考點(diǎn)一 向量極化恒等式
極化恒等式：a·b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))2－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a－b,2)))2.
變式：(1)a·b＝eq \f(?a＋b?2,4)－eq \f(?a－b?2,4)，a·b＝eq \f(|a＋b|2,4)－eq \f(|a－b|2,4).
(2)如圖，在△ABC中，設(shè)M為BC的中點(diǎn)，則eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(AM,\s\up6(→))2－eq \f(1,4)eq \(CB,\s\up6(→))2＝eq \(AM,\s\up6(→))2－eq \(MB,\s\up6(→))2.
考向1 利用向量極化恒等式求值
例1 (1)如圖所示，在長方形ABCD中，AB＝4eq \r(5)，AD＝8，E，O，F(xiàn)為線段BD的四等分點(diǎn)，則eq \(AE,\s\up6(→))·eq \(AF,\s\up6(→))＝________.
答案 27
解析 BD＝eq \r(AB2＋AD2)＝12，
∴AO＝6，OE＝3，
∴由極化恒等式知eq \(AE,\s\up6(→))·eq \(AF,\s\up6(→))＝eq \(AO,\s\up6(→))2－eq \(OE,\s\up6(→))2＝36－9＝27.
(2)如圖，在△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，E，F(xiàn)是AD上的兩個(gè)三等分點(diǎn)． eq \(BA,\s\up6(→))·eq \(CA,\s\up6(→))＝4，eq \(BF,\s\up6(→))·eq \(CF,\s\up6(→))＝－1，則eq \(BE,\s\up6(→))·eq \(CE,\s\up6(→))的值為________．
答案 eq \f(7,8)
解析 設(shè)BD＝DC＝m，AE＝EF＝FD＝n，則AD＝3n.
根據(jù)向量的極化恒等式，
得eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))2－eq \(DB,\s\up6(→))2＝9n2－m2＝4，①
eq \(FB,\s\up6(→))·eq \(FC,\s\up6(→))＝eq \(FD,\s\up6(→))2－eq \(DB,\s\up6(→))2＝n2－m2＝－1.②
聯(lián)立①②，解得n2＝eq \f(5,8)，m2＝eq \f(13,8).
因此eq \(EB,\s\up6(→))·eq \(EC,\s\up6(→))＝eq \(ED,\s\up6(→))2－eq \(DB,\s\up6(→))2＝4n2－m2＝eq \f(7,8).
即eq \(BE,\s\up6(→))·eq \(CE,\s\up6(→))＝eq \f(7,8).
考向2 利用向量極化恒等式求最值、范圍
例2 (1)已知AB是圓O的直徑，AB長為2，C是圓O上異于A，B的一點(diǎn)，P是圓O所在平面上任意一點(diǎn)，則(eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→)))·eq \(PC,\s\up6(→))的最小值是________．
答案 －eq \f(1,2)
解析 如圖所示，取OC的中點(diǎn)D，連接PD，因?yàn)镺為AB中點(diǎn)，
所以(eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→)))·eq \(PC,\s\up6(→))
＝2eq \(PO,\s\up6(→))·eq \(PC,\s\up6(→))，
由極化恒等式得
eq \(PO,\s\up6(→))·eq \(PC,\s\up6(→))＝eq \(PD,\s\up6(→))2－eq \(DO,\s\up6(→))2＝eq \(PD,\s\up6(→))2－eq \f(1,4)，
因此當(dāng)P為OC的中點(diǎn)，即|eq \(PD,\s\up6(→))|＝0時(shí)，
(eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→)))·eq \(PC,\s\up6(→))取得最小值－eq \f(1,2).
(2)平面向量a，b滿足|2a－b|≤3，則a·b的最小值為________．
答案 －eq \f(9,8)
解析 由向量極化恒等式知
a·b＝eq \f(?2a＋b?2－?2a－b?2,8)
＝eq \f(|2a＋b|2－|2a－b|2,8)
≥eq \f(02－32,8)＝－eq \f(9,8)，
當(dāng)且僅當(dāng)|2a＋b|＝0，|2a－b|＝3，
即|a|＝eq \f(3,4)，|b|＝eq \f(3,2)，〈a，b〉＝π時(shí)，a·b取最小值．
規(guī)律方法 利用向量的極化恒等式可以快速對數(shù)量積進(jìn)行轉(zhuǎn)化，體現(xiàn)了向量的幾何屬性，特別適合于以三角形為載體，含有線段中點(diǎn)的向量問題．
跟蹤演練1 (1)如圖，在四邊形ABCD中，B＝60°，AB＝3，BC＝6，且eq \(AD,\s\up6(→))＝λeq \(BC,\s\up6(→))，eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝－eq \f(3,2)，則實(shí)數(shù)λ的值為________；若M，N是線段BC上的動(dòng)點(diǎn)，且|eq \(MN,\s\up6(→))|＝1，則eq \(DM,\s\up6(→))·eq \(DN,\s\up6(→))的最小值為________．
答案 eq \f(1,6) eq \f(13,2)
解析 依題意得AD∥BC，∠BAD＝120°，
由eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝|eq \(AD,\s\up6(→))|·|eq \(AB,\s\up6(→))|·cs∠BAD
＝－eq \f(3,2)|eq \(AD,\s\up6(→))|＝－eq \f(3,2)，得|eq \(AD,\s\up6(→))|＝1，
因此λ＝eq \f(\(AD,\s\up6(→)),\(BC,\s\up6(→)))＝eq \f(1,6).
取MN的中點(diǎn)E，連接DE(圖略)，
則eq \(DM,\s\up6(→))＋eq \(DN,\s\up6(→))＝2eq \(DE,\s\up6(→))，
eq \(DM,\s\up6(→))·eq \(DN,\s\up6(→))＝eq \f(1,4)[(eq \(DM,\s\up6(→))＋eq \(DN,\s\up6(→)))2－(eq \(DM,\s\up6(→))－eq \(DN,\s\up6(→)))2]
＝eq \(DE,\s\up6(→))2－eq \f(1,4)eq \(NM,\s\up6(→))2＝eq \(DE,\s\up6(→))2－eq \f(1,4).
當(dāng)點(diǎn)M，N在線段BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，DE的最小值等于點(diǎn)D到直線BC的距離，
即AB·sin B＝eq \f(3\r(3),2)，
因此eq \(DE,\s\up6(→))2－eq \f(1,4)的最小值為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3\r(3),2)))2－eq \f(1,4)＝eq \f(13,2)，
即eq \(DM,\s\up6(→))·eq \(DN,\s\up6(→))的最小值為eq \f(13,2).
(2)如圖所示，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為2，MN是它的內(nèi)切球的一條弦(我們把球面上任意兩點(diǎn)之間的線段稱為球的弦)，P為正方體表面上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)弦MN的長度最大時(shí)， eq \(PM,\s\up6(→))·eq \(PN,\s\up6(→))的取值范圍是________．
答案 [0,2]
解析 由正方體的棱長為2，得內(nèi)切球的半徑為1，正方體的體對角線長為2eq \r(3).當(dāng)弦MN的長度最大時(shí)，MN為內(nèi)切球的直徑．設(shè)內(nèi)切球的球心為O，
則eq \(PM,\s\up6(→))·eq \(PN,\s\up6(→))＝eq \(PO,\s\up6(→))2－eq \(ON,\s\up6(→))2＝eq \(PO,\s\up6(→))2－1.
由于P為正方體表面上的動(dòng)點(diǎn)，故OP∈[1，eq \r(3)]，
所以eq \(PM,\s\up6(→))·eq \(PN,\s\up6(→))∈[0,2]．
考點(diǎn)二 等和(高)線解基底系數(shù)和(差)問題
等和(高)線
平面內(nèi)一組基底eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OB,\s\up6(→))及任一向量eq \(OP′,\s\up6(—→))，eq \(OP′,\s\up6(—→))＝λeq \(OA,\s\up6(→))＋μeq \(OB,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，若點(diǎn)P′在直線AB上或在平行于AB的直線上，則λ＋μ＝k(定值)；反之也成立，我們把直線AB以及與直線AB平行的直線稱為等和(高)線．
①當(dāng)?shù)群途€恰為直線AB時(shí)，k＝1；
②當(dāng)?shù)群途€在O點(diǎn)和直線AB之間時(shí)，k∈(0,1)；
③當(dāng)直線AB在O點(diǎn)和等和線之間時(shí)，k∈(1，＋∞)；
④當(dāng)?shù)群途€過O點(diǎn)時(shí)，k＝0；
⑤若兩等和線關(guān)于O點(diǎn)對稱，則定值k1，k2互為相反數(shù)；
⑥定值k的變化與等和線到O點(diǎn)的距離成正比．
例3 (1) 在△ABC中，M為邊BC上任意一點(diǎn)，N為AM的中點(diǎn)，eq \(AN,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋μeq \(AC,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，則λ＋μ的值為( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(1,3) C.eq \f(1,4) D．1
答案 A
解析 方法一 設(shè)eq \(BM,\s\up6(→))＝teq \(BC,\s\up6(→))(0≤t≤1)，
則eq \(AN,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AM,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BM,\s\up6(→)))
＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(BM,\s\up6(→))
＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(t,2)eq \(BC,\s\up6(→))
＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(t,2)(eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)－\f(t,2)))eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(t,2)eq \(AC,\s\up6(→))，
所以λ＝eq \f(1,2)－eq \f(t,2)，μ＝eq \f(t,2)，所以λ＋μ＝eq \f(1,2) .
方法二 如圖，過N作BC的平行線，
設(shè)λ＋μ＝k，則k＝eq \f(|\(AN,\s\up6(→))|,|\(AM,\s\up6(→))|).
由圖易知，eq \f(|\(AN,\s\up6(→))|,|\(AM,\s\up6(→))|)＝eq \f(1,2).
(2)如圖，圓O是邊長為2eq \r(3)的等邊△ABC的內(nèi)切圓，其與BC邊相切于點(diǎn)D，點(diǎn)M為圓上任意一點(diǎn)，eq \(BM,\s\up6(→))＝xeq \(BA,\s\up6(→))＋yeq \(BD,\s\up6(→))(x，y∈R)，則2x＋y的最大值為( )
A.eq \r(2) B.eq \r(3)
C．2 D．2eq \r(2)
答案 C
解析 如圖，作出定值k為1的等和線DE，AC是過圓上的點(diǎn)最遠(yuǎn)的等和線，
則eq \(BM,\s\up6(→))＝xeq \(BA,\s\up6(→))＋yeq \(BD,\s\up6(→))
＝2x·eq \f(1,2)eq \(BA,\s\up6(→))·＋yeq \(BD,\s\up6(→))＝2xeq \(BE,\s\up6(→))＋yeq \(BD,\s\up6(→))，
當(dāng)M在N點(diǎn)所在的位置時(shí)，2x＋y最大，設(shè)2x＋y＝k，則k＝eq \f(|\(NB,\s\up6(→))|,|\(PB,\s\up6(→))|)＝2，
所以2x＋y取得最大值2.
易錯(cuò)提醒 要注意等和(高)線定理的形式，解題時(shí)一般要先找到k＝1時(shí)的等和(高)線，以此來求其他的等和(高)線．
跟蹤演練2 給定兩個(gè)長度為1的平面向量eq \(OA,\s\up6(→))和eq \(OB,\s\up6(→))，它們的夾角為eq \f(2π,3)，如圖所示，點(diǎn)C在以O(shè)為圓心的上運(yùn)動(dòng)，若eq \(OC,\s\up6(→))＝xeq \(OA,\s\up6(→))＋yeq \(OB,\s\up6(→))(x，y∈R)，則x＋y的最大值是________．
答案 2
解析 方法一 以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，eq \(OA,\s\up6(→))所在直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖(1)所示，
則A(1,0)，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，
設(shè)∠AOC＝αeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α∈\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(2π,3)))))，
則C(cs α，sin α)．
由eq \(OC,\s\up6(→))＝xeq \(OA,\s\up6(→))＋yeq \(OB,\s\up6(→))，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(cs α＝x－\f(1,2)y，,sin α＝\f(\r(3),2)y，))
所以x＝cs α＋eq \f(\r(3),3)sin α，y＝eq \f(2\r(3),3)sin α，
所以x＋y＝cs α＋eq \r(3)sin α＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))，
又α∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(2π,3)))，
所以當(dāng)α＝eq \f(π,3)時(shí)，x＋y取得最大值2.
圖(1) 圖(2)
方法二 令x＋y＝k，在所有與直線AB平行的直線中，切線離圓心最遠(yuǎn)，如圖(2)，即此時(shí)k取得最大值，結(jié)合角度，不難得到k＝eq \f(|\(OD,\s\up6(→))|,|\(OE,\s\up6(→))|)＝2.
專題強(qiáng)化練
1．已知正方形ABCD的面積為2，點(diǎn)P在邊AB上，則eq \(PD,\s\up6(→))·eq \(PC,\s\up6(→))的最大值是( )
A.eq \f(9,2) B．2 C.eq \f(3,2) D.eq \f(3,4)
答案 B
解析 如圖所示，取CD的中點(diǎn)E，連接PE，由極化恒等式可得eq \(PD,\s\up6(→))·eq \(PC,\s\up6(→))＝eq \(PE,\s\up6(→))2－eq \(EC,\s\up6(→))2＝eq \(PE,\s\up6(→))2－eq \f(1,2)，所以當(dāng)P與A(B)重合時(shí)，
|PE|＝eq \f(\r(10),2)最大，從而(eq \(PD,\s\up6(→))·eq \(PC,\s\up6(→)))max＝2.
2.如圖，在四邊形MNPQ中，若eq \(NO,\s\up6(→))＝eq \(OQ,\s\up6(→))，|eq \(OM,\s\up6(→))|＝6，|eq \(OP,\s\up6(→))|＝10，eq \(MN,\s\up6(→))·eq \(MQ,\s\up6(→))＝－28，則eq \(NP,\s\up6(→))·eq \(QP,\s\up6(→))等于( )
A．64 B．42 C．36 D．28
答案 C
解析 由eq \(MN,\s\up6(→))·eq \(MQ,\s\up6(→))＝eq \(MO,\s\up6(→))2－eq \(ON,\s\up6(→))2
＝36－eq \(ON,\s\up6(→))2＝－28，
解得eq \(ON,\s\up6(→))2＝64，
所以eq \(OQ,\s\up6(→))2＝64，
所以eq \(NP,\s\up6(→))·eq \(QP,\s\up6(→))＝eq \(PQ,\s\up6(→))·eq \(PN,\s\up6(→))＝eq \(PO,\s\up6(→))2－eq \(OQ,\s\up6(→))2
＝100－64＝36.
3．若A，B為雙曲線eq \f(x2,16)－eq \f(y2,4)＝1上經(jīng)過原點(diǎn)的一條動(dòng)弦，M為圓C：x2＋(y－2)2＝1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則eq \(MA,\s\up6(→))·eq \(MB,\s\up6(→))的最大值為( )
A.eq \f(15,4) B．7
C．－7 D．－16
答案 C
解析 如圖，O為AB的中點(diǎn)，
eq \(MA,\s\up6(→))·eq \(MB,\s\up6(→))＝eq \(MO,\s\up6(→))2－eq \f(1,4)eq \(BA,\s\up6(→))2，
|MO|max＝|OC|＋1＝3，
|AB|min＝2a＝8，
所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(MA,\s\up6(→))·\(MB,\s\up6(→))))max＝9－eq \f(1,4)×64＝－7.
4.如圖，△BCD與△ABC的面積之比為2，點(diǎn)P是區(qū)域ABDC內(nèi)任意一點(diǎn)(含邊界)，且eq \(AP,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋μeq \(AC,\s\up6(→))，則λ＋μ的取值范圍為( )
A．[0,1] B．[0,2]
C．[0,3] D．[0,4]
答案 C
解析 如圖，當(dāng)P位于點(diǎn)A時(shí)，(λ＋μ)min＝0，
當(dāng)P位于點(diǎn)D時(shí)，(λ＋μ)max＝3.
5．已知在△ABC中，P0是邊AB上一定點(diǎn)，滿足P0B＝eq \f(1,4)AB，且對于邊AB上任一點(diǎn)P，恒有eq \(PB,\s\up6(→))·eq \(PC,\s\up6(→))≥eq \(P0B,\s\up6(—→))·eq \(P0C,\s\up6(—→))，則( )
A．∠ABC＝90° B．∠BAC＝90°
C．AB＝AC D．AC＝BC
答案 D
解析 如圖所示，取AB的中點(diǎn)E，因?yàn)镻0B＝eq \f(1,4)AB，
所以P0為EB的中點(diǎn)，取BC的中點(diǎn)D，連接DP0，DP，
則DP0為△CEB的中位線，DP0∥CE.
根據(jù)向量的極化恒等式，
有eq \(PB,\s\up6(→))·eq \(PC,\s\up6(→))＝eq \(PD,\s\up6(→))2－eq \(DB,\s\up6(→))2，
eq \(P0B,\s\up6(—→))·eq \(P0C,\s\up6(—→))＝eq \(P0D,\s\up6(—→))2－eq \(DB,\s\up6(→))2.
又eq \(PB,\s\up6(→))·eq \(PC,\s\up6(→))≥eq \(P0B,\s\up6(—→))·eq \(P0C,\s\up6(—→))，
則|eq \(PD,\s\up6(→))|≥|eq \(P0D,\s\up6(—→))|恒成立，
必有DP0⊥AB.因此CE⊥AB，
又E為AB的中點(diǎn)，所以AC＝BC.
6．已知等邊△ABC內(nèi)接于半徑為2的圓O，點(diǎn)P是圓O上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))的取值范圍是______．
答案 [－2,6]
解析 如圖所示，取AB的中點(diǎn)D，連接CD，因?yàn)椤鰽BC為等邊三角形，所以O(shè)為△ABC的重心，O在CD上，且OC＝2OD＝2，所以CD＝3，AB＝2eq \r(3).又由極化恒等式得eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))＝
eq \(PD,\s\up6(→))2－eq \f(1,4)eq \(BA,\s\up6(→))2＝eq \(PD,\s\up6(→))2－3，
因?yàn)镻在圓O上，所以當(dāng)P在點(diǎn)C處時(shí)，|PD|max＝3，當(dāng)P在CO的延長線與圓O的交點(diǎn)處時(shí)，
|PD|min＝1，所以eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))∈[－2,6]．
7.如圖所示，正方形ABCD的邊長為1，A，D分別在x軸、y軸的正半軸(含原點(diǎn))上滑動(dòng)，則eq \(OC,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))的最大值是______．
答案 2
解析 如圖，取BC的中點(diǎn)M，AD的中點(diǎn)N，連接MN，ON，
則eq \(OC,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝eq \(OM,\s\up6(→))2－eq \f(1,4).
因?yàn)镺M≤ON＋NM＝eq \f(1,2)AD＋AB＝eq \f(3,2)，
當(dāng)且僅當(dāng)O，N，M三點(diǎn)共線時(shí)取等號．
所以eq \(OC,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))的最大值為2.
8.如圖，已知點(diǎn)P為等邊△ABC外接圓上一點(diǎn)，點(diǎn)Q是該三角形內(nèi)切圓上的一點(diǎn)，若eq \(AP,\s\up6(→))＝x1eq \(AB,\s\up6(→))＋y1eq \(AC,\s\up6(→))，eq \(AQ,\s\up6(→))＝x2eq \(AB,\s\up6(→))＋y2eq \(AC,\s\up6(→))，則|(2x1－x2)＋(2y1－y2)|的最大值為________．
答案 eq \f(7,3)
解析 由等和線定理知當(dāng)點(diǎn)P，Q分別在如圖所示的位置時(shí)，x1＋y1取最大值，x2＋y2取最小值，且x1＋y1的最大值為eq \f(AP,AM)＝eq \f(4,3)，x2＋y2的最小值為eq \f(AQ,AM)＝eq \f(1,3).
故|(2x1－x2)＋(2y1－y2)|＝|2(x1＋y1)－(x2＋y2)|≤eq \f(8,3)－eq \f(1,3)＝eq \f(7,3).

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高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 平面向量命題 點(diǎn)對點(diǎn)突破專題訓(xùn)練 平面向量的極化恒等式(解析版)

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2023高考數(shù)學(xué)二輪專題 微專題6 極化恒等式、投影向量

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