題型一：公式法求數(shù)列通項
一、單選題
1．（2022·北京·二模）已知為等差數(shù)列，首項，公差，若，則（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【分析】首先求出通項公式，再代入得到方程，解得即可；
【詳解】解：因為首項，公差，所以，
因為，所以，解得
故選：D
2．（2022·河南·方城第一高級中學(xué)模擬預(yù)測（文））已知為公差不為0的等差數(shù)列的前n項和.若，，，成等比數(shù)列，則（ ）
A．11B．13C．23D．24
【答案】C
【分析】設(shè)出公差，利用，，成等比數(shù)列，列出方程，求出公差，求出答案.
【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，
因為，，成等比數(shù)列，
所以，
化簡得（舍去）或，
所以.
故選：C
3．（2022·陜西西安·三模（理））“中國剩余定理”又稱“孫子定理”，可見于中國南北朝時期的數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》卷下中的“物不知數(shù)”問題，原文如下：今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二問物幾何？現(xiàn)有一個相關(guān)的問題：將1到2022這2022個自然數(shù)中被3除余2且被5除余4的數(shù)按照從小到大的順序排成一列，構(gòu)成一個數(shù)列14，29，44，…，則該數(shù)列的項數(shù)為（ ）
A．132B．133C．134D．135
【答案】C
【分析】先得到新數(shù)列14，29，44，…是首項為14，公差為15的等差數(shù)列，求出通項公式，解不等式求出數(shù)列的項數(shù).
【詳解】由題意得：新數(shù)列14，29，44，…是首項為14，公差為15的等差數(shù)列，
設(shè)新數(shù)列為，則通項公式為，
令，解得：，
因為，所以這個數(shù)列的項數(shù)為134.
故選：C
4．（2022·新疆·三模（文））已知數(shù)列是以1為首項，3為公差的等差數(shù)列，是以1為首項，3為公比的等比數(shù)列，設(shè)，，當(dāng)時，n的最大值為（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】C
【分析】先求出，進而得到，由分組求和得，由判斷出為遞增數(shù)列，計算出即可求解.
【詳解】由題意知：，，
，
又，
故為遞增數(shù)列，又，
故當(dāng)時，n的最大值為6.
故選：C.
5．（2022·浙江紹興·模擬預(yù)測）已知數(shù)列的前項和滿足．若存在，使得，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】利用求通項公式，判斷出數(shù)列不單調(diào)，只需，即可求得.
【詳解】因為數(shù)列的前項和滿足，
所以當(dāng)n=1時，有.不合題意；所以，解得：；
當(dāng)時，.，解得：.
設(shè)，解得：，可得：，
所以是公比為，首項的等比數(shù)列，
所以，所以.
經(jīng)檢驗，對n=1也成立.
若存在，使得，則數(shù)列不單調(diào).
只需，則正負項交替出現(xiàn)，符合題意，此時.
當(dāng)時，單調(diào)遞增，不符合題意；
當(dāng)時，單調(diào)遞減，不符合題意；
而.
綜上所述：.
故選：A
二、多選題
6．（2021·廣東·高三階段練習(xí)）已知Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，a3＋S5＝－18，a6＝－a3，則（ ）
A．a(chǎn)n＝2n－9B．a(chǎn)n＝2n－7
C．Sn＝n2－8nD．Sn＝n2－6n
【答案】AC
【分析】利用等差數(shù)列的前n項和公式以及通項公式求出首項與公差進而可以求出結(jié)果.
【詳解】因為，所以．又，所以，，則，．
故選：AC.
7．（2022·全國·高三專題練習(xí)）我國古代著名的數(shù)學(xué)專著《九章算術(shù)》里有一段敘述：“今有良馬和駑馬發(fā)長安至齊，良馬初日行一百九十三里，日增十三里；駑馬初日行九十七里，日減半里.良馬先至齊，復(fù)還迎駑馬，九日后二馬相逢.”其大意為今有良馬和駑馬從長安出發(fā)到齊國，良馬第一天走193里，以后每天比前一天多走13里；駑馬第一天走97里，以后每天比前一天少走里.良馬先到齊國，再返回迎接駑馬，9天后兩馬相遇.下列結(jié)論正確的是（ ）
A．長安與齊國兩地相距1530里
B．3天后，兩馬之間的距離為里
C．良馬從第6天開始返回迎接駑馬
D．8天后，兩馬之間的距離為里
【答案】AB
【分析】A, 設(shè)良馬第天行走的路程里數(shù)為，駑馬第天行走的路程里數(shù)為，求出良馬和駑馬各自走的路程即得A正確；
B，計算得到3天后，兩馬之間的距離為里，即可判斷B正確；
C,計算得到良馬前6天共行走了里里，故C不正確；
D，計算得到8天后，兩馬之間的距離為390里，故D不正確.
【詳解】解：設(shè)良馬第天行走的路程里數(shù)為，駑馬第天行走的路程里數(shù)為，則.
良馬這9天共行走了里路程，
駑馬這9天共行走了里路程，
故長安與齊國兩地相距里，A正確.
3天后，良馬共行走了里路程，駑馬共行走了里路程，故它們之間的距離為328.5里，B正確.
良馬前6天共行走了里里，故良馬行走6天還末到達齊國，C不正確.
良馬前7天共行走了里里，則良馬從第7天開始返回迎接駑馬，故8天后，兩馬之間的距離即兩馬第9天行走的距離之和，由，知8天后，兩馬之間的距離為390里，故D不正確.
故選：AB
8．（2021·福建師大附中高三期中）各項均為正數(shù)的等比數(shù)列的前項積為，若，公比，則下列命題正確的是（ ）
A．若，則必有B．若，則必有是中最大的項
C．若，則必有D．若，則必有
【答案】ABC
【分析】根據(jù)題意，結(jié)合等比數(shù)列的通項公式、等差數(shù)列的前n項和公式，以及等比數(shù)列的性質(zhì)，逐項分析，即可求解.
【詳解】由等比數(shù)列可知，由等比數(shù)列的前項積結(jié)合等差數(shù)列性質(zhì)可知：
對于A，若，可得，即，，故A正確；
對于B，若，可得，即，又，故，又，可知，利用等比數(shù)列性質(zhì)知，可知，故是中最大的項，故B正確；
對于C，若，則，即，又，則，可得，故，故C正確；
對于D，若，則，，無法判斷其與“1”的大小關(guān)系，故D錯誤.
故選：ABC
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題主要考查了等比數(shù)列的通項公式及等差數(shù)列前n項和公式，以及等比數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用，其中解答中熟記等比數(shù)列的通項公式和性質(zhì)及等差數(shù)列的求和公式，準(zhǔn)確運算是解答的關(guān)鍵，著重考查了學(xué)生的推理與運算能力，屬于較難題.
9．（2021·江蘇南通·高三期中）在數(shù)列中，已知是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，是公差為的等差數(shù)列，其中，則下列說法正確的是（ ）
A．當(dāng)時，B．若，則
C．若，則D．當(dāng)時，
【答案】ACD
【分析】利用等差數(shù)列的通項公式可判斷A；利用已知條件結(jié)合等差數(shù)列的通項公式可判斷B；利用等差數(shù)列的求和公式可判斷C；利用等比數(shù)列求和公式可判斷D.
【詳解】對于A，當(dāng)時，，可知數(shù)列是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，所以，故A正確；
對于B，由已知，是公差為的等差數(shù)列，則，
是公差為的等差數(shù)列，則，即，解得：或，故B錯誤；
對于C，，解得：，故C正確；
對于D，，故D正確；
故選：ACD
三、填空題
10．（2022·河南洛陽·三模（文））設(shè)各項為正數(shù)的等比數(shù)列的前項和為，且，，則___________.
【答案】
【分析】設(shè)公比為，依題意得到方程，求出，即可得解；
【詳解】解：依題意設(shè)公比為，由，即，即，
所以，即，解得或（舍去）；
所以；
故答案為：
11．（2022·江西景德鎮(zhèn)·三模（文））已知數(shù)列和正項數(shù)列，其中，且滿足，數(shù)列滿足，其中.對于某個給定或的值，則下列結(jié)論中：①；②；③數(shù)列單調(diào)遞減；④數(shù)列單調(diào)遞增.其中正確命題的序號為___________.
【答案】①②④
【分析】根據(jù)得，結(jié)合，解得，得，可判斷①；
根據(jù)，，得，得，可判斷②；
求出，利用恒成立，可判斷③；
由，得，，兩式相減得，根據(jù)，結(jié)合，，可得，可判斷④.
【詳解】依題意有，所以，所以，
又，所以，解得，所以，即，故①正確；
因為，所以，又，
所以，所以，所以，所以，即，故②正確；
因為且，所以，所以恒成立，所以數(shù)列單調(diào)遞增；故③不正確；
由得，由得，
所以，
所以，
所以，
兩式相減得，
所以，
由③知，遞增，所以，又，
所以，
因為，所以，所以，
所以，所以，所以，又為正項數(shù)列，所以恒成立，
綜上所述，數(shù)列單調(diào)遞增.故④正確.
故答案為：①②④.
【點睛】關(guān)鍵點點睛:判斷數(shù)列的單調(diào)性時,利用平方關(guān)系式消去和得到是解題關(guān)鍵.
四、解答題
12．（2022·河北保定·二模）已知公差為2的等差數(shù)列的前n項和為，且.
(1)求的通項公式.
(2)若，數(shù)列的前n項和為，證明.
【答案】(1)(2)證明見解析
【分析】（1）利用等差數(shù)列求和公式求出首項，從而求出通項公式；（2）裂項相消法求和證明不等式.
(1)由題意，得，
解得：，
故.
(2)證明：因為，
所以
，
因為，
所以.
13．（2022·福建龍巖·模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列的前n項和為，，.
(1)求的通項公式；
(2)設(shè)，數(shù)列的前n項和為，證明：當(dāng)，時，.
【答案】(1)；(2)證明見解析﹒
【分析】(1)根據(jù)題中條件列出關(guān)于和d的方程組，解出和d，根據(jù)等差數(shù)列通項公式即可求；
(2)分母有理化，裂項相消即可求，當(dāng)，時，證明即可．
(1)由題可知，，解得，∴；
(2)，
，
，，
．
14．（2022·陜西·西安中學(xué)模擬預(yù)測（文））記為等比數(shù)列的前項和，且公比，已知，．
(1)求的通項公式；
(2)設(shè)，若是遞增數(shù)列，求實數(shù)的取值范圍．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）利用等比數(shù)列通項公式和前n項和公式的基本量進行運算即可.
（2）是遞增數(shù)列，利用恒成立即可求解.
(1)∵等比數(shù)列中，，，
∴，解得或（舍），
∴．
(2)由，得，
則，
因為是遞增數(shù)列，所以，故，即，
因為是遞減數(shù)列，所以該數(shù)列的最大項是，
所以的取值范圍是．
15．（2022·山東臨沂·模擬預(yù)測）等比數(shù)列中，，，分別是下表第一、二、三行中的某一個數(shù)，且，，中的任何兩個數(shù)不在下表的同一列．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)若數(shù)列滿足：，求數(shù)列的前項和．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）先得到，，，求出公比，從而求出等比數(shù)列的通項公式；（2）求出，分組求和得到，從而求出.
(1)由題意知：，，，
因為是等比數(shù)列，所以公比為3，
所以數(shù)列的通項公式．
(2)因為，
所以，
所以．
題型二：Sn和an關(guān)系法求數(shù)列通項
一、單選題
1．（2022·四川·內(nèi)江市教育科學(xué)研究所三模（理））已知等比數(shù)列的公比為q，前n項和為．若，，則（ ）
A．3B．2C．D．
【答案】A
【分析】將題中兩等式作差可得出，整理得出，由此可計算出的值.
【詳解】將等式與作差得，，
因此，該等比數(shù)列的公比，
故選：A.
2．（2022·福建三明·模擬預(yù)測）已知數(shù)列的前n項和為，若，且，則（ ）
A．-8B．-3C．-2D．8
【答案】B
【分析】先由求,判斷出從第二項起為公比為-1的等比數(shù)列，得到，代入n=2022即可解出.
【詳解】因為①，
所以當(dāng)時，有，即.
當(dāng)時，有②，
①-②得：，所以，
即，
所以從第二項起為公比為-1的等比數(shù)列.
所以，即.
因為，所以，所以.
所以，解得：-3.
故選：B
3．（2022·四川·內(nèi)江市教育科學(xué)研究所三模（文））設(shè)為數(shù)列的前項和.若，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【分析】用定義法，分充分性和必要性分別進行討論.
【詳解】因為為數(shù)列的前項和，且，
所以當(dāng)時，；
當(dāng)時，；
所以
充分性：當(dāng)時，.所以；；.滿足，所以充分性滿足；
必要性：由可得：，，，符合，但是不能推出.所以必要性不滿足.
故“”是“”的充分不必要條件.
故選：A
二、多選題
4．（2022·山東臨沂·模擬預(yù)測）設(shè)數(shù)列的前項和為，已知．?dāng)?shù)列滿足，則（ ）
A．
B．
C．?dāng)?shù)列的前項和
D．?dāng)?shù)列的前項和
【答案】AC
【分析】根據(jù)與的關(guān)系，即可求出，利用錯位相減法即可求出數(shù)列的前項和，據(jù)此，逐個選項判斷即可得出答案.
【詳解】對于A，因為，所以，當(dāng)時，，得，
當(dāng)時，，經(jīng)檢驗，當(dāng)時，不符合，
所以，故A正確；
對于B，因為，得，故B錯誤；
對于C，數(shù)列的前項和①，
②，所以，得，
，得
，故C正確，D錯誤；
故選：AC
5．（2022·江蘇江蘇·三模）已知各項都是正數(shù)的數(shù)列的前項和為，且，則（ ）
A．是等差數(shù)列B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】對于A,求出，再將轉(zhuǎn)化為,即可證明，
對于B,利用A的結(jié)論求出，再利用基本不等式，即可證明.
對于C，求出，即可判斷正誤，
對于D，構(gòu)造函數(shù)，即可判斷正誤
【詳解】，，解得：
時，，
整理得：
故是等差數(shù)列，選項A正確；
，則，，選項B正確；
，選項C錯誤；
令，，
在遞增，，則
即，選項D正確；
故選：ABD.
三、填空題
6．（2022·遼寧·二模）若數(shù)列的前n項和，則其通項公式為_______．
【答案】
【分析】根據(jù)，即可解出．
【詳解】當(dāng)時，；
當(dāng)時，，當(dāng)時，不滿足上式，所以，
．
故答案為：．
7．（2022·安徽·模擬預(yù)測（理））已知數(shù)列滿足，則___________.
【答案】
【分析】在題干條件下求出，進而用錯位相減法求和.
【詳解】①，
②，
兩式相減得：，
所以，經(jīng)檢驗符合要求.
則，
則③，
④，
③-④得：
，
所以
故答案為：
8．（2022·山東淄博·模擬預(yù)測）設(shè)等差數(shù)列的前n項和為，若，，，則______．
【答案】4
【分析】先利用關(guān)系式，求出公差，進而用通項公式和求和公式得到方程組，求出.
【詳解】由題意得：，，
則等差數(shù)列的公差，
則，，
解得：或（舍去）.
故答案為：4
9．（2022·四川綿陽·三模（理））已知數(shù)列的前n項和為，若，，則______．
【答案】123
【分析】由已知，根據(jù)給的，通過，計算出，得到之間的關(guān)系，然后構(gòu)造等比數(shù)列，得到數(shù)列的通項公式，然后求和即可.
【詳解】由已知，，①，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，②，
①②得：，整理得：，即，
所以數(shù)列是以為首項，公比為2的等比數(shù)列，所以
，
所以，
所以.
故答案為：123.
四、解答題
10．（2022·福建泉州·模擬預(yù)測）記數(shù)列{}的前n項和為.已知，___________.
從①；②；③中選出一個能確定{}的條件，
補充到上面橫線處，并解答下面的問題.
(1)求{}的通項公式：
(2)求數(shù)列{}的前20項和.
【答案】(1)(2)210
【分析】（1）選①時，未知，故數(shù)列的偶數(shù)項不確定，無法求解；選②，變形為，且，從而求出；選③：利用與的關(guān)系式得到，利用等差數(shù)列求出通項；（2）在第一問的基礎(chǔ)上，求出，從而分組進行求和.
(1)選①：，
只能說明數(shù)列的奇數(shù)項和偶數(shù)項分別構(gòu)成等差數(shù)列，已知，數(shù)列的奇數(shù)項可以確定，但未知，故數(shù)列的偶數(shù)項不確定，因此數(shù)列不確定，題設(shè)的兩個條件均無法求解，
選②：，
由得： ，
因為，所以
故，即；
選③：
由得：，故
當(dāng)時，，
兩式相減得：，
又因為滿足，
綜上：對所有的，均有，
所以為首項為1，公差為2的等差數(shù)列，
故
(2)由（1）知：，
所以，
故，
所以
11．（2022·湖南·長沙一中一模）已知數(shù)列的前n項和為，，．
(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列；
(2)在和中插入k個數(shù)構(gòu)成一個新數(shù)列：，，，，，，，，，，…，其中插入的所有數(shù)依次構(gòu)成數(shù)列，通項公式．求數(shù)列的前30項和．
【答案】(1)證明見解析(2)
【分析】（1）由已知及，求得的遞推關(guān)系，從而可證為等比數(shù)列得；
（2）插入k個數(shù)構(gòu)成一個新數(shù)列，則數(shù)列的前30項和包含了數(shù)列的前7項及數(shù)列的前23項，采用分組求和法求解即可.
(1)由題意，當(dāng)時，，
得，解得．
當(dāng)時，，①
，②
①-②得，
因為，
所以．
則，
∵，∴
所以是以為首項，2為公比的等比數(shù)列．
(2)由（1）知，．
在數(shù)列中，項之前（含）共有，
所以數(shù)列的前30項中包含了數(shù)列的前7項及數(shù)列的前23項，
所以
．
12．（2022·廣東·三模）已知數(shù)列{}的前n項和，，，.
(1)計算的值，求{}的通項公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列{}的前n項和.
【答案】(1)，(2)
【分析】（1）賦值即可求出，利用與的關(guān)系可求得的遞推關(guān)系，進而求出（2）對分奇偶討論，當(dāng)n為偶數(shù)時，采用并項法求和，當(dāng)n為奇數(shù)時，
(1)當(dāng)時，，解得
由題知 ①
②
由②①得，
因為，所以
所以數(shù)列的奇數(shù)項是以為首項，以4為公差的等差數(shù)列；偶數(shù)項是以為首項，以4為公差的等差數(shù)列；
當(dāng)n為奇數(shù)時，
當(dāng)n為偶數(shù)時，所以的通項公式.
(2)由（1）可得.
當(dāng)n為偶數(shù)時，
當(dāng)n為奇數(shù)時，
當(dāng)時，
當(dāng)時，
經(jīng)檢驗，也滿足上式，
所以當(dāng)n為奇數(shù)時，
綜上，數(shù)列的前n項和
13．（2022·內(nèi)蒙古呼和浩特·二模（理））從①，②，這兩個條件中選擇一個補充到下面問題中，并完成解答．
問題：已知數(shù)列的前n項和為，且______，為等差數(shù)列，，，，成等差數(shù)列．
(1)寫出所選條件的序號，并求數(shù)列、的通項公式；
(2)若，求數(shù)列的前n項和．
【答案】(1)，；(2).
【分析】（1）選擇條件①和②，都是利用與的關(guān)系先求出數(shù)列的通項，再求出等差數(shù)列的公差即得的通項公式；
（2）利用裂項相消法求解.
(1)解：選擇條件①：由題意知：，
即，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，，適合.
綜上數(shù)列的通項公式為.
選擇條件②：由題意知：,
當(dāng)時，解得,
當(dāng)時，,
,
∴,
整理得,
∴數(shù)列是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列,
∴.
∵，，為等差數(shù)列,
∴,
又∵數(shù)列為等差數(shù)列，設(shè)公差為d且,
∴,
解得,
所以等差數(shù)列的通項公式為.
(2)解：由（1）知，，，
∴，
∴，
∴.
14．（2022·湖南師大附中二模）已知數(shù)列的前n項和為，.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)若，則在數(shù)列中是否存在連續(xù)的兩項，使得它們與后面的某一項依原來順序構(gòu)成等差數(shù)列？若存在，請舉例寫出此三項；若不存在，請說明理由.
【答案】(1)(2)存在，，，
【分析】（1）先求出，再當(dāng)時，由，得，兩式相減整理可得，從而可求出其通項公式，
（2）由（1）得，然后可得，，構(gòu)成等差數(shù)列
(1)當(dāng)時，，可得；
當(dāng)時，，所以，即，
因為，所以數(shù)列是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，
所以.
(2)由，
當(dāng)，，顯然不適合；
，適合，
即，，構(gòu)成公差為的等差數(shù)列.
15．（2022·江蘇江蘇·三模）已知數(shù)列的前項和為，各項均為正數(shù)的數(shù)列的前項積為，且，，.
(1)求的通項公式；
(2)證明：為等比數(shù)列.
【答案】(1)(2)證明見解析
【分析】（1）根據(jù)可求得答案；
（2）根據(jù)，證明的定值，即可得證.
(1)解：當(dāng)時，，，
當(dāng)時，，
所以，
所以數(shù)列是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，
所以；
(2)證明：，，
當(dāng)時，，則，
由于，則，
所以數(shù)列是等比數(shù)列.
題型三：累加法求數(shù)列通項
一、單選題
1．（2022·陜西·模擬預(yù)測（理））已知數(shù)列滿足，，且，則（ ）
A．6065B．6064C．4044D．4043
【答案】B
【分析】先由得到，再利用裂項抵消法進行求解.
【詳解】因為，
所以，
即，
所以，，
，，
累加，得，
即，即，n=1成立
則.
故選：B.
2．（2022·江西贛州·二模（理））已知數(shù)列{}滿足，當(dāng)n為奇數(shù)時，當(dāng)n為偶數(shù)時，則時，（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】分析知：當(dāng)時，，兩式相減得，則時，利用累加法即可求出答案.
【詳解】由n為奇數(shù)時，當(dāng)n為偶數(shù)時，可得當(dāng)時，，兩式相減得，所以時.
故選：C.
3．（2022·黑龍江·哈九中三模（理））南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算法》和《算法通變本末》中，提出了一些新的垛積公式，所討論的高階等差數(shù)列與一般等差數(shù)列不同，前后兩項之差并不相等，但是逐項差數(shù)之差或者高次差成等差數(shù)列，如數(shù)列1，3，6，10，前后兩項之差得到新數(shù)列2，3，4，新數(shù)列2，3，4為等差數(shù)列，這樣的數(shù)列稱為二階等差數(shù)列．對這類高階等差數(shù)列的研究，在楊輝之后一般稱為“垛積術(shù)”．現(xiàn)有高階等差數(shù)列，其前7項分別為3，4，6，9，13，18，24，則該數(shù)列的第17項為（ ）
A．139B．160C．174D．188
【答案】A
【分析】根據(jù)高階等差數(shù)列的知識，結(jié)合累加法求出數(shù)列的通項公式，進而可以求解.
【詳解】由題意可知，設(shè)該數(shù)列為，數(shù)列的前7項分別為3，4，6，9，13，18，24，
則數(shù)列滿足，，
所以
.
所以.
故選：A.
二、多選題
4．（2022·福建寧德·模擬預(yù)測）數(shù)列{}中，設(shè).若存在最大值，則可以是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【分析】根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性即可判斷.
【詳解】對于A， ，
當(dāng)n趨于無窮大時， 也趨于無窮大，
故不存在最大值；
對于B， ，
當(dāng) 為偶數(shù)時， ，當(dāng)為奇數(shù)時， ，
故 的最大值為1；
對于C， ，
當(dāng) 時， ，∴ 時 是遞增的數(shù)列，不存在最大值；
對于D， 即當(dāng) 時， ， ，
即 時， ，所以 是遞減的數(shù)列，
最大值為 ；
故選：BD.
5．（2022·山東日照·二模）已知數(shù)列滿足，，則下列說法正確的有（ ）
A．B．
C．若，則D．
【答案】BCD
【分析】直接計算出即可判斷A選項；構(gòu)造函數(shù)函數(shù)，由，得到，進而判斷B選項；
由得到，再結(jié)合累乘法得到，按照等比數(shù)列求和公式即可判斷C選項；
構(gòu)造函數(shù)，由得到，結(jié)合累乘法求得，按照等比數(shù)列求和公式即可判斷D選項.
【詳解】，則，又，所以，A不正確.
令函數(shù)，則，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，即，又易得是遞增數(shù)列，，故，所以，B正確.
易知是遞增數(shù)列，所以，則，則，即，所以，即，所以，所以，
而當(dāng)時，則有，C正確.
令函數(shù)，則，所以在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，，則，
所以，，，
所以，D正確.
故選：BCD.
【點睛】本題關(guān)鍵點在于B選項通過構(gòu)造函數(shù)進行放縮得到，結(jié)合即可判斷；C選項由放縮得到，D選項構(gòu)造函數(shù)得到，再結(jié)合累乘法和求和公式進行判斷.
6．（2022·重慶·二模）設(shè)數(shù)列的前n項和為，已知，且，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．是等比數(shù)列B．是等比數(shù)列
C．D．
【答案】BC
【分析】由條件變形，先求的通項公式，再判斷選項
【詳解】由題意得，故是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，
，則．故B，C正確，A錯誤
,
,
兩式相減得：，故D錯誤．
故選：BC
三、填空題
7．（2022·安徽·巢湖市第一中學(xué)高三期中（文））已知首項為1的數(shù)列的前n項和為，正項等比數(shù)列滿足，，若，且在數(shù)列中，僅有5項不小于實數(shù)，則實數(shù)的取值范圍為___________.
【答案】
【分析】根據(jù)等比數(shù)列定義和通項公式求出，從而求出，根據(jù)前n項和定義結(jié)合累加法求出，作差分析的單調(diào)性，從而結(jié)合題意求解即可.
【詳解】設(shè)，
則根據(jù)，得，
兩式相除得，
結(jié)合正項等比數(shù)列知，
所以，
所以，
因為，
所以,
即，
所以，
累加得 ；n=1成立
，
，
所以當(dāng)時，
所以數(shù)列在時單調(diào)遞減，
根據(jù)題意需要，
所以，
則實數(shù)的取值范圍為：.
故答案為：.
8．（2022·安徽滁州·二模（文））已知數(shù)列滿足：，設(shè)，．則__________．
【答案】
【分析】利用配湊法、累加法求得，利用裂項求和法求得正確答案.
【詳解】依題意，
，
所以數(shù)列是首項，公比為的等比數(shù)列，
所以，.
，也滿足，
所以，
，
所以.
故答案為：
四、解答題
9．（2022·河南·靈寶市第一高級中學(xué)模擬預(yù)測（文））已知數(shù)列滿足，且．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項和．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根據(jù)遞推關(guān)系的特征采用累加法求解即可（2）根據(jù)數(shù)列通項公式的特征采用錯位相減法求和
(1)因為，
所以，
，
…
，
所以．
又，所以，所以．
又，也符合上式，
所以．
(2)結(jié)合（1）得，所以
，①
，②
①②，得
，
所以．
10．（2022·廣東茂名·二模）已知數(shù)列滿足，，．
(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列；
(2)若，求數(shù)列的前項和．
【答案】(1)證明見解析(2)
【分析】（1）由遞推關(guān)系式可得，由等比數(shù)列定義可得結(jié)論；
（2）利用等比數(shù)列通項公式和累加法可求得，由此可得，分別在為偶數(shù)和為奇數(shù)的情況下，利用裂項相消法和求得結(jié)果，綜合兩種情況可得.
(1)由得：，又，
數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列.
(2)由（1）得：，
則，，，…，，
各式作和得：，
又，，
，
當(dāng)為偶數(shù)時，；
當(dāng)為奇數(shù)時，；
綜上所述：.
11．（2022·全國·模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足，.
(1)求的通項公式；
(2)若，求的前n項和.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）由，得到，結(jié)合累加法求得，進而求得數(shù)列的通項公式；
（2）由（1）得，結(jié)合裂項求和法，即可求解.
(1)解：由，可得，即，
所以當(dāng)時，，，，，
將上述式子進行累加得，-
將代入可得，即.
當(dāng)時也滿足上式，
所以數(shù)列的通項公式.
(2)解：由（1）得，
則
.
12．（2022·全國·模擬預(yù)測）若無窮數(shù)列滿足是公差為k的等差數(shù)列，則稱為數(shù)列.
(1)若為數(shù)列，，，求數(shù)列的通項公式；
(2)數(shù)列的前n項和為，，，為數(shù)列，求證：.
【答案】(1)(2)證明見解析
【分析】（1）根據(jù)題意得到是首項為1，公差為0的等差數(shù)列，進而得到，
得出是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，即可求得數(shù)列的通項公式；
（2）由，利用累加法求得，得到，進而求得，利用，即可求解.
(1)證明：由題意，數(shù)列為數(shù)列，，
所以是首項為1，公差為0的等差數(shù)列，所以，
又由，所以是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，
所以，所以數(shù)列的通項公式.
(2)證明：由，，所以，
依題意是首項為2，公差為2的等差數(shù)列，
所以.
因為，，，…，，
以上個等式累加，得，，
所以，.
因為滿足上式，所以.
當(dāng)時，，
且滿足上式，所以.
因為，
所以.
題型四：累乘法求數(shù)列通項
一、單選題
1．（2022·河南·模擬預(yù)測（理））已知數(shù)列中，，，則滿足的n的最大值為（ ）
A．3B．5C．7D．9
【答案】B
【分析】根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系式，運用累乘法計算出數(shù)列的通項公式，再根據(jù)不等式求解n的最大值.
【詳解】根據(jù)題意，
化簡得，
運用累乘法計算得，
且，，符合該式，
時，
時，；時，
所以滿足條件的n的最大值為5.
故選：B.
2．（2022·浙江省義烏中學(xué)模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足，則下列有可能成立的是（ ）
A．若為等比數(shù)列，則
B．若為遞增的等差數(shù)列，則
C．若為等比數(shù)列，則
D．若為遞增的等差數(shù)列，則
【答案】B
【分析】若為等比數(shù)列，可得，進而可得可判斷AC；若為遞增的等差數(shù)列，利用累乘法可得，再利用裂項相消法可得，利用累加法可得，進而可得，可判斷BD.
【詳解】因為，
∴，即，
若為等比數(shù)列，則的公比為，
∴，
由，可得，
∴，故AC錯誤；
若為遞增的等差數(shù)列，，公差，
由則，
∴，
∴，即，
∴，
∴
，
又，
∴，又
則，
∴當(dāng)時，不等式恒成立，
故，故B正確，D錯誤.
故選：B.
二、多選題
3．（2022·湖南·長郡中學(xué)高三階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，令，則（ ）
A．B．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列
C．為整數(shù)D．?dāng)?shù)列的前2022項和為4044
【答案】ABD
【分析】由已知當(dāng)時，求得，當(dāng)時，由，得，兩式相減化簡，再利用累乘法可求得，從而可判斷A，可求出，從而可判斷BC，將代入中化簡，然后利用分求和法求解即可判斷D，
【詳解】因為，
所以當(dāng)時，，故.
當(dāng)時，由，得，
所以，整理，所以，
所以，
所以，，所以A正確，
所以，所以，所以為等差數(shù)列，所以B正確，
所以不是整數(shù)，所以C錯誤，
，
設(shè)數(shù)列的前n項和為，
則.
因為，
所以.故，所以D正確，
故選：ABD
4．（2020·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，，，若存在正整數(shù)，，使得等式成立，則下列結(jié)論正確的有
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【分析】時，根據(jù)可求出，利用累乘法可求得，
【詳解】時，，而，
∴
故A選項正確
∴，即
∴
故C選項正確，B選項錯誤
假設(shè)存在正整數(shù)，，使得等式成立
∴
化簡整理得，
令，解得
取，時，成立
故D選項正確
故選：ACD
【點睛】本題主要考查數(shù)列的基本知識，考查通項公式的求解，屬于中檔題.
三、填空題
5．（2022·山西太原·二模（文））已知數(shù)列的首項為1，前n項和為，且，則數(shù)列的通項公式___________.
【答案】n
【分析】先利用累乘法將的通項公式求出，再利用與的關(guān)系，求出的通項公式即可.
【詳解】解：∵，∴
當(dāng)時，，
當(dāng)時，成立，
∴，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，滿足上式，
∴.
故答案為：n
6．（2022·全國·高三專題練習(xí)）數(shù)列中，若，，則___________.
【答案】
【分析】依題意可得，再利用累乘法求出數(shù)列的通項公式，最后利用裂項相消法求和即可；
【詳解】解：因為，所以，所以，，，，，累乘可得
即，因為，所以，所以
故答案為：
7．（2022·全國·高三專題練習(xí)）數(shù)列{an}的前n項和為Sn，數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，滿足a1=2，，且.若對任意 ，恒成立，則實數(shù)的最大值為___________.
【答案】
【分析】先求得，然后利用累乘法求得，求得，求得的最小值，由此求得的最大值.
【詳解】當(dāng)時，，所以，
當(dāng)時，，
所以，即.
所以，
也符合上式，所以.
所以.
（當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立），
所以的最大值為.
故答案為：
四、解答題
8．（2022·浙江紹興·模擬預(yù)測）設(shè)等差數(shù)列的各項為正數(shù)，其前n項和為，且構(gòu)成等比數(shù)列．
(1)求及；
(2)若數(shù)列滿足，，求證：．
【答案】(1)；(2)證明見解析.
【分析】（1）根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，結(jié)合等差數(shù)列的通項公式和前n項和進行求解即可；
（2）運用累積法，結(jié)合組合數(shù)的定義進行運算證明即可.
(1)設(shè)等差數(shù)列的首項為，公差為d，
因為，，構(gòu)成等比數(shù)列，
所以
所以
又?jǐn)?shù)列的各項為正數(shù)，所以
所以；
(2)，
所以，
所以，
，證畢．
9．（2022·浙江杭州·二模）已知數(shù)列滿足，.
(1)若且.
（?。┊?dāng)成等差數(shù)列時，求k的值；
（ⅱ）當(dāng)且，時，求及的通項公式.
(2)若，，，.設(shè)是的前n項之和，求的最大值.
【答案】(1)（?。?，（?、。?，；(2).
【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的定義以及等差中項的性質(zhì)即可求的值；由題可得是首項為，公比為2的等比數(shù)列，進而可得數(shù)列的通項，再利用累乘法即可求的通項公式；
（2）利用分組求和可得，結(jié)合，，求出利用基本不等式求最大值，即可求出的最大值.
(1)（?。┮驗槌傻炔顢?shù)列，
所以，
所以，又
所以；
（ⅱ）因為，
所以，，
所以，所以，
因為，又由，
所以是首項為，公比為2的等比數(shù)列，
所以，
所以，
∴所以；
(2)
由可得，
所以，
因為，所以，即，
因為，，，
所以即，
，
因為，，
所以，因為，所以，
所以，可得，
所以，
令，設(shè)，
，對稱軸為，是開口向上的拋物線，在單調(diào)遞增，
所以時取得最大值，
故最大值為，
所以最大值為.
【點睛】方法點睛：數(shù)列求和的方法
（1）倒序相加法：如果一個數(shù)列的前項中首末兩端等距離的兩項的和相等或等于同一個常數(shù)，那么求這個數(shù)列的前項和即可以用倒序相加法
（2）錯位相減法：如果一個數(shù)列的各項是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的對應(yīng)項之積構(gòu)成的，那么這個數(shù)列的前項和即可以用錯位相減法來求；
（3）裂項相消法：把數(shù)列的通項拆成兩項之差，在求和時，中間的一些項可相互抵消，從而求得其和；
（4）分組轉(zhuǎn)化法：一個數(shù)列的通項公式是由若干個等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求和的數(shù)列組成，則求和時可用分組轉(zhuǎn)換法分別求和再相加減；
（5）并項求和法：一個數(shù)列的前項和可以兩兩結(jié)合求解，則稱之為并項求和，形如類型，可采用兩項合并求解.
10．（2022·全國·模擬預(yù)測（理））已知數(shù)列滿足．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)設(shè)數(shù)列的前n項和為，若，則正整數(shù)n的最小值．
【答案】(1)；(2)11﹒
【分析】(1)利用累乘法可求數(shù)列的通項公式；
(2)利用錯位相減法求出，代入求解不等式即可.
(1)當(dāng)時，，
則，即，
，
n＝1也滿足上式，故；
(2)①，
②，
①－②得，
∴，代入，
得，化簡得．
∵，
∴正整數(shù)n的最小值為11．
題型五：構(gòu)造法求數(shù)列通項
一、單選題
1．（2022·河南洛陽·三模（文））若數(shù)列和滿足，，，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】依題意可得是以為首項，為公比的等比數(shù)列，即可求出的通項公式，再根據(jù)，得到，即可得到的通項公式，最后代入即可；
【詳解】解：因為， ，
所以，即，
又，
所以是以為首項，為公比的等比數(shù)列，
所以，
又，即，
所以
所以；
故選：C
2．（2022·河南商丘·三模（理））高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號．用他的名字定義的函數(shù)稱為高斯函數(shù)，其中表示不超過x的最大整數(shù)．已知數(shù)列滿足，，，若，為數(shù)列的前n項和，則（ ）
A．249B．499C．749D．999
【答案】A
【分析】利用已知關(guān)系式構(gòu)造兩個新數(shù)列，求出，利用放縮技巧，可得到數(shù)列的通項公式，再利用裂項相消法求數(shù)列 前項和后，帶入函數(shù)解析式即可得到答案.
【詳解】由，得，又，所以數(shù)列是以3為首項，4為公比的等比數(shù)列，則①；
由得，，又，所以數(shù)列是常數(shù)列，則②，由①②聯(lián)立可得；
因為，所以
即： 所以，
故，所以，則．
故選：A
3．（2022·江蘇·漣水縣第一中學(xué)高三期中）定義：在數(shù)列中，若滿足為常數(shù)），稱為“等差比數(shù)列”，已知在“等差比數(shù)列”中，，則等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由題知是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，則，利用即可求解．
【詳解】由題意可得：，，，
根據(jù)“等差比數(shù)列”的定義可知數(shù)列是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，
則，
所以，，
所以．
故選：A.
4．（2022·安徽黃山·二模（理））已知數(shù)列滿足，設(shè)的前項和為，則的值為（ ）
A．B．C．2D．1
【答案】C
【分析】由條件求得的通項公式后求解
【詳解】，則，即，
得，故是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，
，
，
．
故選：C
二、多選題
5．（2022·福建·三模）已知是直角三角形，是直角，內(nèi)角、、所對的邊分別為、、，面積為，若，，，，則（ ）
A．是遞增數(shù)列B．是遞減數(shù)列
C．存在最大項D．存在最小項
【答案】ACD
【分析】由題意推出，從而說明，利用三角形面積公式推出，構(gòu)造數(shù)列從而求得，由此可判斷A,B由結(jié)合可求得、，對數(shù)列中的奇數(shù)項和偶數(shù)項構(gòu)成的數(shù)列的單調(diào)性以及項的符號進行分析，確定數(shù)列的最大項和最小項，可判斷CD.
【詳解】由題意知： ，
故，即，即，
所以，則，
故，，
由 得： ，
即，所以，
則，而 ，
故 ，則，
所以，由于 隨的增大而減小，
故是隨的增大而增大，
由題意知，故是遞增數(shù)列，故A正確；
同理隨的增大而增大，是遞增數(shù)列，B錯誤；
又，由于，，且，
所以，是首項為，公比為的等比數(shù)列，故，
所以，，
因為，，故，，
所以，，
所以，，其中，
，其中，
因為數(shù)列隨著的增大而減小，數(shù)列隨著的增大而增大，
故數(shù)列隨著的增大而減小，故為數(shù)列中所有正項中最大的，
同理可知數(shù)列隨著的增大而增大，故為數(shù)列中所有負項中最小的，
綜上所述，數(shù)列的最大項為，最小項為，CD均對.
故選：ACD.
【點睛】本題綜合考查了數(shù)列的單調(diào)性問題以及數(shù)列的最大項和最小項問題，綜合性較強，難度較大，解答時要結(jié)合幾何知識，能熟練的應(yīng)用數(shù)列的相關(guān)知識作答，關(guān)鍵是要注意構(gòu)造新數(shù)列解決問題.
6．（2021·遼寧·高三階段練習(xí)）如圖所示，，，…，，…，是函數(shù)C：上的點，，，…，，…是x軸正半軸上的點，且，，…，，…，均為等腰直角三角形（為坐標(biāo)原點）．（ ）
A．
B．，，（）
C．
D．
【答案】ABD
【分析】A根據(jù)題設(shè)寫出代入函數(shù)求坐標(biāo)值判斷；B由等腰三角形的性質(zhì)找到的坐標(biāo)規(guī)律即可；C由B所得坐標(biāo)，代入函數(shù)式結(jié)合等差數(shù)列定義判斷的性質(zhì)并寫出通項公式，應(yīng)用累加法求通項公式；D應(yīng)用裂項相消法求和即可.
【詳解】由題意得：代入，解得；又代入，解得，故A正確；
由等腰三角形的性質(zhì)可得：，，（），故B正確；
∵，，（），滿足得，，
所以，又，兩式相減得，，又，
∴，即，
∴是以2為首項，1為公差的等差數(shù)列，則，
∴，可得，故C錯誤，
∵，
∴，D正確．
故選：ABD
7．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，，則（ ）
A．是等比數(shù)列B．
C．是等比數(shù)列D．
【答案】ACD
【分析】對選項A，根據(jù)遞推公式得到是以首項為，公比為的等比數(shù)列，即可判斷A正確，對選項B，根據(jù)A得到，即可判斷B錯誤，對選項C，根據(jù)遞推公式得到，從而判斷C為正確，對選項D，根據(jù)是等比數(shù)列，是等比數(shù)列，即可得到，即可判斷D正確.
【詳解】對選項A，當(dāng)是奇數(shù)時，，
所以，
又因為，所以，
所以當(dāng)是奇數(shù)時，，即.
即數(shù)列是以首項為，公比為的等比數(shù)列，故A正確.
對選項B，由A知：當(dāng)是奇數(shù)時，，
所以，故B錯誤.
對選項C，為偶數(shù)時，，即，
又因為，所以，即，
所以是以首項為，公比為的等比數(shù)列，故C正確.
，
故D正確.
故選：ACD
8．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，前n項和為，則下列選項中正確的是（ ）（參考數(shù)據(jù)：，）
A．B．
C．D．是單調(diào)遞增數(shù)列，是單調(diào)遞減數(shù)列
【答案】ACD
【分析】對于A：由已知得，令， 有， ，由，由此可判斷；
對于B：由，得，由此可判斷；
對于C：由，，得，由此可判斷；
對于D：令，則有與異號，與同號，繼而得，，再得，得出，，由此可判斷.
【詳解】解：對于A：由得，令， 即，則，
又，所以，則在上單調(diào)遞減，所以，
所以，故A正確；
對于B：因為，，故B不正確；
對于C：因為，所以，，所以，即，所以，故C正確；
對于D：因為，，令，所以與異號，與同號，
又，所以，，即，，
又，所以，
所以，，
所以是單調(diào)遞增數(shù)列，是單調(diào)遞減數(shù)列，
所以是單調(diào)遞增數(shù)列，是單調(diào)遞減數(shù)列，故D正確，
故選：ACD.
三、填空題
9．（2022·湖北·宜城市第一中學(xué)高三階段練習(xí)）五名運動員、、、、相互傳球．每個人在接到球后隨機傳給其他四人中的一人．設(shè)首先由開始進行第次傳球，那么恰好在第次傳球把球傳回到手中的概率是______（用最簡分?jǐn)?shù)表示）．
【答案】
【分析】設(shè)第次傳球把球傳回到的手中的概率為，根據(jù)獨立事件的概率乘法公式可得出的遞推公式，即可求得的值.
【詳解】設(shè)第次傳球把球傳回到的手中的概率為，
第次傳球?qū)⑶騻鹘o其他運動員，故；
表示第次傳球把球傳回到的手中，故傳球前球不在手中，
而每名運動員傳給其他一名指定運動員的概率為，由乘法原理，故．
于是，且，
故數(shù)列為首項為，公比為的等比數(shù)列，
于是，即，，
故.
故答案為：.
10．（2022·遼寧撫順·一模）設(shè)數(shù)列的前n項和為，且，若，則k的值為________.
【答案】4
【分析】根據(jù)題意，結(jié)合及待定系數(shù)求通項法，可求得的表達式，根據(jù)題意及結(jié)合，即可得答案.
【詳解】因為①，
所以當(dāng)時，解得
又②，
兩式①②相減可得，即，而a1-6=5不為零，
所以，即，
所以是以5為首項，2為公比的等比數(shù)列，
所以，即，
因為，
所以，
所以，且，解得k=4，
故答案為：4
11．（2022·四川宜賓·二模（理））在數(shù)列中，，，且滿足，則___________.
【答案】
【分析】由遞推公式兩邊同除得到，即可得到，即可得到是以為首項、為公比的等比數(shù)列，則，再利用累加法求出，即可得到數(shù)列的通項公式；
【詳解】解：因為，，，顯然，所以，同除得，所以，所以，所以是以為首項、為公比的等比數(shù)列，所以，所以
所以
故答案為：
四、解答題
12．（2022·陜西西安·三模（理））設(shè)公差不為零的等差數(shù)列的前項和為，，，，成等比數(shù)列，數(shù)列滿足，．
(1)求數(shù)列和的通項公式；
(2)求的值．
【答案】(1)，；(2).
【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列所給條件列方程求出首項公差即可得出數(shù)列的通項公式，再由遞推關(guān)系構(gòu)造等比數(shù)列求的通項即可；
（2）分為奇數(shù)、偶數(shù)分類討論化簡通項，利用并項求和得解.
(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為（），
由題意得，解得，
故數(shù)列的通項公式．
∵，∴，即（），又，
∴是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，，
∴．
(2)當(dāng)，時，，
當(dāng)，時，，
∴
．
13．（2022·山東·德州市教育科學(xué)研究院二模）已知數(shù)列{}的首項，且滿足．
(1)證明是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；
(2)記，求{}的前n項和．
【答案】(1)證明見解析； (2)
【分析】（1）對于兩邊取倒數(shù)，可推得，結(jié)合等比數(shù)列的通項公式，求得答案；
（2）由（1）求得的表達式，利用錯位相減法，即可求得答案.
(1)由題意得，
，
所以，
即是等比數(shù)列，
則的首項為，公比為3，所以，
所以．
(2)由（1）得：，
所以①，
②，
①－②得
,
所以.
14．（2022·全國·模擬預(yù)測（理））設(shè)數(shù)列滿足，．
(1)求證：為等比數(shù)列，并求的通項公式；
(2)若，求數(shù)列的前項和．
【答案】(1)證明見解析，(2)
【分析】（1）由遞推公式可得，即可得到是以為首項，為公比的等比數(shù)列，再根據(jù)等比數(shù)列的通項公式求出的通項公式；
（2）由（1）可得，再利用錯位相減法求和即可；
(1)解：因為，，
所以，即
又，所以是以為首項，為公比的等比數(shù)列，
所以，所以
(2)解：由（1）可得，
所以①，
所以②，
①②得
即，所以；
15．（2022·全國·模擬預(yù)測（文））已知數(shù)列滿足．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)當(dāng)時，求數(shù)列的前n項和為．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）當(dāng)時可得，令，則，即可得到數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，從而求出，即可求出數(shù)列的通項公式；
（2）利用分組求和法及等差數(shù)列前項和公式求和即可；
(1)解：當(dāng)時，，則，令，則，
又因為，所以數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，
所以，即，從而；
(2)解：因為，
所以
．
16．（2022·重慶·模擬預(yù)測）為有效防控新冠疫情從境外輸入，中國民航局根據(jù)相關(guān)法律宣布從2020年6月8日起實施航班熔斷機制，即航空公司同一航線航班，入境后核酸檢測結(jié)果為陽性的旅客人數(shù)達到一定數(shù)量的民航局對其發(fā)出“熔斷”指令，暫停該公司該航線的運行（達到5個暫停運行1周，達到10個暫停運行4周），并規(guī)定“熔斷期”的航班量不得調(diào)整用于其他航線，“熔斷期”結(jié)束后，航空公司方可恢復(fù)每周1班航班計劃.已知某國際航空公司A航線計劃每周有一次航班入境，該航線第一次航班被熔斷的概率是，且被熔斷的一次航班的下一次航班也被熔斷的概率是，未被熔斷的一次航班的下一次航班也未被熔斷的概率是.一條航線處于“熔斷期”的原計劃航班不記入該航線的航班次數(shù)，記該航空公司A航線的第n次航班被熔斷的概率為.
(1)求；
(2)證明：為等比數(shù)列；
(3)求數(shù)列的前項和，并說明的實際意義.
【答案】(1)(2)證明見解析
(3)，表示前次航班一共被熔斷的次數(shù)
【分析】（1）分第1次航班被熔斷和不被熔斷計算即可；
（2）先列出遞推關(guān)系式，再構(gòu)造等比數(shù)列證明；
（3）按照分組求和等比數(shù)列求和計算即可.
(1)；
(2)由題得，
∴，
又，∴數(shù)列是以為首項、為公比的等比數(shù)列；
(3)由（2）知，故，
從而，
由于可以理解為第次航班平均被熔斷的次數(shù)，
∴表示前次航班一共被熔斷的次數(shù).
第一列
第二列
第三列
第一行
3
2
10
第二行
6
4
14
第三行
9
8
18

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