第1課時(shí) 三角形的內(nèi)角和
【知識(shí)重點(diǎn)】
1.三角形內(nèi)角和定理：三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180° .
幾何語(yǔ)言：在△ABC中，∠A＋∠B＋∠C＝180° .
解讀：
（1）三角形內(nèi)角和定理揭示了三角形三個(gè)內(nèi)角之間的數(shù)量關(guān)系.
（2）三角形的三個(gè)內(nèi)角中最多只有一個(gè)鈍角或直角，或者說至少有兩個(gè)銳角.
2.三角形內(nèi)角和定理的證明思路
思路一：利用“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角或同位角相等”將三角形的三個(gè)內(nèi)角轉(zhuǎn)化為一個(gè)平角，如下圖①②所示.
思路二：利用“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”將三角形的三個(gè)內(nèi)角轉(zhuǎn)化為兩平行線間的一組同旁內(nèi)角，如下圖①②所示.
【經(jīng)典例題】
【例1】∠A，∠B，∠C是△ABC的三個(gè)內(nèi)角.
(1)已知∠A＝40°，∠B＝∠C，求∠B，∠C的度數(shù)；
(2)已知∠A－∠B＝16°，∠C＝54°，求∠A，∠B 的度數(shù)；
(3)已知∠A＝12∠B＝13∠C，求∠A，∠B，∠C的度數(shù).
解題秘方：緊扣三角形內(nèi)角和定理建立方程(組)求解.
提示：三角形中求角的度數(shù)問題一般用方程思想求解. 當(dāng)角之間存在數(shù)量關(guān)系時(shí)，一般根據(jù)三角形內(nèi)角和為180°列方程(組) 求解.
【例2】一個(gè)零件的形狀如圖，按規(guī)定∠A 應(yīng)等于90°，∠ABD，∠ACD應(yīng)分別是34°和18° . 李叔叔量得∠BDC＝146°，請(qǐng)你幫李叔叔判斷這個(gè)零件是否合格，并說明理由.
解題秘方：建立三角形的模型利用三角形內(nèi)角和定理求出角度，再用三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行驗(yàn)證.
【同步練習(xí)】
一、選擇題
1．在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝80°，則∠A的度數(shù)為 ( )
A．30° B．40° C．50°D．60°
2．【2021·梧州】在△ABC中，∠A＝20°，∠B＝4∠C，則∠C等于( )
A．32° B．36° C．40° D．128°
3．一個(gè)三角形的兩個(gè)內(nèi)角之和小于第三個(gè)內(nèi)角，那么該三角形是( )
A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．都有可能
4．下列各組角中屬于同一個(gè)三角形的內(nèi)角的是 ( )
A．85°，80°，15° B．60°，70°，68°
C．37°，33°，50°D．26°，160°，140°
5．如圖，在△ABC中，∠A＝50°，∠ABC＝70°，BD平分∠ABC，則∠BDC的度數(shù)是( )
A．85° B．80° C．75° D．70°

第5題圖 第6題圖 第7題圖
6．如圖，AB∥CD，∠DEC＝100°，∠C＝40°，則∠B的大小是 ( )
A．30° B．40° C．50°D．60°
7．如圖，某同學(xué)在課桌上無(wú)意中將一塊三角板疊放在直尺上，則∠1＋∠2等于 ( )
A．60° B．75° C．90°D．105°
8．如圖，李明同學(xué)在東西方向的濱海路A處，測(cè)得海中燈塔P在北偏東60°方向上，他向東走400米至B處，測(cè)得燈塔P在北偏東30°方向上，則從燈塔P觀測(cè)A，B兩處的視角∠P的度數(shù)是 ( )
A．30° B．32° C．35° D．40°

第8題圖 第9題圖 第10題圖
9．【2021·松北區(qū)期末】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，將其折疊使點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)A′處，折痕為CD，則∠A′DC＝( )
A．10° B．30° C．65° D．85°
10．如圖，點(diǎn)O是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠A＝80°，∠1＝15°，∠2＝40°，則∠BOC等于 ( )
A．95° B．120° C．135° D．無(wú)法確定
11．如圖，在△ABC中，BP，CP分別平分∠ABC和∠ACB，若∠BPC＝115°，則∠A的度數(shù)為( )
A.70° B．65° C．60°D．50°

第11題圖 第14題圖 第15題圖
二、填空題
12．三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于________．一個(gè)三角形中，最多有________個(gè)直角或________個(gè)鈍角．
13．已知三角形三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)之比是2∶3∶4，則這個(gè)三角形中最大角的度數(shù)是 .
14．直線l1∥l2，一塊含45°角的直角三角尺如圖放置，∠1＝85°，則∠2＝________．
15．【2021·常州】如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E分別在BC，AC上，∠B＝40°，∠C＝60°，若DE∥AB，則∠AED＝________°.
16．如圖，輪船從B處以每小時(shí)50海里的速度沿南偏東30°方向勻速航行，在B處觀測(cè)燈塔A位于南偏東75°方向上，輪船航行半小時(shí)到達(dá)C處，在C處觀測(cè)燈塔A位于北偏東60°方向上，則∠A的度數(shù)為 .
三、解答題
17．在△ABC中，∠A＝∠B＋20°，∠C＝∠A＋50°，求△ABC各內(nèi)角的度數(shù).
18．【2022·貴陽(yáng)十七中月考】∠A，∠B，∠C是△ABC的三個(gè)內(nèi)角，且分別滿足下列條件，求未知角的度數(shù)：
(1)∠A＝80°，∠B＝∠C；
(2)∠A－∠B＝16°，∠C＝54°；
(3)∠A：∠B：∠C＝3：4：5.
19．某地有A，B，C三個(gè)村莊， 如圖，B村莊在C村莊的正西方向，A村莊在B村莊的北偏東20°方向，同時(shí)A 村莊又在C村莊的北偏西45°方向， 那么， 在A村莊看B，C兩個(gè)村莊的視角∠BAC為多少？
20．【2022·泉州第五中學(xué)期末】當(dāng)三角形中一個(gè)內(nèi)角α是另一個(gè)內(nèi)角β的兩倍時(shí)，我們稱此三角形為“特征三角形”，其中α稱為“特征角”．
(1)已知一個(gè)“特征三角形”的“特征角”為100°，求這個(gè)“特征三角形”的最小內(nèi)角的度數(shù)．
(2)是否存在“特征角”為120°的“特征三角形”？若存在，請(qǐng)舉例說明；若不存在，請(qǐng)說明理由．
21．如圖所示，有一塊直角三角板XYZ放置在△ABC上，三角板的兩條直角邊XY和XZ恰好分別經(jīng)過點(diǎn)B和點(diǎn)C.
(1)若∠A＝30°，則∠ABX＋∠ACX的大小是多少？
(2)若改變?nèi)前宓奈恢?，但仍使點(diǎn)B，點(diǎn)C在三角板的邊XY和邊XZ上，此時(shí)∠ABX＋∠ACX的大小有變化嗎？請(qǐng)說明你的理由．
22．如圖，請(qǐng)猜想∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F的度數(shù)，并說明你的理由．
參考答案
【經(jīng)典例題】
【例1】∠A，∠B，∠C是△ABC的三個(gè)內(nèi)角.
(1)已知∠A＝40°，∠B＝∠C，求∠B，∠C的度數(shù)；
(2)已知∠A－∠B＝16°，∠C＝54°，求∠A，∠B 的度數(shù)；
(3)已知∠A＝12∠B＝13∠C，求∠A，∠B，∠C的度數(shù).
解題秘方：緊扣三角形內(nèi)角和定理建立方程(組)求解.
解：(1)設(shè)∠B＝∠C＝m°.
∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，
∴ 40＋m＋m＝180，解得m＝70.
∴∠B＝∠C＝70°.
(2)設(shè)∠A＝x°，∠B＝y(tǒng)°.
∵∠A－∠B＝16°，∠A＋∠B＋∠C＝180°，
∠C＝54°，
∴x－y＝16， x＋y＋54＝180，解得x＝71，y＝55.
∴∠A＝71°，∠B＝55°.
(3)∵∠ A＝12∠B＝13∠C，
∴∠B＝2∠A，∠C＝3∠A.
設(shè)∠A＝n°，則∠B＝2n°，∠C＝3n°.
∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，
∴ n＋2n＋3n＝180，解得n＝30.
∴∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°.
提示：三角形中求角的度數(shù)問題一般用方程思想求解. 當(dāng)角之間存在數(shù)量關(guān)系時(shí)，一般根據(jù)三角形內(nèi)角和為180°列方程(組) 求解.
【例2】一個(gè)零件的形狀如圖，按規(guī)定∠A 應(yīng)等于90°，∠ABD，∠ACD應(yīng)分別是34°和18° . 李叔叔量得∠BDC＝146°，請(qǐng)你幫李叔叔判斷這個(gè)零件是否合格，并說明理由.
解題秘方：建立三角形的模型利用三角形內(nèi)角和定理求出角度，再用三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行驗(yàn)證.
解：這個(gè)零件不合格. 理由如下：
如圖，連接BC.
在△ABC中，∠A＋∠ABC＋∠ACB＝180°.
∵∠A＝90°，∠ACD＝18°，∠ABD＝34°，
∴∠DCB＋∠DBC＝38° .
在△DCB 中， ∠BDC＋∠DCB＋∠DBC＝146 °＋38 °＝184°≠ 180°，∴這個(gè)零件不合格.
【同步練習(xí)】
一、選擇題
1．在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝80°，則∠A的度數(shù)為 ( D )
A．30° B．40° C．50°D．60°
2．【2021·梧州】在△ABC中，∠A＝20°，∠B＝4∠C，則∠C等于( A )
A．32° B．36° C．40° D．128°
3．一個(gè)三角形的兩個(gè)內(nèi)角之和小于第三個(gè)內(nèi)角，那么該三角形是( C )
A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．都有可能
4．下列各組角中屬于同一個(gè)三角形的內(nèi)角的是 ( A )
A．85°，80°，15° B．60°，70°，68°
C．37°，33°，50°D．26°，160°，140°
5．如圖，在△ABC中，∠A＝50°，∠ABC＝70°，BD平分∠ABC，則∠BDC的度數(shù)是( A )
A．85° B．80° C．75° D．70°

第5題圖 第6題圖 第7題圖
6．如圖，AB∥CD，∠DEC＝100°，∠C＝40°，則∠B的大小是 ( B )
A．30° B．40° C．50°D．60°
7．如圖，某同學(xué)在課桌上無(wú)意中將一塊三角板疊放在直尺上，則∠1＋∠2等于 ( C )
A．60° B．75° C．90°D．105°
8．如圖，李明同學(xué)在東西方向的濱海路A處，測(cè)得海中燈塔P在北偏東60°方向上，他向東走400米至B處，測(cè)得燈塔P在北偏東30°方向上，則從燈塔P觀測(cè)A，B兩處的視角∠P的度數(shù)是 ( A )
A．30° B．32° C．35° D．40°

第8題圖 第9題圖 第10題圖
9．【2021·松北區(qū)期末】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，將其折疊使點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)A′處，折痕為CD，則∠A′DC＝( D )
A．10° B．30° C．65° D．85°
10．如圖，點(diǎn)O是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠A＝80°，∠1＝15°，∠2＝40°，則∠BOC等于 ( C )
A．95° B．120° C．135° D．無(wú)法確定
11．如圖，在△ABC中，BP，CP分別平分∠ABC和∠ACB，若∠BPC＝115°，則∠A的度數(shù)為( D )
A.70° B．65° C．60°D．50°

第11題圖 第14題圖 第15題圖
二、填空題
12．三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于________．一個(gè)三角形中，最多有________個(gè)直角或________個(gè)鈍角．
【答案】180° 一 一
13．已知三角形三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)之比是2∶3∶4，則這個(gè)三角形中最大角的度數(shù)是 .
【答案】80°
14．直線l1∥l2，一塊含45°角的直角三角尺如圖放置，∠1＝85°，則∠2＝________．
【答案】40°
15．【2021·常州】如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E分別在BC，AC上，∠B＝40°，∠C＝60°，若DE∥AB，則∠AED＝________°.
【答案】100
【解析】在△ABC中，∠A＋∠B＋∠C＝180°.
∵∠B＝40°，∠C＝60°，
∴∠A＝180°－∠B－∠C＝180°－40°－60°＝80°.
∵DE∥AB，∴∠A＋∠AED＝180°.
∴∠AED＝180°－80°＝100°.
16．如圖，輪船從B處以每小時(shí)50海里的速度沿南偏東30°方向勻速航行，在B處觀測(cè)燈塔A位于南偏東75°方向上，輪船航行半小時(shí)到達(dá)C處，在C處觀測(cè)燈塔A位于北偏東60°方向上，則∠A的度數(shù)為 .
【答案】45°
三、解答題
17．在△ABC中，∠A＝∠B＋20°，∠C＝∠A＋50°，求△ABC各內(nèi)角的度數(shù).
解：∵∠A＝∠B＋20°，∠C＝∠A＋50°，
∴∠C＝∠B＋20°＋50°＝∠B＋70°.
∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，
∴∠B＋20°＋∠B＋70°＋∠B＝180°.
∴∠B＝30°.∴∠A＝50°，∠C＝100°.
18．【2022·貴陽(yáng)十七中月考】∠A，∠B，∠C是△ABC的三個(gè)內(nèi)角，且分別滿足下列條件，求未知角的度數(shù)：
(1)∠A＝80°，∠B＝∠C；
解：∵∠A＝80°，
∴∠B＋∠C＝180°－80°＝100°.
∵∠B＝∠C，∴∠B＝∠C＝eq \f(1,2)×100°＝50°.
(2)∠A－∠B＝16°，∠C＝54°；
解：設(shè)∠A＝x，則∠B＝x－16°.
由題意得x＋x－16°＋54°＝180°，
解得x＝71°.∴∠A＝71°，∠B＝71°－16°＝55°.
(3)∠A：∠B：∠C＝3：4：5.
設(shè)∠A＝3x，則∠B＝4x，∠C＝5x.
由題意得3x＋4x＋5x＝180°，解得x＝15°.
∴∠A＝45°，∠B＝60°，∠C＝75°.
19．某地有A，B，C三個(gè)村莊， 如圖，B村莊在C村莊的正西方向，A村莊在B村莊的北偏東20°方向，同時(shí)A 村莊又在C村莊的北偏西45°方向， 那么， 在A村莊看B，C兩個(gè)村莊的視角∠BAC為多少？
解：由題意知∠ABC＝90°－∠PBA＝70°，
∠ACB＝90°－∠ACQ＝45°.
由三角形內(nèi)角和定理得∠A＝180°－∠ABC－∠ACB＝180°－70°－45°＝65°，即在A村莊看B，C兩個(gè)村莊的視角∠BAC為65°.
20．【2022·泉州第五中學(xué)期末】當(dāng)三角形中一個(gè)內(nèi)角α是另一個(gè)內(nèi)角β的兩倍時(shí)，我們稱此三角形為“特征三角形”，其中α稱為“特征角”．
(1)已知一個(gè)“特征三角形”的“特征角”為100°，求這個(gè)“特征三角形”的最小內(nèi)角的度數(shù)．
解：設(shè)三角形的三個(gè)內(nèi)角分別為α，β，γ.
∵α＝2β，且α＋β＋γ＝180°，
∴當(dāng)α＝100°時(shí)，β＝50°，則γ＝30°.
∴這個(gè)“特征三角形”的最小內(nèi)角的度數(shù)為30°.
(2)是否存在“特征角”為120°的“特征三角形”？若存在，請(qǐng)舉例說明；若不存在，請(qǐng)說明理由．
解：不存在．理由如下：
∵α＝2β，且α＋β＋γ＝180°，
∴當(dāng)α＝120°時(shí)，β＝60°，則γ＝0°，
此時(shí)不能構(gòu)成三角形．
∴不存在“特征角”為120°的“特征三角形”．
21．如圖所示，有一塊直角三角板XYZ放置在△ABC上，三角板的兩條直角邊XY和XZ恰好分別經(jīng)過點(diǎn)B和點(diǎn)C.
(1)若∠A＝30°，則∠ABX＋∠ACX的大小是多少？
解：60°.
(2)若改變?nèi)前宓奈恢?，但仍使點(diǎn)B，點(diǎn)C在三角板的邊XY和邊XZ上，此時(shí)∠ABX＋∠ACX的大小有變化嗎？請(qǐng)說明你的理由．
解：沒有變化，理由如下：
∵∠A＝30°，
∴∠ABC＋∠ACB＝
180°－30°＝150°.
∵∠BXC＝90°，
∴∠XBC＋∠XCB＝90°，
∴∠ABX＋∠ACX＝60°，
∴∠ABX＋∠ACX的大小沒有變化．
22．如圖，請(qǐng)猜想∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F的度數(shù)，并說明你的理由．
解：∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝360°.
理由：∵∠A＋∠B＋∠AMB＋∠C＋∠D＋∠CPD＋∠E＋∠F＋∠ENF＝180°＋180°＋180°＝540°，
∠AMB＝∠NMP，∠CPD＝∠MPN，∠ENF＝∠MNP，
∴∠AMB＋∠CPD＋∠ENF＝180°.
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝540°－180°＝360°.

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11.2.1 三角形的內(nèi)角

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