?新高考數(shù)學(xué)考前模擬卷
注意事項：
本試卷滿分150分，考試時間120分鐘．答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級等信息填寫在試卷規(guī)定的位置．
一、 單項選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分)
1．已知復(fù)數(shù)，則的值（ ）
A．0 B． C．2 D．1
2．命題“，”的否定是（ ）
A．，使得
B．，使得
C．，
D．，
3．已知向量，，若，則（ ）
A． B． C． D．7
4．如圖1是第七屆國際數(shù)學(xué)教育大會（簡稱ICME-7）的會徽圖案，會徽的主體圖案是由如圖2的一連串直角三角形演化而成的，其中，如果把圖2中的直角三角形繼續(xù)作下去，記的長度構(gòu)成數(shù)列，則此數(shù)列的通項公式為（ ）

A．， B．，
C．， D．，
5．已知正實數(shù)，滿足，則的最小值為（ ）
A． B．25 C．24 D．
6．在中，內(nèi)角、、的對邊分別為、、，已知.，，則的值為（ ）
A． B． C． D．
7．已知、滿足，則與的大小關(guān)系為（ ）
A． B．
C． D．不能確定
8．在正方體中，E是棱的中點，F(xiàn)是側(cè)面內(nèi)的動點，且與平面的垂線垂直，如圖所示，下列說法不正確的是（ ）

A．點F的軌跡是一條線段 B．與BE是異面直線
C．與不可能平行 D．三棱錐的體積為定值
二、 多項選擇題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯的得0分)
9．德國數(shù)學(xué)家狄里克雷在年時提出：“如果對于的每一個值，總有一個完全確定的值與之對應(yīng)，那么是的函數(shù).”這個定義較清楚的說明了函數(shù)的內(nèi)涵，只要有一個法則，使得取值范圍內(nèi)的每一個，都有一個確定的和它對應(yīng)就行了，不管這個法則是用公式還是用圖象、表格等形式表示.他還發(fā)現(xiàn)了狄里克雷函數(shù)，即：當(dāng)自變量取有理數(shù)時，函數(shù)值為，當(dāng)自變量取無理數(shù)時，函數(shù)值為.狄里克雷函數(shù)的發(fā)現(xiàn)改變了數(shù)學(xué)家們對“函數(shù)是連續(xù)的”的認(rèn)識，也使數(shù)學(xué)家們更加認(rèn)可函數(shù)的對應(yīng)說定義，下列關(guān)于狄里克雷函數(shù)的性質(zhì)表述正確的是（ ）
A． B．是奇函數(shù)
C．的值域是 D．
10．若的展開式中第項的二項式系數(shù)最大，則的可能值為（ ）
A． B． C． D．
11．已知函數(shù)，，則下列結(jié)論正確的有（ ）
A．在區(qū)間上單調(diào)遞減
B．若，則
C．在區(qū)間上的值域為
D．若函數(shù)，且，在上單調(diào)遞減
12．如圖，正方體的棱長為，線段上有兩個動點，且，以下結(jié)論正確的有（ ）

A．
B．異面直線所成的角為定值
C．點到平面的距離為定值
D．三棱錐的體積是定值
三、 填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)
13．在中，，，那么_____；
14．夏?秋兩季，生活在長江口外淺海域的中華魚洄游到長江，歷經(jīng)三千多公里的溯流搏擊，回到金沙江一帶產(chǎn)卵繁殖，產(chǎn)后待幼魚長到厘米左右，又?jǐn)y帶它們旅居外海.一個環(huán)保組織曾在金沙江中放生一批中華魚魚苗，該批魚苗中的雌性個體能長成熟的概率為，雌性個體長成熟又能成功溯流產(chǎn)卵繁殖的概率為，若該批魚苗中的一個雌性個體在長江口外淺海域已長成熟，則其能成功溯流產(chǎn)卵繁殖的概率為_________.
15．設(shè)函數(shù)，，則函數(shù)零點的個數(shù)有______個.
16．若是數(shù)列的前項和，且，則______________
四、 解答題(本大題共6小題，共70分)
17．如圖，中的內(nèi)角、、所對的邊分別為、、，，且．

（1）求
（2）點在邊的延長線上，且，求的長．
18．設(shè)，，，給出以下四種排序：①M，N，T；②M，T，N；③N，T，M；④T，N，M．從中任選一個，補充在下面的問題中，解答相應(yīng)的問題．
已知等比數(shù)列中的各項都為正數(shù)，，且__________依次成等差數(shù)列．
（Ⅰ）求的通項公式；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列的前n項和為，求滿足的最小正整數(shù)n．
注：若選擇多種排序分別解答，按第一個解答計分．
19．為研究家用轎車在高速公路上的車速情況，交通部門隨機選取100名家用轎車駕駛員進(jìn)行調(diào)查，得到其在高速公路上行駛時的平均車速情況為：在55名男性駕駛員中，平均車速超過的有40人，不超過的有15人；在45名女性駕駛員中，平均車速超過的有20人，不超過的有25人.
（1）完成下面列聯(lián)表，并判斷能否在犯錯誤概率不超過的前提下認(rèn)為“平均車速超過與性別有關(guān)”？
?
平均車速超過
平均車速不超過
總計
男性駕駛員
?
?
?
女性駕駛員
?
?
?
總計
?
?
?
附：，其中.














（2）在被調(diào)查的駕駛員中，從平均車速不超過的人中隨機抽取2人，求這2人恰好是1名男性駕駛員和1名女性駕駛員的概率；
（3）以上述樣本數(shù)據(jù)估計總體，從高速公路上行駛的家用轎車中隨機抽取3輛，記這3輛車平均車速超過且為男性駕駛員的車輛數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
20．如圖，在四棱錐中，，，，，分別為線段的中點，平面．

（1）求證：平面平面；
（2）是否存在線段上一點，使得平面，若存在，求的值；若不存在，請說明理由．
21．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓：和橢圓：，其中，，，的離心率分別為，，且滿足，，分別是橢圓的右、下頂點，直線與橢圓的另一個交點為，且.

（1）求橢圓的方程；
（2）與橢圓相切的直線交橢圓與點，，求的最大值.
22．已知函數(shù)在上單調(diào)遞減.
（1）求實數(shù)的取值范圍；
（2）若存在非零實數(shù)，滿足，，依次成等差數(shù)列.求證：.



新高考數(shù)學(xué)考前模擬卷
注意事項：
本試卷滿分150分，考試時間120分鐘．答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級等信息填寫在試卷規(guī)定的位置．
五、 單項選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分)
1．已知復(fù)數(shù)，則的值（ ）
A．0 B． C．2 D．1
【答案】C
【詳解】
，，則．
故選：C．
2．命題“，”的否定是（ ）
A．，使得
B．，使得
C．，
D．，
【答案】B
【詳解】
根據(jù)全稱命題與存在性命題的關(guān)系，
可得命題“，”的否定是“，使得”.
故選：B.
3．已知向量，，若，則（ ）
A． B． C． D．7
【答案】A
【詳解】
因為向量，
所以，，，
因為
所以，
即，解得．
故選：A
4．如圖1是第七屆國際數(shù)學(xué)教育大會（簡稱ICME-7）的會徽圖案，會徽的主體圖案是由如圖2的一連串直角三角形演化而成的，其中，如果把圖2中的直角三角形繼續(xù)作下去，記的長度構(gòu)成數(shù)列，則此數(shù)列的通項公式為（ ）


A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【詳解】
由條件可知，，……，數(shù)列是公差為1，首項為1的等差數(shù)列，，
，.
故選：C
5．已知正實數(shù)，滿足，則的最小值為（ ）
A． B．25 C．24 D．
【答案】A
【詳解】

．
當(dāng)且僅當(dāng)時取等.
故選：A．
6．在中，內(nèi)角、、的對邊分別為、、，已知.，，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】
由可得，
所以，
因為，所以，
所以即，
所以，，
所以，即，
所以，所以,
所以.
故選：C.
7．已知、滿足，則與的大小關(guān)系為（ ）
A． B．
C． D．不能確定
【答案】C
【詳解】
令，其中，則，當(dāng)時，.
所以，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，
，，即，即，即，可得，
所以，.
故選：C.
8．在正方體中，E是棱的中點，F(xiàn)是側(cè)面內(nèi)的動點，且與平面的垂線垂直，如圖所示，下列說法不正確的是（ ）

A．點F的軌跡是一條線段 B．與BE是異面直線
C．與不可能平行 D．三棱錐的體積為定值
【答案】C
【詳解】
對于A中，設(shè)平面與直線交于點，連接，則為的中點，
分別取的中點，連接，
因為，平面，平面，
所以平面，同理可得平面，
又因為是平面內(nèi)的相交直線，
所以平面平面，
由此結(jié)合平面，可得直線平面，
即點是線段上的動點，所以A正確；
對于B中，因為平面平面，和平面相交，
所以與是異面直線，所以B正確；
對于C中，由A知，平面平面，所以與不可能平行，
所以C錯誤；
對于D中，因為，又由，可得，
平面，且平面，所以平面，
則到平面的距離為定值，所以三棱錐的體積為定值，所以D正確.
故選：C.

六、 多項選擇題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯的得0分)
9．德國數(shù)學(xué)家狄里克雷在年時提出：“如果對于的每一個值，總有一個完全確定的值與之對應(yīng)，那么是的函數(shù).”這個定義較清楚的說明了函數(shù)的內(nèi)涵，只要有一個法則，使得取值范圍內(nèi)的每一個，都有一個確定的和它對應(yīng)就行了，不管這個法則是用公式還是用圖象、表格等形式表示.他還發(fā)現(xiàn)了狄里克雷函數(shù)，即：當(dāng)自變量取有理數(shù)時，函數(shù)值為，當(dāng)自變量取無理數(shù)時，函數(shù)值為.狄里克雷函數(shù)的發(fā)現(xiàn)改變了數(shù)學(xué)家們對“函數(shù)是連續(xù)的”的認(rèn)識，也使數(shù)學(xué)家們更加認(rèn)可函數(shù)的對應(yīng)說定義，下列關(guān)于狄里克雷函數(shù)的性質(zhì)表述正確的是（ ）
A． B．是奇函數(shù)
C．的值域是 D．
【答案】ACD
【詳解】
由題意可知，.
對于A選項，，則，A選項正確；
對于B選項，當(dāng)，則，則，
當(dāng)時，則，則，
所以，函數(shù)為偶函數(shù)，B選項錯誤；
對于C選項，由于，所以，函數(shù)的值域為，C選項正確；
對于D選項，當(dāng)時，則，所以，，
當(dāng)時，，所以，，D選項正確.
故選：ACD.
10．若的展開式中第項的二項式系數(shù)最大，則的可能值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【詳解】
分以下三種情況討論：
①展開式中第項和第項的二項式系數(shù)最大，則展開式共項，可得，得；
②展開式中只有第項的二項式系數(shù)最大，則展開式共項，可得，得；
③展開式中第項和第項的二項式系數(shù)最大，則展開式共項，可得，得.
因此，的可能值為、、.
故選：ABC.
11．已知函數(shù)，，則下列結(jié)論正確的有（ ）
A．在區(qū)間上單調(diào)遞減
B．若，則
C．在區(qū)間上的值域為
D．若函數(shù)，且，在上單調(diào)遞減
【答案】ACD
【詳解】
， ，
當(dāng)時，，由三角函數(shù)線可知，
所以，即，所以，
所以，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，
當(dāng)，，，所以，，
所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，
所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，故選項A正確；
當(dāng)時，，
所以，即，故選項B錯誤；
由三角函數(shù)線可知，所以，，
所以當(dāng)時，，故選項C正確；
對進(jìn)行求導(dǎo)可得：
所以有，
所以，所以在區(qū)間上的值域為，
所以，在區(qū)間上單調(diào)遞增，因為，
從而，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，故選項D正確.
故選：ACD.
12．如圖，正方體的棱長為，線段上有兩個動點，且，以下結(jié)論正確的有（ ）

A．
B．異面直線所成的角為定值
C．點到平面的距離為定值
D．三棱錐的體積是定值
【答案】ACD
【詳解】

由，可證平面，從而，故A正確；
取特例，當(dāng)E與重合時，F(xiàn)是，即，平行，異面直線所成的角是，當(dāng)F與重合時，E是，即，異面直線所成的角是，可知與不相等，故異面直線所成的角不是定值，故B錯誤；
連結(jié)交于，又平面，點到平面的距離是，也即點到平面的距離是，故C正確；
為三棱錐的高，又，故三棱錐的體積為為定值，D正確.
故選：ACD
七、 填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)
13．在中，，，那么_____；
【答案】4
【詳解】
解：因為在中，，所以，所以，
因為，
所以，
故答案為：4
14．夏?秋兩季，生活在長江口外淺海域的中華魚洄游到長江，歷經(jīng)三千多公里的溯流搏擊，回到金沙江一帶產(chǎn)卵繁殖，產(chǎn)后待幼魚長到厘米左右，又?jǐn)y帶它們旅居外海.一個環(huán)保組織曾在金沙江中放生一批中華魚魚苗，該批魚苗中的雌性個體能長成熟的概率為，雌性個體長成熟又能成功溯流產(chǎn)卵繁殖的概率為，若該批魚苗中的一個雌性個體在長江口外淺海域已長成熟，則其能成功溯流產(chǎn)卵繁殖的概率為_________.
【答案】
【詳解】
解析設(shè)事件為魚苗中的一個雌性個體在長江口外淺海域長成熟，事件為該雌性個體成功溯流產(chǎn)卵繁殖，由題意可知，，.
故答案為：.
15．設(shè)函數(shù)，，則函數(shù)零點的個數(shù)有______個.
【答案】8
【詳解】
解：時時的圖象是由時的的圖象向右平移1個單位得到，
當(dāng)時，,將其中(0,1]之間的一段向右平移1個單位得到上的圖象，
由的的圖象逐次向右平移1個單位，得到在時的整個圖象如圖所示，
注意在時，當(dāng)時，.
作出圖像，由圖象可得，共有8個公共點，
即有8個零點.
故答案為：8.

16．若是數(shù)列的前項和，且，則______________
【答案】
【詳解】
，
則當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
兩式相減得，即，滿足，
，
則，
則，

，
.
八、 解答題(本大題共6小題，共70分)

17．如圖，中的內(nèi)角、、所對的邊分別為、、，，且．

（1）求
（2）點在邊的延長線上，且，求的長．
【答案】（1）；（2）.
【詳解】
（1）因為，，
所以，
在中，由正弦定理得：，
所以，
又，所以，所以，
因為，所以.
（2）由（1）可得，
在中，，
由余弦定理可得：，
即，即，
解得：或（舍去），
所以.
18．設(shè)，，，給出以下四種排序：①M，N，T；②M，T，N；③N，T，M；④T，N，M．從中任選一個，補充在下面的問題中，解答相應(yīng)的問題．
已知等比數(shù)列中的各項都為正數(shù)，，且__________依次成等差數(shù)列．
（Ⅰ）求的通項公式；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列的前n項和為，求滿足的最小正整數(shù)n．
注：若選擇多種排序分別解答，按第一個解答計分．
【答案】（Ⅰ）答案見解析；（Ⅱ）答案見解析.
【詳解】
解：（解答一）選②或③：
（Ⅰ）設(shè)的公比為q，則．由條件得，
又因為，所以，即，
解得（負(fù)值舍去）．所以．
（Ⅱ）由題意得，則．由得
，即，又因為，所以n的最小值為7．
（解答二）選①或④：
（Ⅰ）設(shè)的公比為q，則．由條件得，
又因為，所以，即，
解得（負(fù)值舍去）．所以．
（Ⅱ）由題意得，則．由得
，即，又因為，所以n的最小值為5．
19．為研究家用轎車在高速公路上的車速情況，交通部門隨機選取100名家用轎車駕駛員進(jìn)行調(diào)查，得到其在高速公路上行駛時的平均車速情況為：在55名男性駕駛員中，平均車速超過的有40人，不超過的有15人；在45名女性駕駛員中，平均車速超過的有20人，不超過的有25人.
（1）完成下面列聯(lián)表，并判斷能否在犯錯誤概率不超過的前提下認(rèn)為“平均車速超過與性別有關(guān)”？
?
平均車速超過
平均車速不超過
總計
男性駕駛員
?
?
?
女性駕駛員
?
?
?
總計
?
?
?
附：，其中.














（2）在被調(diào)查的駕駛員中，從平均車速不超過的人中隨機抽取2人，求這2人恰好是1名男性駕駛員和1名女性駕駛員的概率；
（3）以上述樣本數(shù)據(jù)估計總體，從高速公路上行駛的家用轎車中隨機抽取3輛，記這3輛車平均車速超過且為男性駕駛員的車輛數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
【答案】（1）答案見解析，能；（2）；（3）答案見解析，.
【詳解】
（1）完成的列聯(lián)表如下：

平均車速超過
平均車速不超過
合計
男性駕駛員
40
15
55
女性駕駛員
20
25
45
合計
60
40
100
，
所以在犯錯誤概率不超過的前提下，能認(rèn)為“平均車速超過與性別有關(guān)”.
（2）平均車速不超過的駕駛員有40人，
從中隨機抽取2人的方法總數(shù)為，記“這2人恰好是1名男性駕駛員和1名女性駕駛員”為事件，
則事件所包含的基本事件數(shù)為，
所以所求的概率.
（3）根據(jù)樣本估計總體的思想，從總體中任取1輛車，
平均車速超過且為男性駕駛員的概率為，
故.
所以；；
；.
所以的分布列為

0
1
2
3





（或）.
20．如圖，在四棱錐中，，，，，分別為線段的中點，平面．

（1）求證：平面平面；
（2）是否存在線段上一點，使得平面，若存在，求的值；若不存在，請說明理由．
【答案】（1）證明見解析；（2）.
【解析】
試題分析：（1）以為原點建立空間直角坐標(biāo)系，可得，，
，又得平面，進(jìn)而得結(jié)論；（2）設(shè)，可得平面的一個法向量為，再根據(jù)可解得.
試題解析：（1）如圖，以為原點建立空間直角坐標(biāo)系，
，，，所以中點，則，，則，
所以.
又平面，所以，由，
所以平面，
又平面，所以平面平面.

（2）法一：設(shè)，則，，則，
設(shè)平面的一個法向量為，，，
所以，則，令，
得，
設(shè) ，則
，
若平面，則，解得.
法二：（略解）：連接延長與交于點，連接，若存在平面，則，
證明即可.

21．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓：和橢圓：，其中，，，的離心率分別為，，且滿足，，分別是橢圓的右、下頂點，直線與橢圓的另一個交點為，且.

（1）求橢圓的方程；
（2）與橢圓相切的直線交橢圓與點，，求的最大值.
【答案】（1）；（2）.
【詳解】
（1）由題意知，，
因為，所以，，
將等號兩邊同時平方，得，
即，所以，
又，所以，，所以，，
所以直線的方程為，
與橢圓：聯(lián)立并消去，得，
整理得，，所以，
因為，所以，
得，所以，
橢圓的方程為.
（2）當(dāng)直線的斜率不存在時，易得.
當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線：，與橢圓：聯(lián)立并消去，
得，
因為直線與橢圓相切，所以，
整理得，
將直線與橢圓方程聯(lián)立并消去，得，
由式可得.
設(shè)，，則，，
所以，
設(shè)，則，，，
所以當(dāng)，即時，最大，且最大值為.
22．已知函數(shù)在上單調(diào)遞減.
（1）求實數(shù)的取值范圍；
（2）若存在非零實數(shù)，滿足，，依次成等差數(shù)列.求證：.
【答案】（1）；（2）證明見解析.
【詳解】
（1）根據(jù)題意，恒成立，即，
設(shè)，則.
令，得，
當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減.
所以.
所以，即.
故的取值范圍為.
（2）由題意得，
因為單調(diào)遞減，不妨設(shè).
設(shè)，
則.
設(shè)，
則，所以單調(diào)遞減，即單調(diào)遞減.
當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增.
因為，所以，
即，整理可得.
因為在上單調(diào)遞減，所以，即.




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(新高考)高考數(shù)學(xué)考前沖刺模擬預(yù)測卷04（2份打包，解析版+原卷版）

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