?解密15 數(shù)列的求和方法和不等式問題
【考點(diǎn)解密】
1．公式法
直接利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求和．
(1)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：Sn＝＝na1＋d.
(2)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：Sn＝

2．分組求和法與并項(xiàng)求和法
(1)若一個(gè)數(shù)列是由若干個(gè)等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求和的數(shù)列組成，則求和時(shí)可用分組求和法，分別求和后相加減．
(2)形如an＝(－1)n·f(n)類型，常采用兩項(xiàng)合并求解．

3．裂項(xiàng)相消法
(1)把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，在求和時(shí)中間的一些項(xiàng)可以相互抵消，從而求得其和．
(2)常見的裂項(xiàng)技巧
①＝－.
②＝.
③
④＝.
⑤
⑥
⑦＝－.
⑧l(xiāng)oga＝loga(n＋1)－logan (n>0)．


4．錯(cuò)位相減法
如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的，那么這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和即可用此法來求，如等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式就是用此法推導(dǎo)的．
【核心題型】
題型一：倒敘相加法求和
1．（2022·河南駐馬店·河南省駐馬店高級(jí)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，數(shù)列滿足，則（????）
A．2022 B．2023 C．4044 D．4046
【答案】A
【分析】先求得，然后利用倒序相加法求得正確答案.
【詳解】∵，
∴．
∵，
∴．令，
則，兩式相加得，
∴．
故選:A
2．（2020·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，若 ，則的最小值為
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)，采用倒序相加的方法可得，從而得到，根據(jù)基本不等式求得最小值.
【詳解】由題可知：
令
又
于是有????
因此
所以
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)
本題正確選項(xiàng)：
3．（2022·河北·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)滿足，若數(shù)列滿足：.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若數(shù)列滿足，（），數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若對(duì)一切恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)，；
(2)

【分析】（1）由，運(yùn)用倒序相加求和，可得所求通項(xiàng)公式；
（2）由（1）可得的通項(xiàng)公式，由數(shù)列的裂項(xiàng)相消求和可得，再由參數(shù)分離和配方法求得最值，即可得到所求的取值范圍.
【詳解】（1）因?yàn)?
由①,
則②,
所以可得：，
故，.
（2）由（1）知，，則時(shí)，，
所以
??????
??????.
又由對(duì)一切恒成立,可得恒成立,
即有對(duì)一切恒成立.
當(dāng)時(shí),取得最大值，所以；
故實(shí)數(shù)的取值范圍是.

題型二：錯(cuò)位相減法求和
4．（2023·山東·煙臺(tái)二中?？寄M預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且．
(1)求實(shí)數(shù)的值及的通項(xiàng)公式；
(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
【答案】(1)，；
(2).

【分析】（1）當(dāng)時(shí)，，兩式相減可得為以為公比的等比數(shù)列．又由，可得實(shí)數(shù)的值及的通項(xiàng)公式；
（2）由（1）可得，則，后由錯(cuò)位相減法可得.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，
兩式相減可得，，故，得是以為公比的等比數(shù)列．
又，故，則.故．
（2）由（1）及題意可得：，
故，
，
兩式相減可得，，化簡(jiǎn)可得，．
5．（2023·湖南·模擬預(yù)測(cè)）已知正項(xiàng)等比數(shù)列的的前n項(xiàng)和為，且滿足：，
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)；
(2)已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）求等比數(shù)列的通項(xiàng)公式用公式法，基本量代換；
（2）由（1）可得，利用錯(cuò)位相減法即可求得數(shù)列的前項(xiàng)和.
【詳解】（1）設(shè)的公比為，，
∵，∴，
∴，即，
∴，又，∴.
（2）∵，
∴，
∴，
相減得，，
∴，
所以.
6．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，且，，成等比數(shù)列．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）設(shè)出公差，表達(dá)出前5項(xiàng)，通過等差和等比關(guān)系求出和公差，即可得到數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）表達(dá)出數(shù)列的通項(xiàng)公式，得到數(shù)列的前n項(xiàng)和的表達(dá)式，利用錯(cuò)位相減法即可得出數(shù)列的前n項(xiàng)和.
【詳解】（1）由題意，
在等差數(shù)列中，設(shè)公差為,
由，得，則，
又a3＋2，a4，a5－2成等比數(shù)列，
∴7，5＋d，3＋2d成等比數(shù)列，得，即，得d＝2，
∴，，
∴數(shù)列的通項(xiàng)公式為：．
（2）由題意及（1）得，，
在數(shù)列中，，
在數(shù)列中，，
∴，
∴，
，
兩式相減得

．
∴

題型三：裂項(xiàng)相消法求和
7．（2023·甘肅蘭州·校考模擬預(yù)測(cè)）在數(shù)列中，．
(1)求證：是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式．
(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)的和．
【答案】(1)證明見解析，；
(2)

【分析】（1）根據(jù)遞推關(guān)系式，由等差數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式求解即可；
（2）根據(jù)裂項(xiàng)相消法求和即可得解.
【詳解】（1）因?yàn)?，所以?br /> 否則與矛盾，故，
又，∴數(shù)列是以3為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，
所以，
因此．
（2）由（1）知，
∴.
8．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在數(shù)列中，，．
(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列；
(2)令，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求證：．
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析

【分析】（1）將數(shù)列的遞推公式變形，再結(jié)合等比數(shù)列的定義，即可證明；
（2）由（1）得到數(shù)列的通項(xiàng)公式，再利用變形，放縮法，結(jié)合裂項(xiàng)相消法求和，即可證明.
【詳解】（1）由，得，由，得，
則，所以，得，
所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列
（2）由（1）得，則，所以，
所以．
所以

9．（2023·山東菏澤·統(tǒng)考一模）已知首項(xiàng)不為0的等差數(shù)列，公差（為給定常數(shù)），為數(shù)列前項(xiàng)和，且為所有可能取值由小到大組成的數(shù)列.
(1)求；
(2)設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，證明：.
【答案】(1)
(2)證明見解析

【分析】（1）根據(jù)題意，由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式得到關(guān)于的方程，即可得到結(jié)果；
（2）根據(jù)題意，得到數(shù)列的通項(xiàng)公式，再由裂項(xiàng)相消法即可得到其前項(xiàng)和.
【詳解】（1）由題意得，，得①
由，得②
由①②，可得且，則，
由，當(dāng)在范圍內(nèi)取值時(shí)的所有取值為：
所以.
（2）
所以
由于是遞減的，所以

題型四：分組求和法
10．（2023·江西上饒·統(tǒng)考一模）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，，且.
(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；
(2)若等比數(shù)列滿足，，，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【答案】(1)證明見解析，
(2)

【分析】（1）利用變形可得，進(jìn)而可證明等差數(shù)列并求通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)等比數(shù)列的公比為，先通過條件列方程求出，進(jìn)而可求出，再利用并項(xiàng)求和法求和.
【詳解】（1）由得，
，又，
數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列；
；
（2）設(shè)等比數(shù)列的公比為，
則，
，
，
，



11．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足，，．
(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)記，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
【答案】(1)證明見解析，
(2)

【分析】（1）利用遞推關(guān)系式進(jìn)行變形，得到，從而得證，即可得出數(shù)列是以3為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，即可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）由（1）知，再由并項(xiàng)求和法求出數(shù)列的前n項(xiàng)和.
【詳解】（1）因?yàn)?，?br /> 所以，且，
所以，
所以，
即，
又，所以數(shù)列是以3為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，
所以，所以．
（2）由（1）知，
所以

．
12．（2023·山東濰坊·統(tǒng)考一模）已知數(shù)列為等比數(shù)列，其前項(xiàng)和為，且滿足.
(1)求的值及數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【答案】(1)，
(2)

【分析】（1）當(dāng)時(shí)，，兩式相減得，由，可求出的值；
（2）由（1）知，由絕對(duì)值的定義結(jié)合等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式即可求出數(shù)列的前項(xiàng)和.
【詳解】（1）因?yàn)?，所以時(shí)，，所以.
又由數(shù)列為等比數(shù)列，所以.又因?yàn)?，所以?br /> 綜上.
（2）由（1）知，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，
所以.

題型五：數(shù)列與不等式問題
13．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足，，，當(dāng)時(shí)， ，為數(shù)列前n項(xiàng)的和.
(1)證明：；
(2)若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.
【答案】(1)證明見解析
(2)

【分析】（1）利用求出，故為等差數(shù)列，公差為1，首項(xiàng)為1，求出通項(xiàng)公式，利用放縮法得到，相加后證明出結(jié)論；
（2）裂項(xiàng)相消法得到，進(jìn)而求和
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，即，
變形為，
即，
即，，
由，得：，
故為等差數(shù)列，公差為1，首項(xiàng)為1，
所以，
因?yàn)?，所以?br /> 故，
故；
（2），
故

14．（2023·四川綿陽(yáng)·綿陽(yáng)中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）某少數(shù)民族的刺繡有著悠久的歷史，圖中（1）、（2）、（3）、（4）為她們刺銹最簡(jiǎn)單的四個(gè)圖案，這些圖案都是由小正方形構(gòu)成，小正方形數(shù)越多刺銹越漂亮，向按同樣的規(guī)律刺銹（小正方形的擺放規(guī)律相同），設(shè)第個(gè)圖形包含個(gè)小正方形．

(1)求出的表達(dá)式；
(2)求證：當(dāng)時(shí)，．
【答案】(1)
(2)證明見解析

【分析】（1）歸納得出，然后利用累加法可求得的表達(dá)式；
（2）當(dāng)時(shí)，可得出，利用裂項(xiàng)相消法可證得原命題成立.
【詳解】（1）解：根據(jù)題意，，，
，，，
由此類推：．
當(dāng)且時(shí)，
，
也滿足，
故對(duì)任意的，.
（2）證明：由（1）的結(jié)論，，
當(dāng)時(shí)，，
則
，故原命題成立．
15．（2022·云南昆明·昆明一中校考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，其中
(1)當(dāng)時(shí)，求；
(2)設(shè)，記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求使得恒成立的m的最小整數(shù).
【答案】(1)
(2)2

【分析】（1）依據(jù)題給條件，利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式即可求得；
（2）先利用裂項(xiàng)相消法求得數(shù)列的前n項(xiàng)和，再依據(jù)題給條件列出關(guān)于m的不等式，解之即可求得m的最小整數(shù)
【詳解】（1）由，可得


則當(dāng)時(shí)，
（2）由（1）可得，當(dāng)時(shí)，
則當(dāng)時(shí)，
，
則當(dāng)時(shí)，數(shù)列的前n項(xiàng)和

又當(dāng)時(shí)，，，
由恒成立，可得，解之得
則當(dāng)時(shí)，使得恒成立的m的最小整數(shù)為2
當(dāng)時(shí)，成立，
綜上，使得恒成立的m的最小整數(shù)為2

題型六：數(shù)列的其他求和方法
16．（2022·廣東佛山·統(tǒng)考三模）設(shè)各項(xiàng)非零的數(shù)列的前項(xiàng)和記為，記，且滿足．
(1)求的值，證明數(shù)列為等差數(shù)列并求的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
【答案】(1)；證明見解析；
(2)

【分析】（1）依據(jù)題意列出關(guān)于的方程即可求得的值，依據(jù)等差數(shù)列的定義去證明數(shù)列為等差數(shù)列，進(jìn)而求得的通項(xiàng)公式；
（2）先求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，再分類討論去求數(shù)列的前項(xiàng)和．
(1)
由題意可知，，且，解得：或（舍去）
又當(dāng)時(shí)，，所以有
化簡(jiǎn)得：，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列
所以
(2)
由(1)可知
當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)，
則，
①當(dāng)是奇數(shù)時(shí)，

②當(dāng)是偶數(shù)時(shí)，

綜上所述：
17．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知正項(xiàng)數(shù)列滿足（）.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)令，記的前項(xiàng)和為，求.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）由已知方程可得或，結(jié)合正項(xiàng)數(shù)列即可確定的通項(xiàng)公式；
（2）利用正弦型函數(shù)的性質(zhì)判斷的周期，并求出一個(gè)周期內(nèi)的項(xiàng)，最后根據(jù)周期求.
(1)
，
或，
為正項(xiàng)數(shù)列，
；
(2)
，
是周期為12的周期數(shù)列 ，
，，
，
，，
，，
，，
，，

.
18．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列，滿足，為數(shù)列的前項(xiàng)和，記的前項(xiàng)和為，的前項(xiàng)積為，且.
（1）若，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）若，對(duì)任意自然數(shù)，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）由，，推得，結(jié)合，求得，從而求得.
（2）由，結(jié)合（1）中，求得，；代入問題所示表達(dá)式，由，進(jìn)行裂項(xiàng)求和，將不等關(guān)系轉(zhuǎn)化為，從而求得參數(shù)取值范圍.
【詳解】解：（1）∵，
.
∵，∴，
∵，∴.
∵，∴，∴.
（2）∵，，
∴.∵，
∴，
∴，∴，.
∵
∴

兩邊同乘以（時(shí)，），
∴條件不等式等價(jià)于，
∴當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，恒成立，當(dāng)時(shí)，，故；
當(dāng) n為奇數(shù)時(shí)，恒成立，當(dāng)時(shí)，，故；
故.





【高考必刷】
一、單選題
19．（2023·河南·長(zhǎng)葛市第一高級(jí)中學(xué)統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在正項(xiàng)數(shù)列中，，，記．整數(shù)滿足，則數(shù)列的前項(xiàng)和為（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由遞推公式得是等差數(shù)列，得的通項(xiàng)公式，由不等式得，用裂項(xiàng)相消法求的前120項(xiàng)和.
【詳解】因?yàn)?，，所以是?為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，
所以，又因?yàn)?，所以?br /> 所以，
因?yàn)?，?br /> 整數(shù)滿足，所以，
的前120項(xiàng)和為
.
故選：B.
20．（2023·上海閔行·上海市七寶中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知在數(shù)列中，，且.設(shè)，且為的前項(xiàng)和，則的整數(shù)部分為（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】將整理變形可得到，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得，進(jìn)而可得，判斷出的單調(diào)性可得的最小值，再利用可得的最大值，進(jìn)而可得的整數(shù)部分.
【詳解】由得，且，
故.
再將等式兩邊同除以，得.
由得，
所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列.
，即，
故.
又，故是關(guān)于的遞增數(shù)列，
故；
當(dāng)時(shí)，

故.
綜上有.
的整數(shù)部分為
故選：A.
21．（2022·陜西寶雞·統(tǒng)考一模）的整數(shù)部分是（????）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】注意到
，
，
據(jù)此可得答案.
【詳解】因，則
.
又
，則

.
故，即整數(shù)部分為4.
故選：B
22．（2022秋·甘肅武威·高三?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，設(shè)，則數(shù)列的前2023項(xiàng)和為（????）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)題意得到，再利用裂項(xiàng)法求和即可.
【詳解】由題知：數(shù)列滿足，設(shè)，
所以的前項(xiàng)和為，則.
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，，符合.
所以.
令，前項(xiàng)和為.
則.
故選：D
23．（2023秋·內(nèi)蒙古阿拉善盟·高三阿拉善盟第一中學(xué)?？计谀┰O(shè)等比數(shù)列滿足，，記為中在區(qū)間中的項(xiàng)的個(gè)數(shù)，則數(shù)列的前50項(xiàng)和（????）
A．109 B．111 C．114 D．116
【答案】C
【分析】先求出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，再結(jié)合題意得到當(dāng)，2時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；從而求出數(shù)列的前50項(xiàng)和.
【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為q，則，，
解得，，故，
因?yàn)闉橹性趨^(qū)間中的項(xiàng)的個(gè)數(shù)，
所以當(dāng)，2時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；
故.
故選：C.
24．（2022·上海閔行·統(tǒng)考一模）已知數(shù)列滿足，，如果，那么（????）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由可得，再由題意結(jié)合基本不等式與數(shù)列得單調(diào)性求出的范圍，即可求解
【詳解】因?yàn)椋?br /> 所以，
所以，
所以，
由即可歸納得，
所以，
所以數(shù)列為遞增數(shù)列，
又，
則，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
故選：A

二、多選題
25．（2023·浙江·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）數(shù)列定義如下：，，若對(duì)于任意，數(shù)列的前項(xiàng)已定義，則對(duì)于，定義，為其前n項(xiàng)和，則下列結(jié)論正確的是（????）
A．?dāng)?shù)列的第項(xiàng)為 B．?dāng)?shù)列的第2023項(xiàng)為
C．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和為 D．
【答案】ACD
【分析】由數(shù)列的定義，對(duì)通項(xiàng)和前n項(xiàng)和的性質(zhì)進(jìn)行討論，驗(yàn)證選項(xiàng)是否正確.
【詳解】
…，
，故A選項(xiàng)正確；
，

，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；
，，…，當(dāng)時(shí)，，
所以，故C選項(xiàng)正確；
當(dāng)時(shí)，，
，故D選項(xiàng)正確；
故選：ACD.
26．（2023·云南昆明·昆明一中?？寄M預(yù)測(cè)）數(shù)列滿足，，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，則下列正確的是（????）
A．
B．?dāng)?shù)列的前n項(xiàng)和
C．?dāng)?shù)列的前n項(xiàng)和
D．
【答案】BCD
【分析】求得數(shù)列的通項(xiàng)公式判斷選項(xiàng)A；求得數(shù)列的前n項(xiàng)判斷選項(xiàng)B；求得數(shù)列的前n項(xiàng)和，進(jìn)而判斷選項(xiàng)C；求得數(shù)列的前項(xiàng)和進(jìn)而判斷選項(xiàng)D.
【詳解】由，有，又
所以是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，則，
則，則，A錯(cuò)誤；
由，可得，解之得
又時(shí)，，則，整理得
則數(shù)列是首項(xiàng)為3公比為3 的等比數(shù)列，則，
則數(shù)列的前項(xiàng)和
，B正確；
，則數(shù)列的前項(xiàng)和
，C正確；
設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和，
則，，
兩式相減得
整理得，則當(dāng)時(shí)，，D正確.
故選：BCD.
27．（2023·山西·統(tǒng)考一模）1202年，斐波那契在《算盤全書》中從兔子問題得到斐波那契數(shù)列1，1，2，3，5，8，13，21該數(shù)列的特點(diǎn)是前兩項(xiàng)為1，從第三項(xiàng)起，每一項(xiàng)都等于它前面兩項(xiàng)的和，人們把這樣的一列數(shù)組成的數(shù)列稱為斐波那契數(shù)列，19世紀(jì)以前并沒有人認(rèn)真研究它，但在19世紀(jì)末和20世紀(jì)，這一問題派生出廣泛的應(yīng)用，從而活躍起來，成為熱門的研究課題，記為該數(shù)列的前項(xiàng)和，則下列結(jié)論正確的是（????）
A． B．為偶數(shù)
C． D．
【答案】ACD
【分析】根據(jù)遞推關(guān)系計(jì)算出的值可判斷選項(xiàng)A；根據(jù)數(shù)列中項(xiàng)的特點(diǎn)可判斷選項(xiàng)B；由可得，再化簡(jiǎn)可判斷選項(xiàng)C；由，化簡(jiǎn)整理可判斷選項(xiàng)D，進(jìn)而可得正確選項(xiàng).
【詳解】對(duì)于A：由題意知：，，，，，，，，，，，
故選項(xiàng)A正確；
對(duì)于B：因?yàn)樵摂?shù)列的特點(diǎn)是前兩項(xiàng)為1，從第三項(xiàng)起，每一項(xiàng)都等于它前面兩項(xiàng)的和，此數(shù)列中數(shù)字的特點(diǎn)為：奇數(shù)、奇數(shù)、偶數(shù)的規(guī)律循環(huán)出現(xiàn)，每3個(gè)數(shù)一組，呈奇奇偶的順序排列，而（組）（個(gè)），故為奇數(shù)，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；
對(duì)于C：由題意知：，所以
，故選項(xiàng)C正確；
對(duì)于D：，
故選項(xiàng)D正確，
故選：ACD.
28．（2022·全國(guó)·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在數(shù)列中，，，且，則下列說法正確的是（????）
A．
B．
C．，使得
D．，都有
【答案】ABD
【分析】由已知遞推關(guān)系式可知數(shù)列為等差數(shù)列，由此可推導(dǎo)得到，知A正確；利用裂項(xiàng)相消法可求得，知B正確；設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)可求得單調(diào)性，知當(dāng)時(shí)，，由此可得，由此放縮后可得，知CD正誤.
【詳解】，，，
數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，
，則，A正確；
，
，B正確；
令，則，
在上單調(diào)遞增，又，
當(dāng)時(shí)，，即，，
即，
，C錯(cuò)誤，D正確.
故選：ABD.

三、填空題
29．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足，，，若數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則______．
【答案】
【分析】分析出數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別成公差為6的等差數(shù)列，對(duì)n分奇偶討論，求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，從而得到，裂項(xiàng)相消法求和.
【詳解】，時(shí)，，
兩式相加得：，，
所以數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別成公差為6的等差數(shù)列．
若n為偶數(shù)，設(shè)，，則，
中，令得：，
因?yàn)?，所以?br /> 所以，即．
若n為奇數(shù)，設(shè)，，則，所以．
綜上，的通項(xiàng)公式為，
所以，
所以，
所以，
所以．
故答案為：
30．（2023·貴州畢節(jié)·統(tǒng)考一模）已知數(shù)列滿足，，則數(shù)列的前項(xiàng)和________．
【答案】
【分析】先根據(jù)遞推關(guān)系式求出，然后利用裂項(xiàng)相消法求和.
【詳解】由題意可得，，
所以是以3為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列，所以，
；
設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，
則.
故答案為：.
31．（2023·安徽蚌埠·統(tǒng)考二模）已知數(shù)列中：，則的前8項(xiàng)和為______．
【答案】
【分析】根據(jù)題意，依次得到到，然后相加，即可得到結(jié)果.
【詳解】根據(jù)題意可得，
，
，
，
，
，

則的前8項(xiàng)和為
故答案為:
32．（2023·河南·長(zhǎng)葛市第一高級(jí)中學(xué)統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在正項(xiàng)數(shù)列中，，，記.整數(shù)m滿足，則數(shù)列的前m項(xiàng)和為______.
【答案】
【分析】由遞推公式得是等差數(shù)列，得的通項(xiàng)公式，由不等式得，用裂項(xiàng)相消法求的前120項(xiàng)和.
【詳解】因?yàn)椋?，所以是?為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，
所以，又因?yàn)椋裕?br /> 所以，
因?yàn)椋?br /> 整數(shù)m滿足，所以，
的前120項(xiàng)和為
.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】注意該題由遞推公式先整體考慮，得的通項(xiàng)公式；的化簡(jiǎn)先通過有理化去掉分母的一個(gè)因式后再裂項(xiàng).
33．（2023·四川綿陽(yáng)·綿陽(yáng)中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）現(xiàn)取長(zhǎng)度為2的線段的中點(diǎn)，以為直徑作半圓，該半圓的面積為（圖1），再取線段的中點(diǎn)，以為直徑作半圓．所得半圓的面積之和為（圖2），再取線段的中點(diǎn)，以為直徑作半圓，所得半圓的面積之和為，以此類推，則______．

【答案】
【分析】先求得，然后利用錯(cuò)位相減求和法求得正確答案.
【詳解】依題意，，
，
，
以此類推可知，數(shù)列是首項(xiàng)為，公比是的等比數(shù)列，
所以.
令，
則，
，
兩式相減得


所以.
所以.
故答案為：

四、解答題
34．（2023·內(nèi)蒙古·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，.
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）先根據(jù)，可得數(shù)列是以為公差的等差數(shù)列，從而可得數(shù)列的通項(xiàng)，再根據(jù)與的關(guān)系結(jié)合構(gòu)造法即可得解；
（2）先求出數(shù)列的通項(xiàng)，再利用裂項(xiàng)相消法即可得解.
【詳解】（1）因?yàn)椋?br /> 所以，
所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，
所以，則，
當(dāng)時(shí)，，
兩式相減得，即，
所以數(shù)列為常數(shù)列，且，
所以；
（2）由（1）得，
所以，
所以.
35．（2023·上海黃浦·統(tǒng)考一模）已知是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，且，，，.
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前2n項(xiàng)和.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）運(yùn)用等比數(shù)列、等差數(shù)列通項(xiàng)公式計(jì)算即可.
（2）運(yùn)用分組求和及等差數(shù)列、等比數(shù)列求和公式計(jì)算即可.
【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，等比數(shù)列的公比為q，
則，，，
又，可得，
所以.
（2）由（1）可得，
故，以它為通項(xiàng)的數(shù)列是以-1為首項(xiàng)、公比為-3的等比數(shù)列，
所以，
所以數(shù)列的前2n項(xiàng)和為：.
即: 數(shù)列的前2n項(xiàng)和為.
36．（2023·四川南充·四川省南部中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列是遞增的等比數(shù)列，并且滿足
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若是數(shù)列的前項(xiàng)和，證明：
【答案】(1)
(2)證明見解析；

【分析】（1）設(shè)數(shù)列的公比為由可求出，進(jìn)一步可得.
（2）利用裂項(xiàng)相消求和法可求出數(shù)列的前項(xiàng)和，得證.
【詳解】（1）設(shè)數(shù)列的公比為
由??得，兩式相除，得,
即，解得或，且、為遞增等比數(shù)列，
，，
.
（2），則，
，

，
而，所以，即.
37．（2023·浙江·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在數(shù)列中，，在數(shù)列中，.
(1)求證數(shù)列成等差數(shù)列并求；
(2)求證：.
【答案】(1)證明見解析，
(2)證明見解析

【分析】（1）條件等式兩邊取倒數(shù)化簡(jiǎn)變形即可；
（2）由累乘法求得的通項(xiàng)公式，對(duì)不等式進(jìn)行縮放，結(jié)合裂項(xiàng)相消求和即可證明.
【詳解】（1）由知，
故，
即，數(shù)列成等差數(shù)列，
所以，所以；
（2）由，得，
于是
所以，




，
所以.



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