? [基礎(chǔ)題組練]
1．“k0，
所以－m20)的左焦點(diǎn)F(－c，0)作圓O：x2＋y2＝a2的切線，切點(diǎn)為E，延長FE交雙曲線于點(diǎn)P，若E為線段FP的中點(diǎn)，則雙曲線的離心率為(　　)
A. B.
C.＋1 D.
解析：選A.法一：如圖所示，不妨設(shè)E在x軸上方，F(xiàn)′為雙曲線的右焦點(diǎn)，連接OE，PF′，
因?yàn)镻F是圓O的切線，所以O(shè)E⊥PE，又E，O分別為PF，F(xiàn)F′的中點(diǎn)，所以|OE|＝|PF′|，又|OE|＝a，所以|PF′|＝2a，根據(jù)雙曲線的性質(zhì)，|PF|－|PF′|＝2a，所以|PF|＝4a，所以|EF|＝2a，在Rt△OEF中，|OE|2＋|EF|2＝|OF|2，即a2＋4a2＝c2，所以e＝，故選A.
法二：連接OE，因?yàn)閨OF|＝c，|OE|＝a，OE⊥EF，所以|EF|＝b，設(shè)F′為雙曲線的右焦點(diǎn)，連接PF′，因?yàn)镺，E分別為線段FF′，F(xiàn)P的中點(diǎn)，所以|PF|＝2b，|PF′|＝2a，所以|PF|－|PF′|＝2a，所以b＝2a，所以e＝＝.
6．(2018·高考全國卷Ⅰ)已知雙曲線C：－y2＝1，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為C的右焦點(diǎn)，過F的直線與C的兩條漸近線的交點(diǎn)分別為M，N.若△OMN為直角三角形，則|MN|＝(　　)
A. B．3
C．2 D．4
解析：選B.因?yàn)殡p曲線－y2＝1的漸近線方程為y＝±x，所以∠MON＝60°.不妨設(shè)過點(diǎn)F的直線與直線y＝x交于點(diǎn)M，由△OMN為直角三角形，不妨設(shè)∠OMN＝90°，則∠MFO＝60°，又直線MN過點(diǎn)F(2，0)，所以直線MN的方程為y＝－(x－2)，
由得所以M，所以|OM|＝＝，所以|MN|＝|OM|＝3，故選B.
7．(2019·遼寧五校協(xié)作體聯(lián)合模擬)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的離心率為，從雙曲線C的右焦點(diǎn)F引漸近線的垂線，垂足為A，若△AFO的面積為1，則雙曲線C的方程為(　　)
A.－＝1 B.－y2＝1
C.－＝1 D．x2－＝1
解析：選D.因?yàn)殡p曲線C的右焦點(diǎn)F到漸近線的距離|FA|＝b，|OA|＝a，所以ab＝2，又雙曲線C的離心率為，所以 ＝，即b2＝4a2，解得a2＝1，b2＝4，所以雙曲線C的方程為x2－＝1，故選D.
8．(2019·河北邯鄲聯(lián)考)如圖，F(xiàn)1，F(xiàn)2是雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的左、右兩個焦點(diǎn)，若直線y＝x與雙曲線C交于P，Q兩點(diǎn)，且四邊形PF1QF2為矩形，則雙曲線的離心率為(　　)

A．2＋ B.
C．2＋ D.
解析：選D.由題意可得，矩形的對角線長相等，將直線y＝x代入雙曲線C方程，可得x＝±，所以·＝c，所以2a2b2＝c2(b2－a2)，即2(e2－1)＝e4－2e2，所以e4－4e2＋2＝0.因?yàn)閑>1，所以e2＝2＋，所以e＝，故選D.
9．(2019·貴陽模擬)過雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦點(diǎn)F作圓x2＋y2＝a2的切線FM(切點(diǎn)為M)，交y軸于點(diǎn)P，若＝2，則雙曲線的離心率為(　　)
A. B.
C. D．2
解析：選B.設(shè)P(0，3m)，由＝2，可得點(diǎn)M的坐標(biāo)為，因?yàn)镺M⊥PF，所以·＝－1，所以m2＝c2，所以M，由|OM|2＋|MF|2＝|OF|2，|OM|＝a，|OF|＝c得，a2＋＋＝c2，a2＝c2，所以e＝＝，故選B.
10．(2019·石家莊模擬)雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過F1作傾斜角為30°的直線，與y軸和雙曲線的右支分別交于A，B兩點(diǎn)，若點(diǎn)A平分線段F1B，則該雙曲線的離心率是(　　)
A. B.
C．2 D.
解析：選A.由題意可知F1(－c，0)，設(shè)A(0，y0)，因?yàn)锳是F1B的中點(diǎn)，所以點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為c，又點(diǎn)B在雙曲線的右支上，所以B，因?yàn)橹本€F1B的傾斜角為30°，所以＝，化簡整理得＝，又b2＝c2－a2，所以3c2－3a2－2ac＝0，兩邊同時(shí)除以a2得3e2－2e－3＝0，解得e＝或e＝－(舍去)，故選A.
11．已知M(x0，y0)是雙曲線C：－y2＝1上的一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是雙曲線C的兩個焦點(diǎn)．若·0)上，PF⊥x軸(其中F為雙曲線的右焦點(diǎn))，點(diǎn)P到該雙曲線的兩條漸近線的距離之比為，則該雙曲線的離心率為________．
解析：由題意知F(c，0)，由PF⊥x軸，不妨設(shè)點(diǎn)P在第一象限，則P，雙曲線漸近線的方程為bx±ay＝0，由題意，得＝，解得c＝2b，又c2＝a2＋b2，所以a＝b，所以雙曲線的離心率e＝＝＝.
答案：
16．(2019·長春監(jiān)測)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)F1，F(xiàn)2分別是雙曲線x2－y2＝1的左、右焦點(diǎn)，P為雙曲線左支上任一點(diǎn)，過點(diǎn)F1作∠F1PF2的平分線的垂線，垂足為H，則|OH|＝________．
解析：如圖所示，延長F1H交PF2于點(diǎn)Q，由PH為∠F1PF2的平分線及PH⊥F1Q，可知|PF1|＝|PQ|，根據(jù)雙曲線的定義，得|PF2|－|PF1|＝2，從而|QF2|＝2，在△F1QF2中，易知OH為中位線，故|OH|＝1.

答案：1
[綜合題組練]
1．(一題多解)已知雙曲線C：－＝1 (a＞0，b＞0)的一條漸近線方程為y＝x，且與橢圓＋＝1有公共焦點(diǎn)，則C的方程為(　　)
A.－＝1　　　　　　 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
解析：選B.法一：由雙曲線的漸近線方程可設(shè)雙曲線方程為－＝k(k>0)，即－＝1，因?yàn)殡p曲線與橢圓＋＝1有公共焦點(diǎn)，所以4k＋5k＝12－3，解得k＝1，故雙曲線C的方程為－＝1.故選B.
法二：因?yàn)闄E圓＋＝1的焦點(diǎn)為(±3，0)，雙曲線與橢圓＋＝1有公共焦點(diǎn)，所以a2＋b2＝(±3)2＝9①，因?yàn)殡p曲線的一條漸近線為y＝x，所以＝②，聯(lián)立①②可解得a2＝4，b2＝5.所以雙曲線C的方程為－＝1.
2．(2019·鄭州模擬)已知雙曲線C：－＝1(a＞b＞0)的兩條漸近線與圓O：x2＋y2＝5交于M，N，P，Q四點(diǎn)，若四邊形MNPQ的面積為8，則雙曲線C的漸近線方程為(　　)
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
解析：選B.以原點(diǎn)為圓心，半徑長為的圓的方程為x2＋y2＝5，雙曲線的兩條漸近線方程為y＝±x，不妨設(shè)M，
因?yàn)樗倪呅蜯NPQ的面積為8，所以4x·x＝8，
所以x2＝2，
將M代入x2＋y2＝5，可得x2＋x2＝5，
所以＋＝5，a＞b＞0，
解得＝，故選B.
3．(2019·石家莊模擬)以橢圓＋＝1的頂點(diǎn)為焦點(diǎn)，焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的雙曲線C，其左、右焦點(diǎn)分別是F1，F(xiàn)2.已知點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2，1)，雙曲線C上的點(diǎn)P(x0，y0)(x0>0，y0>0)滿足＝，則S△PMF1－S△PMF2＝(　　)
A．2 B．4
C．1 D．－1
解析：選A.由題意，知雙曲線方程為－＝1，|PF1|－|PF2|＝4，由＝，可得＝，即F1M平分∠PF1F2.
又結(jié)合平面幾何知識可得，△F1PF2的內(nèi)心在直線x＝2上，所以點(diǎn)M(2，1)就是△F1PF2的內(nèi)心．
故S△PMF1－S△PMF2＝×(|PF1|－|PF2|)×1＝×4×1＝2.
4．(2019·高考全國卷Ⅰ)已知雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過F1的直線與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點(diǎn)，若＝，·＝0，則C的離心率為________．
解析：通解：因?yàn)椤ぃ?，所以F1B⊥F2B，如圖．

所以|OF1|＝|OB|，所以∠BF1O＝∠F1BO，所以∠BOF2＝2∠BF1O.因?yàn)椋?，所以點(diǎn)A為F1B的中點(diǎn)，又點(diǎn)O為F1F2的中點(diǎn)，所以O(shè)A∥BF2，所以F1B⊥OA，因?yàn)橹本€OA，OB為雙曲線C的兩條漸近線，所以tan ∠BF1O＝，tan ∠BOF2＝.因?yàn)閠an ∠BOF2＝tan(2∠BF1O)，所以＝，所以b2＝3a2，所以c2－a2＝3a2，即2a＝c，所以雙曲線的離心率e＝＝2.
優(yōu)解：因?yàn)椤ぃ?，所以F1B⊥F2B，在Rt△F1BF2 中，|OB|＝|OF2|，所以∠OBF2＝∠OF2B，又＝，所以A為F1B的中點(diǎn)，所以O(shè)A∥F2B，所以∠F1OA＝∠OF2B.又∠F1OA＝∠BOF2，所以△OBF2為等邊三角形．由F2(c，0)可得B，因?yàn)辄c(diǎn)B在直線y＝x上，所以c＝·，所以＝，所以e＝＝2.
答案：2
5．設(shè)雙曲線－＝1的兩個焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，離心率為2.
(1)若A，B分別為此雙曲線的漸近線l1，l2上的動點(diǎn)，且2|AB|＝5|F1F2|，求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線；
(2)過點(diǎn)N(1，0)能否作出直線l，使l交雙曲線于P，Q兩點(diǎn)，且·＝0，若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．
解：(1)因?yàn)閑＝2，所以c2＝4a2，
因?yàn)閏2＝a2＋3，所以a＝1，c＝2，
所以雙曲線方程為y2－＝1，漸近線方程為y＝±x；
設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中點(diǎn)M(x，y)，
因?yàn)?|AB|＝5|F1F2|，
所以|AB|＝|F1F2|＝10，
所以＝10，
因?yàn)閥1＝x1，y2＝－x2，2x＝x1＋x2，2y＝y(tǒng)1＋y2，
所以y1＋y2＝(x1－x2)，y1－y2＝(x1＋x2)，
所以＝10，
所以3(2y)2＋(2x)2＝100，
即＋＝1，
則M的軌跡是中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，長軸長為10，短軸長為的橢圓．
(2)假設(shè)存在滿足條件的直線l.
設(shè)l：y＝k(x－1)，l與雙曲線交于P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
因?yàn)椤ぃ?，
所以x1x2＋y1y2＝0，
所以x1x2＋k2(x1－1)(x2－1)＝0，
所以x1x2＋k2[x1x2－(x1＋x2)＋1]＝0，①
因?yàn)?，可?3k2－1)x2－6k2x＋3k2－3＝0，
所以x1＋x2＝，x1x2＝，②
將②代入①得k2＋3＝0，
所以k不存在，所以假設(shè)不成立，即不存在滿足條件的直線l.


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