c+m＝0（m＞0）的另一個根為﹣3，函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象開口向下， 如圖， ∵0＜n＜m， ∴﹣m＞﹣m， ∵關于x的方程ax2+bx+c+n＝0 （0＜n＜m）有兩個整數(shù)根， ∴直線y＝﹣n與y＝ax2+bx+c的交點的橫坐標為﹣2，4， ∴這關于x的方程ax2+bx+c+n＝0 （0＜n＜m）有兩個整數(shù)根，是﹣2或4， 故選：A． 【變式3-1】（2022?潮南區(qū)模擬）已知二次函數(shù)y＝ax2﹣2ax+c（a≠0）的圖象與x軸的一個交點為（﹣1，0），則關于x的一元二次方程ax2﹣2ax+c＝0的根是 　x1＝﹣1，x2＝3?。?【分析】利用二次函數(shù)y＝ax2﹣2ax+c的解析式求得拋物線的頂點坐標，利用拋物線的對稱性求得拋物線與x軸的另一個交點，再利用拋物線與x軸的交點的橫坐標與一元二次方程的根的關系得出結(jié)論． 【解答】解：∵y＝ax2﹣2ax+c， ∴拋物線的對稱軸為直線x=--2a2a=1． ∵二次函數(shù)y＝ax2﹣2ax+c（a≠0）的圖象與x軸的一個交點為（﹣1，0）， ∴該拋物線與x軸的另一個交點為（3，0）． ∴關于x的一元二次方程ax2﹣2ax+c＝0的根是：x1＝﹣1，x2＝3． 故答案為：x1＝﹣1，x2＝3． 【變式3-2】（2022?咸寧一模）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a、b、c為常數(shù)，且a≠0）的y與x的部分對應值如下表： 則關于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的根是 　x1＝﹣4，x2＝1?。?【分析】由拋物線經(jīng)過點（﹣5，6），（2，6）可得拋物線對稱軸，根據(jù)拋物線對稱性及拋物線經(jīng)過（﹣4，0）求解． 【解答】解：由拋物線經(jīng)過點（﹣5，6），（2，6）可得拋物線拋物線對稱軸為直線x=-5+22=-32， ∵拋物線經(jīng)過（﹣4，0），對稱軸為直線x=-32， ∴拋物線經(jīng)過（1，0）， ∴一元二次方程ax2+bx+c＝0的根是x1＝﹣4，x2＝1． 故答案為：x1＝﹣4，x2＝1． 【變式3-3】（2022?永嘉縣校級模擬）已知二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c的圖象經(jīng)過（﹣1，0）與（5，0）兩點，且關于x的方程﹣x2+bx+c+d＝0有兩個根，其中一個根是6，則d的值為（　?。?A．5 B．7 C．12 D．﹣7 【分析】先由二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c的圖象經(jīng)過（﹣1，0）與（5，0）兩點，求出b、c，再把b、c代入方程﹣x2+bx+c+d＝0后，由方程的根是6求出d． 【解答】解：∵二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c的圖象經(jīng)過（﹣1，0）與（5，0）兩點， ∴-1-b+c=0-25+5b+c=0， 解得：b=4c=5， 將b＝4，c＝5代入方程﹣x2+bx+c+d＝0， 可得：﹣x2+4x+5+d＝0， 又∵關于x的方程﹣x2+4x+5+d＝0有兩個根，其中一個根是6， ∴把x＝6代入方程﹣x2+4x+5+d＝0， 得：﹣36+4×6+5+d＝0， 解得：d＝7， 經(jīng)驗證d＝7時，Δ＞0，符合題意， ∴d＝7． 故選：B． 【知識點2 求一元二次方程的近似解的方法（圖象法）】 作出函數(shù)的圖象，并由圖象確定方程的解的個數(shù)； 由圖象與y=h的交點位置確定交點橫坐標的范圍； （3）觀察圖象求得方程的根（由于作圖或觀察存在誤差，由圖象求得的根一般是近似的）． 【題型4 由二次函數(shù)的圖象求一元二次方程的近似解】 【例4】（2022?平度市期末）如表給出了二次函數(shù)y＝x2+2x﹣10中x，y的一些對應值，則可以估計一元二次方程x2+2x﹣10＝0的一個近似解為（　?。?A．2.2 B．2.3 C．2.4 D．2.5 【分析】根據(jù)函數(shù)值，可得一元二次方程的近似根． 【解答】解：如圖： x＝2.3，y＝﹣0.11，x＝2.4，y＝0.56，x2+2x﹣10＝0的一個近似根是2.3． 故選：B． 【變式4-1】（2022?灌云縣期末）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c中，函數(shù)y與自變量x的部分對應值如表，則方程ax2+bx+c＝0的一個解的范圍是　6.18＜x＜6.19?。?【分析】根據(jù)表格中自變量、函數(shù)的值的變化情況，得出當y＝0時，相應的自變量的取值范圍即可． 【解答】解：由表格數(shù)據(jù)可得，當x＝6.18時，y＝﹣0.01，當x＝6.19時，y＝0.02， 于是可得，當y＝0時，相應的自變量x的取值范圍為6.18＜x＜6.19， 故答案為：6.18＜x＜6.19． 【變式4-2】（2022?渠縣一模）如圖，是二次函數(shù)y＝ax2+bx﹣c的部分圖象，由圖象可知關于x的一元二次方程ax2+bx＝c的兩個根可能是　x1＝0.8，x2＝3.2合理即可　．（精確到0.1） 【分析】直接利用拋物線與x軸交點的位置估算出兩根的大?。?【解答】解：由圖象可知關于x的一元二次方程ax2+bx＝c的兩個根可能是：x1＝0.8，x2＝3.2合理即可． 故答案為：x1＝0.8，x2＝3.2合理即可． 【變式4-3】（2022秋?萍鄉(xiāng)期末）代數(shù)式ax2+bx+c（a≠0，a，b，c是常數(shù)）中，x與ax2+bx+c的對應值如下表： 請判斷一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c是常數(shù)）的兩個根x1，x2的取值范圍是下列選項中的（　?。?A．-12＜x1＜0，32＜x2＜2 B．﹣1＜x1＜-12，2＜x2＜52 C．-12＜x1＜0，2＜x2＜52 D．﹣1＜x1＜-12，32＜x2＜2 【分析】觀察表格可知，在x＜1時，隨x值的增大，代數(shù)式ax2+bx+c的值逐漸增大，x的值在-12～0之間，代數(shù)式ax2+bx+c的值由負到正，故可判斷ax2+bx+c＝0時，對應的x的值在-12～0之間，在x＞1時，隨x的值增大，代數(shù)式ax2+bx+c逐漸減小，x的值在2～52之間，代數(shù)式ax2+bx+c的值由正到負，故可判斷ax2+bx+c＝0時，對應的x的值在2～52之間， 【解答】解：根據(jù)表格可知，代數(shù)式ax2+bx+c＝0時，對應的x的值在-12～0和2～52之間， 即：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c是常數(shù)）的兩個根x1，x2的取值范圍是-12＜x1＜0，2＜x2＜52 故選：C． 【題型5 由二次函數(shù)的圖象解不等式】 【例5】（2022秋?墾利區(qū)期末）如圖，拋物線y＝ax2+c與直線y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）兩點，則不等式ax2﹣mx+c＜n的解集為（　?。? A．x＞﹣1 B．x＜3 C．﹣1＜x＜3 D．x＜﹣3或x＞1 【分析】由拋物線與直線交點橫坐標確定直線在拋物線上方時x的取值范圍． 【解答】解：∵A（﹣1，p），B（3，q）， ∴﹣1＜x＜3時，直線在拋物線上方，即﹣1＜x＜3時，ax2+c＜mx+n， ∴不等式ax2﹣mx+c＜n的解集為﹣1＜x＜3． 故選：C． 【變式5-1】（2022?定遠縣二模）拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）上部分點的橫坐標x，縱坐標y的對應值如下表： 請求出當y＜0時x的取值范圍 　x＜﹣2或x＞3?。?【分析】把點（0，6）代入求出c，把點（﹣1，4）和（1，6）代入拋物線的解析式列方程組，解出可得a、b，即可得拋物線的解析式，進而可列不等式求出y＜0時x的取值范圍． 【解答】解：由表得，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）過點（0，6）， ∴c＝6， ∵拋物線y＝ax2+bx+6過點（﹣1，4）和（1，6）， ∴a-b+6=4a+b+6=6， 解得：a=-1b=1， ∴二次函數(shù)的表達式為：y＝﹣x2+x+6， 所以令﹣x2+x+6＜0， 解得：x＜﹣2或x＞3． 故答案為：x＜﹣2或x＞3． 【變式5-2】（2022?工業(yè)園區(qū)校級模擬）若二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a、b、c為常數(shù)）的圖象如圖所示，則關于x的不等式a（x+2）2+b（x+2）+c＜0的解集為 　x＜﹣1或x＞1?。? 【分析】根據(jù)圖象可得x＜1或x＞3時ax2+bx+c＜0，則a（x+2）2+b（x+2）+c＜0時x+2＜1或x+2＞3，進而求解． 【解答】解：由圖象可得x＜1或x＞3時ax2+bx+c＜0， ∴當a（x+2）2+b（x+2）+c＜0時，x+2＜1或x+2＞3， 解得x＜﹣1或x＞1， 故答案為：x＜﹣1或x＞1． 【變式5-3】（2022?驛城區(qū)校級期末）如圖，二次函數(shù)y＝x2﹣4x+m的圖象與y軸交于點C，點B是點C關于該二次函數(shù)圖象的對稱軸對稱的點．已知一次函數(shù)y＝kx+b的圖象經(jīng)過該二次函數(shù)圖象上點A（1，0）及點B．則滿足kx+b≥x2﹣4x+m的x的取值范圍是（　?。? A．x≤1或x≥4 B．1≤x≤4 C．x≤1或x≥5 D．1≤x≤5 【分析】由二次函數(shù)解析式可得拋物線對稱軸為直線x＝2，從而可得點B橫坐標，進而求解． 【解答】解：∵y＝x2﹣4x+m， ∴拋物線對稱軸為直線x＝2， ∵點B和點C關于直線x＝2對稱， ∴點B橫坐標為4， ∵點A橫坐標為1， ∴1≤x≤4時，kx+b≥x2﹣4x+m， 故選：B． 【題型6 由二次函數(shù)與一次函數(shù)交點個數(shù)求范圍】 【例6】（2022?虞城縣三模）已知拋物線y＝a（x﹣2）2+c（a＞0）． （1）若拋物線與直線y＝mx+n交于（1，0），（5，8）兩點． ①求拋物線和直線的函數(shù)解析式； ②直接寫出當a（x﹣2）2+c＞mx+n時自變量x的取值范圍． （2）若a＝c，線段AB的兩個端點坐標分別為A（0，3），B（3，3），當拋物線與線段AB有唯一公共點時，直接寫出a的取值范圍． 【分析】（1）①利用待定系數(shù)法求解析式即可，②拋物線開口向上，數(shù)形結(jié)合直接寫出答案； （2）結(jié)合拋物線和線段AB，分情況討論求a的取值范圍． 【解答】解：（1）①∵拋物線y＝a（x﹣2）2+c與直線y＝mx+n交于（1，0），（5，8）兩點， ∴a+c=09a+c=8，m+n=05m+n=8， 解得a=1c=-1，m=2n=-2， ∴拋物線和直線的函數(shù)解析式分別為y＝（x﹣2）2﹣1，y＝2x﹣2． ②∵a＞0，拋物線開口向上，拋物線與直線y＝mx+n交于（1，0），（5，8）兩點， ∴當a（x﹣2）2+c＞mx+n時自變量x的取值范圍為x＜1或x＞5． （2）若a＝c，則拋物線y＝a（x﹣2）2+a（a＞0）， ∴開口向上，對稱軸為x＝2，頂點坐標為（2，a）， 當拋物線頂點在線段AB上時有唯一公共點，此時a＝3， 當拋物線頂點在線段AB下方時， 當經(jīng)過B（3，3）時，a+a＝3，解得a=32， 當經(jīng)過A（0，3）時，4a+a＝3，解得a=35， ∴當拋物線與線段AB有唯一公共點時，a的取值范圍為35≤a＜32或a＝3． 【變式6-1】（2022?余姚市一模）已知：一次函數(shù)y1＝2x﹣2，二次函數(shù)y2＝﹣x2+bx+c（b，c為常數(shù)）， （1）如圖，兩函數(shù)圖象交于點（3，m），（n，﹣6）．求二次函數(shù)的表達式，并寫出當y1＜y2時x的取值范圍． （2）請寫出一組b，c的值，使兩函數(shù)圖象只有一個公共點，并說明理由． 【分析】（1）將（3，m），（n，﹣6）代入直線解析式求出點坐標，然后通過待定系數(shù)法求解，根據(jù)圖象可得y1＜y2時x的取值范圍． （2）﹣x2+bx+c＝2x﹣2，由Δ＝0求解． 【解答】解：（1）將（3，m）代入y1＝2x﹣2得m＝6﹣2＝4， 將（n，﹣6）代入y1＝2x﹣2得﹣6＝2n﹣2， 解得n＝﹣2， ∴拋物線經(jīng)過點（3，4），（﹣2，﹣6）， 將（3，4），（﹣2，﹣6）代入y2＝﹣x2+bx+c得4=-9+3b+c-6=-4-2b+c， 解得b=3c=4， ∴y＝﹣x2+3x+4， 由圖象可得﹣2＜x＜3時，拋物線在直線上方， ∴y1＜y2時x的取值范圍是﹣2＜x＜3． （2）令﹣x2+bx+c＝2x﹣2，整理得x2+（2﹣b）x﹣（2+c）＝0， 當Δ＝（2﹣b）2+4（2+c）＝0時，兩函數(shù)圖象只有一個公共點， ∴b＝2，c＝﹣2，滿足題意． 【變式6-2】（2022?河南模擬）小新對函數(shù)y＝a|x2+bx|+c（a≠0）的圖象和性質(zhì)進行了探究．已知當自變量x的值為0或4時，函數(shù)值都為﹣3；當自變量x的值為1或3時，函數(shù)值都為0．探究過程如下，請補充完整． （1）這個函數(shù)的表達式為 　y＝|x2﹣4x|﹣3?。?（2）在給出的平面直角坐標系中，畫出這個函數(shù)的圖象并寫出這個函數(shù)的一條性質(zhì)：　函數(shù)關于直線x＝2對稱　； （3）進一步探究函數(shù)圖象并解決問題： ①直線y＝k與函數(shù)y＝a|x2+bx|+c有三個交點，則k＝　1??； ②已知函數(shù)y＝x﹣3的圖象如圖所示，結(jié)合你所畫的函數(shù)圖象，寫出不等式a|x2+bx|+c≤x﹣3的解集：　x＝0或3≤x≤5?。? 【分析】（1）將x＝0，y＝﹣3；x＝4，y＝﹣3；x＝1，y＝0代入y＝a|x2+bx|+c（a≠0），得到：c＝﹣3，b＝﹣4，a＝1，即可求解析式為y＝|x2﹣4x|﹣3； （2）描點法畫出函數(shù)圖象，函數(shù)關于x＝2對稱； （3）①從圖象可知：當x＝2時，y＝1，k＝1時直線y＝k與函數(shù)y＝|x2﹣4x|﹣3有三個交點； ②y＝x﹣3與y＝x2﹣4x﹣3的交點為x＝0或x＝5，結(jié)合圖象，y＝|x2﹣4x|﹣3≤x﹣3的解集為3≤x≤5． 【解答】解：（1）將x＝0，y＝﹣3；x＝4，y＝﹣3；x＝1，y＝0代入y＝a|x2+bx|+c（a≠0）， 得到：c＝﹣3，b＝﹣4，a＝1， ∴y＝|x2﹣4x|﹣3， 故答案為：y＝|x2﹣4x|﹣3； （2）如圖： 函數(shù)關于直線x＝2對稱， 故答案為：函數(shù)關于直線x＝2對稱； （3）①當x＝2時，y＝1， ∴k＝1時直線y＝k與函數(shù)y＝|x2﹣4x|﹣3有三個交點， 故答案為1； ②y＝x﹣3與y＝|x2﹣4x|﹣3的交點為x＝0或x＝3， 結(jié)合圖象，y＝|x2﹣4x|﹣3≤x﹣3的解集為x＝0或3≤x≤5， 故答案為：x＝0或3≤x≤5． 【變式6-3】（2022?海珠區(qū)一模）令a、b、c三個數(shù)中最大數(shù)記作max{a，b，c}，直線y=12x+t與函數(shù)y＝max{﹣x2+4，x﹣2，﹣x﹣2}的圖象有且只有3個公共點，則t的值為　1或6516　． 【分析】只需畫出函數(shù)y＝max{﹣x2+4，x﹣2，﹣x﹣2}的圖象，然后結(jié)合圖象并運用分類討論的思想，就可解決問題． 【解答】解：在直角坐標系中畫出函數(shù)y＝max{﹣x2+4，x﹣2，﹣x﹣2}的圖象，如圖所示． 當直線y=12x+t經(jīng)過（﹣2，0）或與拋物線y＝﹣x2+4相切時， 直線y=12x+t與函數(shù)y＝max{﹣x2+4，x﹣2，﹣x﹣2}的圖象有且只有3個公共點． ①若直線y=12x+t經(jīng)過（﹣2，0）， 則有0=12×（﹣2）+t， 解得t＝1； ②若直線y=12x+t與拋物線y＝﹣x2+4相切， 則關于x的方程12x+t＝﹣x2+4即x2+12x+t﹣4＝0有兩個相等的實數(shù)根， 則△＝（12）2﹣4×1×（t﹣4）＝0， 解得t=6516． 綜上所述：t＝1或6516． 故答案為1或6516． 根的判別式二次函數(shù)的圖象二次函數(shù)與x軸的交點坐標一元二次方程根的情況△＞0拋物線與x軸交于，兩點，且， 此時稱拋物線與x軸相交一元二次方程 有兩個不相等的實數(shù)根△＝0拋物線與x軸交切于這一點，此時稱拋物線與x軸相切一元二次方程 有兩個相等的實數(shù)根△＜0拋物線與x軸無交點，此時稱拋物線與x軸相離一元二次方程 在實數(shù)范圍內(nèi)無解（或稱無實數(shù)根）x﹣5﹣4﹣202y60﹣6﹣46x…2.12.22.32.42.5…y…﹣1.39﹣0.76﹣0.110.561.25…x6.176.186.196.20y﹣0.03﹣0.010.020.04 x﹣1-12  0 121  322  523  ax2+bx+c﹣2-14  174  274  1-14 ﹣2x…﹣2﹣1012…y…04664…

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