極化恒等式：a·b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))2－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a－b,2)))2.
變式：a·b＝eq \f(?a＋b?2,4)－eq \f(?a－b?2,4)，a·b＝eq \f(|a＋b|2,4)－eq \f(|a－b|2,4).
如圖，在△ABC中，設(shè)M為BC的中點，則eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(AM,\s\up6(→))2－eq \(MB,\s\up6(→))2.

【典例】 (1)如圖，在△ABC中，D是BC的中點，E，F(xiàn)是AD上的兩個三等分點． eq \(BA,\s\up6(→))·eq \(CA,\s\up6(→))＝4， eq \(BF,\s\up6(→))·eq \(CF,\s\up6(→))＝－1，則eq \(BE,\s\up6(→))·eq \(CE,\s\up6(→))的值為________．
(2)如圖所示，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為2，MN是它的內(nèi)切球的一條弦(我們把球面上任意兩點之間的線段稱為球的弦)，P為正方體表面上的動點，當弦MN的長度最大時， eq \(PM,\s\up6(→))·eq \(PN,\s\up6(→))的取值范圍是________．
【方法總結(jié)】
利用向量的極化恒等式可以快速對數(shù)量積進行轉(zhuǎn)化，體現(xiàn)了向量的幾何屬性，特別適合于以三角形為載體，含有線段中點的向量問題．
【拓展訓(xùn)練】
1．已知在△ABC中，P0是邊AB上一定點，滿足P0B＝eq \f(1,4)AB，且對于邊AB上任一點P，恒有eq \(PB,\s\up6(→))·eq \(PC,\s\up6(→))≥eq \(P0B,\s\up6(→))·eq \(P0C,\s\up6(→))，則( )
A．∠ABC＝90° B．∠BAC＝90°
C．AB＝AC D．AC＝BC
2.如圖所示，正方形ABCD的邊長為1，A，D分別在x軸，y軸的正半軸(含原點)上滑動，則eq \(OC,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))的最大值是________．
培優(yōu)點11 向量極化恒等式
【要點總結(jié)】
極化恒等式：a·b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))2－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a－b,2)))2.
變式：a·b＝eq \f(?a＋b?2,4)－eq \f(?a－b?2,4)，a·b＝eq \f(|a＋b|2,4)－eq \f(|a－b|2,4).
如圖，在△ABC中，設(shè)M為BC的中點，則eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(AM,\s\up6(→))2－eq \(MB,\s\up6(→))2.

【典例】 (1)如圖，在△ABC中，D是BC的中點，E，F(xiàn)是AD上的兩個三等分點． eq \(BA,\s\up6(→))·eq \(CA,\s\up6(→))＝4， eq \(BF,\s\up6(→))·eq \(CF,\s\up6(→))＝－1，則eq \(BE,\s\up6(→))·eq \(CE,\s\up6(→))的值為________．
【答案】 eq \f(7,8)
【解析】 設(shè)BD＝DC＝m，AE＝EF＝FD＝n，則AD＝3n.
根據(jù)向量的極化恒等式，有eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))2－eq \(DB,\s\up6(→))2＝9n2－m2＝4， eq \(FB,\s\up6(→))·eq \(FC,\s\up6(→))＝eq \(FD,\s\up6(→))2－eq \(DB,\s\up6(→))2＝n2－m2＝－1.
聯(lián)立解得n2＝eq \f(5,8)，m2＝eq \f(13,8).
因此eq \(EB,\s\up6(→))·eq \(EC,\s\up6(→))＝eq \(ED,\s\up6(→))2－eq \(DB,\s\up6(→))2＝4n2－m2＝eq \f(7,8).
即eq \(BE,\s\up6(→))·eq \(CE,\s\up6(→))＝eq \f(7,8).
(2)如圖所示，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為2，MN是它的內(nèi)切球的一條弦(我們把球面上任意兩點之間的線段稱為球的弦)，P為正方體表面上的動點，當弦MN的長度最大時， eq \(PM,\s\up6(→))·eq \(PN,\s\up6(→))的取值范圍是________．
【答案】 [0,2]
【解析】 由正方體的棱長為2，得內(nèi)切球的半徑為1，正方體的體對角線長為2eq \r(3).當弦MN的長度最大時，MN為球的直徑．設(shè)內(nèi)切球的球心為O，則eq \(PM,\s\up6(→))·eq \(PN,\s\up6(→))＝eq \(PO,\s\up6(→))2－eq \(ON,\s\up6(→))2＝eq \(PO,\s\up6(→))2－1.由于P為正方體表面上的動點，故OP∈[1，eq \r(3)]，所以eq \(PM,\s\up6(→))·eq \(PN,\s\up6(→))∈[0,2]．
【方法總結(jié)】
利用向量的極化恒等式可以快速對數(shù)量積進行轉(zhuǎn)化，體現(xiàn)了向量的幾何屬性，特別適合于以三角形為載體，含有線段中點的向量問題．
【拓展訓(xùn)練】
1．已知在△ABC中，P0是邊AB上一定點，滿足P0B＝eq \f(1,4)AB，且對于邊AB上任一點P，恒有eq \(PB,\s\up6(→))·eq \(PC,\s\up6(→))≥eq \(P0B,\s\up6(→))·eq \(P0C,\s\up6(→))，則( )
A．∠ABC＝90° B．∠BAC＝90°
C．AB＝AC D．AC＝BC
【答案】 D
【解析】 如圖所示，取AB的中點E，因為P0B＝eq \f(1,4)AB，所以P0為EB的中點，取BC的中點D，則DP0為△CEB的中位線，DP0∥CE.
根據(jù)向量的極化恒等式，
有eq \(PB,\s\up6(→))·eq \(PC,\s\up6(→))＝eq \(PD,\s\up6(→))2－eq \(DB,\s\up6(→))2，eq \(P0B,\s\up6(→))·eq \(P0C,\s\up6(→))＝eq \(P0D,\s\up6(→))2－eq \(DB,\s\up6(→))2.
又eq \(PB,\s\up6(→))·eq \(PC,\s\up6(→))≥eq \(P0B,\s\up6(→))·eq \(P0C,\s\up6(→))，則| eq \(PD,\s\up6(→))|≥|eq \(P0D,\s\up6(→))|恒成立，
必有DP0⊥AB.因此CE⊥AB，又E為AB的中點，所以AC＝BC.
2.如圖所示，正方形ABCD的邊長為1，A，D分別在x軸，y軸的正半軸(含原點)上滑動，則eq \(OC,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))的最大值是________．
【答案】 2
【解析】 如圖，取BC的中點M，AD的中點N，連接MN，ON，
則eq \(OC,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝eq \(OM,\s\up6(→))2－eq \f(1,4).
因為OM≤ON＋NM＝eq \f(1,2)AD＋AB＝eq \f(3,2)，
當且僅當O，N，M三點共線時取等號．
所以eq \(OC,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))的最大值為2.

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