?新高考數(shù)學(xué)考前模擬卷
注意事項(xiàng)：
本試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級(jí)等信息填寫(xiě)在試卷規(guī)定的位置．
一、 單項(xiàng)選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分)
1．（2020·寧波市北侖中學(xué)高一期中）設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．為純虛數(shù) B．在復(fù)平面內(nèi)，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限
C．的虛部為 D．
2．（2020·河南高三月考（理））已知集合，集合，則（ ）
A． B．
C． D．
3．（2020·山東聊城市·高三期中）已知函數(shù)的圖象如圖所示，則此函數(shù)可能是（ ）

A． B．
C． D．
4．（2020·河南高三月考（理））設(shè)，，則（ ）
A． B．
C． D．
5．（2020·廣東清遠(yuǎn)市·高三月考）若，是第三象限角，則（ ）
A． B． C． D．
6．（2020·陜西金臺(tái)區(qū)·高三月考（理））已知等比數(shù)列中，，，，則（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
7．（2020·河南高三月考（理））一個(gè)密碼箱上有兩個(gè)密碼鎖，只有兩個(gè)密碼鎖的密碼都對(duì)才能打開(kāi).兩個(gè)密碼鎖都設(shè)有四個(gè)數(shù)位，每個(gè)數(shù)位的數(shù)字都可以是1，2，3，4中的任一個(gè).現(xiàn)將左邊密碼鎖的四個(gè)數(shù)字設(shè)成兩個(gè)相同，另兩個(gè)也相同；右邊密碼鎖的四個(gè)數(shù)字設(shè)成互不相同.這樣的密碼設(shè)置的方法有（ ）種情況.
A．288 B．864 C．1436 D．1728
8．（2020·內(nèi)蒙古高三其他模擬（理））楊輝是我國(guó)南宋末年的一位杰出的數(shù)學(xué)家.在他著的《詳解九章算法》一書(shū)中，畫(huà)了一張表示二項(xiàng)式展開(kāi)后的系數(shù)構(gòu)成的三角形數(shù)陣（如圖所示），稱做“開(kāi)方做法本源”，現(xiàn)在簡(jiǎn)稱為“楊輝三角”，它是楊輝的一大重要研究成果.它比西方的“帕斯卡三角形”早了393年.若用表示三角形數(shù)陣的第行第個(gè)數(shù)，則（ ）

A．5050 B．4851 C．4950 D．5000
二、 多項(xiàng)選擇題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得3分，有選錯(cuò)的得0分)
9．（2020·湖北黃石港區(qū)·黃石二中高三月考）甲罐中有4個(gè)紅球，3個(gè)白球和3個(gè)黑球；乙罐中有5個(gè)紅球，3個(gè)白球和2個(gè)黑球．先從甲罐中隨機(jī)取出一球放入乙罐，分別以，和表示由甲罐取出的球是紅球，白球和黑球的事件；再?gòu)囊夜拗须S機(jī)取出一球，以表示由乙罐取出的球是紅球的事件，下列的結(jié)論：其中正確結(jié)論的為（ ）
A． B．
C．事件與事件不相互獨(dú)立 D．，，是兩兩互斥的事件
10．（2020·江蘇南京市·高三月考）已知雙曲線：的實(shí)軸長(zhǎng)是2，右焦點(diǎn)與拋物線：的焦點(diǎn)重合，雙曲線與拋物線交于、兩點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．雙曲線的離心率為 B．拋物線的準(zhǔn)線方程是
C．雙曲線的漸近線方程為 D．
11．（2020·江蘇秦淮區(qū)·高三期中）某同學(xué)對(duì)函數(shù)進(jìn)行研究后，得出以下結(jié)論，其中正確的是（ ）
A．函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱
B．對(duì)定義域中的任意實(shí)數(shù)x的值，恒有成立
C．函數(shù)的圖象與x軸有無(wú)窮多個(gè)交點(diǎn)，且每相鄰兩交點(diǎn)的距離相等
D．對(duì)任意常數(shù)，存在常數(shù)，使函數(shù)在上單調(diào)遞減
12．（2020·廣東佛山市·高三月考）如圖，線段為圓的直徑，點(diǎn)，在圓上，，矩形所在平面和圓所在平面垂直，且，，則下述正確的是（ ）

A．平面
B．平面
C．點(diǎn)到平面的距離為
D．三棱錐外接球的體積為
三、 填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)
13．（2020·河南高三月考（理））已知的展開(kāi)式中的系數(shù)為5，則它的展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)和等于______.
14．（2020·江蘇常州市·高三期中）平面內(nèi)，不共線的向量滿足，且，則的夾角的余弦值為_(kāi)_______.
15．（2020·江蘇省高郵中學(xué)）如圖，在等腰直角中，，分別為斜邊的三等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)），過(guò)作的垂線，垂足為，若，則________．

16．（2020·福建莆田市·高三其他模擬）已知函數(shù)，，若不等式有且僅有一個(gè)整數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)________.
四、解答題(本大題共6小題，共70分)
17．（2020·四川省廣元市川師大萬(wàn)達(dá)中學(xué)高三月考（文））在中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，且滿足.
（1）求角的大??；
（2）若，求的最大值.
18．（2020·全國(guó)高三其他模擬）在①，②為與的等差中項(xiàng)，，③為數(shù)列的前項(xiàng)和，這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，并解答.
問(wèn)題：已知數(shù)列滿足，______.
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列滿足，，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
19．（2020·全國(guó)高三其他模擬）如圖，四邊形中，是等腰直角三角形，，是邊長(zhǎng)為2的正三角形，以為折痕，將向上折疊到的位置，使點(diǎn)在平面內(nèi)的射影在上，再將向下折疊到的位置，使平面平面，形成幾何體.

（1）點(diǎn)在上，若平面，求點(diǎn)的位置；
（2）求二面角的余弦值.
20．（2020·黑龍江大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三月考（理））某公司研發(fā)了一種幫助家長(zhǎng)解決孩子早教問(wèn)題的萌寵機(jī)器人.萌寵機(jī)器人語(yǔ)音功能讓它就像孩子的小伙伴一樣和孩子交流，記憶功能還可以記住寶寶的使用習(xí)慣，很快找到寶寶想聽(tīng)的內(nèi)容.同時(shí)提供快樂(lè)兒歌、國(guó)學(xué)經(jīng)典、啟蒙英語(yǔ)等早期教育內(nèi)容，且云端內(nèi)容可以持續(xù)更新.萌寵機(jī)器人一投放市場(chǎng)就受到了很多家長(zhǎng)歡迎.為了更好地服務(wù)廣大家長(zhǎng)，該公司研究部門(mén)從流水線上隨機(jī)抽取100件萌寵機(jī)器人（以下簡(jiǎn)稱產(chǎn)品），統(tǒng)計(jì)其性能指數(shù)并繪制頻率分布直方圖（如圖1）：

產(chǎn)品的性能指數(shù)在的適合托班幼兒使用（簡(jiǎn)稱A類產(chǎn)品），在的適合小班和中班幼兒使用（簡(jiǎn)稱B類產(chǎn)品），在的適合大班幼兒使用（簡(jiǎn)稱C類產(chǎn)品），A，B，C，三類產(chǎn)品的銷售利潤(rùn)分別為每件1.5，3.5，5.5（單位：元）.以這100件產(chǎn)品的性能指數(shù)位于各區(qū)間的頻率代替產(chǎn)品的性能指數(shù)位于該區(qū)間的概率.
（1）求每件產(chǎn)品的平均銷售利潤(rùn)；
（2）該公司為了解年?duì)I銷費(fèi)用（單位：萬(wàn)元）對(duì)年銷售量（單位：萬(wàn)件）的影響，對(duì)近5年的年?duì)I銷費(fèi)用，和年銷售量數(shù)據(jù)做了初步處理，得到的散點(diǎn)圖（如圖2）及一些統(tǒng)計(jì)量的值.




16.30
24.87
0.41
1.64

表中，，，.
根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，可以作為年銷售量（萬(wàn)件）關(guān)于年?duì)I銷費(fèi)用（萬(wàn)元）的回歸方程.
（i）建立關(guān)于的回歸方程；
（ii）用所求的回歸方程估計(jì)該公司應(yīng)投入多少營(yíng)銷費(fèi)，才能使得該產(chǎn)品一年的收益達(dá)到最大？
（收益=銷售利潤(rùn)-營(yíng)銷費(fèi)用，取）.
參考公式：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為，.
21．（2020·全國(guó)高三其他模擬）已知橢圓：（）上的點(diǎn)到的兩焦點(diǎn)的距離之和為6，的離心率為．
（1）求的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)為，點(diǎn)在上，點(diǎn)滿足，且直線，的斜率之積為，證明：為定值．
22．（2020·全國(guó)高三其他模擬）已知函數(shù)，其中.
（1）討論的單調(diào)性.
（2）是否存在，對(duì)任意，總存在，使得成立？若存在，求出實(shí)數(shù)的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.




新高考數(shù)學(xué)考前模擬卷
注意事項(xiàng)：
本試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級(jí)等信息填寫(xiě)在試卷規(guī)定的位置．
四、 單項(xiàng)選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分)
1．（2020·寧波市北侖中學(xué)高一期中）設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．為純虛數(shù) B．在復(fù)平面內(nèi)，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限
C．的虛部為 D．
【答案】D
【詳解】
由得，，
不為純虛數(shù)，不正確；
對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限，不正確；
的虛部為，不正確；
，正確.
故選：D
2．（2020·河南高三月考（理））已知集合，集合，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【詳解】
或，則，
又，
因此，.
故選：A.
3．（2020·山東聊城市·高三期中）已知函數(shù)的圖象如圖所示，則此函數(shù)可能是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】C
【詳解】
由圖象知：函數(shù)是偶函數(shù)，排除AD，
又，排除B
故選：C
4．（2020·河南高三月考（理））設(shè)，，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【詳解】
根據(jù)指數(shù)冪與對(duì)數(shù)的互化，可得，，
所以，又由，
所以，即，所以.
故選：D.
5．（2020·廣東清遠(yuǎn)市·高三月考）若，是第三象限角，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】
，是第三象限角，，
因此，，
故選：A.
6．（2020·陜西金臺(tái)區(qū)·高三月考（理））已知等比數(shù)列中，，，，則（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【詳解】
設(shè)等比數(shù)列的公比為，
則，
即，
因?yàn)?，所以?br /> 則，
即，解得，
故選：B.
7．（2020·河南高三月考（理））一個(gè)密碼箱上有兩個(gè)密碼鎖，只有兩個(gè)密碼鎖的密碼都對(duì)才能打開(kāi).兩個(gè)密碼鎖都設(shè)有四個(gè)數(shù)位，每個(gè)數(shù)位的數(shù)字都可以是1，2，3，4中的任一個(gè).現(xiàn)將左邊密碼鎖的四個(gè)數(shù)字設(shè)成兩個(gè)相同，另兩個(gè)也相同；右邊密碼鎖的四個(gè)數(shù)字設(shè)成互不相同.這樣的密碼設(shè)置的方法有（ ）種情況.
A．288 B．864 C．1436 D．1728
【答案】B
【詳解】
左邊密碼鎖的四個(gè)數(shù)字共有種設(shè)法，右邊密碼鎖的四個(gè)數(shù)字共有種設(shè)法，故密碼設(shè)置的方法有種.
故選：B.
8．（2020·內(nèi)蒙古高三其他模擬（理））楊輝是我國(guó)南宋末年的一位杰出的數(shù)學(xué)家.在他著的《詳解九章算法》一書(shū)中，畫(huà)了一張表示二項(xiàng)式展開(kāi)后的系數(shù)構(gòu)成的三角形數(shù)陣（如圖所示），稱做“開(kāi)方做法本源”，現(xiàn)在簡(jiǎn)稱為“楊輝三角”，它是楊輝的一大重要研究成果.它比西方的“帕斯卡三角形”早了393年.若用表示三角形數(shù)陣的第行第個(gè)數(shù)，則（ ）

A．5050 B．4851 C．4950 D．5000
【答案】B
【詳解】
依據(jù)二項(xiàng)展開(kāi)式系數(shù)可知，第行第個(gè)數(shù)應(yīng)為，
故第100行第3個(gè)數(shù)為
故選：.
五、 多項(xiàng)選擇題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得3分，有選錯(cuò)的得0分)
9．（2020·湖北黃石港區(qū)·黃石二中高三月考）甲罐中有4個(gè)紅球，3個(gè)白球和3個(gè)黑球；乙罐中有5個(gè)紅球，3個(gè)白球和2個(gè)黑球．先從甲罐中隨機(jī)取出一球放入乙罐，分別以，和表示由甲罐取出的球是紅球，白球和黑球的事件；再?gòu)囊夜拗须S機(jī)取出一球，以表示由乙罐取出的球是紅球的事件，下列的結(jié)論：其中正確結(jié)論的為（ ）
A． B．
C．事件與事件不相互獨(dú)立 D．，，是兩兩互斥的事件
【答案】BCD
【詳解】
解：甲罐中有4個(gè)紅球，3個(gè)白球和3個(gè)黑球；乙罐中有5個(gè)紅球，3個(gè)白球和2個(gè)黑球．
先從甲罐中隨機(jī)取出一球放入乙罐，分別以、和表示由甲罐取出的球是紅球，白球和黑球的事件；
再?gòu)囊夜拗须S機(jī)取出一球，以表示由乙罐取出的球是紅球的事件，
對(duì)A，，故A錯(cuò)誤；
對(duì)B，，故B正確；
對(duì)C，當(dāng)發(fā)生時(shí)，，當(dāng)不發(fā)生時(shí)，，事件與事件不相互獨(dú)立，故C正確；
對(duì)D，，，不可能同時(shí)發(fā)生，故是兩兩互斥的事件，故D正確；
故選：BCD．
10．（2020·江蘇南京市·高三月考）已知雙曲線：的實(shí)軸長(zhǎng)是2，右焦點(diǎn)與拋物線：的焦點(diǎn)重合，雙曲線與拋物線交于、兩點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．雙曲線的離心率為 B．拋物線的準(zhǔn)線方程是
C．雙曲線的漸近線方程為 D．
【答案】BC
【詳解】
由雙曲線：的實(shí)軸長(zhǎng)為2，可得，
又由拋物線：的焦點(diǎn)重合，可得雙曲線的右焦點(diǎn)為，即，
則，可知雙曲線：，
所以雙曲線的離心率為，拋物線的準(zhǔn)線方程是，
雙曲線的漸近線方程為，
所以A不正確；B、C正確，
聯(lián)立方程組 ，解得，
所以，所以D不正確.
故選：BC.
11．（2020·江蘇秦淮區(qū)·高三期中）某同學(xué)對(duì)函數(shù)進(jìn)行研究后，得出以下結(jié)論，其中正確的是（ ）
A．函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱
B．對(duì)定義域中的任意實(shí)數(shù)x的值，恒有成立
C．函數(shù)的圖象與x軸有無(wú)窮多個(gè)交點(diǎn)，且每相鄰兩交點(diǎn)的距離相等
D．對(duì)任意常數(shù)，存在常數(shù)，使函數(shù)在上單調(diào)遞減
【答案】BD
【詳解】
對(duì)于選項(xiàng)A：函數(shù)的定義域?yàn)?，?br /> ，所以為偶函數(shù)，即函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)B：由A選項(xiàng)可知為偶函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，，所以，可得到，即，可設(shè)，，因?yàn)?，所以，所以在上單調(diào)遞增，所以，即恒成立，故選項(xiàng)B正確；
對(duì)于選項(xiàng)C：函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，交點(diǎn)與間的距離為，其余任意相鄰兩點(diǎn)的距離為，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)D：，可化為ex(cosx－sinx)，不等式兩邊同除以得，，當(dāng)，，，區(qū)間長(zhǎng)度為，所以對(duì)于任意常數(shù)m>0，存在常數(shù)b>a>m，，
，使函數(shù)在上單調(diào)遞減，故D選項(xiàng)正確；
故選：BD
12．（2020·廣東佛山市·高三月考）如圖，線段為圓的直徑，點(diǎn)，在圓上，，矩形所在平面和圓所在平面垂直，且，，則下述正確的是（ ）

A．平面
B．平面
C．點(diǎn)到平面的距離為
D．三棱錐外接球的體積為
【答案】ABC
【詳解】
解：，，四邊形為平行四邊形，所以，
平面，平面，所以平面，故A正確.
線段為圓的直徑，所以，
矩形所在平面和圓所在平面垂直，平面平面，平面
，所以平面，平面，所以
平面，平面，，
所以平面，故B正確.
，是正三角形，所以，
，所以平面，，
，，
，
，是等腰三角形，的邊上的高，
，
，平面，平面，
平面，點(diǎn)到平面的距離為，
，，
設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，
，，
所以，故C正確.
取的中點(diǎn)，則，，所以平面，

所以
所以是三棱錐外接球的球心，其半徑，
三棱錐外接球的體積為，故D錯(cuò)誤，
故選：ABC.
六、 填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)
13．（2020·河南高三月考（理））已知的展開(kāi)式中的系數(shù)為5，則它的展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)和等于______.
【答案】
【詳解】
因?yàn)椋?br /> 二項(xiàng)式展開(kāi)式的第項(xiàng)為，
所以展開(kāi)式中含的項(xiàng)為，
所以，解得.
令代入可得，它的展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)和等于.
故答案為：.
14．（2020·江蘇常州市·高三期中）平面內(nèi)，不共線的向量滿足，且，則的夾角的余弦值為_(kāi)_______.
【答案】
【詳解】
解：由得，
由，故，
所以，
所以，
故答案為：
15．（2020·江蘇省高郵中學(xué)）如圖，在等腰直角中，，分別為斜邊的三等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)），過(guò)作的垂線，垂足為，若，則________．

【答案】
【詳解】
設(shè)，則，，
，
，
所以，所以．
因?yàn)椋?br /> 所以，
又因?yàn)?，所以，?br /> 所以.
故答案為：.
16．（2020·福建莆田市·高三其他模擬）已知函數(shù)，，若不等式有且僅有一個(gè)整數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)________.
【答案】
【詳解】
由不等式，可得，
即有且僅有一個(gè)整數(shù)解，
令，
則，顯然，
則時(shí)，，所以單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，故單調(diào)遞減，
所以函數(shù)在時(shí)取得最大值，
作函數(shù)的大致圖象如下，

由及函數(shù)圖象可知，
要使，有且僅有一個(gè)整數(shù)解，則需，
即，
故答案為：
四、解答題(本大題共6小題，共70分)
17．（2020·四川省廣元市川師大萬(wàn)達(dá)中學(xué)高三月考（文））在中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，且滿足.
（1）求角的大小；
（2）若，求的最大值.
【答案】（1）；（2）4.
【詳解】
（1）由正弦定理得，
則，
，則，于是，又，故；
（2）根據(jù)余弦定理，
則，
即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.
所以的最大值為4.
18．（2020·全國(guó)高三其他模擬）在①，②為與的等差中項(xiàng)，，③為數(shù)列的前項(xiàng)和，這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，并解答.
問(wèn)題：已知數(shù)列滿足，______.
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列滿足，，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【答案】選擇條件①：（1）；（2）；選擇條件②：（1）；（2）；選擇條件③：（1）；（2）.
【詳解】
（1）選擇條件①，由，得，
兩式相減得，
當(dāng)時(shí)，，
又，所以.
所以中所有奇數(shù)項(xiàng)是以為首項(xiàng)，8為公差的等差數(shù)列，
故當(dāng)時(shí)，；
中所有偶數(shù)項(xiàng)是以為首項(xiàng)，8為公差的等差數(shù)列，
故當(dāng)時(shí)，.
綜上，.
選擇條件②，由題意得，
整理得，則，
又，所以.
所以中所有奇數(shù)項(xiàng)是以為首項(xiàng)，8為公差的等差數(shù)列，
故當(dāng)時(shí)，；
中所有偶數(shù)項(xiàng)是以為首項(xiàng)，8為公差的等差數(shù)列，
故當(dāng)時(shí)，.
綜上，.
選擇條件③，由，得，
兩式相減得，
又，所以，，
當(dāng)時(shí)，，
又，所以，
所以中所有奇數(shù)項(xiàng)是以為首項(xiàng)，8為公差的等差數(shù)列，
故當(dāng)時(shí)，；
中所有偶數(shù)項(xiàng)是以為首項(xiàng)，8為公差的等差數(shù)列，
故當(dāng)時(shí)，.
綜上，.
（2）因?yàn)?，所以?br /> 所以數(shù)列是首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，
所以.
所以，
所以，
，
兩式相減得.
所以
19．（2020·全國(guó)高三其他模擬）如圖，四邊形中，是等腰直角三角形，，是邊長(zhǎng)為2的正三角形，以為折痕，將向上折疊到的位置，使點(diǎn)在平面內(nèi)的射影在上，再將向下折疊到的位置，使平面平面，形成幾何體.

（1）點(diǎn)在上，若平面，求點(diǎn)的位置；
（2）求二面角的余弦值.
【答案】（1）為的中點(diǎn)；（2）.
【詳解】
（1）如圖，

設(shè)點(diǎn)在平面內(nèi)的射影為，連接，，
∵，
∴，
∴在中，為的中點(diǎn).
取的中點(diǎn)，連接，，
則，又平面，平面，
∴平面.
取的中點(diǎn)，連接，
則易知，又平面平面，平面平面，
∴平面，
又平面，
∴，又平面，平面，
∴平面.
又，
∴平面平面.
又平面，
∴平面，此時(shí)為的中點(diǎn).
（2）連接，由（1）可知，，兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為，，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，
從而，，.
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
則即
得，取，則，.
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
則即
得，取，則，，
從而.
易知二面角為鈍二面角，
所以二面角的余弦值為.
20．（2020·黑龍江大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三月考（理））某公司研發(fā)了一種幫助家長(zhǎng)解決孩子早教問(wèn)題的萌寵機(jī)器人.萌寵機(jī)器人語(yǔ)音功能讓它就像孩子的小伙伴一樣和孩子交流，記憶功能還可以記住寶寶的使用習(xí)慣，很快找到寶寶想聽(tīng)的內(nèi)容.同時(shí)提供快樂(lè)兒歌、國(guó)學(xué)經(jīng)典、啟蒙英語(yǔ)等早期教育內(nèi)容，且云端內(nèi)容可以持續(xù)更新.萌寵機(jī)器人一投放市場(chǎng)就受到了很多家長(zhǎng)歡迎.為了更好地服務(wù)廣大家長(zhǎng)，該公司研究部門(mén)從流水線上隨機(jī)抽取100件萌寵機(jī)器人（以下簡(jiǎn)稱產(chǎn)品），統(tǒng)計(jì)其性能指數(shù)并繪制頻率分布直方圖（如圖1）：

產(chǎn)品的性能指數(shù)在的適合托班幼兒使用（簡(jiǎn)稱A類產(chǎn)品），在的適合小班和中班幼兒使用（簡(jiǎn)稱B類產(chǎn)品），在的適合大班幼兒使用（簡(jiǎn)稱C類產(chǎn)品），A，B，C，三類產(chǎn)品的銷售利潤(rùn)分別為每件1.5，3.5，5.5（單位：元）.以這100件產(chǎn)品的性能指數(shù)位于各區(qū)間的頻率代替產(chǎn)品的性能指數(shù)位于該區(qū)間的概率.
（1）求每件產(chǎn)品的平均銷售利潤(rùn)；
（2）該公司為了解年?duì)I銷費(fèi)用（單位：萬(wàn)元）對(duì)年銷售量（單位：萬(wàn)件）的影響，對(duì)近5年的年?duì)I銷費(fèi)用，和年銷售量數(shù)據(jù)做了初步處理，得到的散點(diǎn)圖（如圖2）及一些統(tǒng)計(jì)量的值.




16.30
24.87
0.41
1.64

表中，，，.
根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，可以作為年銷售量（萬(wàn)件）關(guān)于年?duì)I銷費(fèi)用（萬(wàn)元）的回歸方程.
（i）建立關(guān)于的回歸方程；
（ii）用所求的回歸方程估計(jì)該公司應(yīng)投入多少營(yíng)銷費(fèi)，才能使得該產(chǎn)品一年的收益達(dá)到最大？
（收益=銷售利潤(rùn)-營(yíng)銷費(fèi)用，取）.
參考公式：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為，.
【答案】（1）每件產(chǎn)品的平均銷售利潤(rùn)為4元（2）（i）（ii）該廠應(yīng)投入256萬(wàn)元營(yíng)銷費(fèi).
【詳解】
（1）設(shè)每件產(chǎn)品的銷售利潤(rùn)為元，則的所有可能取值為1.5，3.5，5.5，
由直方圖可得，，，三類產(chǎn)品的頻率分別為0.15、0.45、0.4，
所以，，，，
所以隨機(jī)變量的分布列為：

1.5
3.5
5.5

0.15
0.45
0.4
所以，，
故每件產(chǎn)品的平均銷售利潤(rùn)為4元；
（2）（i）由得，，
令，，，則，
由表中數(shù)據(jù)可得，，
則，
所以，，
即，
因?yàn)?，所以?br /> 故所求的回歸方程為；
（ii）設(shè)年收益為萬(wàn)元，則，
設(shè)，，
則，
當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減，
所以，當(dāng)，即時(shí)，有最大值為768，
即該廠應(yīng)投入256萬(wàn)元營(yíng)銷費(fèi)，能使得該產(chǎn)品一年的收益達(dá)到最大768萬(wàn)元.
21．（2020·全國(guó)高三其他模擬）已知橢圓：（）上的點(diǎn)到的兩焦點(diǎn)的距離之和為6，的離心率為．
（1）求的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)為，點(diǎn)在上，點(diǎn)滿足，且直線，的斜率之積為，證明：為定值．
【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析.
【詳解】
解：（1）因?yàn)闄E圓：（）上的點(diǎn)到的兩焦點(diǎn)的距離之和為6，所以，解得，
又的離心率為，所以，，
又，所以，所以的標(biāo)準(zhǔn)方程為；
（2）法一：設(shè)，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，，
因?yàn)橹本€，的斜率之積為，所以，即，
又，在橢圓上，所以，．
因?yàn)椋?br />
；
當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為（），
聯(lián)立方程得消去，得，
，
設(shè)，則，．
因?yàn)橹本€，的斜率之積為，
所以，
即，得，滿足．
因?yàn)椋?br /> 所以


．
綜上，為定值．
法二：設(shè)，，因?yàn)橹本€，的斜率之積為，
所以，即．
因?yàn)镸，在橢圓：上，
所以，，
可得 ①，
②，
由①②得，所以，即．
由①②得，得．
因?yàn)椋?br /> 所以



，
因此為定值．
22．（2020·全國(guó)高三其他模擬）已知函數(shù)，其中.
（1）討論的單調(diào)性.
（2）是否存在，對(duì)任意，總存在，使得成立？若存在，求出實(shí)數(shù)的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】（1）答案見(jiàn)解析；（2）存在，.
【詳解】
（1）由，得，
當(dāng)時(shí)，對(duì)任意，，所以單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，令，得，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
（2）存在滿足條件的實(shí)數(shù)，且實(shí)數(shù)的值為，
理由如下：
①當(dāng)，且時(shí)，由（1）知，在上單調(diào)遞減，
則時(shí)，，
則，
所以此時(shí)不滿足題意；
②當(dāng)時(shí)，由（1）知，在上，單調(diào)遞增，
在上，單調(diào)遞減，
則當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，對(duì)任意，
，
所以此時(shí)不滿足題意；
③當(dāng)時(shí)，令（），
由（1）知在上單調(diào)遞增，進(jìn)而知在上單調(diào)遞減，
所以，，
若對(duì)任意的，總存在，使得，
則，，即，
所以，解得，
綜上，存在滿足題意的實(shí)數(shù)，且實(shí)數(shù)的值為.


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