?新高考數(shù)學(xué)考前沖刺卷
數(shù) 學(xué)（二）
注意事項：
1．答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在試題卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。
2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。
3．非選擇題的作答：用簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。
4．考試結(jié)束后，請將本試題卷和答題卡一并上交。
第Ⅰ卷（選擇題）
一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．已知集合，，則（ ）
A． B． C． D．
2．已知復(fù)數(shù)滿足（其中為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
3．下列命題中，真命題的是（ ）
A．函數(shù)的周期是 B．
C．函數(shù)是奇函數(shù) D．的充要條件是
4．已知等差數(shù)列的前項和為，若，，則（ ）
A．165 B．176 C．180 D．187
5．已知實數(shù)滿足不等式組，若的最大值為，最小值為，則（ ）
A． B． C． D．
6．若函數(shù)為函數(shù)圖象的一條切線，則的最小值為（ ）
A． B． C．1 D．2
7．設(shè)A、B為圓上的兩動點，且，P為直線上一動點，則的最小值為（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
8．已知非空集合，設(shè)集合，
．分別用、、表示集合、、中元素的個數(shù)，則下列說法不正確的是（ ）
A．若，則 B．若，則
C．若，則可能為18 D．若，則不可能為19

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．
9．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列選項正確的是（ ）

A．
B．函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為
C．函數(shù)的圖象關(guān)于中心對稱
D．函數(shù)的圖象可由圖象向右平移個單位長度得到
10．2014年7月18日，教育部公布了修訂的《國家學(xué)生體質(zhì)健康標(biāo)準(zhǔn)》．學(xué)生體測成績達到或超過良好，才有資格參與評優(yōu)與評獎，中學(xué)男生100米體能測試的良好成績小于秒?某中學(xué)為了解高一男生的體能情況，通過隨機抽樣，獲得了100名男生的100米體能測試的成績(單位：秒)，將數(shù)據(jù)按照，，…，分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖．

由直方圖推斷，下列選項正確的是（ ）
A．直方圖中a的值為
B．由直方圖估計本校高一男生100米體能測試成績的眾數(shù)為秒
C．由直方圖估計本校高一男生100米體能測試成績的中位數(shù)為秒
D．由直方圖估計本校高一男生100米體能測試成績良好率超過了80%
11．已知橢圓的左、右焦點分別為、，點在橢圓上，點是圓關(guān)于直線對稱的曲線上任意一點，若的最小值為，則下列說法正確的是（ ）
A．橢圓的焦距為2
B．曲線過點的切線斜率為
C．若、為橢圓上關(guān)于原點對稱的異于頂點和點的兩點，則直線與斜率之積為
D．的最小值為2
12．已知定義在R上的奇函數(shù)在上單調(diào)遞增，則“對于任意的，不等式恒成立”的充分不必要條件可以是（ ）
A． B． C． D．

第Ⅱ卷（非選擇題）
三、填空題：本大題共4小題，每小題5分．
13．設(shè)某總體是由編號為01，02，…，19，20的20個個體組成，利用下面的隨機數(shù)表選取6個個體，選取方法是從隨機數(shù)表第1行的第3列數(shù)字開始從左到右依次選取兩個數(shù)字，則選出來的第6個個體編號為___________．

14．已知函數(shù)的反函數(shù)為，則___________．
15．已知中角，，所對的邊分別為，，，為邊上一點，且為的角平分線，若，，則最小值為_________．
16．已知菱形邊長為3，，為對角線上一點，．將沿翻折到的位置，記為且二面角的大小為120°，則三棱錐的外接球的半徑為______；過作平面與該外接球相交，所得截面面積的最小值為______．


四、解答題：本大題共6個大題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
17．（10分）在中，角，，的對邊分別為，，，且．
（1）求；
（2）若的面積為，為邊的中點，求的最小值．












18．（12分）在正項等比數(shù)列中，，．
（1）求；
（2）設(shè)，數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項和．














19．（12分）為幫助鄉(xiāng)村脫貧，某勘探隊計劃了解當(dāng)?shù)氐V脈某金屬的分布情況，測得了平均金屬含量（單位：）與樣本對原點的距離（單位：）的數(shù)據(jù)，并作了初步處理，得到了下面的一些統(tǒng)計量的值．（表中，）．

（1）利用樣本相關(guān)系數(shù)的知識，判斷與哪一個更適宜作為平均金屬含量關(guān)于樣本對原點的距離的回歸方程類型？
（2）根據(jù)（1）的結(jié)果回答下列問題：
（i）建立關(guān)于的回歸方程；
（ii）樣本對原點的距離時，金屬含量的預(yù)報值是多少？
（iii）已知該金屬在距離原點時的平均開采成本（單位：元）與，關(guān)系為，根據(jù)（2）的結(jié)果回答，為何值時，開采成本最大？
附：對于一組數(shù)據(jù)，其線性相關(guān)系數(shù)，
其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為，．


















20．（12分）如圖1所示，梯形中，．為的中點，
連接交于，將沿折疊，使得平面平面（如圖2），
（1）求證：；
（2）求平面與平面所成的二面角的正弦值．















21．（12分）已知點為拋物線上一點，F(xiàn)為拋物線C的焦點，拋物線C在點P處的切線與y軸相交于點Q，且面積為2．
（1）求拋物線C的方程；
（2）設(shè)直線l經(jīng)過交拋物線C于M，N兩點(異于點P)，求證：的大小為定值．











22．（12分）已知函數(shù)，．
（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）若關(guān)于的不等式對任意恒成立，求實數(shù)的取值范圍．






新高考數(shù)學(xué)考前沖刺卷
數(shù) 學(xué)（二）
注意事項：
1．答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在試題卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。
2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。
3．非選擇題的作答：用簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。
4．考試結(jié)束后，請將本試題卷和答題卡一并上交。
第Ⅰ卷（選擇題）
一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．已知集合，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，，，故選C．
2．已知復(fù)數(shù)滿足（其中為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵，∴，
∴，故選C．
3．下列命題中，真命題的是（ ）
A．函數(shù)的周期是 B．
C．函數(shù)是奇函數(shù) D．的充要條件是
【答案】C
【解析】由于不存在非零實數(shù)使得對于任意實數(shù)恒成立，
所以函數(shù)不是周期函數(shù)，故選項A是假命題；
當(dāng)時，，故選項B是假命題；
函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱，且滿足，
故函數(shù)是奇函數(shù)，即選項C是真命題；
由，得且，所以“”的必要不充分條件是“”，
故選項D是假命題，
故選C．
4．已知等差數(shù)列的前項和為，若，，則（ ）
A．165 B．176 C．180 D．187
【答案】D
【解析】設(shè)等差數(shù)列的首項為，公差為，
由，，可得，解得，
所以，故，故選D．
5．已知實數(shù)滿足不等式組，若的最大值為，最小值為，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由不等式組可得可行域如下圖陰影部分所示：
表示可行域中的點到原點的距離的平方，
由圖象可知：點到原點的距離最大，
由，得，即，
，即；
過原點作直線的垂線，垂足為，則垂線方程為，
由，得，即，經(jīng)檢驗，滿足可行域，
，即，
，故選A．

6．若函數(shù)為函數(shù)圖象的一條切線，則的最小值為（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】B
【解析】設(shè)點是函數(shù)圖象上任一點，其中，
，，
所以過點的切線方程為，
即，
故，，，
構(gòu)造函數(shù)，，
所以在區(qū)間上，，遞減；
在區(qū)間上，，遞增，
所以在區(qū)間上的極小值也即是最小值為，
即的最小值為，故選B．
7．設(shè)A、B為圓上的兩動點，且，P為直線上一動點，則的最小值為（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【解析】設(shè)是中點，因為，所以，
即在以原點為圓心，為半徑的圓上，
，，
又，所以，所以，
故選C．

8．已知非空集合，設(shè)集合，
．分別用、、表示集合、、中元素的個數(shù)，則下列說法不正確的是（ ）
A．若，則 B．若，則
C．若，則可能為18 D．若，則不可能為19
【答案】D
【解析】已知，．
又、、表示集合、、中元素的個數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為排列組合問題，
對于AB，，，，則，故B正確；
但若考慮重復(fù)情況，即由相鄰元素構(gòu)成，例，則，，即，故A正確；
對于CD，，，，則，故D錯誤；
但若考慮重復(fù)情況，即由相鄰元素構(gòu)成，例，則，，即，故可能為18，故C正確，
故選D．

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．
9．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列選項正確的是（ ）

A．
B．函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為
C．函數(shù)的圖象關(guān)于中心對稱
D．函數(shù)的圖象可由圖象向右平移個單位長度得到
【答案】AC
【解析】，
由圖象可知，所以，所以，故A選項正確；
函數(shù)的解析式為，
令，得，
故的單調(diào)增區(qū)間為，故B選項錯誤；
因為，故C選項正確；
因為圖象可由圖象向左平移個單位長度得到，故D選項錯誤，
故選AC．
10．2014年7月18日，教育部公布了修訂的《國家學(xué)生體質(zhì)健康標(biāo)準(zhǔn)》．學(xué)生體測成績達到或超過良好，才有資格參與評優(yōu)與評獎，中學(xué)男生100米體能測試的良好成績小于秒?某中學(xué)為了解高一男生的體能情況，通過隨機抽樣，獲得了100名男生的100米體能測試的成績(單位：秒)，將數(shù)據(jù)按照，，…，分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖．

由直方圖推斷，下列選項正確的是（ ）
A．直方圖中a的值為
B．由直方圖估計本校高一男生100米體能測試成績的眾數(shù)為秒
C．由直方圖估計本校高一男生100米體能測試成績的中位數(shù)為秒
D．由直方圖估計本校高一男生100米體能測試成績良好率超過了80%
【答案】AB
【解析】A：由概率統(tǒng)計相關(guān)知識，可知各組頻率之和為1．
頻率=(頻率/組距)×組距，
，解得，
故A正確；
B：直方圖的眾數(shù)是頻率最高組的中點，即，故B正確；
C：直方圖的中位數(shù)是頻率相等的分點，設(shè)為x，
則，解得，故C錯誤；
D：由圖可知．成績小于秒的人數(shù)所占百分比為：
，故D錯誤，
故選AB．
11．已知橢圓的左、右焦點分別為、，點在橢圓上，點是圓關(guān)于直線對稱的曲線上任意一點，若的最小值為，則下列說法正確的是（ ）
A．橢圓的焦距為2
B．曲線過點的切線斜率為
C．若、為橢圓上關(guān)于原點對稱的異于頂點和點的兩點，則直線與斜率之積為
D．的最小值為2
【答案】BC
【解析】圓關(guān)于直線對稱的曲線為以為圓心，1為半徑的圓，
即曲線E的方程為，

由橢圓定義有知，
，
由圖知，
，，橢圓方程為，
故焦距，A錯誤；
，D錯誤；
設(shè)曲線過點的切線斜率為k，則切線方程為，
由圓心到切線方程的距離等于半徑有，B正確；
設(shè)，，，
則，
又都在橢圓上，即，C正確，
故選BC．
12．已知定義在R上的奇函數(shù)在上單調(diào)遞增，則“對于任意的，不等式恒成立”的充分不必要條件可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】CD
【解析】奇函數(shù)在上單調(diào)遞增，則在上也單調(diào)遞增，
即是R上的單增函數(shù)，
，
則，，即在上恒成立，
令，
則
，，
記，恒成立，即單減，
又，，
則必有，使，
故，；，，
因此，，單增；，，單減，
因此，
由代入得
，
故若使在上恒成立，則，
根據(jù)充分不必要條件的定義可以判斷C、D正確，A、B錯誤，
故選CD．

第Ⅱ卷（非選擇題）
三、填空題：本大題共4小題，每小題5分．
13．設(shè)某總體是由編號為01，02，…，19，20的20個個體組成，利用下面的隨機數(shù)表選取6個個體，選取方法是從隨機數(shù)表第1行的第3列數(shù)字開始從左到右依次選取兩個數(shù)字，則選出來的第6個個體編號為___________．

【答案】19
【解析】由隨機數(shù)的抽樣規(guī)則得：依次選取的樣本編號為，
故選出來的第6個個體編號為，故答案為．
14．已知函數(shù)的反函數(shù)為，則___________．
【答案】
【解析】函數(shù)的反函數(shù)是，
，，
互換，，得，，
則．
故答案為．
15．已知中角，，所對的邊分別為，，，為邊上一點，且為的角平分線，若，，則最小值為_________．
【答案】4
【解析】如圖，∵為角平分線，，
∴，
化簡得，∴，則，
當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故最小值為4，
故答案為4．

16．已知菱形邊長為3，，為對角線上一點，．將沿翻折到的位置，記為且二面角的大小為120°，則三棱錐的外接球的半徑為______；過作平面與該外接球相交，所得截面面積的最小值為______．

【答案】，
【解析】因為且四邊形為菱形，
所以，均為等邊三角形，
取，的重心為，過作平面、平面的垂線，且垂線交于一點，
此時即為三棱錐的外接球球心，如下圖所示：

記，連接，因為二面角的大小為，
且，，所以二面角的平面角為，
因為，所以，所以，
又因為，所以，所以，
所以，
又，所以，
所以三棱錐的外接球的半徑為．
當(dāng)截面面積取最小值時，此時截面，
又因為截面是個圓，設(shè)圓的半徑為，外接球的半徑為，
又因為且，
所以，
所以，所以此時截面面積為．
故答案為，．

四、解答題：本大題共6個大題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
17．（10分）在中，角，，的對邊分別為，，，且．
（1）求；
（2）若的面積為，為邊的中點，求的最小值．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由，
可得，
所以，
即，
又，化簡可得，即，
因為，所以．
（2）因為，所以，
在中，由余弦定理可得，
當(dāng)且僅當(dāng)，時，等號成立，
所以，即的最小值為．
18．（12分）在正項等比數(shù)列中，，．
（1）求；
（2）設(shè)，數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項和．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）正項等比數(shù)列的公比q，
而，，即，
又，解得，，
所以．
（2）由（1）知，，
所以
．
19．（12分）為幫助鄉(xiāng)村脫貧，某勘探隊計劃了解當(dāng)?shù)氐V脈某金屬的分布情況，測得了平均金屬含量（單位：）與樣本對原點的距離（單位：）的數(shù)據(jù)，并作了初步處理，得到了下面的一些統(tǒng)計量的值．（表中，）．

（1）利用樣本相關(guān)系數(shù)的知識，判斷與哪一個更適宜作為平均金屬含量關(guān)于樣本對原點的距離的回歸方程類型？
（2）根據(jù)（1）的結(jié)果回答下列問題：
（i）建立關(guān)于的回歸方程；
（ii）樣本對原點的距離時，金屬含量的預(yù)報值是多少？
（iii）已知該金屬在距離原點時的平均開采成本（單位：元）與，關(guān)系為，根據(jù)（2）的結(jié)果回答，為何值時，開采成本最大？
附：對于一組數(shù)據(jù)，其線性相關(guān)系數(shù)，
其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為，．
【答案】（1）更適宜；（2）（i）；（ii）；（iii）為10時，開采成本最大．
【解析】（1）的線性相關(guān)系數(shù)，
的線性相關(guān)系數(shù)，
∵，
∴更適宜作為平均金屬含量關(guān)于樣本對原點的距離的回歸方程類型．
（2）（i），，
∴，
∴關(guān)于的回歸方程為．
（ii）當(dāng)時，金屬含量的預(yù)報值為．
（iii），
令，則，
當(dāng)時，，單調(diào)遞增；
當(dāng)時，，單調(diào)遞減，
∴在處取得極大值，也是最大值，此時取得最大值，
故為10時，開采成本最大．
20．（12分）如圖1所示，梯形中，．為的中點，
連接交于，將沿折疊，使得平面平面（如圖2），

（1）求證：；
（2）求平面與平面所成的二面角的正弦值．
【答案】（1）證明見解析；（2）．
【解析】（1）證明：連接，

因為．為的中點，
所以、、都是邊長為2的正三角形，
又，所以四邊形是菱形，
所以，，
又因為平面平面，平面平面，
平面，所以平面，
又因為平面，所以．
（2）由（1）知、、兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

，，，，，
設(shè)平面的法向量為，
，令，則，
平面的法向量為，
設(shè)平面與平面所成的二面角的大小為，
，
所以．
21．（12分）已知點為拋物線上一點，F(xiàn)為拋物線C的焦點，拋物線C在點P處的切線與y軸相交于點Q，且面積為2．
（1）求拋物線C的方程；
（2）設(shè)直線l經(jīng)過交拋物線C于M，N兩點(異于點P)，求證：的大小為定值．
【答案】（1）；（2）證明見解析．
【解析】（1）據(jù)題意可知，
由，得，求導(dǎo)得，
所以拋物線C在點P處的切線方程為，
令，得，即，
又，所以，解得，
所以拋物線C的方程為．
（2）據(jù)題意知直線l斜率存在，設(shè)為k，從而直線l方程為，
設(shè)，，
由，得，
所以，，
因為，，
所以
，
所以，
所以的大小為90°，是一個定值．
22．（12分）已知函數(shù)，．
（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）若關(guān)于的不等式對任意恒成立，求實數(shù)的取值范圍．
【答案】（1）見解析；（2）．
【解析】（1），，．
①若，則恒成立，故在上單調(diào)遞增；
②若，令，得．






0



極大值

③若，則恒成立，故在上單調(diào)遞減，
綜上所述，若，在上單調(diào)遞增；
若，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
若，在上單調(diào)遞減．
（2）令，故，，
所以，令，
，
下面證明，其中．
令，，則．
所以在上單調(diào)遞增，故，
所以當(dāng)時，．
所以，
所以在上單調(diào)遞增，故．
①若，即，則，
所以在上單調(diào)遞增，
所以對恒成立，所以符合題意；
②若，即，此時，
，
且據(jù)及可得，故，
所以．
又的圖象在上不間斷，
所以存在，使得，
且當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減，
所以，其中，與題意矛盾，
所以不符題意，舍去，
綜上所述，實數(shù)的取值范圍是．






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