?講義07講：任意角的三角函數(shù)、誘導(dǎo)公式與恒等式
【考點(diǎn)講義】
1．角的概念
(1)定義：角可以看成一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)所成的圖形．
(2)分類
(3)相反角：我們把射線OA繞端點(diǎn)O按不同方向旋轉(zhuǎn)相同的量所成的兩個(gè)角叫做互為相反角．角α的相反角記為－α.
(4)終邊相同的角：所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．


2．弧度制的定義和公式
(1)定義：把長度等于半徑長的圓弧所對的圓心角叫做1弧度的角，弧度單位用符號(hào)rad表示．
(2)公式
角α的弧度數(shù)公式
|α|＝(弧長用l表示)
角度與弧度的換算
1°＝ rad；1 rad＝°
弧長公式
弧長l＝αr
扇形面積公式
S＝lr＝αr2


3.任意角的三角函數(shù)
設(shè)α是一個(gè)任意角，α∈R，它的終邊OP與單位圓相交于點(diǎn)P(x，y)，則sin α＝y(tǒng)，cos α＝x，tan α＝(x≠0)．
三個(gè)三角函數(shù)的性質(zhì)如下表：
三角函數(shù)
定義域
第一象限符號(hào)
第二象限符號(hào)
第三象限符號(hào)
第四象限符號(hào)
sin α
R
＋
＋
－
－
cos α
R
＋
－
－
＋
tan α
{α|α≠kπ＋，k∈Z}
＋
－
＋
－



4．同角三角函數(shù)的基本關(guān)系
(1)平方關(guān)系：sin2α＋cos2α＝1.
(2)商數(shù)關(guān)系：＝tan α .

5．三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式
公式
一
二
三
四
五
六
角
2kπ＋α(k∈Z)
π＋α
－α
π－α
－α
＋α
正弦
sin α
－sin α
－sin α
sin α
cos α
cos α
余弦
cos α
－cos α
cos α
－cos α
sin α
－sin α
正切
tan α
tan α
－tan α
－tan α


口訣
奇變偶不變，符號(hào)看象限


6．常見特殊角的三角函數(shù)值
n
0°
30°
45°
60°
90°
120°
135°
150°
180°
270°
360°

0









2π
sin
0



1



0
-1
0
cos
1



0
-
-
-
-1
0
1

0

1


-
-1
-
0

0


7．兩角和與差的余弦、正弦、正切公式
(1) sin(αβ)＝sin αcos βcos αsin β；
(2) cos(αβ)＝cos αcos βsin αsin β；
(3) tan(αβ)＝．


8．二倍角公式
(1)基本公式：
①sin 2α＝2sin αcos α；
②cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；
③tan 2α＝.


(2)公式變形：
由cos 2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α可得
降冪公式：cos2α＝；sin2α＝；
升冪公式：cos 2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.


9．輔助角公式
asin x＋bcos x＝sin(x＋θ). （其中）
＝cos(x—φ). （其中）







【方法技巧】
1．求三角函數(shù)值
(1)利用三角函數(shù)的定義，已知角α終邊上一點(diǎn)P的坐標(biāo)可求α的三角函數(shù)值；已知角α的三角函數(shù)值，也可以求出角α終邊的位置．
(2)判斷三角函數(shù)值的符號(hào)，關(guān)鍵是確定角的終邊所在的象限，然后結(jié)合三角函數(shù)值在各象限的符號(hào)確定所求三角函數(shù)值的符號(hào)，特別要注意不要忽略角的終邊在坐標(biāo)軸上的情況．

2．同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的應(yīng)用
(1)利用sin2α＋cos2α＝1可實(shí)現(xiàn)正弦、余弦的互化，開方時(shí)要根據(jù)角α所在象限確定符號(hào)；利用＝tan α可以實(shí)現(xiàn)角α的弦切互化．
(2)應(yīng)用公式時(shí)注意方程思想的應(yīng)用：對于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α這三個(gè)式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二．
(3)注意公式逆用及變形應(yīng)用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.

3．誘導(dǎo)公式
(1)誘導(dǎo)公式的兩個(gè)應(yīng)用
①求值：負(fù)化正，大化小，化到銳角為終了．
②化簡：統(tǒng)一角，統(tǒng)一名，同角名少為終了．
(2)含2π整數(shù)倍的誘導(dǎo)公式的應(yīng)用
由終邊相同的角的關(guān)系可知，在計(jì)算含有2π的整數(shù)倍的三角函數(shù)式中可直接將2π的整數(shù)倍去掉后再進(jìn)行運(yùn)算．
如cos(5π－α)＝cos(π－α)＝－cos α.

4．三角函數(shù)式化簡的常用方法
(1)利用誘導(dǎo)公式，將任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)．
(2)切化弦：一般需將表達(dá)式中的切函數(shù)轉(zhuǎn)化為弦函數(shù)．
(3)注意“1”的代換：1＝sin2α＋cos2α＝tan.

5．給值求值的解題策略
(1)已知某些角的三角函數(shù)值，求另外一些角的三角函數(shù)值，要注意觀察已知角與所求表達(dá)式中角的關(guān)系，即拆角與湊角．
①當(dāng)“已知角”有兩個(gè)時(shí)，“所求角”一般表示為兩個(gè)“已知角”的和或差的形式．
②當(dāng)“已知角”有一個(gè)時(shí)，此時(shí)應(yīng)著眼于“所求角”與“已知角”的和或差的關(guān)系，然后應(yīng)用誘導(dǎo)公式把“所求角”變成“已知角”．

(2)由于和、差角與單角是相對的，因此解題過程中根據(jù)需要靈活地進(jìn)行拆角或湊角的變換．常見角的變換有：
①α＝(α－β)＋β；
②α＝＋；
③2α＝(α＋β)＋(α－β)；
④2β＝(α＋β)－(α－β)．


6．已知三角函數(shù)值求角的解題步驟
(1)界定角的范圍，根據(jù)條件確定所求角的范圍．
(2)求所求角的某種三角函數(shù)值．為防止增解最好選取在范圍內(nèi)單調(diào)的三角函數(shù)．
(3)結(jié)合三角函數(shù)值及角的范圍求角．
提醒：在根據(jù)三角函數(shù)值求角時(shí)，易忽視角的范圍，而得到錯(cuò)誤答案．

7．利用公式T(α±β)化簡求值的兩點(diǎn)說明
㈠分析式子結(jié)構(gòu)，正確選用公式形式：
T(α±β)是三角函數(shù)公式中應(yīng)用靈活程度較高的公式之一，因此在應(yīng)用時(shí)先從所化簡(求值)式子的結(jié)構(gòu)出發(fā)，確定是正用、逆用還是變形用，并注意整體代換．
(1)整體意識(shí)：若化簡的式子中出現(xiàn)了“tan α±tan β”及“tan α·tan β”兩個(gè)整體，常考慮tan(α±β)的變形公式．
(2)熟知變形：兩角和的正切公式的常見四種變形：
①tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)；
②1－tan αtan β＝；
③tan α＋tan β＋tan α·tan β·tan(α＋β)＝tan(α＋β)；
④tan α·tan β＝1－.
提醒：當(dāng)一個(gè)式子中出現(xiàn)兩角正切的和或差時(shí)，常考慮使用兩角和或差的正切公式．

㈡化簡求值中要注意“特殊值”的代換和應(yīng)用：
當(dāng)所要化簡(求值)的式子中出現(xiàn)特殊的數(shù)值“1”，“”時(shí)，要考慮用這些特殊值所對應(yīng)的特殊角的正切值去代換，如“1＝tan?”，“＝tan?”，這樣可以構(gòu)造出利用公式的條件，從而可以進(jìn)行化簡和求值．

【核心題型】
題型一：定義法求三角函數(shù)值
1．（2022·吉林延邊·高三階段練習(xí)）若點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，則的值為（ ）
A．0 B． C．1 D．
【答案】D
【詳解】由題意知:9=,解得=2,所以,故選D.
2．（2023秋·湖南長沙·高三湖南師大附中?？茧A段練習(xí)）已知角的終邊上有一點(diǎn)，則的值為（?? ??）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)三角函數(shù)定義可知，再利用三角恒等變換和同角三角函數(shù)之間的基本關(guān)系即可求得結(jié)果.
【詳解】角的終邊上有一點(diǎn)，
根據(jù)三角函數(shù)定義得，所以

.
故選：C
3．（2021秋·江蘇揚(yáng)州·高三邵伯高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知銳角終邊上一點(diǎn)A的坐標(biāo)為，則角的弧度數(shù)為（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先根據(jù)定義得正切值，再根據(jù)誘導(dǎo)公式求解
【詳解】，
又，為銳角，
∴??，
故選：A.

題型二：利用三角函數(shù)符號(hào)判斷角所在象限
4．（2017·全國·校聯(lián)考二模）若，則是(???)
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
【答案】D
【分析】運(yùn)用誘導(dǎo)公式先化簡后根據(jù)符號(hào)定象限.
【詳解】，即是第一或第四象限的角，
，即是第三或第四象限的角，
綜上，是第四象限的角.
故選：D.
5．（2019秋·河北衡水·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知，則點(diǎn)P所在的象限是(　　)
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【詳解】試題分析：∵，∴，即是第三象限角，∴，∴點(diǎn)P在第四象限.
考點(diǎn)：三角函數(shù)值符號(hào)判斷.
6．（2022·浙江·模擬預(yù)測）已知，則“”是“角為第一或第四象限角”的（????）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分又不必要
【答案】B
【分析】利用定義法進(jìn)行判斷.
【詳解】充分性：當(dāng)時(shí)，不妨取時(shí)軸線角不成立.故充分性不滿足；
必要性：角為第一或第四象限角，則，顯然成立.
故選：B.

題型三：知一求二
7．（2021秋·福建三明·高三三明市第二中學(xué)校考階段練習(xí)）已知，，則（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】將題設(shè)條件等式兩邊平方，可得，再將目標(biāo)式平方并結(jié)合角的范圍即可求.
【詳解】，則，
而，又，
∴，則.
故選：A
8．（2022秋·貴州貴陽·高三貴陽一中?？茧A段練習(xí)）已知，則的值為（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先把已知的等式平方得到，再化簡代入即得解.
【詳解】由，
所以，
∴，
所以.
故選：A．
9．（2022秋·安徽滁州·高三?？茧A段練習(xí)）在三角形中，已知，，若，則的值為__________．
【答案】或
【分析】由，解出A，B，C的正余弦值，將等式化簡后代入，解出.
【詳解】因?yàn)?，，，?br /> 所以，，，，
．
，
即，
所以，解得或.
故答案為：或．

題型四：齊次式法求值
10．（2022秋·遼寧撫順·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）若，則（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由題意可知，根據(jù)二倍角公式及同角的三角函數(shù)關(guān)系可得，即可得答案.
【詳解】解：因?yàn)椋?br /> 所以.
故.
故選：C.
11．（2022秋·云南昆明·高三校考階段練習(xí)）已知，則（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先對原式利用兩角和與差的正余弦公式化簡，然后再利用同角三角函數(shù)的關(guān)系化簡變形，再代值計(jì)算即可.
【詳解】因?yàn)椋?br /> 所以




，
故選：A
12．（2023·全國·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，則（ ????）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用誘導(dǎo)公式化簡已知等式可求得，結(jié)合二倍角公式，由正余弦齊次式的求法可求得結(jié)果.
【詳解】由得：，
即，，
.
故選：B.


題型五：整體代換法誘導(dǎo)公式化簡求值
13．（2014·高三課時(shí)練習(xí)）已知，則的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由可得，化簡則 ，從而可得結(jié)果.
【詳解】


，

，故選C.
【點(diǎn)睛】三角函數(shù)求值有三類，(1)“給角求值”：一般所給出的角都是非特殊角，從表面上來看是很難的，但仔細(xì)觀察非特殊角與特殊角總有一定關(guān)系，解題時(shí)，要利用觀察得到的關(guān)系，結(jié)合公式轉(zhuǎn)化為特殊角并且消除非特殊角的三角函數(shù)而得解．(2)“給值求值”：給出某些角的三角函數(shù)式的值，求另外一些角的三角函數(shù)值，解題關(guān)鍵在于“變角”，使其角相同或具有某種關(guān)系．(3)“給值求角”：實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化為“給值求值”，先求角的某一函數(shù)值，再求角的范圍，確定角．
14．（2022·四川遂寧·射洪中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知，則等于（????）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由，然后根據(jù)正切的和差公式求解即可．
【詳解】解：，，


．
故選：D．
15．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，且，則______.
【答案】
【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式進(jìn)行三角恒等變換，根據(jù)已知三角函數(shù)值和角的范圍進(jìn)一步細(xì)化角的范圍，再利用同角的三角函數(shù)基本關(guān)系式即可求解.
【詳解】，
又，
所以，
又，
所以，
所以為負(fù)值，
所以.
故答案為：.


題型六：給值求角
16．（2022秋·山東青島·高三青島二中?？计谥校┮阎?，，，則（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】求出的取值范圍，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系以及兩角差的正弦公式求出的值，即可得解.
【詳解】因?yàn)?，則，因?yàn)?，則，可得，
因?yàn)?，則，，
所以，，，
所以，
，
所以，.
故選：A.
17．（2022秋·黑龍江雙鴨山·高三雙鴨山一中?？奸_學(xué)考試）已知，，且，，則（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用二倍角的正切公式求出，再根據(jù)結(jié)合兩角和的正切公式求得，根據(jù)求出，從而可得的范圍，即可得出的范圍，即可得解.
【詳解】解：因?yàn)椋?br /> 所以，
故，
由，所以，
又,
所以，
故，
所以.
故選：A.
18．（2022·河南·安陽一中校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知，且，求的值為_____．
【答案】##
【分析】注意到，利用誘導(dǎo)公式和兩角和的正弦公式求解，注意范圍的確定.
【詳解】，則，注意到
，于是
，不妨記
，于是，而，于是（負(fù)值舍去），又，則（正值舍去），于是計(jì)算可得：
，而，于是
.
故答案為：.

題型七：利用三角函數(shù)恒等變換解決三角函數(shù)性質(zhì)問題
19．（2023·全國·高三專題練習(xí)）以下關(guān)于的命題，正確的是（? ???）
A．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增
B．直線是函數(shù)圖象的一條對稱軸
C．點(diǎn)是函數(shù)圖象的一個(gè)對稱中心
D．將函數(shù)圖象向左平移個(gè)單位，可得到的圖象
【答案】D
【分析】根據(jù)三角函數(shù)恒等變換化簡為，計(jì)算出，根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性，可判斷A;采用代入驗(yàn)證的方法可判斷;根據(jù)三角函數(shù)的平移變換可得平移后的函數(shù)解析式，判斷D.
【詳解】由題意得，
當(dāng)時(shí)，，由于函數(shù)在不單調(diào)，
故函數(shù)在區(qū)間上不是單調(diào)遞增函數(shù)，A錯(cuò)誤；
當(dāng)時(shí)，，故直線不是函數(shù)圖象的對稱軸，B錯(cuò)誤；
當(dāng)時(shí)，，故點(diǎn)不是函數(shù)圖象的對稱中心，C錯(cuò)誤；
將函數(shù)圖象向左平移個(gè)單位，可得到的圖象，D正確，
故選：D
20．（2021秋·陜西榆林·高三陜西省神木中學(xué)?？茧A段練習(xí)）函數(shù)的最小值為（????）
A． B． C． D．0
【答案】A
【分析】利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用可求函數(shù)解析式為，由，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求解最小值．
【詳解】解：


，
因?yàn)?，所以，則函數(shù)的最小值為．
故選：A．
21．（2021秋·北京昌平·高三昌平一中?？计谥校┮阎瘮?shù).
(1)求的值；
(2)求函數(shù)的最小值及相應(yīng)的值；
(3)若，求函數(shù)的增區(qū)間（直接寫出結(jié)論）.
【答案】(1)
(2)當(dāng)，時(shí)，函數(shù)取得最小值為
(3)
【分析】（1）利用二倍角公式，兩角和的正弦公式化簡函數(shù)解析式可得，再求值即可.
（2）令，，即可得解.
（3）利用正弦函數(shù)的單調(diào)性即可求解.
【詳解】（1），
，
，
；
（2）令，，
解得，，
即，時(shí)，函數(shù)取得最小值為.
（3）令，，
解得，，
又，
函數(shù)的增區(qū)間為.

題型八：三角恒等變換與平面向量結(jié)合問題
22．（2022秋·廣東·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知向量，若，則（????）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)向量垂直得出，根據(jù)，以及正弦、余弦倍角公式即可求解.
【詳解】因?yàn)椋?br /> 所以，
所以，
結(jié)合，
得，
，
，
又，
所以，
所以原式.
故選：D.
23．（2022春·上海金山·高一上海市金山中學(xué)校考期末）已知向量．
(1)若，求；
(2)若，求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間．
【答案】(1)；(2).
【分析】（1）由列方程化簡可求得結(jié)果；
（2）由向量的數(shù)量積運(yùn)算結(jié)合三角函數(shù)恒等變換公式可得，由可求出函數(shù)的增區(qū)間.
【詳解】（1）因?yàn)?，且?br /> 所以，
由上式可知，
所以；
（2），
令，得，
所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為．
24．（2020秋·吉林·高三?？计谥校┮阎蛄壳?br /> (1)用表示及.
(2)求函數(shù)的最小值及的值.
【答案】(1)，
(2)最小值為-1，此時(shí)
【分析】（1）利用向量數(shù)量積運(yùn)算公式及三角恒等變換得到，再由向量線性運(yùn)算法則及模長公式求出；
（2）在第一問的基礎(chǔ)上，化簡得到，結(jié)合，求出的最小值，及此時(shí)的值.
【詳解】（1）
，
，
故


，
因?yàn)?，所以?br /> 所以；
（2），
因?yàn)?，，且單調(diào)遞減，
故當(dāng)，時(shí)，取得最小值，且最小值為.



【高考必刷】
一、單選題
1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，則的終邊在（????）
A．第一象限 B．第二象限 C．三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】兩邊平方得，進(jìn)而得或，，，再分為偶數(shù)和為奇數(shù)兩種情況討論求解即可.
【詳解】解：由，平方得：，則，即，則或，，即有或，，
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，位于第二象限，，，，不成立，
當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，位于第四象限，，，成立.
∴角的終邊在第四象限.
故選：D.
【點(diǎn)睛】本題考查正弦的二倍角公式，根據(jù)三角函數(shù)的符號(hào)求角的范圍，考查運(yùn)算求解能力，分類討論思想，是中檔題.本題解題的關(guān)鍵在于根據(jù)題意得，進(jìn)而根據(jù)函數(shù)符號(hào)得的范圍，再分類討論求解.
2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)在第一象限，則在內(nèi)的的取值范圍是（????）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由第一象限點(diǎn)的坐標(biāo)的符號(hào)列出三角函數(shù)的不等式，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求解，結(jié)合，求出角的取值范圍．
【詳解】由已知點(diǎn)在第一象限得：
，，即，，
當(dāng)，可得，．
當(dāng)，可得或，．
或，．
當(dāng)時(shí)，或．
，
或．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題的考點(diǎn)是利用三角函數(shù)性質(zhì)求三角函數(shù)的不等式，需要根據(jù)題意列出三角函數(shù)的不等式，再由三角函數(shù)的性質(zhì)求出解集，結(jié)合已知的范圍再求出交集，屬于中檔題．
3．（廣東省河源市2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）已知角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊過點(diǎn)，則（????）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用三角函數(shù)定義和誘導(dǎo)公式六得出點(diǎn)與角的關(guān)系，再利用誘導(dǎo)公式一即可計(jì)算出結(jié)果.
【詳解】因?yàn)椋玫近c(diǎn)在第四象限，即為第四象限角，
由三角函數(shù)定義得，
所以，
所以.
故選：D.
4．（2022秋·四川內(nèi)江·高三威遠(yuǎn)中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）若，則（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由二倍角公式可得，再結(jié)合已知可求得，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系即可求解.
【詳解】
，
，，，解得，
，.
故選：A.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查三角函數(shù)的化簡問題，解題的關(guān)鍵是利用二倍角公式化簡求出.
5．（2021秋·廣東梅州·高三梅州市梅江區(qū)梅州中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知，則．
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】.
所以選A.
【點(diǎn)睛】本題考查了二倍角及同角正余弦的差與積的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.
6．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若，則（????）
A． B． C． D．3
【答案】A
【分析】先根據(jù)誘導(dǎo)公式化簡得,再結(jié)合半角公式整理得.
【詳解】由誘導(dǎo)公式化簡整理得：，
由于，
所以
故選：A
【點(diǎn)睛】本題考查誘導(dǎo)公式化簡，半角公式，同角三角函數(shù)關(guān)系，考查運(yùn)算求解能力，本題解題的關(guān)鍵在于尋找與之間的關(guān)系，從半角公式入手化簡整理.考生需要對恒等變換的相關(guān)公式熟記.
7．（2021·全國·高三專題練習(xí)）已知，則（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由所給等式利用同角三角函數(shù)的關(guān)系可求得，再利用降冪公式及二倍角公式將整理為，代入相應(yīng)值即可得解.
【詳解】由可得
所以，即，即

故選：C
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查同角三角函數(shù)的關(guān)系、降冪公式、二倍角公式，解答本題的關(guān)鍵是由條件有，從而可得，由可解，屬于中檔題.
8．（2020秋·江蘇蘇州·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知向量，且，則的值為（　?。?br /> A．1 B．2 C． D．3
【答案】A
【分析】由，轉(zhuǎn)化為，結(jié)合數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算得出，然后將所求代數(shù)式化為
，并在分子分母上同時(shí)除以，利用弦化切的思想求解．
【詳解】由題意可得 ，即 ．
∴，
故選A．
【點(diǎn)睛】本題考查垂直向量的坐標(biāo)表示以及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，考查弦化切思想的應(yīng)用，一般而言，弦化切思想應(yīng)用于以下兩方面：
（1）弦的分式齊次式：當(dāng)分式是關(guān)于角弦的次分式齊次式，分子分母同時(shí)除以，可以將分式由弦化為切；
（2）弦的二次整式或二倍角的一次整式：先化為角的二次整式，然后除以化為弦的二次分式齊次式，并在分子分母中同時(shí)除以可以實(shí)現(xiàn)弦化切．
9．（2023秋·江西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）若是第二象限角，且，則（????）
A． B． C． D．，
【答案】D
【分析】由已知和求出，再代入兩角和的正切展開式可得答案.
【詳解】是第二象限角，所以，，
由，得，，
所以，則.
故選：D.
10．（2022·陜西西安·西安市第三十八中學(xué)?？家荒＃┤?，則（????）
A．3 B． C．2 D．4
【答案】A
【分析】根據(jù)正切兩角差公式，湊角得的值，再將所求式子利用平方公式和正弦二倍角公式化成齊次式，再利用商數(shù)關(guān)系，化成含的式子，代入求值即可.
【詳解】解：因?yàn)椋?br /> 所以．
故選：A.
11．（2022秋·重慶南岸·高三重慶市第十一中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）曲線在處的切線的傾斜角為，則（????）
A． B． C． D．2
【答案】B
【分析】由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出曲線在處的切線的斜率，由此可得，再結(jié)合二倍角公式和同角關(guān)系求.
【詳解】因?yàn)樵谔幍那芯€的傾斜角為，
所以，又，
所以，
所以，
所以，
故選：B.
12．（2022秋·河南鄭州·高三溫縣第一高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，，則（???????）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先求出，再分析得到，即得解.
【詳解】解：，
所以
∵，，
∴.
∴.
故選：A.
13．（2022秋·山東·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)，則（????）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)切化弦公式及逆用二倍角公式求解即可．
【詳解】解：，
故選：C．
14．（2018·高三課時(shí)練習(xí)）已知在△ABC中，cos＝－，那么sin＋cosA＝(　　)
A． B．－
C． D．
【答案】B
【詳解】因?yàn)閏os＝－，即cos＝－，所以sin＝－，則sin＋cosA＝sinAcos＋cosAsin＋cosA＝sin＝－.故選B.
15．（2022秋·江蘇南通·高三江蘇省如東高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知，則（????）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】對進(jìn)行通分化簡，再左右兩邊同時(shí)平方且求出，進(jìn)而得到答案
【詳解】，
，
，
，
，
.
，
，
，
，
故選：D.
16．（2022秋·廣西欽州·高三校考階段練習(xí)）已知，且，則（????）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】設(shè)，化簡得到，，代入計(jì)算得到答案.
【詳解】設(shè)，，則，，
即，，，
故，.
故選：D
17．（2023秋·河南·高三安陽一中校聯(lián)考階段練習(xí)）若，是第二象限的角，則（????）
A． B． C．2 D．-5
【答案】D
【分析】先通過三角恒等變換構(gòu)造齊次式求出，再估算的范圍，進(jìn)而求得結(jié)論．
【詳解】解：，
整理得，
解得或，
∵是第二象限的角，
，
，
，
，
∴ 原式．
故選：D．
18．（2023·湖南湘潭·統(tǒng)考二模）已知，則（????）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】直接利用三角函數(shù)恒等變換進(jìn)行湊角化簡，再根據(jù)，的范圍即可求出結(jié)果.
【詳解】由已知可將，，
則，
，
，即或．
又，所以，
所以，所以選項(xiàng)A，B錯(cuò)誤，
即，則，所以．則C錯(cuò)，D對，
故選：D
19．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知、都是銳角，且，，那么、之間的關(guān)系是（????）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】推導(dǎo)出，可得出，求出的取值范圍，即可得解.
【詳解】因?yàn)?，則，
所以，，
因?yàn)?、都是銳角，由題意可得，
所以，，
所以，，
因?yàn)?、都是銳角，則且，則，
所以，，因此，.
故選：D.
20．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則不能?。????）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】化簡，得，求出函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，再根據(jù)，得，，再分別令，，，求出整數(shù)，由此可得答案.
【詳解】因?yàn)?br />
，
由，，
得，，
所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.
又函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，
所以，，因?yàn)?，所以，?br /> 當(dāng)時(shí)，得，得，不成立；所以不可?。?br /> 當(dāng)時(shí)，得，得，因?yàn)?，所以時(shí)，可取到；
當(dāng)時(shí)，得，得，因?yàn)?，所以時(shí)，可取到；
當(dāng)時(shí)，得，得，因?yàn)椋詴r(shí)，可取到.
綜上所述：不能取.
故選：A
21．（2023秋·廣西河池·高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，則下列說法正確的是（????）
A．的一條對稱軸為
B．的一個(gè)對稱中心為
C．在上的值域?yàn)?br /> D．的圖象可由的圖象向右平移個(gè)單位得到
【答案】C
【分析】化簡可得，利用代入檢驗(yàn)法可判斷AB的正誤，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)可判斷C的正誤，求出平移后的解析式可判斷D的正誤.
【詳解】，
因?yàn)椋什皇菍ΨQ軸，故A錯(cuò)誤.
，不是的一個(gè)對稱中心，
故B錯(cuò)誤.
當(dāng)時(shí)，，故，
所以，即在上的值域?yàn)椋?br /> 故C正確.
的圖象向右平移后對應(yīng)的解析式為，
當(dāng)時(shí)，此時(shí)函數(shù)對應(yīng)的函數(shù)值為，而，
故與不是同一函數(shù)，故D錯(cuò)誤.
故選：C.
22．（2022秋·河南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)在內(nèi)有且僅有1個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（????）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用三角恒等變換化簡，再根據(jù)余弦函數(shù)的圖像和性質(zhì)求解即可.
【詳解】由題意得

當(dāng)時(shí)，，
因?yàn)樵趦?nèi)有且僅有1個(gè)零點(diǎn)，
所以，解得，
故選：D
23．（2022秋·甘肅蘭州·高三蘭州一中?？茧A段練習(xí)）已知：函數(shù)，則下列說法錯(cuò)誤的是（????）
A．將的圖像向右平移個(gè)單位長度得的圖像
B．在上的值域?yàn)?br /> C．若，則，
D．的圖像關(guān)于點(diǎn)對稱
【答案】C
【分析】對函數(shù)化簡變形得，再利用正弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)依次判斷選項(xiàng)即可.
【詳解】化簡
對于A，將的圖像向右平移個(gè)單位長度得，故A正確；
對于B，，，，故B正確；
對于C，的最小正周期為，故，則，，故C錯(cuò)誤；
對于D，，故的圖像關(guān)于點(diǎn)對稱，故D正確；
故選：C

二、多選題
24．（2022秋·福建·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知為銳角，且，則（????）
A．
B．
C．若，則
D．若，則
【答案】BC
【分析】利用兩角和差正弦公式化簡已知等式可求得，知A錯(cuò)誤；由的范圍可求得，結(jié)合的范圍可知B正確；由已知等式可求得，利用同角三角函數(shù)平方關(guān)系可構(gòu)造方程求得的值，知C正確；利用二倍角正切公式化簡可求得，進(jìn)而知D錯(cuò)誤.
【詳解】由得：，
；
對于A，由得：，A錯(cuò)誤；
對于B，，，，，
則，解得：，
又，，B正確；
對于C，，，，
，，；
，又，，
，，，C正確；
對于D，，，，
，，解得：，，則，
，D錯(cuò)誤.
故選：BC.
25．（2023秋·吉林長春·高三長春市第二中學(xué)校考期末）已知，，若與共線，則下列說法錯(cuò)誤的是（????）
A．將的圖象向左平移個(gè)單位得到函數(shù)的圖象
B．函數(shù)的最小正周期為
C．直線是的一條對稱軸
D．點(diǎn)是的一個(gè)對稱中心
【答案】BCD
【分析】由已知可得.根據(jù)平移變換得出解析式，即可判斷A項(xiàng)；根據(jù)周期公式求出函數(shù)的最小正周期，即可判斷B項(xiàng)；整理代入即可判斷C、D項(xiàng).
【詳解】因?yàn)榕c共線，所以，
所以.
對于A項(xiàng)，將的圖象向左平移個(gè)單位得到函數(shù)，故A項(xiàng)說法正確；
對于B項(xiàng)，因?yàn)?，所?故B項(xiàng)說法錯(cuò)誤；
對于C項(xiàng)，因?yàn)?，所以直線不是的對稱軸，故C項(xiàng)說法錯(cuò)誤；
對于D項(xiàng)，因?yàn)?，所以點(diǎn)不是的對稱中心，故D項(xiàng)說法錯(cuò)誤.
因本題選擇的是說法錯(cuò)誤的，所以應(yīng)當(dāng)選擇BCD.
故選：BCD.
26．（2022·浙江·模擬預(yù)測）已知向量，，，函數(shù)的最小正周期是，則（????）
A．
B．在上單調(diào)遞減
C．的圖象向左移個(gè)單位，圖像關(guān)于軸對稱
D．取最大值時(shí)，x的取值集合為
【答案】BD
【分析】化簡，根據(jù)最小正周期是可得，從而得到，再根據(jù)正弦型函數(shù)的單調(diào)性、圖像平移與對稱性，結(jié)合對稱軸方程逐個(gè)判斷即可.
【詳解】因?yàn)?，，則
，
由，可得，則
選項(xiàng)A：.判斷錯(cuò)誤；
選項(xiàng)B：由，可得，
由，得在上單調(diào)遞減.判斷正確；
選項(xiàng)C：的圖象向左移個(gè)單位，可得，圖像不關(guān)于軸對稱.判斷錯(cuò)誤
選項(xiàng)D：由，可得
則取最大值時(shí)，x的取值集合為.判斷正確.
故選：BD
27．（2022秋·福建寧德·高三?？计谀┮阎?，則下列結(jié)論正確的是（????）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】根據(jù)二倍角公式，誘導(dǎo)公式，同角三角函數(shù)關(guān)系依次討論各選項(xiàng)即可得答案.
【詳解】解：對于A選項(xiàng)，，故A正確；
對于B選項(xiàng)，由得，為第二或第四象限角，
所以，解得（為第四象限角）或（為第二象限角），故B錯(cuò)誤；
對于C選項(xiàng)，由于，整理得，解得，故C正確；
對于D選項(xiàng)，，故D正確；
故選：ACD
28．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，，則（????）
A． B． C． D．
【答案】BD
【分析】根據(jù)商的關(guān)系化簡條件可求，利用平方關(guān)系求，再由商的關(guān)系求，再利用，結(jié)合二倍角公式及同角三角函數(shù)關(guān)系求，.
【詳解】因?yàn)椋?
所以，又 ，
所以，，故A錯(cuò)誤，B正確．
，
所以，
，
故C錯(cuò)誤，D正確．
故選：BD.

三、填空題
29．（2022·高一課時(shí)練習(xí)）已知，是方程的兩根，則_________.
【答案】
【分析】利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系得，，再運(yùn)用余弦、正弦和和差公式，以及同角三角函數(shù)間的關(guān)系，代入可得答案.
【詳解】解：由已知得，，
.
故答案為：.
30．（2018·高三課時(shí)練習(xí)）若，則的值等于________．
【答案】##-0.5
【分析】由已知條件求出的值，即可求解
【詳解】因?yàn)椋?br /> 所以，
又，
所以，
解得，
所以，
故答案為：
31．（2022秋·廣東深圳·高三深圳中學(xué)校考階段練習(xí)）已知，為銳角，且，，則___________.
【答案】##
【分析】計(jì)算，根據(jù)，解得答案.
【詳解】為銳角，，則，

，且，，解得
故答案為：
32．（2022秋·天津和平·高三耀華中學(xué)校考階段練習(xí)）已知，則___________.
【答案】
【分析】對條件和結(jié)論分別作恒等變換，再運(yùn)用二倍角公式即可求解.
【詳解】由條件： 得： ，
即，??；

；
故答案為： .
33．（2022秋·江西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，，且，，則的值是___________.
【答案】
【分析】由平方關(guān)系求得，，再求出即可得解.
【詳解】解：因?yàn)椋?，且，?br /> 所以，，且，
則，
所以.
故答案為：.
34．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知，，，，則________．
【答案】
【分析】利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系結(jié)合兩角差的余弦公式可求得的值，求出的取值范圍，即可得解.
【詳解】因?yàn)?，，則，，，
所以，，，
所以，
，
因此，.
故答案為：.
35．（2022秋·寧夏銀川·高三校考階段練習(xí)）已知角，，則______.
【答案】
【分析】化簡，即可得到，再根據(jù)的范圍，即可求出結(jié)果.
【詳解】，，
，
，
，
，，
，則.
故答案為：.

四、解答題
36．（2022春·海南省直轄縣級(jí)單位·高一海南二中校考期中）已知，是第三象限角，，求
(1)；
(2).
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系及兩角差的余弦公式即可求解；
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論及同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系及兩角和的正切公式即可求解.
【詳解】（1），，
，
是第三象限角，，
，
.
（2）由（1）知，，，，
，，
.

37．（2020秋·上海寶山·高三上海市行知中學(xué)校考期中）設(shè)，.
(1)當(dāng)時(shí)，求x的值.
(2)若，求的最大值與最小值，并求出相應(yīng)的取值.
【答案】(1)；
(2)當(dāng)時(shí)，函數(shù)取最小值；當(dāng)時(shí)，函數(shù)取最大值.

【分析】(1)根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示列方程，結(jié)合正切函數(shù)性質(zhì)解方程可得；
(2)根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式和三角恒等變換公式化簡，再由正弦函數(shù)性質(zhì)求其最值及相應(yīng)的的取值.
【詳解】（1）由得，又，
所以，
所以，即，
由于，所以，即：.
（2）因?yàn)?，?br /> 所以
所以，
因?yàn)?，所?br /> 當(dāng)時(shí)，即時(shí)，函數(shù)取最小值；
當(dāng)時(shí)，即時(shí)，函數(shù)取最大值.

38．（2021秋·安徽滁州·高三校考階段練習(xí)）已知平面向量，定義函數(shù)．
(1)求函數(shù)的值域；
(2)若函數(shù)圖像上的兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為和，為坐標(biāo)原點(diǎn)，求的面積．
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）利用向量點(diǎn)乘的坐標(biāo)公式，輔助角公式將進(jìn)行化簡后求值域即可；
（2）求出坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式得到的長度，判斷出為直角三角形，從而易得其的面積.
【詳解】（1），由，故函數(shù)的值域?yàn)?
（2），依題意，，故，，，于是，由勾股定理，，于是的面積為：.

39．（2021秋·陜西榆林·高二陜西省神木中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知向量，，其中.
(1)若，求的值；
(2)記，若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求的取值范圍.
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示結(jié)合三角恒等變換、誘導(dǎo)公式求解；
（2）利用三角函數(shù)的性質(zhì)求解.
【詳解】（1）∵，，，
∴.
∴，即.
∴.
（2）由（1）知.
當(dāng)時(shí)，.
∵函數(shù)在上單調(diào)遞增，
又∵的單調(diào)遞增區(qū)間為，，
∴，.
∴，.
∴，，解得，又，
∴當(dāng)時(shí)，.
40．（2022秋·江西九江·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知向量，，．
(1)求的最小正周期；
(2)當(dāng)時(shí)，求的最大值與最小值．
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）由三角恒等變換得，從而求得最小正周期；
（2）先求得，再求在的最大值與最小值.
【詳解】（1）





所以的最小正周期
（2）∵,
∴當(dāng)時(shí),取得最小值.
當(dāng)時(shí),取得最大值.
∴在上的值域是.
所以


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專題07 任意角的三角函數(shù)、誘導(dǎo)公式及恒等式（分層訓(xùn)練）-備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)講義+分層訓(xùn)練（新高考專用）：

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