1.能夠根據(jù)等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式推出等比數(shù)列的常用性質(zhì).2.能夠運(yùn)用等比數(shù)列的性質(zhì)解決有關(guān)問題.3.能夠運(yùn)用等比數(shù)列的知識(shí)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題.
基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)全過關(guān)
重難探究·能力素養(yǎng)全提升
成果驗(yàn)收·課堂達(dá)標(biāo)檢測(cè)
知識(shí)點(diǎn)　等比數(shù)列{an}的常用性質(zhì)1.若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),則　　　　　　　.?
2.an=am·　　　　(q為公比,m,n∈N*).?3.在等比數(shù)列{an}中,公比為q,每隔k項(xiàng)取出一項(xiàng),取出的項(xiàng)按原來順序組成新數(shù)列,該數(shù)列仍然是等比數(shù)列,公比為　　　　　　.?
5.a1an=a2an-1=…=aman-m+1.
可以將兩項(xiàng)的乘積進(jìn)行轉(zhuǎn)化
名師點(diǎn)睛等比數(shù)列{an}的增減性(1)當(dāng)q>1,a1>0或00知公比q>0,若a3=1,a5=4,則q=2,an=2n-3;若a3=4,a5=1,則q= ,an=25-n.
變式探究2把例1(2)的條件改為“an>0,公比q為3,a1a2a3…a30=3300”,求lg3a1+lg3a2+…+lg3a10的值.
解 由已知得a1a2a3…a30=(a1a2a3…a10)·q100(a1a2a3…a10)·q200(a1a2a3…a10)=q300(a1a2a3…a10)3=3300,又q=3,∴a1a2a3…a10=1,則lg3a1+lg3a2+…+lg3a10=lg3(a1a2…a10)=lg31=0.
規(guī)律方法　應(yīng)用等比數(shù)列性質(zhì)的解題策略(1)等比數(shù)列的性質(zhì)是等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式等基礎(chǔ)知識(shí)的推廣與變形,熟練掌握和靈活運(yùn)用這些性質(zhì)可以有效、方便、快捷地解決許多等比數(shù)列問題.(2)應(yīng)用等比數(shù)列的性質(zhì)解題的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)問題中涉及的數(shù)列各項(xiàng)的下標(biāo)之間的關(guān)系,充分利用①若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),則aman=apaq;②若m+n=2t(m,n,t∈N*),則aman= 進(jìn)行求解.
探究點(diǎn)二　等比數(shù)列的綜合問題
【例2】 有四個(gè)數(shù),其中前三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列,后三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列,并且第一個(gè)數(shù)和第四個(gè)數(shù)的和是16,中間兩個(gè)數(shù)的和是12.求這四個(gè)數(shù).分析 用兩個(gè)未知數(shù)表示這四個(gè)數(shù),結(jié)合已知條件列方程組.
變式探究1將本例中的條件改為“有四個(gè)實(shí)數(shù),前三個(gè)數(shù)依次成等比數(shù)列,它們的積是-8,后三個(gè)數(shù)依次成等差數(shù)列,它們的積為-80”,求這四個(gè)數(shù).
探究點(diǎn)三　等比數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用
【例3】 [北師大版教材習(xí)題]某工廠2016年產(chǎn)值為200萬元,計(jì)劃從2017年開始,每年的產(chǎn)值比上一年增長(zhǎng)20%.問至少從哪年開始,該廠的年產(chǎn)值可超過1 200萬元?(lg 2≈0.3,lg 6≈0.78)
解 每年的產(chǎn)值構(gòu)成等比數(shù)列{an},a1=200,公比q=1+20%=1.2.由an=200×1.2n-1>1 200,得n>1+lg1.26≈1+9.75=10.75,n≥11.即至少從2026年開始,該廠的年產(chǎn)值可超過1 200萬元.
規(guī)律方法　等比數(shù)列實(shí)際應(yīng)用的求解策略(1)一般地,產(chǎn)值增長(zhǎng)率問題、銀行利息問題、細(xì)胞繁殖等實(shí)際問題,往往與等比數(shù)列有關(guān),可建立等比數(shù)列模型進(jìn)行求解.(2)建立等比數(shù)列模型進(jìn)行運(yùn)算時(shí),往往涉及指數(shù)、對(duì)數(shù)方程或不等式的問題,要注意運(yùn)算的正確性,還要善于進(jìn)行估算,對(duì)于近似計(jì)算問題,答案要符合實(shí)際問題的需要.
變式訓(xùn)練一種專門占據(jù)內(nèi)存的計(jì)算機(jī)病毒開始時(shí)占據(jù)內(nèi)存2 KB,然后每3分鐘自身復(fù)制一次,復(fù)制后所占內(nèi)存是原來的2倍,那么　　　　分鐘后,該病毒占據(jù)內(nèi)存64 MB(1 MB=210 KB).?
答案 45　解析 由題意,得每3分鐘病毒占的內(nèi)存容量構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列,設(shè)病毒占據(jù)內(nèi)存64 MB時(shí)自身復(fù)制了n次,即2×2n=64×210=216,解得n=15,從而所用時(shí)間為15×3=45(分鐘).
1.知識(shí)清單:(1)等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用.(2)等比數(shù)列中項(xiàng)的設(shè)解技巧.(3)等比數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用.2.方法歸納:定義法、類比、分類討論.
1.已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an},a2a9=8,a5=2,則公比q為(　　)
2.在等比數(shù)列{an}中,a4=24,a6=6,則a5=(　　)A.12B.-12C.±12D.15
3.對(duì)任意等比數(shù)列{an},下列說法一定正確的是(　　)A.a1,a3,a9成等比數(shù)列B.a2,a3,a6成等比數(shù)列C.a2,a4,a8成等比數(shù)列D.a3,a6,a9成等比數(shù)列
解析 根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì),若m+n=2k(m,n,k∈N*),則am,ak,an成等比數(shù)列.故a3,a6,a9成等比數(shù)列.
4.試寫出一個(gè)無窮等比數(shù)列{an},同時(shí)滿足:(1)a4=1;(2)數(shù)列{|an|}單調(diào)遞減;(3)數(shù)列{an}不具有單調(diào)性,則當(dāng)n∈N*時(shí),an=　　　　　.?
解析 由題意可設(shè)an=a4·qn-4=qn-4,因?yàn)閿?shù)列{an}不具有單調(diào)性,數(shù)列{|an|}單

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4.3 等比數(shù)列

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