?解密24 高考排列組合的技巧
【考點(diǎn)解密】
有關(guān)計(jì)數(shù)問(wèn)題在考試中經(jīng)常直接和間接的考查，其命題常以實(shí)際問(wèn)題為背景，考查排列組合的綜合應(yīng)用，如均分或不均分問(wèn)題，特殊元素或位置問(wèn)題、相鄰或不相鄰問(wèn)題等．求解的策略是先組合后排列，同時(shí)按元素的性質(zhì)分類或按事情的發(fā)生過(guò)程分步，必要時(shí)可構(gòu)造模型，或畫樹形圖求解．

【核心題型】
題型一：捆綁法
1．（2023·安徽·統(tǒng)考一模）為慶祝中國(guó)共產(chǎn)黨第二十次全國(guó)代表大會(huì)勝利閉幕，某高中舉行“獻(xiàn)禮二十大”活動(dòng)，高三年級(jí)派出甲?乙?丙?丁?戊5名學(xué)生代表參加，活動(dòng)結(jié)束后5名代表排成一排合影留念，要求甲、乙兩人不相鄰且丙、丁兩人必須相鄰，則不同的排法共有（???）種．
A．40 B．24 C．20 D．12
【答案】B
【分析】根據(jù)相鄰問(wèn)題用捆綁法和不相鄰問(wèn)題用插空法即可求解．
【詳解】由題意得，5名代表排成一排合影留念，要求甲、乙兩人不相鄰且丙、丁兩人必須相鄰，
則不同的排法共有種，
故選：．
2．（2023秋·遼寧丹東·高三統(tǒng)考期末）從三個(gè)班級(jí)，每班隨機(jī)選派兩名學(xué)生為代表，這六名同學(xué)被隨機(jī)安排在一個(gè)圓桌會(huì)議室進(jìn)行“深度學(xué)習(xí)與復(fù)習(xí)”座談，會(huì)議室的圓桌正有好有六個(gè)座位，則同一班級(jí)的兩名同學(xué)恰好被安排在一起相鄰而坐的概率為（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】個(gè)元素圓桌環(huán)形排列的所有情況為，將需要相鄰的元素捆綁，環(huán)形排列，還要注意捆綁的兩個(gè)元素內(nèi)部也有順序.
【詳解】由題意可知，所有的情況數(shù)是種，同一班級(jí)的兩名同學(xué)恰好排在一起相鄰而坐的情況數(shù)為：首先三個(gè)班的兩名同學(xué)捆綁，形成新的三個(gè)元素，環(huán)排共有種，又每個(gè)班兩名同學(xué)可以排序，則有種，同一班級(jí)的兩名同學(xué)恰好被安排在一起相鄰而坐的概率為.
故選：C
3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在某個(gè)單位迎新晚會(huì)上有A、B、C、D、E、F6個(gè)節(jié)目，單位為了考慮整體效果，對(duì)節(jié)目演出順序有如下具體要求，節(jié)目C必須安排在第三位，節(jié)目D、F必須安排連在一起，則該單位迎新晚會(huì)節(jié)目演出順序的編排方案共有（????）種
A．36 B．48 C．60 D．72
【答案】A
【分析】根據(jù)D、F在一二位或四五位、五六位先安排D、F兩個(gè)節(jié)目，C是固定的，然后其他三個(gè)節(jié)目任意排列，由此可得．
【詳解】由題意D、F在一二位或四五位、五六位，C是固定的，其他三個(gè)節(jié)目任意排列，因此方法數(shù)為．
故選：A．

題型二、插空法
4．（2023·重慶沙坪壩·高三重慶八中?？茧A段練習(xí)）斐波那契數(shù)列（Fibonacci sequence），又稱黃金分割數(shù)列，因數(shù)學(xué)家萊昂納多·斐波那契（Leonardo Fibonacci）以兔子繁殖為例子而引入，故又稱為“兔子數(shù)列”，指的是這樣一個(gè)數(shù)列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、…．小利是個(gè)數(shù)學(xué)迷，她在設(shè)置手機(jī)的數(shù)字密碼時(shí)，打算將斐波那契數(shù)列的前5個(gè)數(shù)字1，1，2，3，5進(jìn)行某種排列得到密碼．如果排列時(shí)要求兩個(gè)1不相鄰，那么小利可以設(shè)置的不同密碼有（????）
A．24個(gè) B．36個(gè) C．72個(gè) D．60個(gè)
【答案】B
【分析】根據(jù)要求，現(xiàn)將數(shù)字2，3，5進(jìn)行全排列，然后將兩個(gè)1進(jìn)行插空即可求解.
【詳解】由題意可知：排列時(shí)要求兩個(gè)1不相鄰，
則現(xiàn)將數(shù)字2，3，5進(jìn)行全排列，有種；
再將兩個(gè)1進(jìn)行插空，則有種，
所以小利可以設(shè)置的不同密碼有種，
故選：.
5．（2023·陜西西安·統(tǒng)考一模）公元五世紀(jì)，數(shù)學(xué)家祖沖之估計(jì)圓周率的范圍是：，為紀(jì)念祖沖之在圓周率方面的成就，把3.1415926稱為“祖率”，這是中國(guó)數(shù)學(xué)的偉大成就.甲同學(xué)是個(gè)數(shù)學(xué)迷，他在設(shè)置手機(jī)的數(shù)字密碼時(shí)，打算將圓周率的前6位數(shù)字3，1，4，1，5，9進(jìn)行某種排列得到密碼.如果排列時(shí)要求兩個(gè)1不相鄰，那么甲同學(xué)可以設(shè)置的不同密碼個(gè)數(shù)為（????）
A．240 B．360 C．480 D．720
【答案】A
【分析】直接利用插空法分兩步完成計(jì)算得到答案.
【詳解】先把數(shù)字3，4，5，9四個(gè)數(shù)排列，共有種排列方法，四個(gè)數(shù)排列產(chǎn)生5個(gè)空，把兩個(gè)1插到5個(gè)空里，共有種方法，根據(jù)乘法分步原理得共有種.
故選：A
6．（2022秋·福建寧德·高三?？计谀┨┥健⑷A山、衡山、恒山、嵩山是中國(guó)的五大名山，并稱為“五岳”，它們以象征中華民族的高大形象而名聞天下，段譽(yù)同學(xué)決定利用今年寒假時(shí)間，游覽以下六座名山：泰山、華山、井岡山、黃山、云臺(tái)山、五臺(tái)山．若段譽(yù)同學(xué)首先游覽云臺(tái)山，且屬于“五岳”的名山游覽順序不相鄰，則段譽(yù)同學(xué)針對(duì)這六座名山的不同游覽順序共有（????）
A．36種 B．48種 C．72種 D．120種
【答案】C
【分析】根據(jù)題意，采用插空法：先將除去泰山，華山和云臺(tái)山的三座山進(jìn)行全排，然后在這三座山的4個(gè)空格中選擇兩個(gè)空格，將泰山和華山插進(jìn)去即可.
【詳解】根據(jù)題意，分兩步完成：
因?yàn)槎巫u(yù)同學(xué)首先游覽云臺(tái)山，所以第一步先將井岡山、黃山、五臺(tái)山這三座山進(jìn)行全排列，則有種排列方法，
第二步從這三座山的4個(gè)空格中選擇兩個(gè)空格，將泰山和華山插進(jìn)去，則有種，
由分步計(jì)數(shù)原理可得：段譽(yù)同學(xué)針對(duì)這六座名山的不同游覽順序共有種，
故選：.

題型三、特殊元素法
7．（2023·河南洛陽(yáng)·洛陽(yáng)市第三中學(xué)校聯(lián)考一模）為弘揚(yáng)中國(guó)優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，某地教育局決定舉辦“經(jīng)典誦讀”知識(shí)競(jìng)賽．競(jìng)賽規(guī)則：參賽學(xué)生從《紅樓夢(mèng)》《論語(yǔ)》《史記》這3本書中選取1本參加有關(guān)該書籍的知識(shí)競(jìng)賽，且同一參賽學(xué)校的選手必須全部參加3本書籍的知識(shí)競(jìng)賽．某校決定從本校選拔出的甲、乙等5名優(yōu)秀學(xué)生中選出4人參加此次競(jìng)賽．因甲同學(xué)對(duì)《論語(yǔ)》不精通，學(xué)校決定不讓他參加該書的知識(shí)競(jìng)賽，其他同學(xué)沒(méi)有限制，則不同的安排方法有（????）種．
A．128 B．132 C．156 D．180
【答案】B
【分析】根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，對(duì)甲進(jìn)行分類即可，
【詳解】根據(jù)題意，學(xué)校從5名優(yōu)秀學(xué)生中選出4人去參加3本書籍的知識(shí)競(jìng)賽，且每本書的知識(shí)競(jìng)賽都要有該校學(xué)生參加，則必會(huì)有兩人去參加同一書籍的知識(shí)競(jìng)賽．①若選出的4名學(xué)生中不含甲同學(xué)，在這4名學(xué)生中任意取2人進(jìn)行捆綁，則不同的安排方法共有種；②若選出的4名學(xué)生中含有甲同學(xué)，則在剩余的4名優(yōu)秀學(xué)生中再抽取3人，共有種方法；若甲同學(xué)和其中1名學(xué)生去參加同一書籍的知識(shí)競(jìng)賽，則共有種方法；若甲同學(xué)單獨(dú)一人去參加某本書的知識(shí)競(jìng)賽，則共有種方法．根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理可得，不同的安排方法共有種．綜上所述，不同的安排方法共有種．
故選：B．
8．（2023春·湖北·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）中國(guó)古代中的“禮、樂(lè)、射、御、書、數(shù)”合稱“六藝”“禮”主要指德育“樂(lè)”主要指美育“射”和“御”就是體育和勞動(dòng)“書”指各種歷史文化知識(shí)“數(shù)”指數(shù)學(xué).某校國(guó)學(xué)社團(tuán)開(kāi)展“六藝”講座活動(dòng)，每藝安排一次講座，共講六次，講座次序要求“禮”在第一次，“射”和“數(shù)”相鄰，“射”和“御”不相鄰，則“六藝”講座不同的次序共有（?????）種
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)題意“禮”的次序一定，因此分類考慮“射”的次序排法，再考慮“數(shù)”以及“御”的次序牌法，根據(jù)分類加法計(jì)算原理可求得答案.
【詳解】由題意，“禮”排第一，當(dāng)“射”排第二或六時(shí)，“數(shù)”只有一種次序，其余全排列，有種次序，
當(dāng)“射”排第三、四、五時(shí)，“數(shù)”有兩種次序可選，“御”也有兩種次序可選，其余全排列，
此時(shí)有種次序，
故“六藝”課程講座不同的排課順序共有種，
故選：A．
9．（2023秋·廣東揭陽(yáng)·高三統(tǒng)考期末）已知甲、乙兩個(gè)家庭排成一列測(cè)核酸，甲家庭是一對(duì)夫妻帶1個(gè)小孩，乙家庭是一對(duì)夫妻帶2個(gè)小孩.現(xiàn)要求2位父親位于隊(duì)伍的兩端，3個(gè)小孩要排在一起，則不同的排隊(duì)方式的種數(shù)為（????）
A．288 B．144 C．72 D．36
【答案】C
【分析】方法1：運(yùn)用捆綁法及分步乘法計(jì)算即可.分步排隊(duì)方法：2位父親排隊(duì)2位母親排隊(duì)3個(gè)小孩“捆綁”內(nèi)部排隊(duì)在父親母親產(chǎn)生的3個(gè)空中選一個(gè)空將3個(gè)小孩放進(jìn)去.
方法2：運(yùn)用捆綁法及分步乘法計(jì)算即可.分步排隊(duì)方法：2位父親排隊(duì)3個(gè)小孩“捆綁”與2位母親排隊(duì)3個(gè)小孩“捆綁”內(nèi)部排隊(duì).
【詳解】方法1：2位父親的排隊(duì)方式種數(shù)為，2位母親的排隊(duì)方式種數(shù)為，3個(gè)小孩的排隊(duì)方式種數(shù)為，將3個(gè)小孩當(dāng)成一個(gè)整體，放進(jìn)父母的中間共有種排隊(duì)方式，所以不同的排隊(duì)方式種數(shù)為.
方法2：2位父親的排隊(duì)方式種數(shù)為，將3個(gè)小孩當(dāng)成一個(gè)整體與2位母親的排隊(duì)方式種數(shù)為，3個(gè)小孩的排隊(duì)方式種數(shù)為，所以不同的排隊(duì)方式種數(shù)為.
故選：C.

題型四、間接法
10．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）教育部于2022年開(kāi)展全國(guó)高校書記校長(zhǎng)訪企拓崗促就業(yè)專項(xiàng)行動(dòng)，某市3所高校的校長(zhǎng)計(jì)劃拜訪當(dāng)?shù)仄髽I(yè)，共有4家企業(yè)可供選擇.若每名校長(zhǎng)拜訪3家企業(yè)，每家企業(yè)至少接待1名校長(zhǎng)，則不同的安排方法共有（????）
A．60種 B．64種 C．72種 D．80種
【答案】A
【分析】按照間接法，先計(jì)算3名校長(zhǎng)在4家企業(yè)任取3家企業(yè)的所有安排情況，然后減去3名校長(zhǎng)選的3家企業(yè)完全相同的安排方法數(shù)，即可求得所需安排情況種數(shù).
【詳解】解：3名校長(zhǎng)在4家企業(yè)任取3家企業(yè)的所有安排情況為：種
又每家企業(yè)至少接待1名校長(zhǎng)，故3名校長(zhǎng)選的3家企業(yè)，不全相同，
因?yàn)?名校長(zhǎng)選的3家企業(yè)完全相同有種，
則不同的安排方法共有：種.
故選：A.
11．（2022秋·新疆·高三八一中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）2022年第24屆冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)（即2022年北京冬季奧運(yùn)會(huì)）的成功舉辦，展現(xiàn)了中國(guó)作為一個(gè)大國(guó)的實(shí)力和擔(dān)當(dāng)，“一起向未來(lái)”更體現(xiàn)了中國(guó)推動(dòng)構(gòu)建人類命運(yùn)共同體的價(jià)值追求.該屆冬奧會(huì)分北京、延慶、張家口三個(gè)賽區(qū)，甲、乙、丙、丁四名學(xué)生分別去這三個(gè)賽區(qū)擔(dān)任志愿者，每個(gè)人只去一個(gè)賽區(qū)，每個(gè)賽區(qū)至少安排1人.學(xué)生甲不被安排到張家口賽區(qū)做志愿者且乙不被安排到延慶賽區(qū)做志愿者的方法數(shù)為（???????）
A．17 B．29 C．56 D．13
【答案】A
【分析】先求出所有可能安排的方法數(shù)，再應(yīng)用間接法求甲不被安排到張家口且乙不被安排到延慶的方法數(shù).
【詳解】由題意，任意安排的方法數(shù)有種，
甲被安排到張家口有種，同理乙被安排到延慶有種，
甲被安排到張家口，同時(shí)乙被安排到延慶有種，
所以甲不被安排到張家口且乙不被安排到延慶的方法數(shù)為種.
故選：A
12．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）志愿服務(wù)是全員核酸檢測(cè)工作的重要基礎(chǔ)和保障，某核酸檢測(cè)站點(diǎn)需要連續(xù)六天有志愿者參加服務(wù)，每天只需要一名志愿者，現(xiàn)有甲、乙、丙、丁、戊、己名志愿者，計(jì)劃依次安排到該站點(diǎn)參加服務(wù)，要求甲不安排第一天，乙和丙在相鄰兩天參加服務(wù)，則不同的安排方案共有（????）
A．種 B．種
C．種 D．種
【答案】D
【分析】考慮乙和丙相鄰，以及乙和丙相鄰且甲排第一天的情況，結(jié)合捆綁法與間接法可求得結(jié)果.
【詳解】若乙和丙在相鄰兩天參加服務(wù)，不同的排法種數(shù)為，
若乙和丙在相鄰兩天且甲安排在第一天參加服務(wù)，不同的排法種數(shù)為，
由間接法可知，滿足條件的排法種數(shù)為種.
故選：D.

題型五、隔板法
13．（2021·北京·高三強(qiáng)基計(jì)劃）如果一個(gè)十位數(shù)F的各位數(shù)字之和為81，則稱F是一個(gè)“好數(shù)”，則“好數(shù)”的個(gè)數(shù)為（????）
A．48618個(gè) B．48619個(gè)
C．48620個(gè) D．以上答案都不對(duì)
【答案】B
【分析】利用隔板法可求“好數(shù)”的個(gè)數(shù).
【詳解】設(shè)好數(shù)，則，
設(shè)，則，且，
考慮的非負(fù)整數(shù)解的個(gè)數(shù)，去掉對(duì)應(yīng)的一組解，所求個(gè)數(shù)為個(gè)．
故選：B.
14．（2022·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考三模）近日，上海疫情形勢(shì)嚴(yán)峻，市疾控中心在我市四家三甲醫(yī)院選派多名醫(yī)護(hù)人員支援上海，抗擊疫情．其中，需要醫(yī)生8名，現(xiàn)要求每所醫(yī)院至少抽調(diào)一名醫(yī)生，則不同的名額分配方法種數(shù)為（????）
A．36 B．35 C．32 D．30
【答案】B
【分析】相同元素的分組，用“隔板法”.
【詳解】將8個(gè)元素站成一排，一共產(chǎn)生了9個(gè)空，去掉兩端的空，現(xiàn)在7個(gè)空中插入3個(gè)擋板，共有放置方法為．
故選：B．
15．（2021·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知兩個(gè)實(shí)數(shù)集與，若從到的映射，使得集合中的每個(gè)元素都有原象（如果A中元素a與B中元素b對(duì)應(yīng)，a即為b的原象），且 ，則這樣的映射共有（???????）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由題意將中元素分為非空的組即可.
【詳解】不妨設(shè)，將中元素按順序分為非空的組，
定義映射，使第組的元素在之下的象都是)，易知這樣的滿足題設(shè)要求，每個(gè)這樣的分組都一一對(duì)應(yīng)滿足條件的映射，
于是滿足題設(shè)要求的映射的個(gè)數(shù)與按號(hào)碼順序分為組的分法數(shù)相等，即在的個(gè)空中插入個(gè)隔板，
故的分法數(shù)為，則這樣的映射共有.
故選：D.


題型六、倍縮法解決部分定序問(wèn)題
16．（2022秋·貴州貴陽(yáng)·高三貴陽(yáng)一中?？茧A段練習(xí)）高三年級(jí)某班組織元旦晚會(huì)，共準(zhǔn)備了甲、乙、丙、丁、戊五個(gè)節(jié)目，出場(chǎng)時(shí)要求甲、乙、丙三個(gè)節(jié)目順序?yàn)椤凹住⒁?、丙”或“丙、乙、甲”（可以不相鄰），則這樣的出場(chǎng)排序有（????）
A．24種 B．40種 C．60種 D．84種
【答案】B
【分析】先求出五個(gè)節(jié)目的全排列有種情況，要求甲、乙、丙有兩種固定的出場(chǎng)順序，則除以甲乙丙的全排列，再乘以固定的順序種類即可得到結(jié)果.
【詳解】五個(gè)元素的全排列數(shù)為，由于要求甲、乙、丙在排列中順序?yàn)椤凹?、乙、丙”或“丙、乙、甲?2種排法，所以滿足條件的排法有.
故選：B．
17．（2022·河南鄭州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）某學(xué)校文藝匯演準(zhǔn)備從舞蹈、小品、相聲、音樂(lè)、魔術(shù)、朗誦6個(gè)節(jié)目中選取5個(gè)進(jìn)行演出．要求舞蹈和小品必須同時(shí)參加，且他們的演出順序必須滿足舞蹈在前、小品在后．那么不同的演出順序種數(shù)有（????）
A．240種 B．480種 C．540種 D．720種
【答案】A
【分析】先從4個(gè)節(jié)目中選3個(gè)，再按照定序排列即可求解.
【詳解】先從相聲、音樂(lè)、魔術(shù)、朗誦4個(gè)節(jié)目中選3個(gè)，有種，再把5個(gè)節(jié)目排列且滿足舞蹈在前、小品在后，
有，總共有種.
故選：A.
18．（2020·河北張家口·統(tǒng)考二模）今年3月10日湖北武漢某方艙醫(yī)院“關(guān)門大吉”，某省馳援湖北“抗疫”的9名身高各不相同的醫(yī)護(hù)人員站成一排合影留念，慶祝圓滿完成“抗疫”任務(wù)，若恰好從中間往兩邊看都依次變低，則身高排第4的醫(yī)護(hù)人員和最高的醫(yī)護(hù)人員相鄰的概率為（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】將身高從低到高的9個(gè)人依次編號(hào)為1，2，3，4，5，6，7，8，9，則9號(hào)定在正中間，兩邊是四個(gè)元素的定序排列，6號(hào)與9號(hào)分左右兩邊相鄰，與6在同一邊的另外3個(gè)元素(從1，2，3，4，5種任選3個(gè))定序排列，另一邊的四個(gè)元素定序排列， 最后根據(jù)古典概型的概率公式可得答案.
身高最高
【詳解】將身高從低到高的9個(gè)人依次編號(hào)為1，2，3，4，5，6，7，8，9，
則9號(hào)必須排在正中間，從其余8個(gè)人中任選4人排在9號(hào)的左邊，剩下的4個(gè)人排在9號(hào)的右邊，有種，
當(dāng)排名第四的6號(hào)排在最高的9號(hào)的左邊時(shí)，從1，2，3，4，5中任選3個(gè)排在6號(hào)的左邊，其余四個(gè)排在9號(hào)的右邊，有種，同理當(dāng)當(dāng)排名第四的6號(hào)排在最高的9號(hào)的右邊時(shí)，也有10種，
所以身高排名第四的6號(hào)與最高的9號(hào)相鄰的排法有10+10=20種，
所以身高排第4的醫(yī)護(hù)人員和最高的醫(yī)護(hù)人員相鄰的概率為.
故選：A.
【點(diǎn)睛】本題考查了排列中的定序問(wèn)題，考查了古典概型的概率公式，屬于中檔題.


題型七、不平均分組問(wèn)題
19．（2023·重慶·統(tǒng)考一模）2022年8月某市組織應(yīng)急處置山火救援行動(dòng)，現(xiàn)從組織好的5支志愿團(tuán)隊(duì)中任選1支救援物資接收點(diǎn)服務(wù)，另外4支志愿團(tuán)隊(duì)分配給“傳送物資、砍隔離帶、收撿垃圾”三個(gè)不同項(xiàng)目，每支志愿團(tuán)隊(duì)只能分配到1個(gè)項(xiàng)目，且每個(gè)項(xiàng)目至少分配1個(gè)志愿團(tuán)隊(duì)，則不同的分配方案種數(shù)為（????）
A．36 B．81 C．120 D．180
【答案】D
【分析】先從5支志愿團(tuán)隊(duì)中任選1支救援物資接收點(diǎn)服務(wù)，再將4支志愿團(tuán)隊(duì)分配給“傳送物資、砍隔離帶、收撿垃圾”三個(gè)不同項(xiàng)目，最后根據(jù)分步乘法原理求解即可.
【詳解】先從5支志愿團(tuán)隊(duì)中任選1支救援物資接收點(diǎn)服務(wù)，有種不同的選派方案，
再將剩下的4支志愿團(tuán)隊(duì)分配給“傳送物資、砍隔離帶、收撿垃圾”三個(gè)不同項(xiàng)目，
有種不同的選派方案，
所以，根據(jù)分步乘法原理，不同的安排方案有種.
故選：.
20．（2022秋·云南·高三云南師大附中校聯(lián)考階段練習(xí)）中國(guó)空間站(China Space Station)的主體結(jié)構(gòu)包括天和核心艙、問(wèn)天實(shí)驗(yàn)艙和夢(mèng)天實(shí)驗(yàn)艙.2022年10月31日15：37分，我國(guó)將“夢(mèng)天實(shí)驗(yàn)艙”成功送上太空，完成了最后一個(gè)關(guān)鍵部分的發(fā)射，“夢(mèng)天實(shí)驗(yàn)艙”也和“天和核心艙”按照計(jì)劃成功對(duì)接，成為“T”字形架構(gòu)，我國(guó)成功將中國(guó)空間站建設(shè)完畢.2023年，中國(guó)空間站將正式進(jìn)入運(yùn)營(yíng)階段.假設(shè)中國(guó)空間站要安排甲、乙等5名航天員進(jìn)艙開(kāi)展實(shí)驗(yàn)，其中“天和核心艙”安排2人，“問(wèn)天實(shí)驗(yàn)艙”安排2人，“夢(mèng)天實(shí)驗(yàn)艙”安排1人.若甲、乙兩人不能同時(shí)在一個(gè)艙內(nèi)做實(shí)驗(yàn)，則不同的安排方案共有（????）
A．9種 B．24種 C．26種 D．30種
【答案】B
【分析】先利用分組與分配的求法求得5名航天員共有種不同的安排方案，再利用分類加法計(jì)數(shù)原理求得甲、乙兩人在同一個(gè)艙內(nèi)有種不同的安排方案，從而利用間接法即可得解.
【詳解】依題意，先從5名航天員中安排1人到“夢(mèng)天實(shí)驗(yàn)艙”，則有種安排方案，
再將剩下的4人分成兩組，每組2人，則有種安排方案，
接著將這兩組分配到“天和核心艙”與“問(wèn)天實(shí)驗(yàn)艙”，有種安排方案，
所以這5名航天員的安排方案共有種，
其中甲、乙兩人同在“天和核心艙”內(nèi)的安排方案有種，同在“問(wèn)天實(shí)驗(yàn)艙”內(nèi)的安排方案有種，
即甲、乙兩人在同一個(gè)艙內(nèi)做實(shí)驗(yàn)的安排方案有種，
所以甲、乙兩人不在同一個(gè)艙內(nèi)做實(shí)驗(yàn)的安排方案有種.
故選：B.
21．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）將6名志愿者分配到3個(gè)社區(qū)參加服務(wù)工作，每名志愿者只分配到1個(gè)小區(qū)，每個(gè)小區(qū)至少分配1名志愿者，若分配到3個(gè)小區(qū)的志愿者人數(shù)均不相同，則不同的分配方案共有（????）
A．60種 B．120種 C．180種 D．360種
【答案】D
【分析】先按名額1:2:3分成三組，再全排列到各小區(qū)．
【詳解】若分配3個(gè)小區(qū)的志愿者人數(shù)均不相同，則1個(gè)小區(qū)1人，1個(gè)小區(qū)2人，1個(gè)小區(qū)3人，則不同的分配方案共有種．
故選：D．


題型八、平均分組問(wèn)題
22．（2023秋·河北衡水·高三河北衡水中學(xué)校考期末）若六位老師前去某三位學(xué)生家中輔導(dǎo)，每一位學(xué)生至少有一位老師輔導(dǎo)，每一位老師都要前去輔導(dǎo)且僅能輔導(dǎo)一位同學(xué)，由于就近考慮，甲老師不去輔導(dǎo)同學(xué)1，則有（????）種安排方法
A．335 B．100 C．360 D．340
【答案】C
【分析】把6位老師按照4，1，1或3，2，1或2，2，2人數(shù)分為三組；每種分組再分同學(xué)1安排的幾位老師輔導(dǎo)解答.
【詳解】把6位老師按照4，1，1或3，2，1或2，2，2人數(shù)分為三組；
①把6為老師平均分為3組的不同的安排方法數(shù)有
在把這三組老師安排給三位不同學(xué)生輔導(dǎo)的不同安排方案數(shù)為：，
根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理可得共有不同安排方案為：
如果把甲老師安排去輔導(dǎo)同學(xué)1的方法數(shù)為：
所以把6位老師平均安排給三位學(xué)生輔導(dǎo)且甲老師不安排去輔導(dǎo)同學(xué)1的方法數(shù)為
②把6位老師按照4，1，1分為3組給三位學(xué)生輔導(dǎo)的方法數(shù)為：
若1同學(xué)只安排了一位輔導(dǎo)老師則
若1同學(xué)安排了四位輔導(dǎo)老師則
所以把6位老師按照4，1，1分為3組給三位學(xué)生輔導(dǎo)，
甲老師不安排去輔導(dǎo)同學(xué)1的方法數(shù)為
③把6位老師按照3，2，1分為3組給三位學(xué)生輔導(dǎo)的方法數(shù)為；
若1同學(xué)只安排了一位輔導(dǎo)老師則
若1同學(xué)只安排了兩位輔導(dǎo)老師則
若1同學(xué)只安排了三位輔導(dǎo)老師則
所以把6位老師按照3，2，1分為3組給三位學(xué)生輔導(dǎo)，
甲老師不安排去輔導(dǎo)同學(xué)1的方法數(shù)為
綜上把6位老師安排給三位學(xué)生輔導(dǎo)，甲老師不安排去輔導(dǎo)同學(xué)1的方法數(shù)為
故選：C
23．（2023·遼寧·遼寧實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）某市要建立步行15分鐘的核酸采樣點(diǎn)，現(xiàn)有9名采樣工作人員全部分配到3個(gè)采樣點(diǎn)，每個(gè)采樣點(diǎn)至少分配2人，則不同的分配方法種數(shù)為（????）
A．1918 B．11508 C．12708 D．18
【答案】B
【分析】利用分組分配問(wèn)題的計(jì)算方法求解.
【詳解】分組方法共有，，三種情況，
所以分配方法共有.
故選:B.
24．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）第19屆亞運(yùn)會(huì)即將在美麗的西子湖畔杭州召開(kāi)，為了辦好這一屆“中國(guó)特色、浙江風(fēng)采、杭州韻味、精彩紛呈”的體育文化盛會(huì)，杭州亞運(yùn)會(huì)組委會(huì)招募了一批大學(xué)生志愿者.現(xiàn)安排某大學(xué)含甲、乙的6名志愿者到游泳館、射擊館和田徑館參加迎賓工作，每個(gè)場(chǎng)館安排2人，每人只能在一個(gè)場(chǎng)館工作，則甲、乙兩人被安排在不同的場(chǎng)館的概率為（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用分組分配問(wèn)題結(jié)合古典概型求解.
【詳解】6人分成3組并安排到三個(gè)場(chǎng)館工作，共有種不同的安排方法，
其中甲、乙被安排到不同場(chǎng)館有種不同的安排方法，
所以甲、乙兩人被安排在不同的場(chǎng)館的概率為，
故選:A.


題型九、部分平均分組問(wèn)題
25．（2023·重慶·統(tǒng)考二模）在張獎(jiǎng)券中有一等獎(jiǎng)張，二、三等獎(jiǎng)各張，其余張無(wú)獎(jiǎng)，將這張獎(jiǎng)券分配給個(gè)人，每人張，則不同的獲獎(jiǎng)情況數(shù)為（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】1.若中獎(jiǎng)人數(shù)為四人，則不同的獲獎(jiǎng)情況有種；
2.若中獎(jiǎng)人數(shù)為三人，則必有一人的張獎(jiǎng)券（設(shè)為）均中獎(jiǎng)，可得：
①若均為一等獎(jiǎng)，不同的獲獎(jiǎng)情況有種；
②若為二、三等獎(jiǎng)，不同的獲獎(jiǎng)情況有種；
③若為一、二或一、三等獎(jiǎng)，不同的獲獎(jiǎng)情況有種；
故中獎(jiǎng)人數(shù)為三人，則不同的獲獎(jiǎng)情況有種；
3.若中獎(jiǎng)人數(shù)為兩人，則有：
①若張一等獎(jiǎng)的獎(jiǎng)券為同一人獲得，不同的獲獎(jiǎng)情況有種；
②若張一等獎(jiǎng)的獎(jiǎng)券為不同人獲得，不同的獲獎(jiǎng)情況有種；
故中獎(jiǎng)人數(shù)為兩人，則不同的獲獎(jiǎng)情況有種；
綜上所述：不同的獲獎(jiǎng)情況數(shù)為.
故選：A.
26．（2023·河北石家莊·統(tǒng)考一模）為推進(jìn)體育教學(xué)改革和發(fā)展，提升體育教學(xué)質(zhì)量中豐富學(xué)校體育教學(xué)內(nèi)容，某市根據(jù)各學(xué)校工作實(shí)際，在4所學(xué)校設(shè)立兼職教練崗位．現(xiàn)聘請(qǐng)甲、乙等6名教練去這4所中學(xué)指導(dǎo)體育教學(xué)，要求每名教練只能去一所中學(xué)，每所中學(xué)至少有一名教練，則甲、乙分在同一所中學(xué)的不同的安排方法種數(shù)為（????）
A．96 B．120 C．144 D．240
【答案】D
【分析】根據(jù)排列組合中的分組分配方法分析即可求得答案.
【詳解】由題意可知，將甲乙捆綁在一起，當(dāng)成一個(gè)元素，則是5個(gè)不同的教練分配到4個(gè)不同的中學(xué)指導(dǎo)體育教學(xué)，
由于每名教練只能去一所中學(xué)，每所中學(xué)至少有一名教練，
則分4組的情況有種方法數(shù)，再將4組人分配到4所學(xué)校有種方法數(shù)，
則甲、乙分在同一所中學(xué)的不同的安排方法種數(shù)為.
故選：D.
27．（2023春·湖南長(zhǎng)沙·高三雅禮中學(xué)?？茧A段練習(xí)）中國(guó)空間站的主體結(jié)構(gòu)包括天和核心艙、問(wèn)天實(shí)驗(yàn)艙和夢(mèng)天實(shí)驗(yàn)艙.假設(shè)空間站要安排甲、乙、丙、丁、戊名航天員開(kāi)展實(shí)驗(yàn)，其中天和核心艙安排人，問(wèn)天實(shí)驗(yàn)艙與夢(mèng)天實(shí)驗(yàn)艙各安排人，則甲、乙兩人安排在同一個(gè)艙內(nèi)的穊率為（????）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】計(jì)算出安排人的方案總數(shù)，以及甲、乙兩人安排在同一個(gè)艙內(nèi)的方案種數(shù)，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.
【詳解】安排甲、乙、丙、丁、戊名航天員開(kāi)展實(shí)驗(yàn)，共有種不同的方案，
甲、乙兩人安排在同一個(gè)艙內(nèi)共有種不同的方案，
故甲、乙兩人安排在同一個(gè)艙內(nèi)的概率為.
故選：A.


題型十、特殊位置法
28．（2023秋·河北·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）2022中國(guó)（南昌）國(guó)際大健康產(chǎn)業(yè)大會(huì)暨博覽會(huì)將于11月25日-27日正式舉辦，此次博覽會(huì)將圍繞醫(yī)療器械、生物醫(yī)藥、中醫(yī)中藥、國(guó)際醫(yī)養(yǎng)、醫(yī)療美容、健康生活六大板塊，搭建政、商、學(xué)、醫(yī)、研，產(chǎn)的高端對(duì)話與合作平臺(tái)，推動(dòng)健康產(chǎn)業(yè)資源要素相互賦能．博覽會(huì)某日將舉辦六大板塊為主旨的六場(chǎng)報(bào)告會(huì)，其中上午四場(chǎng)，下午兩場(chǎng)，要求中醫(yī)中藥排在上午前兩場(chǎng)中任意一場(chǎng)，醫(yī)療美容和健康生活排在下午，則不同安排種數(shù)是（????）
A．24 B．96 C．144 D．192
【答案】A
【分析】根據(jù)排列的知識(shí)求得正確答案.
【詳解】依題意可知，不同安排種數(shù)是種.
故選：A
29．（2023·河南信陽(yáng)·高三統(tǒng)考期末）源于探索外太空的渴望，航天事業(yè)在21世紀(jì)獲得了長(zhǎng)足的發(fā)展．太空中的環(huán)境為某些科學(xué)實(shí)驗(yàn)提供了有利條件，宇航員常常在太空旅行中進(jìn)行科學(xué)實(shí)驗(yàn)．在某次太空旅行中，宇航員們負(fù)責(zé)的科學(xué)實(shí)驗(yàn)要經(jīng)過(guò)5道程序，其中兩道程序既不能放在最前，也不能放在最后，則該實(shí)驗(yàn)不同程序的順序安排共有（????）
A．18種 B．36種 C．72種 D．108種
【答案】B
【分析】先排兩道程序有種放法，再排剩余的3道程序有種放法，再由分步計(jì)數(shù)原理即可得出答案.
【詳解】先排兩道程序，其既不能放在最前，也不能放在最后，則在第2,3,4道程序選兩個(gè)放，共有種放法；再排剩余的3道程序，共有種放法；
則共有種放法.
故選：B.
30．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）《紅海行動(dòng)》是一部現(xiàn)代海軍題材影片，該片講述了中國(guó)海軍“蛟龍突擊隊(duì)”奉命執(zhí)行撤僑任務(wù)的故事．撤僑過(guò)程中，海軍艦長(zhǎng)要求隊(duì)員們依次完成六項(xiàng)任務(wù)，并對(duì)任務(wù)的順序提出了如下要求：重點(diǎn)任務(wù)B必須排在前三位，且任務(wù)A、D必須排在一起，則這六項(xiàng)任務(wù)的不同安排方案共有(????)
A．240種 B．188種 C．156種 D．120種
【答案】D
【分析】分任務(wù)B排在首位、第2位、第3位三種情況討論即可．
【詳解】若任務(wù)B排在首位，則將A、D捆綁在一起，A、D之間有2種排法，再將A、D看作一個(gè)整體和剩下的3個(gè)任務(wù)全排列即可，此時(shí)共有種方案；
若任務(wù)B排在第2位，則第1位可排除A、D外的3項(xiàng)任務(wù)中的任意一項(xiàng)，有3種排法；將A、D捆綁在一起，A、D之間有2種排法，再將A、D看作一個(gè)整體和剩下的2個(gè)任務(wù)全排列即可，此時(shí)共有種方案；
若任務(wù)B排在第3位，則將A、D捆綁在一起，A、D之間有2種排法，再將A、D看作一個(gè)整體有3個(gè)位置可排，再將剩下的3個(gè)任務(wù)全排列安排在剩下的3個(gè)位置即可，此時(shí)共有種方案；
故總共有48+36+36=120種方案．
故選：D

題型十一、涂色問(wèn)題
31．（2023春·湖南長(zhǎng)沙·高三長(zhǎng)郡中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，用4種不同的顏色，對(duì)四邊形中的四個(gè)區(qū)域進(jìn)行著色，要求有公共邊的兩個(gè)區(qū)域不能用同一種顏色，則不同的著色方法有（????）

A．72 B．56 C．48 D．36
【答案】C
【分析】先給四個(gè)區(qū)域標(biāo)記，然后根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理求解出著色的方法數(shù).
【詳解】將四個(gè)區(qū)域標(biāo)記為，如下圖所示：
第一步涂：種涂法，
第二步涂：種涂法，
第三步涂：種涂法，
第四步涂：種涂法，
根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，一共有種著色方法，

故選：.
32．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖所示某城區(qū)的一個(gè)街心花園，共有五個(gè)區(qū)域，中心區(qū)域E已被設(shè)計(jì)為代表城市特點(diǎn)的一個(gè)標(biāo)志性塑像，要求在周圍ABCD四個(gè)區(qū)域中種植鮮花，現(xiàn)有四個(gè)品種的鮮花可供選擇，要求每個(gè)區(qū)域只種一個(gè)品種且相鄰區(qū)域所種品種不同，則不同的種植方法的種數(shù)為（????）

A．12 B．24 C．48 D．84
【答案】D
【分析】根據(jù)四個(gè)區(qū)域所種植鮮花的種類進(jìn)行分類：種植兩種鮮花，種植三種鮮花，種植四種鮮花，然后相加即可求解.
【詳解】由題意可知：四個(gè)區(qū)域最少種植兩種鮮花，最多種植四種，所以分一下三類：
當(dāng)種植的鮮花為兩種時(shí)：和相同，和相同，共有種種植方法；
當(dāng)種植鮮花為三種時(shí)：和相同或和相同，此時(shí)共有種種植方法；
當(dāng)種植鮮花為四種時(shí)：四個(gè)區(qū)域各種一種，此時(shí)共有種種植方法，
綜上：則不同的種植方法的種數(shù)為種，
故選：.
33．（2022秋·江蘇南京·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，用種不同的顏色把圖中、、、四塊區(qū)域分開(kāi)，若相鄰區(qū)域不能涂同一種顏色，則不同的涂法共有（????）種

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】依次對(duì)區(qū)域、、、涂色，結(jié)合分類加法與分步乘法計(jì)數(shù)原理可得結(jié)果.
【詳解】先對(duì)區(qū)域涂色，有種選擇，其次再對(duì)區(qū)域涂色，有種選擇，
然后再與區(qū)域、涂色，有兩種情況：
（1）若區(qū)域、同色，有種情況；
（2）若區(qū)域、不同色，有種情況.
綜上所述，不同的涂法種數(shù)為種.
故選：C.



【高考必刷】

一、單選題
34．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考一模）“回文”是古今中外都有的一種修辭手法，如“我為人人，人人為我”等，數(shù)學(xué)上具有這樣特征的一類數(shù)稱為“回文數(shù)”?“回文數(shù)”是指從左到右與從右到左讀都一樣的正整數(shù)，如121，241142等，在所有五位正整數(shù)中，有且僅有兩位數(shù)字是奇數(shù)的“回文數(shù)”共有（????）
A．100個(gè) B．125個(gè) C．225個(gè) D．250個(gè)
【答案】C
【分析】根據(jù)給定的信息，確定五位正整數(shù)中的“回文數(shù)”特征，再由0出現(xiàn)的次數(shù)分類求解作答.
【詳解】依題意，五位正整數(shù)中的“回文數(shù)”具有：萬(wàn)位與個(gè)位數(shù)字相同，且不能為0；千位與十位數(shù)字相同，
求有且僅有兩位數(shù)字是奇數(shù)的“回文數(shù)”的個(gè)數(shù)有兩類辦法：
最多1個(gè)0，取奇數(shù)字有種，取能重復(fù)的偶數(shù)字有種，它們排入數(shù)位有種，取偶數(shù)字占百位有種，
不同“回文數(shù)”的個(gè)數(shù)是個(gè)，
最少2個(gè)0，取奇數(shù)字有種，占萬(wàn)位和個(gè)位，兩個(gè)0占位有1種，取偶數(shù)字占百位有種，
不同“回文數(shù)”的個(gè)數(shù)是個(gè)，
由分類加法計(jì)算原理知，在所有五位正整數(shù)中，有且僅有兩位數(shù)字是奇數(shù)的“回文數(shù)”共有個(gè).
故選：C
35．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）某縣扶貧辦積極響應(yīng)黨的號(hào)召，準(zhǔn)備對(duì)A鄉(xiāng)鎮(zhèn)的三個(gè)脫貧村進(jìn)一步實(shí)施產(chǎn)業(yè)幫扶，現(xiàn)有“特色種養(yǎng)”?“庭院經(jīng)濟(jì)”?“農(nóng)產(chǎn)品加工”三類幫扶產(chǎn)業(yè)，每類產(chǎn)業(yè)中都有兩個(gè)不同的幫扶項(xiàng)目，若要求每個(gè)村莊任意選取一個(gè)幫扶項(xiàng)目（不同村莊可選取同一個(gè)項(xiàng)目），那么這三個(gè)村莊所選項(xiàng)目分別屬于三類不同幫扶產(chǎn)業(yè)的概率為（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分別計(jì)算出三個(gè)村莊總的方案的種數(shù)和這三個(gè)村莊所選項(xiàng)目分別屬于三類不同幫扶產(chǎn)業(yè)的種數(shù)，然后代入古典概型的概率計(jì)算公式即可求解.
【詳解】設(shè)“特色種養(yǎng)”中的兩個(gè)幫扶項(xiàng)目為，“庭院經(jīng)濟(jì)”中的兩個(gè)幫扶項(xiàng)目為，“農(nóng)產(chǎn)品加工”中的兩個(gè)幫扶項(xiàng)目為，
所以三個(gè)村莊總的方案為種，
這三個(gè)村莊所選項(xiàng)目分別屬于三類不同幫扶產(chǎn)業(yè)，則共有種，
所以這三個(gè)村莊所選項(xiàng)目分別屬于三類不同幫扶產(chǎn)業(yè)的概率為，

故選：.
36．（2023·廣東江門·統(tǒng)考一模）衣柜里有灰色，白色，黑色，藍(lán)色四雙不同顏色的襪子，從中隨機(jī)選4只，已知取出兩只是同一雙，則取出另外兩只不是同一雙的概率為（????）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】記“取出的襪子至少有兩只是同一雙”為事件A，記“取出的襪子恰好有兩只不是同一雙”為事件B，求出，，根據(jù)條件概率公式求解即可．
【詳解】從四雙不同顏色的襪子中隨機(jī)選4只，記“取出的襪子至少有兩只是同一雙”為事件A，記“取出的襪子恰好有兩只不是同一雙”為事件B，
事件A包含兩種情況：“取出的襪子恰好有兩只是同一雙”，“取出的襪子恰好四只是兩雙”，則，
又，則，
即隨機(jī)選4只，已知取出兩只是同一雙，則取出另外兩只不是同一雙的概率為．
故選：D．
37．（2023·浙江嘉興·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）若一個(gè)三位數(shù)的各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和為8，則我們稱是一個(gè)“叔同數(shù)”，例如“125，710”都是“叔同數(shù)”.那么“叔同數(shù)”的個(gè)數(shù)共有（????）
A．34個(gè) B．35個(gè) C．36個(gè) D．37個(gè)
【答案】C
【分析】利用列舉法求出所有組合，再計(jì)算能排列出多少個(gè)“叔同數(shù)”.
【詳解】三位數(shù)各位數(shù)的和為8可能的組合有116，125，134，224，233，017，026，035，044，008，
其中三個(gè)數(shù)不同且都不為0可排出個(gè)“叔同數(shù)”，沒(méi)有0的3個(gè)數(shù)中有2個(gè)數(shù)相同，則排出個(gè)“叔同數(shù)”，有1個(gè)0其余2個(gè)數(shù)為不同的非零數(shù)字可排出個(gè)“叔同數(shù)”， 008只能排出一個(gè)“叔同數(shù)”，
所以它們排出的“叔同數(shù)”的個(gè)數(shù)共有，
故選：C
38．（2023·陜西咸陽(yáng)·陜西咸陽(yáng)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖所示，有一個(gè)“九宮格”形狀的糖果盒子，現(xiàn)有三種不同的糖果(同種糖果不加區(qū)分)，每種3顆，若把每種糖果都隨機(jī)地放到其中的三個(gè)格子，每個(gè)格子只放一顆糖果，那么每一列、每一行的糖果都是三種不同糖果的概率是（????）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用組合數(shù)求出樣本空間的樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)，再求事件每一列、每一行的糖果都是三種不同糖果所包含的樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)，利用古典概型概率公式求概率.
【詳解】若隨意擺放，先從九個(gè)格子中任取三個(gè)格子放第一種糖果有種方法，
再?gòu)挠嘞碌牧鶄€(gè)格子中任取三個(gè)放第二種糖果有種方法，
再將第三種糖果放入余下的三個(gè)格子有種方法，
由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得，共有種方法，
第一列放3種不同的糖果有6種方法， 第二列相應(yīng)的只有 2 種方法，
第三列相應(yīng)的只有1種方法，
所以每行、每列的糖果種類各不相同的放法共種，
所以每行、每列的糖果種類各不相同的概率為.
故選 ：A.
39．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）某項(xiàng)活動(dòng)安排了4個(gè)節(jié)目，每位觀眾都有6張相同的票，活動(dòng)結(jié)束后將票全部投給喜歡的節(jié)目，一位觀眾最喜歡節(jié)目A，準(zhǔn)備給該節(jié)目至少投3張，剩下的票則隨機(jī)投給其余的節(jié)目，但必須要A節(jié)目的得票數(shù)是最多的，則4個(gè)節(jié)目獲得該觀眾的票數(shù)情況有（????）種.
A．150 B．72 C．20 D．17
【答案】D
【分析】對(duì)的得票分類討論，分別求出投票方案數(shù)，再根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得.
【詳解】解：依題意，當(dāng)?shù)闷?，則只有種，
當(dāng)?shù)闷保瑒t有種，
當(dāng)?shù)闷保Ｏ碌钠笨赡芡督o個(gè)節(jié)目或個(gè)節(jié)目，則有種，
當(dāng)?shù)闷?，剩下的票可能投給個(gè)節(jié)目或個(gè)節(jié)目，則有種，
綜上可得一共有種情況.
故選：D
40．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）某校高三年級(jí)進(jìn)行校際模擬聯(lián)考，某班級(jí)考試科目為語(yǔ)文，數(shù)學(xué)，英語(yǔ)，物理，化學(xué)，生物，已知考試分為三天進(jìn)行，且數(shù)學(xué)與物理不得安排在同一天進(jìn)行，每天至少進(jìn)行一科考試.則不同的考試安排方案共有（????）
A．720種 B．3168種 C．1296種 D．5040種
【答案】D
【分析】根據(jù)每天考試科目的數(shù)量進(jìn)行分類討論，由此求得不同的考試安排方法數(shù).
【詳解】若三天考試科目數(shù)量為，則安排方法數(shù)為：
.
若三天考試科目數(shù)量為，則安排方法數(shù)為：
，
若三天考試科目數(shù)量為，則安排方法數(shù)為：
，
所以不同的考試安排方案共有種.
故選：D
41．（2023·山東濰坊·統(tǒng)考一模）過(guò)去的一年，我國(guó)載人航天事業(yè)突飛猛進(jìn)，其中航天員選拔是載人航天事業(yè)發(fā)展中的重要一環(huán).已知航天員選拔時(shí)要接受特殊環(huán)境的耐受性測(cè)試，主要包括前庭功能、超重耐力、失重飛行、飛行跳傘、著陸沖擊五項(xiàng).若這五項(xiàng)測(cè)試每天進(jìn)行一項(xiàng)，連續(xù)5天完成.且前庭功能和失重飛行須安排在相鄰兩天測(cè)試，超重耐力和失重飛行不能安排在相鄰兩天測(cè)試，則選拔測(cè)試的安排方案有（????）
A．24種 B．36種 C．48種 D．60種
【答案】B
【分析】根據(jù)特殊元素“失重飛行”進(jìn)行位置分類方法計(jì)算，結(jié)合排列組合等計(jì)數(shù)方法，即可求得總的測(cè)試的安排方案種數(shù).
【詳解】①若失重飛行安排在第一天則前庭功能安排第二天，則后面三天安排其他三項(xiàng)測(cè)試有種安排方法，
此情況跟失重飛行安排在第五天則前庭功能安排第四天安排方案種數(shù)相同；
②若失重飛行安排在第二天，則前庭功能有種選擇，超重耐力在第四、第五天有種選擇，剩下兩種測(cè)試全排列，則有種安排方法，
此情況與失重飛行安排在第四天方安排方案種數(shù)相同；
③若失重飛行安排在第三天，則前庭功能有種選擇，超重耐力在第一、第五天有種選擇，剩下兩種測(cè)試全排列，則有種安排方法；
故選拔測(cè)試的安排方案有種.
故選：B.

二、填空題
42．（2023·河南焦作·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）現(xiàn)有6個(gè)三好學(xué)生名額，計(jì)劃分到三個(gè)班級(jí)，則恰有一個(gè)班沒(méi)有分到三好學(xué)生名額的概率為_(kāi)__________.
【答案】
【分析】分只有一個(gè)班分到名額、恰有兩個(gè)班分到名額和三個(gè)班都分到了名額三種情況求出總的情況，然后利用古典概型求概率的方法求概率即可.
【詳解】將6個(gè)三好學(xué)生名額分到三個(gè)班級(jí)，有3種類型：第一種是只有一個(gè)班分到名額，有3種情況；第二種是恰有兩個(gè)班分到名額，有種情況；第三種是三個(gè)班都分到了名額，有種情況.故恰有一個(gè)班沒(méi)有分到三好學(xué)生名額的概率為.
故答案為：.
43．（2023·寧夏銀川·六盤山高級(jí)中學(xué)?？家荒＃?022年11月30日，神舟十五號(hào)3名航天員順利進(jìn)駐中國(guó)空間站，與神舟十四號(hào)航天員乘組首次實(shí)現(xiàn)“太空會(huì)師”．若執(zhí)行下次任務(wù)的3名航天員有一人已經(jīng)確定，現(xiàn)需要在另外2名女性航天員和2名男性航天員中隨機(jī)選出2名，則選出的2名航天員中既有男性又有女性的概率為_(kāi)_________．
【答案】
【分析】利用古典概型的概率公式計(jì)算即可求解.
【詳解】由題意可得：在2名女性相航天員和2名男性航天員中選擇2名航天員，共有種選法；
則選出的2名航天員中既有男性航天員又有女性航天員的選法為種，
所以概率，
故答案為：.
44．（2023·河南·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）安排，，，，五名志愿者到甲，乙兩個(gè)福利院做服務(wù)工作，每個(gè)福利院至少安排一名志愿者，則，被安排在不同的福利院的概率為_(kāi)_____．
【答案】
【分析】分1人,4人和2人，3人兩種情況安排到兩個(gè)福利院，再分析在4人組，3人組，2人組三種情況得到在同一福利院的分法，利用對(duì)立事件的概率求解即可.
【詳解】5人分配到2個(gè)福利院有1,4和3,2兩種分組方法，共有種分法，
其中，被安排在同一組在同一福利院有種，
所以，被安排在不同的福利院的概率為.
故答案為：
45．（2023·湖南邵陽(yáng)·統(tǒng)考二模）在數(shù)學(xué)中，有一個(gè)被稱為自然常數(shù)（又叫歐拉數(shù)）的常數(shù)．小明在設(shè)置銀行卡的數(shù)字密碼時(shí)，打算將自然常數(shù)的前6位數(shù)字2，7，1，8，2，8進(jìn)行某種排列得到密碼．如果排列時(shí)要求兩個(gè)2相鄰，兩個(gè)8不相鄰，那么小明可以設(shè)置的不同密碼共有______個(gè)．
【答案】36
【分析】根據(jù)相鄰問(wèn)題用捆綁法和不相鄰問(wèn)題用插空法即可求解．
【詳解】如果排列時(shí)要求兩個(gè)2相鄰，兩個(gè)8不相鄰，
兩個(gè)2捆綁看作一個(gè)元素與7，1全排列，排好后有4個(gè)空位，兩個(gè)8插入其中的2個(gè)空位中，注意到兩個(gè)2，兩個(gè)8均為相同元素，
那么小明可以設(shè)置的不同密碼共有．
故答案為：36.



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