新高考數(shù)學(xué)考前模擬卷02（原卷版+解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

?新高考數(shù)學(xué)考前模擬卷
注意事項(xiàng)：
本試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級(jí)等信息填寫(xiě)在試卷規(guī)定的位置．
一、單項(xiàng)選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分)
1．（2020·河南高三月考）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是，則（）
A． B． C． D．
2．（2020·江西省豐城中學(xué)高三期中（理））已知集合，，則（）
A． B．
C． D．
3．（2020·石家莊市第十九中學(xué)高一期中）在數(shù)學(xué)中，布勞威爾不動(dòng)點(diǎn)定理是拓?fù)鋵W(xué)里一個(gè)非常重要的不動(dòng)點(diǎn)定理，它可應(yīng)用到有限維空間，并構(gòu)成一般不動(dòng)點(diǎn)定理的基石，布勞威爾不動(dòng)點(diǎn)定理得名于荷蘭數(shù)學(xué)家魯伊茲·布勞威爾(L.E.J.Brouwer)，簡(jiǎn)單的講就是對(duì)于滿足一定條件的連續(xù)函數(shù)，存在點(diǎn)，使得，那么我們稱該函數(shù)為“不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù)，下列為“不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù)的是（）
A． B．
C． D．
4．（2020·湖南武陵區(qū)·常德市一中高三月考）為得到函數(shù)的圖象，只需要將函數(shù)的圖象（）
A．向右平行移動(dòng)個(gè)單位 B．向左平行移動(dòng)個(gè)單位
C．向右平行移動(dòng)個(gè)單位 D．向左平行移動(dòng)個(gè)單位
5．（2020·全國(guó)高三月考）點(diǎn)在平面上以速度作勻速直線運(yùn)動(dòng)，若4秒后點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)的初始坐標(biāo)為（）
A． B． C． D．
6．（2020·四川省廣元市川師大萬(wàn)達(dá)中學(xué)高三月考（理））函數(shù)在區(qū)間的圖象大致是（）
A． B． C． D．
7．（2020·廣東榕城區(qū)·揭陽(yáng)三中高二期中）已知數(shù)列中，，，則（）
A．2045 B．1021 C．1027 D．2051
8．（2020·全國(guó)高三專題練習(xí)（理））已知函數(shù)，則使得成立的的取值范圍是（）
A． B．
C． D．
二、多項(xiàng)選擇題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得3分，有選錯(cuò)的得0分)
9．（2020·東海縣第二中學(xué)高二月考）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，公差為.已知，，則（）
A． B．?dāng)?shù)列是遞增數(shù)列
C．時(shí)，的最小值為13 D．?dāng)?shù)列中最小項(xiàng)為第7項(xiàng)
10．（2020·全國(guó)高一課時(shí)練習(xí)）（多選題）已知，則下列式子成立的是（）
A． B． C． D．
11．（2020·江蘇如皋市·高二期中）在直角梯形ABCD中，，，，E為DC中點(diǎn)，現(xiàn)將沿AE折起，得到一個(gè)四棱錐，則下列命題正確的有（）
A．在沿AE折起的過(guò)程中，四棱錐體積的最大值為
B．在沿AE折起的過(guò)程中，異面直線AD與BC所成的角恒為
C．在沿AE折起的過(guò)程中，二面角的大小為
D．在四棱錐中，當(dāng)D在EC上的射影恰好為EC的中點(diǎn)F時(shí)，DB與平面ABCE所成的角的正切為
12．（2020·全國(guó)高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，的圖象與直線分別交于、兩點(diǎn)，則（）
A．的最小值為
B．使得曲線在處的切線平行于曲線在處的切線
C．函數(shù)至少存在一個(gè)零點(diǎn)
D．使得曲線在點(diǎn)處的切線也是曲線的切線
三、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)
13．（2020·河南高三月考）已知向量，，若，則______.
14．（2020·上海黃浦區(qū)·格致中學(xué)高三期中）若的展開(kāi)式中的系數(shù)為，則_________.
15．（2020·河南焦作·高三一模（理））游樂(lè)場(chǎng)某游戲設(shè)備是一個(gè)圓盤(pán)，圓盤(pán)被分成紅色和綠色兩個(gè)區(qū)域，圓盤(pán)上有一個(gè)可以繞中心旋轉(zhuǎn)的指針，且指針受電子程序控制，前后兩次停在相同區(qū)域的概率為，停在不同區(qū)域的概率為，某游客連續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng)指針三次，記指針停在綠色區(qū)域的次數(shù)為，若開(kāi)始時(shí)指針停在紅色區(qū)域，則______.
16．（2020·全國(guó)）古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯發(fā)現(xiàn)：平面上到兩定點(diǎn)，距離之比為常數(shù)且的點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓心在直線上的圓，該圓簡(jiǎn)稱為阿氏圓．根據(jù)以上信息，解決下面的問(wèn)題：如圖，在長(zhǎng)方體中，，點(diǎn)在棱上，，動(dòng)點(diǎn)滿足．若點(diǎn)在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，則點(diǎn)所形成的阿氏圓的半徑為_(kāi)_______；若點(diǎn)在長(zhǎng)方體內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，為棱的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則三棱錐的體積的最小值為_(kāi)__________．

四、解答題(本大題共6小題，共70分)
17．（2020·全國(guó)高三月考）甲?乙兩名同學(xué)在復(fù)習(xí)時(shí)發(fā)現(xiàn)他們?cè)?jīng)做過(guò)的一道數(shù)列題目因紙張被破壞導(dǎo)致一個(gè)條件看不清，具體如下等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知____________，
（1）判斷的關(guān)系并給出證明.
（2）若，設(shè)，的前n項(xiàng)和為，證明.
甲同學(xué)記得缺少的條件是首項(xiàng)的值，乙同學(xué)記得缺少的條件是公比q的值，并且他倆都記得第（1）問(wèn)的答案是成等差數(shù)列.如果甲?乙兩名同學(xué)記得的答案是正確的，請(qǐng)通過(guò)推理把條件補(bǔ)充完整并解答此題.
18．（2020·河南高三月考）在①；②；③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中的橫線上，并解答相應(yīng)的問(wèn)題.
在中，角的對(duì)邊分別為，為邊上的高，若，______，求的最大值.
19．（2020·小店區(qū)·山西大附中高二月考）如圖，已知四棱錐，底面ABCD為菱形，平面ABCD，，E,F分別是BC,PC的中點(diǎn)．

（1）證明：；
（2）若H為PD上的動(dòng)點(diǎn)，AB=2，EH與平面PAD所成最大角的正切值為，求的值．
（3）在（2）的前提下，求二面角的余弦值．
20．（2020·南京航空航天大學(xué)附屬高級(jí)中學(xué)高三期中）某商場(chǎng)舉行有獎(jiǎng)促銷活動(dòng)，顧客購(gòu)買每滿400元的商品即可抽獎(jiǎng)一次.抽獎(jiǎng)規(guī)則如下：抽獎(jiǎng)?wù)邤S各面標(biāo)有1~6點(diǎn)數(shù)的正方體骰子1次，若擲得點(diǎn)數(shù)不大于4，則可繼續(xù)在抽獎(jiǎng)箱中抽獎(jiǎng)；否則獲得三等獎(jiǎng)，結(jié)束抽獎(jiǎng).已知抽獎(jiǎng)箱中裝有2個(gè)紅球與m(m≥2，m∈N*)個(gè)白球，抽獎(jiǎng)?wù)邚南渲腥我饷?個(gè)球，若2個(gè)球均為紅球，則獲得一等獎(jiǎng)，若2個(gè)球?yàn)?個(gè)紅球和1個(gè)白球，則獲得二等獎(jiǎng)，否則，獲得三等獎(jiǎng)(抽獎(jiǎng)箱中的所有小球，除顏色外均相同).
（1）若m=4，求顧客參加一次抽獎(jiǎng)活動(dòng)獲得三等獎(jiǎng)的概率；
（2）若一等獎(jiǎng)可獲獎(jiǎng)金400元，二等獎(jiǎng)可獲獎(jiǎng)金300元，三等獎(jiǎng)可獲獎(jiǎng)金100元，記顧客一次抽獎(jiǎng)所獲得的獎(jiǎng)金為X，若商場(chǎng)希望X的數(shù)學(xué)期望不超過(guò)150元，求m的最小值.
21．（2020·河南高二月考（理））已知橢圓過(guò)點(diǎn)，且離心率為.
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）點(diǎn)是橢圓與軸正半軸的交點(diǎn)，點(diǎn)，在橢圓上且不同于點(diǎn)，若直線、的斜率分別是、，且，試判斷直線是否過(guò)定點(diǎn)，若過(guò)定點(diǎn)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)，若不過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由.
22．（2020·河南高三月考）已知函數(shù)
（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）若，求證：.

新高考數(shù)學(xué)考前模擬卷
注意事項(xiàng)：
本試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級(jí)等信息填寫(xiě)在試卷規(guī)定的位置．
二、單項(xiàng)選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分)
1．（2020·河南高三月考）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是，則（）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】
因?yàn)樵趶?fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是，
所以，
則.
故選：.
2．（2020·江西省豐城中學(xué)高三期中（理））已知集合，，則（）
A． B．
C． D．
【答案】B
【詳解】
由題得，，
所以.
故選：B
3．（2020·石家莊市第十九中學(xué)高一期中）在數(shù)學(xué)中，布勞威爾不動(dòng)點(diǎn)定理是拓?fù)鋵W(xué)里一個(gè)非常重要的不動(dòng)點(diǎn)定理，它可應(yīng)用到有限維空間，并構(gòu)成一般不動(dòng)點(diǎn)定理的基石，布勞威爾不動(dòng)點(diǎn)定理得名于荷蘭數(shù)學(xué)家魯伊茲·布勞威爾(L.E.J.Brouwer)，簡(jiǎn)單的講就是對(duì)于滿足一定條件的連續(xù)函數(shù)，存在點(diǎn)，使得，那么我們稱該函數(shù)為“不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù)，下列為“不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù)的是（）
A． B．
C． D．
【答案】C
【詳解】
根據(jù)定義可知：若有不動(dòng)點(diǎn)，則有解.
A．令，所以，此時(shí)無(wú)解，故不是“不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù)；
B．令，此時(shí)無(wú)解，，所以不是“不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù)；
C．當(dāng)時(shí)，令，所以或，所以是“不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù)；
D．令即，此時(shí)無(wú)解，所以不是“不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù).
故選：C.
4．（2020·湖南武陵區(qū)·常德市一中高三月考）為得到函數(shù)的圖象，只需要將函數(shù)的圖象（）
A．向右平行移動(dòng)個(gè)單位 B．向左平行移動(dòng)個(gè)單位
C．向右平行移動(dòng)個(gè)單位 D．向左平行移動(dòng)個(gè)單位
【答案】C
【詳解】
將目標(biāo)函數(shù)的解析式變形為，
因此，為了得到函數(shù)的圖象，只需要將函數(shù)的圖象向右平行移動(dòng)個(gè)單位.
故選：C.
5．（2020·全國(guó)高三月考）點(diǎn)在平面上以速度作勻速直線運(yùn)動(dòng)，若4秒后點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)的初始坐標(biāo)為（）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】
設(shè)點(diǎn)的初始坐標(biāo)為，
因?yàn)辄c(diǎn)在平面上以速度作勻速直線運(yùn)動(dòng)，若4秒后點(diǎn)的坐標(biāo)為，
可得，解得，即點(diǎn)的初始坐標(biāo)為.
故選：B.
6．（2020·四川省廣元市川師大萬(wàn)達(dá)中學(xué)高三月考（理））函數(shù)在區(qū)間的圖象大致是（）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】
因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以，
圖象落在第三象限，所以排除，
因?yàn)椋?br /> 分析其單調(diào)性，可知其極大值點(diǎn)應(yīng)為，在的右側(cè)，故排除C，
故選：D.
7．（2020·廣東榕城區(qū)·揭陽(yáng)三中高二期中）已知數(shù)列中，，，則（）
A．2045 B．1021 C．1027 D．2051
【答案】A
【詳解】
，變形為
即
故數(shù)列為等比數(shù)列，首項(xiàng)為4，公比為2．
．
故選：A
8．（2020·全國(guó)高三專題練習(xí)（理））已知函數(shù)，則使得成立的的取值范圍是（）
A． B．
C． D．
【答案】C
【詳解】
解：令，則，
，
所以，
所以，
令，則，
因?yàn)椋?，所以?br /> 所以在單調(diào)遞增，
所以由，得，
所以，解得，
故選：C
二、多項(xiàng)選擇題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得3分，有選錯(cuò)的得0分)
9．（2020·東?？h第二中學(xué)高二月考）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，公差為.已知，，則（）
A． B．?dāng)?shù)列是遞增數(shù)列
C．時(shí)，的最小值為13 D．?dāng)?shù)列中最小項(xiàng)為第7項(xiàng)
【答案】ACD
【詳解】
由已知得，，又，所以，故A正確；
由，解得，又，
當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，又，所以時(shí)，，時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，所以數(shù)列不是遞增數(shù)列，故B不正確；
由于，而，所以時(shí)，的最小值為13，故C選項(xiàng)正確；
當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，，，時(shí)，為遞增數(shù)列，為正數(shù)且為遞減數(shù)列，所以數(shù)列中最小項(xiàng)為第7項(xiàng)，故D正確；
10．（2020·全國(guó)高一課時(shí)練習(xí)）（多選題）已知，則下列式子成立的是（）
A． B． C． D．
【答案】CD
【詳解】
∵，，
整理得，
∴，
即，
即，∴C、D正確.
故選：CD
11．（2020·江蘇如皋市·高二期中）在直角梯形ABCD中，，，，E為DC中點(diǎn)，現(xiàn)將沿AE折起，得到一個(gè)四棱錐，則下列命題正確的有（）
A．在沿AE折起的過(guò)程中，四棱錐體積的最大值為
B．在沿AE折起的過(guò)程中，異面直線AD與BC所成的角恒為
C．在沿AE折起的過(guò)程中，二面角的大小為
D．在四棱錐中，當(dāng)D在EC上的射影恰好為EC的中點(diǎn)F時(shí)，DB與平面ABCE所成的角的正切為
【答案】ABD
【詳解】

對(duì)于A，沿AE折起得到四棱錐，由四棱錐底面面積是固定值，要使得體積最大，需要四棱錐的高最大，即平面平面，此時(shí)，由已知得，則，故A正確；
對(duì)于B，在沿AE折起的過(guò)程中，，所以異面直線AD與AE所成的角即為AD與BC所成角，又，，E為DC中點(diǎn)，可知，即異面直線AD與BC所成的角恒為，故B正確；
對(duì)于C，由翻折前知，，且，則平面，又平面，所以平面平面，即二面角的大小為，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，如圖連接，由C選項(xiàng)知，平面，又平面，則，又由已知得，且，則平面，所以為直線DB與平面ABCE所成的角，在直角中，，所以DB與平面ABCE所成的角的正切為，故D正確；
故選：ABD
12．（2020·全國(guó)高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，的圖象與直線分別交于、兩點(diǎn)，則（）
A．的最小值為
B．使得曲線在處的切線平行于曲線在處的切線
C．函數(shù)至少存在一個(gè)零點(diǎn)
D．使得曲線在點(diǎn)處的切線也是曲線的切線
【答案】ABD
【詳解】
令，得，令，得，
則點(diǎn)、，如下圖所示：

由圖象可知，，其中，
令，則，則函數(shù)單調(diào)遞增，且，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.
所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，，A選項(xiàng)正確；
，，則，，
曲線在點(diǎn)處的切線斜率為，
曲線在點(diǎn)處的切線斜率為，
令，即，即，
則滿足方程，所以，使得曲線在處的切線平行于曲線在處的切線，B選項(xiàng)正確；
構(gòu)造函數(shù)，可得，
函數(shù)在上為增函數(shù)，由于，，
則存在，使得，可得，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.
，
所以，函數(shù)沒(méi)有零點(diǎn)，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；
設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線與曲線相切于點(diǎn)，
則曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即，
同理可得曲線在點(diǎn)處的切線方程為，
所以，，消去得，
令，則，
函數(shù)在上為減函數(shù)，，，
則存在，使得，且.
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.
所以，函數(shù)在上為減函數(shù)，，，
由零點(diǎn)存在定理知，函數(shù)在上有零點(diǎn)，
即方程有解.
所以，使得曲線在點(diǎn)處的切線也是曲線的切線.
故選：ABD.
三、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)
13．（2020·河南高三月考）已知向量，，若，則______.
【答案】
【詳解】
因?yàn)橄蛄?，，由，得，解得?br /> 則，所以，
故.
故答案為：.
14．（2020·上海黃浦區(qū)·格致中學(xué)高三期中）若的展開(kāi)式中的系數(shù)為，則_________.
【答案】.
【詳解】
求得二項(xiàng)式的展開(kāi)式的通項(xiàng)為，
當(dāng)，解得，此時(shí)，
所以，解得.
故答案為：.
15．（2020·河南焦作·高三一模（理））游樂(lè)場(chǎng)某游戲設(shè)備是一個(gè)圓盤(pán)，圓盤(pán)被分成紅色和綠色兩個(gè)區(qū)域，圓盤(pán)上有一個(gè)可以繞中心旋轉(zhuǎn)的指針，且指針受電子程序控制，前后兩次停在相同區(qū)域的概率為，停在不同區(qū)域的概率為，某游客連續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng)指針三次，記指針停在綠色區(qū)域的次數(shù)為，若開(kāi)始時(shí)指針停在紅色區(qū)域，則______.
【答案】
【詳解】
解：該游客轉(zhuǎn)動(dòng)指針三次的結(jié)果的樹(shù)形圖如下：

則的分布列如下：

0
1
2
3

故.
故答案為：
16．（2020·全國(guó)）古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯發(fā)現(xiàn)：平面上到兩定點(diǎn)，距離之比為常數(shù)且的點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓心在直線上的圓，該圓簡(jiǎn)稱為阿氏圓．根據(jù)以上信息，解決下面的問(wèn)題：如圖，在長(zhǎng)方體中，，點(diǎn)在棱上，，動(dòng)點(diǎn)滿足．若點(diǎn)在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，則點(diǎn)所形成的阿氏圓的半徑為_(kāi)_______；若點(diǎn)在長(zhǎng)方體內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，為棱的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則三棱錐的體積的最小值為_(kāi)__________．

【答案】
【詳解】

（1）以AB為軸，AD為軸，為軸，建立如圖所示的坐標(biāo)系，則設(shè)，
由得，
所以，
所以若點(diǎn)在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，則點(diǎn)所形成的阿氏圓的半徑為.
（2）設(shè)點(diǎn)，由得，
所以，
由題得
所以設(shè)平面的法向量為，
所以，
由題得，
所以點(diǎn)P到平面的距離為，
因?yàn)椋?br /> 所以，所以點(diǎn)M到平面的最小距離為，
由題得為等邊三角形，且邊長(zhǎng)為，
所以三棱錐的體積的最小值為.
故答案為：(1). (2). ．
四、解答題(本大題共6小題，共70分)
17．（2020·全國(guó)高三月考）甲?乙兩名同學(xué)在復(fù)習(xí)時(shí)發(fā)現(xiàn)他們?cè)?jīng)做過(guò)的一道數(shù)列題目因紙張被破壞導(dǎo)致一個(gè)條件看不清，具體如下等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知____________，
（1）判斷的關(guān)系并給出證明.
（2）若，設(shè)，的前n項(xiàng)和為，證明.
甲同學(xué)記得缺少的條件是首項(xiàng)的值，乙同學(xué)記得缺少的條件是公比q的值，并且他倆都記得第（1）問(wèn)的答案是成等差數(shù)列.如果甲?乙兩名同學(xué)記得的答案是正確的，請(qǐng)通過(guò)推理把條件補(bǔ)充完整并解答此題.
【答案】補(bǔ)充條件見(jiàn)解析；（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析.
【詳解】
（1）補(bǔ)充的條件為，
的關(guān)系為成等差數(shù)列.
證明如下：
若則，
，
，
可得，因此成等差數(shù)列.
（2）證明：由，可得，
解得
，
則，
，
上面兩式相減可得.
整理可得，
因?yàn)椋?
18．（2020·河南高三月考）在①；②；③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中的橫線上，并解答相應(yīng)的問(wèn)題.
在中，角的對(duì)邊分別為，為邊上的高，若，______，求的最大值.
【答案】選擇見(jiàn)解析；的最大值為1.
【詳解】
解：選①.
由正弦定理，得，
由，得.
因?yàn)椋?，所以?br /> 所以，又，得.
因?yàn)?，所?
由余弦定理及基本不等式，得
即（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），
所以
故當(dāng)時(shí)，的最大值為1.
選②“”.
由正弦定理，得，
由，
得.
因?yàn)椋?，所以?br /> 又，所以.
因?yàn)椋?br /> 所以
由余弦定理及，得，
由基本不等式，得
即（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），
所以，
故當(dāng)時(shí)，的最大值為1.
選③“”.
由正弦定理，得，
因?yàn)?，所以，所以?br /> 由二倍角公式，得.
因?yàn)?，所以?br /> 所以，所以，
所以.
因?yàn)椋?br /> 所以
由余弦定理及，得，
由基本不等式，得
即（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），
所以，，
故當(dāng)時(shí)，的最大值為1.
19．（2020·小店區(qū)·山西大附中高二月考）如圖，已知四棱錐，底面ABCD為菱形，平面ABCD，，E,F分別是BC,PC的中點(diǎn)．

（1）證明：；
（2）若H為PD上的動(dòng)點(diǎn)，AB=2，EH與平面PAD所成最大角的正切值為，求的值．
（3）在（2）的前提下，求二面角的余弦值．
【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）2；（3）．
【詳解】
（1）因?yàn)樗倪呅问橇庑危?br /> 為等邊三角形．
因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，
，結(jié)合，得
平面，平面，

，且平面，平面
平面，又平面

（2）由（1），平面，為與平面所成的角
，即為直角三角形，
直角三角形中，，
當(dāng)最短時(shí)，即時(shí)，與平面所成的角最大，最大角的正切值為，
此時(shí)，，．
又AD=2，所以，
所以為等腰直角三角形，PA=．

（3）因?yàn)槠矫鍭BCD，平面PAC，所以平面平面ABCD．
過(guò)E作于O，則平面PAC
過(guò)O作于S，連接ES，則為二面角的平面角，
在中，，，
又F是PC的中點(diǎn)，在中，，
又，在中，，
即所求二面角的余弦值為．

20．（2020·南京航空航天大學(xué)附屬高級(jí)中學(xué)高三期中）某商場(chǎng)舉行有獎(jiǎng)促銷活動(dòng)，顧客購(gòu)買每滿400元的商品即可抽獎(jiǎng)一次.抽獎(jiǎng)規(guī)則如下：抽獎(jiǎng)?wù)邤S各面標(biāo)有1~6點(diǎn)數(shù)的正方體骰子1次，若擲得點(diǎn)數(shù)不大于4，則可繼續(xù)在抽獎(jiǎng)箱中抽獎(jiǎng)；否則獲得三等獎(jiǎng)，結(jié)束抽獎(jiǎng).已知抽獎(jiǎng)箱中裝有2個(gè)紅球與m(m≥2，m∈N*)個(gè)白球，抽獎(jiǎng)?wù)邚南渲腥我饷?個(gè)球，若2個(gè)球均為紅球，則獲得一等獎(jiǎng)，若2個(gè)球?yàn)?個(gè)紅球和1個(gè)白球，則獲得二等獎(jiǎng)，否則，獲得三等獎(jiǎng)(抽獎(jiǎng)箱中的所有小球，除顏色外均相同).
（1）若m=4，求顧客參加一次抽獎(jiǎng)活動(dòng)獲得三等獎(jiǎng)的概率；
（2）若一等獎(jiǎng)可獲獎(jiǎng)金400元，二等獎(jiǎng)可獲獎(jiǎng)金300元，三等獎(jiǎng)可獲獎(jiǎng)金100元，記顧客一次抽獎(jiǎng)所獲得的獎(jiǎng)金為X，若商場(chǎng)希望X的數(shù)學(xué)期望不超過(guò)150元，求m的最小值.
【答案】（1）；（2）3.
【詳解】
（1）設(shè)顧客獲得三等獎(jiǎng)為事件A，可分為兩種情況：
顧客擲骰子擲得點(diǎn)數(shù)小于或等于4，其概率為；
顧客擲骰子擲得點(diǎn)數(shù)大于4，且摸出2個(gè)球均為白球，其概率為，
故當(dāng)時(shí)，顧客參加一次抽獎(jiǎng)活動(dòng)獲得三等獎(jiǎng)的概率為.
（2）由題意可得X的可能取值有100，300，400，
且，
，
，
則，化簡(jiǎn)可得，
由題意可得，即，解得或，
又，則，即m的最小值為3.
21．（2020·河南高二月考（理））已知橢圓過(guò)點(diǎn)，且離心率為.
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）點(diǎn)是橢圓與軸正半軸的交點(diǎn)，點(diǎn)，在橢圓上且不同于點(diǎn)，若直線、的斜率分別是、，且，試判斷直線是否過(guò)定點(diǎn)，若過(guò)定點(diǎn)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)，若不過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】（1）；（2）直線恒過(guò)定點(diǎn)
【詳解】
解：（1）由題意知：，
即，
又，
橢圓方程可化為：，
又橢圓過(guò)點(diǎn)，
，
解得：，
橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；
（2）如圖所示：

直線，的斜率一定存在且不為，
設(shè)：，
又，
：，
聯(lián)立，
即，
，
，
又，
，代入，
得：，
，
用代換，即得，
，
：，
即，
直線恒過(guò)定點(diǎn).
22．（2020·河南高三月考）已知函數(shù)
（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）若，求證：.
【答案】（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）證明見(jiàn)解析.
【詳解】
（1）函數(shù)的定義域是，，
當(dāng)時(shí)，在上恒成立，
故函數(shù)在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，令，得；
令，得，
故函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
（2）證明：要證明，
即證，即證.
設(shè)，則，
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以是的極小值點(diǎn)，也是最小值點(diǎn)，
且.
令，
則
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以是的極大值點(diǎn)，也是最大值點(diǎn)，且，
所以，
故成立.

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