10.5 拋物線（精練）（基礎(chǔ)版）1．（2022·云南）已知拋物線上的點到該拋物線焦點的距離為2，則（       ）A．1   B．2   C．4   D．6【答案】C【解析】由，可得其焦點，準線方程為，因為點到該拋物線焦點的距離為2，所以點到拋物線準線的距離為，則，解得，故選：C.2．（2022·云南·羅平縣）若拋物線上的一點到它的焦點的距離為8，則（       ）A．6 B．8 C．12 D．16【答案】D【解析】由題意，拋物線上的一點到它的焦點的距離為8，根據(jù)拋物線的定義，可得，解得.故選：D.3．（2022·安徽·高三開學考試）設(shè)拋物線上一點到軸的距離是1，則點到該拋物線焦點的距離是（       ）A．3 B．4 C．7 D．13【答案】B【解析】因為，則準線方程為，依題意，點到該拋物線焦點的距離等于點到其準線的距離，即.故選: B.4．（2022·全國·課時練習）某學習小組研究一種如圖1所示的衛(wèi)星接收天線，發(fā)現(xiàn)其軸截面為圖2所示的拋物線形，在軸截面內(nèi)的衛(wèi)星信號波束呈近似平行的狀態(tài)射入，經(jīng)反射聚焦到焦點處，已知衛(wèi)星接收天線的口徑（直徑）為，深度為，則該衛(wèi)星接收天線軸截面所在的拋物線的焦點到頂點的距離為（       ）A． B． C． D．【答案】B【解析】建立如圖所示的平面直角坐標系，衛(wèi)星接收天線的軸截面的上、下頂點分別記為，，設(shè)軸截面所在的拋物線的標準方程為，由已知條件，得點，所以，解得，所以所求焦點坐標為，因此衛(wèi)星接收天線的軸截面所在的拋物線的焦點到頂點的距離為．故選：B5．（2022·河南平頂山）已知拋物線，為該拋物線上一點，B為圓上的一個動點，則的最小值為___________.【答案】3【解析】由題意得：,拋物線焦點為，準線為，則 ,當A,F,C三點共線時取等號， 而，故的最小值為，故答案為：36．（2022·全國·課時練習）已知點為拋物線上的一個動點，設(shè)點到拋物線的準線的距離為，點，則的最小值為______．【答案】【解析】拋物線的焦點，準線方程為．過點作拋物線準線的垂線，垂足為點，由拋物線的定義可得，則，當且僅當為線段與拋物線的交點時，等號成立，因此，的最小值為.故答案為：.7．（2023·全國·高三專題練習）已知P為拋物線上任意一點，F為拋物線的焦點，為平面內(nèi)一定點，則的最小值為__________．【答案】5【解析】由題意，拋物線的準線為，焦點坐標為，過點向準線作垂線，垂足為，則，當共線時，和最??；過點向準線作垂線，垂足為，則，所以最小值為5.故答案為：5.1．（2022·云南）一個正三角形的兩個頂點在拋物線上，另一個頂點是坐標原點，如果這個三角形的面積為，則該拋物線的標準方程為______．【答案】【解析】設(shè)正三角形邊長為x．由三角形的面積公式：，解得：．由拋物線的對稱性，可知正三角形在拋物線上的兩點關(guān)于x軸對稱，則當時，三角形的一個頂點坐標為，代入得；當時，三角形的一個頂點坐標為，代入得．綜上，.所以拋物線的標準方程為．故答案為：2．（2021·海南 ）已知拋物線的準線方程是，則拋物線的標準方程是__________．【答案】【解析】由題意，設(shè)拋物線的標準方程為，準線方程是， 拋物線的準線方程為， ，解得，即所求拋物線的標準方程為故答案為：3．（2021·北京二中 ）已知拋物線過點，則其準線方程為___________.【答案】 【解析】拋物線經(jīng)過點，，解得：，拋物線的準線方程為，故答案為：．4．（2022·福建泉州 ）已知拋物線上有一點與焦點之間的距離為3，則___________.【答案】2【解析】由題意可得：準線為，故，則故答案為：2．5．（2022·湖南 ）已知拋物線的焦點為，準線與軸交于點，點是拋物線上一點，到準線的距離為，且，則拋物線的方程為____________.【答案】【解析】依題意可得，所以拋物線的方程為.故答案為：6．（2022·全國· 單元測試）位于德國東部薩克森州的萊科勃克橋（如圖所示）有“仙境之橋”之稱，它的橋形可以近似地看成拋物線，該橋的高度為5m，跨徑為12m，則橋形對應(yīng)的拋物線的焦點到準線的距離為______m．【答案】【解析】以拋物線的最高點O為坐標原點，建立如圖所示的平面直角坐標系，設(shè)拋物線的解析式為，，因為拋物線過點，所以，可得，所以拋物線的焦點到準線的距離為．故答案為：7．（2022·黑龍江）設(shè)拋物線的頂點在坐標原點，焦點在坐標軸上，點在拋物線上，，若以線段為直徑的圓過坐標軸上距離原點為1的點，試寫出一個滿足題意的拋物線的方程為______．【答案】（答案不唯一）【解析】由題意，若拋物線的焦點在軸正半軸上，則可設(shè)拋物線方程為（），，，由焦半徑公式可知，圓的半徑為，得，并且線段中點的縱坐標是，所以以線段為直徑的圓與軸相切，切點坐標為或，所以，即點的坐標為，代入拋物線方程（）得，解得或，即當點在軸正半軸上時，拋物線方程是或.同理，當點在軸負半軸時，拋物線方程為或，當點F在軸正半軸時，拋物線方程為或，當點在軸負半軸時，拋物線方程為或．故答案為：（答案不唯一）. 8．（2022·福建）根據(jù)下列條件寫出拋物線的標準方程：(1)經(jīng)過點；(2)焦點為直線與坐標軸的交點．【答案】(1)或(2)或【解析】（1）當拋物線的標準方程為時，將點代入，得，即所求拋物線的標準方程為；當拋物線的標準方程為時，將點代入，得，即所求拋物線的標準方程為．綜上，拋物線的標準方程為或．（2）令，得；令，得所以拋物線的焦點坐標為或．當焦點為時，拋物線的標準方程為．當焦點為時，拋物線的標準方程為．綜上，拋物線的標準方程為或．1（2022·陜西渭南·）已知拋物線與直線有且僅有一個交點，則（       ）A．4 B．2 C．0或4 D．8【答案】C【解析】聯(lián)立得：，當時，交點為，滿足題意；當時，由，解得，綜上可知： 或，故選：C2．（2022·貴州黔東南 ）在平面直角坐標系中，過點的直線交拋物線C：于不同的兩點，則（       ）A．16 B．32 C．64 D．56【答案】B【解析】易知直線斜率存在，設(shè)：，聯(lián)立方程整理得所以所以故選：B.3．（2022·四川自貢 ）過點與拋物線只有一個公共點的直線有（       ）A．1條 B．2條 C．3條 D．無數(shù)條【答案】C【解析】由已知，可得①當直線過點且與軸平行時，方程為，與拋物線只有一個公共點；②當直線斜率不存在時，方程為，與拋物線只有一個公共點；③當直線斜率存在時，設(shè)直線方程為，由可得，，，解得，故直線方程.所以存在3條直線，，滿足過點與拋物線只有一個公共點.故選：C.4．（2022·上海徐匯 ）已知直線l過點，且與拋物線有且只有一個公共點，則符合要求的直線l的條數(shù)為（       ）條A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【解析】當直線平行于軸（即拋物線的）時，直線與拋物線只有一個公共點，直線與拋物線的軸不平行時，由于在拋物線的外部（與焦點在不同區(qū)域），因此過點有的拋物線的切線有兩條．綜上，符合要求的直線有3條．故選：D．5．（2022·哈爾濱）已知拋物線C的方程為，直線l過定點，若拋物線C與直線l只有一個公共點，求直線l的方程．【答案】或或【解析】由題意知直線l的斜率存在，設(shè)直線的斜率為k．當時，直線l的方程為，此時直線l與拋物線的對稱軸平行，顯然只有一個公共點；當時，設(shè)直線l的方程為，由，得，因為拋物線C與直線l只有一個公共點，所以，解得或，所以直線l的方程為或，即或．綜上，直線l的方程為或或．1．（2022·河南·高三開學考試（文））過拋物線的焦點的直線交拋物線于兩點，若的中點的橫坐標為2，則線段的長為（       ）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【解析】設(shè)點的橫坐標分別為，則.由過拋物線的焦點的弦長公式知：.故選：C2（2023·全國·高三專題練習）直線過拋物線的焦點，且與交于兩點，則（       ）A．6 B．8 C．2 D．4【答案】B【解析】因為拋物線的焦點坐標為，又直線過拋物線的焦點F，所以，拋物線的方程為，由，得，所以，所以．故選：B3．（2023·全國·高三專題練習）斜率為的直線過拋物線的焦點，且與C交于A，B兩點，則三角形的面積是（O為坐標原點）（       ）A． B． C． D．【答案】B【解析】拋物線的焦點坐標為，則斜率為的直線方程為：，與拋物線方程聯(lián)立得：，設(shè)，不妨設(shè)，，則，點O到直線AB的距離為，所以△AOB的面積為故選：B4．（2022·廣東·深圳外國語學校高三階段練習）若直線l經(jīng)過拋物線的焦點，與該拋物線交于A，B兩點，且線段AB的中點的縱坐標為3，則線段AB的長為______.【答案】8【解析】拋物線的焦點為，直線與拋物線交于兩點，則其斜率存在，設(shè)的方程為，，則由得，，，又，所以，即，，所以．故答案為：8．5．（2022·全國·專題練習）設(shè)為拋物線：的焦點，其準線與軸的交點為過點且傾斜角為的直線交拋物線于兩點，則的面積為______.【答案】【解析】拋物線：的焦點，準線，所以，過點且傾斜角為的直線方程為：，即0，設(shè)聯(lián)立得，所以，所以點到直線0的距離所以．故答案為：
 

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