第2講  雙曲線的定義及其應用一．問題綜述本講梳理雙曲線的定義及其應用．（一）雙曲線的定義：平面內到兩個定點、的距離之差的絕對值等于定值的點的軌跡叫做雙曲線，這兩個定點叫做雙曲線的焦點，兩焦點的距離叫做雙曲線的焦距．（二）雙曲線定義的應用主要有下面幾方面的應用：1．判斷軌跡形狀；2．求標準方程；3．求最值或范圍．二．典例分析類型一：判斷軌跡形狀【例1】已知是定點，動點滿足，且則點的軌跡為（   ）A．雙曲線           B．直線             C．圓           D．射線【解析】由題意得<，所以點的軌跡為雙曲線。【方法小結】緊扣橢圓的定義進行判斷：設平面內動點到兩個定點、的距離之差的絕對值等于定值，即，（1）若，則點的軌跡是雙曲線（包括兩支）．（2）若，則點的軌跡是雙曲線的一支；若，則點的軌跡是雙曲線的另一支．（3）若，則點的軌跡是兩條射線．（4）若，則點的軌跡不存在．【變式訓練】1．方程表示的曲線是           ，其標準方程是              ．2．方程表示的曲線是           ，其方程是              ．3．方程表示的曲線           ．【答案】1．雙曲線的左支，；2．兩條射線，；3．不存在．類型二：利用雙曲線的定義求軌跡方程【例1】中，，，且，求點的軌跡方程．【解析】由，得，∴，即，∴點的軌跡為雙曲線的右支（去掉頂點），∵，，∴，，，所求軌跡方程為．【方法小結】由于，，的關系為一次齊次式，兩邊乘以（為外接圓半徑），可轉化為邊長的關系．再根據橢圓的定義，判定軌跡是橢圓，然后求橢圓的標準方程．結合定義求軌跡方程是一種重要的思想方法．【例2】已知雙曲線的左右焦點分別是，是雙曲線右支上的動點，過作的平分線的垂線，求垂足的軌跡．【解析】設點的坐標為，延長與交于點，連接．∵平分，且⊥，∴ ，．又∵點是雙曲線右支上的動點，∴ ，∴ ，∴ ，即點在以為圓心，為半徑的圓上．∵ 當點沿雙曲線右支運動到無窮遠處時，趨近于雙曲線的漸近線，∴ 點的軌跡是圓弧，除去點和，方程為．【方法小結】求軌跡與軌跡方程的注意事項（1）求軌跡方程的關鍵是在紛繁復雜的運動變化中，發(fā)現動點P的運動規(guī)律，即P點滿足的等量關系，因此要學會動中求靜，變中求不變．（2）求出軌跡方程后，應注意檢驗其是否符合題意，既要檢驗是否增解(即以該方程的某些解為坐標的點不在軌跡上)，又要檢驗是否丟解(即軌跡上的某些點未能用所求的方程表示)．檢驗方法：研究運動中的特殊情形或極端情形．【變式訓練】的頂點、，的內切圓圓心在直線x＝3上，則頂點的軌跡方程是（   ）A．      B．      C．    D．【解析】如圖，，，所以．根據雙曲線定義，所求軌跡是以、為焦點，實軸長為6的雙曲線的右支，方程為．類型三：焦點三角形中的計算問題【例1】已知是雙曲線上一點，，是雙曲線的兩個焦點，若，則的值為________．【解析】由雙曲線方程知，，則． ∵是雙曲線上一點，∴，又，∴或．又，∴．【例2】已知雙曲線的左、右焦點分別為、，為右支上的一點，且，則的面積等于（   ）A．24           B．36           C．48           D．96【解析】依題意得，由雙曲線的定義，得，∴．∴，故選C．【方法小結】關鍵抓住點為雙曲線右支上的一點，從而有，再利用，進而得解．雙曲線上一點P與雙曲線的兩焦點組成的三角形通常稱為“焦點三角形”，利用定義可求其周長，利用定義和余弦定理可求；通過整體代入可求其面積等．【變式訓練】1．設橢圓和雙曲線的公共焦點分別為、，為這兩條曲線的一個交點，則的值等于__________．【答案】．【解析】焦點坐標為，由此得，故.根據橢圓與雙曲線的定義可得，|．兩式平方相減，得，.2．設、分別是雙曲線的左、右焦點，以為直徑的圓與雙曲線在第二象限的交點為，若雙曲線的離心率為5，則(　　)A．　　　    　 B．　　　    　 C．　　　    　D．【答案】C．【解析】依題意可知，設，由雙曲線定義知：  ①；由勾股定理得：　②；又由離心率： ③，三式聯立解得，故.3．已知、為雙曲線的左、右焦點，點在上，，則 (　　) A．　　　    　 B．　　　    　 C．　　　    　D．【答案】C．【解析】由雙曲線的定義有，∴，則.4．已知的頂點，分別為雙曲線左、右焦點，頂點在雙曲線上，則的值等于(　　)A．　　　    　 B．　　　    　 C．　　　    　D． 【答案】A．【解析】在中，由正弦定理知.5．已知是雙曲線上的點，、是其焦點，雙曲線的離心率是，且，若面積為9，則的值為(　　)A．5　　　    　  B．6　　　    　  C．7　　　    　D．8【答案】C．【解析】由，得，設設，，不妨設設，則，，，，解得，∴，∴.類型四：利用雙曲線的定義求離心率【例1】已知雙曲線的左、右焦點分別為，，過的直線與圓相切，與的左、右兩支分別交于點，，若，則的離心率為(    )A．          B．            C．           D．【解析】依題意，則，所以，又直線與圓相切，故，所以，在中，由余弦定理得，化簡得，所以，即，所以，于是．【變式訓練】已知，為雙曲線的左、右焦點，點為雙曲線上一點，且，，則雙曲線的離心率為           ．【解析】依題意可得，所以．類型五：利用雙曲線的定義求范圍或最值【例1】如圖，是以、為焦點的雙曲線右支上任一點，若點到點與點的距離之和為，則的取值范圍是（   ）A．                 B．C．          D．【解析】連結，由雙曲線的第一定義可得： 當且僅當三點共線時取得最小值．故選B．【例2】如圖，點的坐標為，是圓上的點，點在雙曲線右支上，求的最小值，并求此時點的坐標．           【解析】設點的坐標為，則點，為雙曲線的焦點，        ，所以，是圓上的點，其圓心為，半徑為1，故，，從而，當在線段上時取等號，此時的最小值為．直線的方程為，因點在雙曲線右支上，故，由方程組  解得，所以點的坐標為．【方法小結】在求解有關圓錐曲線的最值問題時,如果用函數觀點求解會困難重重．利用定義進行轉化，則勢如破竹, 能起到出奇制勝的效果。【變式訓練】為雙曲線右支上一點，、分別是圓和上的點，則的最大值為__________．【解析】兩圓圓心和恰為雙曲線的兩焦點．當最大且最小時，最大.的最大值為到圓心的距離與圓半徑之和，即，同樣，故的最大值為：.類型六：構造雙曲線解題【例3】已知中，為邊上的中線，且滿足，，求點到直線距離的最大值．【解析】以為原點，建立直角坐標系如圖所示．設，則點為雙曲線（其中）和圓的交點,于是可得．進而得,當且僅當時等號成立．因此所求點到直線距離的最大值為．【方法小結】本題通過構造雙曲線來解決問題．三．鞏固練習1．平面內有兩個定點)和，動點滿足，則動點P的軌跡方程是                                                               （   ）A．   B．   C．   D．2．已知，以為一個焦點作過，兩點的橢圓，則橢圓另一個焦點的軌跡方程（   ）A．  　  B．       C．      D．3．與的半徑分別為1和2，，動圓與內切而與外切，則動圓圓心軌跡是（   ）A．橢圓         B．拋物線      C．雙曲線         D．雙曲線的一支 4．一動圓過定點，且與定圓：相外切，則動圓圓心的軌跡方程為____________． 5．設聲速為米/秒，在相距米的兩哨所，聽到炮彈爆炸聲的時間差6秒，求炮彈爆炸點所在曲線的方程．  6．已知，為雙曲線的左、右焦點，點為雙曲線右支上一點，直線與圓相切，且，則雙曲線的離心率為(   )A．          B．           C．          D．  7．設圓與兩圓，中的一個內切，另一個外切．（1）求的圓心軌跡的方程．（2）已知點 ，，且為上動點，求的最大值及此時的坐標． 8．如圖，橢圓的方程為，是橢圓的短軸左頂點，過點作斜率為的直線交橢圓于點，點，且∥軸，的面積為．（1）求橢圓的方程；（2）在直線上求一點，使得以橢圓的焦點為焦點，且過的雙曲線的實軸最長，并求此雙曲線的方程． 四．鞏固練習參考答案1．【答案】D．【解析】根據雙曲線的定義可得，答案D．2．【答案】A．【解析】由已知得，即，所以，點的軌跡是以為焦點，實軸長的雙曲線的下支，方程為．故選A．3．【答案】D4．【答案】【解析】設動圓圓心為，由題意得，由雙曲線定義知，點的軌跡是以為焦點，且，的雙曲線的左支．其方程為：(x≤－2)．5．【答案】【解析】以兩哨所所在直線為x軸，它的中垂線為軸，建立直角坐標系，得炮彈爆炸點的軌跡方程為．6．【答案】C．7．【解析】（1）圓的圓心為，半徑為2，圓的圓心為，半徑為2，設圓的半徑為，①若圓與圓內切，與外切，則，，兩式相減，得；②若圓與圓外切，與內切，同理；由①②得，點的軌跡是以為焦點的雙曲線，其中，，軌跡的方程為；（2）由點的坐標知，點在圓上，又由坐標知，點是圓心，，三點同在一條直線上時，可取最大值2．直線的斜率為：，直線的方程為：，由求得， （舍去）故取最大值2時，點坐標是．8．【解析】（1），又，故．∵，，∴，將代入橢圓得：，得，所求橢圓方程為． （2）設橢圓的焦點為，，則易知，，直線的方程為：，因為在雙曲線上，要雙曲線的實軸最長，只須最大，設關于直線的對稱點為，則直線與直線的交點為所求， 因為的方程為：，聯立得，又=，故，故所求雙曲線方程為．
 

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