理解一元二次方程的概念，熟練掌握一元二次方程的解法。
會(huì)判斷一元二次方程根的情況，了解一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系并能簡單應(yīng)用。
會(huì)列一元二次方程解決實(shí)際問題。
（一） 一元二次方程的概念和基本形式
一元二次方程的定義是；等號兩邊都是整式，只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的方程，叫做一元二次方程。
一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常數(shù)且a≠0）特別要注意a≠0的條件．在一般形式中ax2叫二次項(xiàng)，bx叫一次項(xiàng)，c是常數(shù)項(xiàng)．其中a，b，c分別叫二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)，常數(shù)項(xiàng)．
（二）根的判別式
根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與△＝b2﹣4ac有如下關(guān)系：①當(dāng)△＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；②當(dāng)△＝0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；③當(dāng)△＜0時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根．上面的結(jié)論反過來也成立．
（三）根與系數(shù)的關(guān)系
根與系數(shù)的關(guān)系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根時(shí)，，．
（四）一元二次方程的應(yīng)用
1.數(shù)字問題：解答這類問題要能正確地用代數(shù)式表示出多位數(shù)，奇偶數(shù)，連續(xù)整數(shù)等形式。
2.幾何問題：這類問題要結(jié)合幾何圖形的性質(zhì)、特征、定理或法則來尋找等量關(guān)系，構(gòu)建方程，對結(jié)果要結(jié)合幾何知識檢驗(yàn)。
3.增長率問題（下降率）：在此類問題中，一般有變化前的基數(shù)（），增長率（），變化的次數(shù)（），變化后的基數(shù)（）,這四者之間的關(guān)系可以用公式表示。
4.其它實(shí)際問題（都要注意檢驗(yàn)解的實(shí)際意義，若不符合實(shí)際意義，則舍去）。
題型一 一元二次方程的概念、基礎(chǔ)考點(diǎn)
【例1】下列關(guān)于x的方程：①ax2+bx+c＝0；②x2+1x2?3＝0；③x2﹣4+x5＝0；④3x＝x2．其中是一元二次方程的有（ ）
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
【答案】A
【解析】根據(jù)一元二次方程的定義逐個(gè)判斷即可．
解：一元二次方程只有④，共1個(gè)，
故選：A．
【例2】一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)分別是（ ）
A．1，4，5B．0，，C．1，，5D．1，，
【答案】D
【解析】解：∵一元二次方程，
∴二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)分別為2，，
故選：D．
【例3】關(guān)于x的方程是一元二次方程，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】解：∵方程是一元二次方程，
∴，
解得：，
故選A．
【例4】已知是方程的根，代數(shù)式的值是 ．
【答案】9
【解析】解：是方程的根，
，
，
．
故答案為：9．
鞏固訓(xùn)練：
1、下列方程中，一定是關(guān)于x的一元二次方程的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】解：A、時(shí)，不是一元二次方程，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B、是一元二次方程，故此選項(xiàng)正確；
C、是二元二次方程，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D、是一元一次方程，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤．
故選：B．
2、下列方程中，①，②，③，④，⑤，一元二次方程的有（ ）
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
【答案】B
【解析】解：①符合一元二次方程的定義，是一元二次方程；
②當(dāng)時(shí)不是一元二次方程；
③去括號化簡后可得：，不是一元二次方程；
④分母里含有未知數(shù)，為分式方程，不是一元二次方程；
⑤符合一元二次方程的定義，是一元二次方程；
故選B．
題型二 直接開平方法
【例5】一元二次方程可以轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程，其中一個(gè)一元一次方程是，則另一個(gè)一元一次方程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】解：∵，
∴或，
故選C
【例6】用直接開平方法解方程，得方程的根是（ ）
B． C．， D．
【答案】C
【解析】先移項(xiàng)、系數(shù)化1，則可變形為，然后利用數(shù)的開方解答，求出 的值，
進(jìn)而求．
移項(xiàng)得,
兩邊同除3得,
開方得,
所以
故選:C．
【例7】按要求解方程：
(1)直接開平方法：；
(2)；
(3)（直接開平方）
【答案】見解析
【解析】（1），
，
即或，
所以；
（2）解：
直接開平方可得：，
或
∴原方程的解為：，；
（3）解：，
∴，
∴；
【例8】用直接開平方法解下列一元二次方程，其中無解的方程為( )
A．x2－5＝5 B．－3x2＝0 C．x2＋4＝0 D．(x＋1)2＝0
【答案】C
【解析】 A．由原方程得到x2＝10＞0，所以該方程有解．B.由原方程得到x2＝0，所以該方程有解．
C.由原方程得到x2＝－4＜0，所以該方程無解．D.(x＋1)2＝0，所以該方程有解．
故選C.
鞏固訓(xùn)練
3、一元二次方程（4-2x）2-36=0的解是__________．
【答案】x1=-1，x2=5
【解析】移項(xiàng)得：（4﹣2x）2=36，開方得：4﹣2x=±6，解得：x1=﹣1，x2=5．
故答案為：x1=﹣1，x2=5．
4、用開平方法解下列方程：
(1)x2－81＝0. (2)4x2－7＝0. (3)3(1－x)2＝12. (4)(2x＋6)2－8＝0.
【答案】見解析
【解析】 (1)x2－81＝0，x2＝81，∴x＝±9.
(2)4x2－7＝0，4x2＝7，x2＝eq \f(7,4)，∴x＝±eq \f(\r(7),2).
(3)3(1－x)2＝12，(1－x)2＝4，1－x＝±2， ∴x1＝－1，x2＝3.
(4)(2x＋6)2－8＝0，(2x＋6)2＝8，2x＋6＝±2eq \r(,2)，∴x1＝－3＋eq \r(,2)，x2＝－3－eq \r(,2).
5、下列解方程的結(jié)果正確的是（ ）
A. x2=-11，解得x=± B. （x-1）2=4，解得x-1=2，所以x=3
C. x2=7，解得x=± D. 25x2=1，解得25x=±1，所以x=±
【答案】C
【解析】直接開平方法可得。
6、一元二次方程(x＋6)2＝16可轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程，其中一個(gè)一元一次方程是x＋6＝4，則另一個(gè)一元一次方程是( )
A．x－6＝－4 B．x－6＝4 C．x＋6＝4 D．x＋6＝－4
【答案】D
【解析】將方程(x＋6)2＝16兩邊直接開平方，得x＋6＝±4，則x＋6＝4或x＋6＝－4.
故選D.
題型三 配方法
【例9】
（配方法）
；
【答案】見解析
【解析】（2），
移項(xiàng)，得：，
配方，得：，即：，
∴，
∴；
（2），
，
，
，
，
解得；
【例10】用配方法解一元二次方程，則方程可變形為 ．
【答案】見解析
【解析】， ，
， ，
故答案為：．
【例11】若將方程x2＋6x＝7化為(x＋m)2＝16，則m＝________．
【答案】3
【解析】在方程x2＋6x＝7的兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，得x2＋6x＋32＝7＋32，
整理，得(x＋3)2＝16，
所以m＝3.
【例12】若方程x2＋px＋q＝0可化為(x＋eq \f(1,2))2＝eq \f(3,4)的形式，則pq＝________．
【答案】－eq \f(1,2)
【解析】
(x＋eq \f(1,2))2＝x2＋x＋eq \f(1,4)＝eq \f(3,4)，
即x2＋x－eq \f(1,2)＝0，
即p＝1，q＝－eq \f(1,2)，
則pq＝－eq \f(1,2).
鞏固訓(xùn)練
7、用配方法解下列方程：
(1)x2－2x＝1； (2)x2－6x－6＝0；
(3)x2＋9＝6x； (4)(x－1)(x－3)＝8.
【答案】見解析
【解析】解：(1)配方，得x2－2x＋1＝1＋1，即(x－1)2＝2.
兩邊開平方，得x－1＝±eq \r(2).
所以x1＝1＋eq \r(2)，x2＝1－eq \r(2).
(2)移項(xiàng)、配方，得(x－3)2＝15，即x－3＝±eq \r(15).
所以x1＝3＋eq \r(15)，x2＝3－eq \r(15).
(3)移項(xiàng)，得x2－6x＋9＝0，即(x－3)2＝0，
解這個(gè)方程，得x1＝x2＝3.
(4)(x－1)(x－3)＝8，
x2－4x＋3＝8，
x2－4x＝5，
x2－4x＋4＝9，
(x－2)2＝9，
∴x－2＝±3，
∴x1＝3＋2＝5，x2＝2－3＝－1.
8、用配方法解方程x2－4x＋2＝0，下列配方正確的是 ( )
A．(x－2)2＝2 B．(x＋2)2＝2 C．(x－2)2＝－2 D．(x－2)2＝6
【答案】A
【解析】 移項(xiàng)，得x2－4x＝－2.
配方，得x2－4x＋4＝－2＋4，即(x－2)2＝2.
故選A
9、用配方法解下列方程，其中應(yīng)在方程左、右兩邊同時(shí)加上4的是( )
A．x2－2x＝5 B．x2－8x＝5 C．x2＋4x＝5 D．x2＋2x＝5
【答案】C
【解析】A項(xiàng)，因?yàn)楸痉匠痰囊淮雾?xiàng)系數(shù)是－2，所以方程兩邊應(yīng)同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方1.故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．
B項(xiàng)，因?yàn)楸痉匠痰囊淮雾?xiàng)系數(shù)是－8，所以方程兩邊應(yīng)同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方16.故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．
C項(xiàng)，因?yàn)楸痉匠痰囊淮雾?xiàng)系數(shù)是4，所以方程兩邊應(yīng)同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方4.故本選項(xiàng)正確．
D項(xiàng)，因?yàn)楸痉匠痰囊淮雾?xiàng)系數(shù)是2，所以方程兩邊應(yīng)同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方1.故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．
故選C.
題型四 公式法
【例13】(1)（公式法）
(2)公式法：；
【答案】見解析
【解析】（1）∵
∴，
∴，
∴，
∴；
（2），
，
∵，
∴，
∴，
∴；
【例14】一元二次方程x2－x－1＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根中較大的根是( )
A．1＋eq \r(5) B.eq \f(1＋\r(5),2) C.eq \f(1－\r(5),2) D.eq \f(－1＋\r(5),2)
【答案】B
【解析】 B
∵一元二次方程x2－x－1＝0中，a＝1，b＝－1，c＝－1，
∴x＝eq \f(－b±\r(b2－4ac),2a)＝eq \f(1±\r(5),2)，
∴一元二次方程x2－x－1＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根中較大的根是eq \f(1＋\r(5),2).
故選B.
【例15】用公式法解方程，則________；方程的解為________．
【答案】5
【解析】∵a=1，b=3，c=1
∴=5>0
∴x=
故答案為：5，
鞏固訓(xùn)練
10、用公式法解方程x2－4x－2＝0，其中b2－4ac的值是( )
A．16 B．24 C．8 D．4
【答案】B
【解析】∵a＝1，b＝－4，c＝－2，∴b2－4ac＝(－4)2－4×1×(－2)＝16＋8＝24.
故選B.
11、一元二次方程x2＋2 eq \r(2)x－6＝0的根是( )
A．x1＝x2＝eq \r(2) B．x1＝0，x2＝－2 eq \r(2)
C．x1＝eq \r(2)，x2＝－3 eq \r(2) D．x1＝－eq \r(2)，x2＝3 eq \r(2)
【答案】C
【解析】∵a＝1，b＝2 eq \r(2)，c＝－6，b2－4ac＝8－4×1×(－6)＝32，
∴x＝eq \f(－b±\r(b2－4ac),2a)＝eq \f(－2 \r(2)±\r(32),2)，
∴x1＝eq \r(2)，x2＝－3 eq \r(2).
故選C.
12、用公式法解方程：
(1)x2＋4x－1＝0； (2)(x＋1)(x－1)＝2 eq \r(2)x；
(3)5x2－eq \r(5)x－6＝0; (4)(x－2)(1－3x)＝2.
【答案】見解析
【解析】解：(1)∵a＝1，b＝4，c＝－1，b2－4ac＝42－4×1×(－1)＝20>0，
∴x＝eq \f(－b±\r(b2－4ac),2a)＝eq \f(－4±\r(20),2)，
∴x＝－2±eq \r(5)，
即x1＝－2＋eq \r(5)，x2＝－2－eq \r(5).
(2)∵(x＋1)(x－1)＝2 eq \r(2)x，
∴x2－2 eq \r(2)x－1＝0，
則a＝1，b＝－2 eq \r(2)，c＝－1，
b2－4ac＝(－2 eq \r(2))2－4×1×(－1)＝12＞0，
∴x＝eq \f(2 \r(2)±2 \r(3),2)＝eq \r(2)±eq \r(3)，
∴x1＝ eq \r(2)＋eq \r(3)，x2＝eq \r(2)－eq \r(3).
(3)∵a＝5，b＝－eq \r(5)，c＝－6，
b2－4ac＝5－4×5×(－6)＝125>0，
∴x＝eq \f(－b±\r(b2－4ac),2a)＝eq \f(\r(5)±5 \r(5),10)，
即x1＝eq \f(3 \r(5),5)，x2＝－eq \f(2 \r(5),5).
(4)整理，得3x2－7x＋4＝0，
∵a＝3，b＝－7，c＝4，
b2－4ac＝(－7)2－4×3×4＝1>0，
∴x＝eq \f(7±\r(1),2×3)，∴x1＝eq \f(4,3)，x2＝1.
題型五 因式分解法
【例16】下列方程能用因式分解法求解的有（ ）
①； ②； ③； ④．
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
【答案】C
【解析】解：方程可變形為，故①能用分解因式法求解；
方程可變形為，故②能用分解因式法求解；
方程不能用因式分解法求解；
方程可變形為，即，故④能用分解因式法求解．
綜上，能用因式分解法求解的方程有3個(gè)，故選：C．
【例17】方程x2－3x＝0的解為( )
A．x＝0 B．x＝3 C．x1＝0，x2＝－3 D．x1＝0，x2＝3
【答案】D
【解析】 ∵x2－3x＝0，
∴x(x－3)＝0，∴x＝0或x－3＝0，
∴x1＝0，x2＝3.故選D.
【例18】三角形的每條邊的長都是方程x2﹣6x+8=0的根，則三角形的周長是
【答案】10
【解析】x2﹣6x+8=0
（x—2）（x—4）=0
解得：x=2或4
∴三角形三邊長為：2，2，4或4，4，2
又∵三角形兩邊之和大于第三邊
所以2，2，4這種情況要舍去
∴三角形的周長為4+4+2=10
鞏固訓(xùn)練
13、(1)方程x2＋x＝0的解是 ．(2)方程3(x－5)2＝2(x－5)的根是____________．
【答案】見解析
【解析】 (1)x1＝0，x2＝－1 (2)x1＝5，x2＝eq \f(17,3)
(1) x(x＋1)＝0，x＝0或x＋1＝0，
∴x1＝0，x2＝－1.
(2) 移項(xiàng)，得3(x－5)2－2(x－5)＝0，
分解因式，得(x－5)[3(x－5)－2]＝0，
可得x－5＝0或3x－17＝0，
14、若實(shí)數(shù)x滿足(x－1)2－8(x－1)＋16＝0，則x＝________．
【答案】x1＝5，x2＝eq \f(17,3).
【解析】
(x－1)2－8(x－1)＋16＝0，(x－1－4)2＝0，(x－5)2＝0，x1＝x2＝5.
解得x1＝5，x2＝eq \f(17,3).
15、已知數(shù)軸上A，B兩點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)分別是一元二次方程(x＋1)(x－2)＝0的兩個(gè)根，
則A，B兩點(diǎn)間的距離是________．
【答案】3
【解析】 因?yàn)?x＋1)(x－2)＝0，所以x＋1＝0或x－2＝0，解得x1＝－1，x2＝2，
所以A，B兩點(diǎn)間的距離是|2－(－1)|＝3.
故答案是3.
16、用因式分解法解下列方程：
(1)x2＋16x＝0； (2)(3x＋2)2－4x2＝0； (3)2x(x＋3)－3(x＋3)＝0.
【答案】見解析
【解析】 (1)用提公因式法因式分解求出方程的根；
(2)用平方差公式因式分解求出方程的根；
(3)提取公因式(x＋3)，即可得解．
解：(1)原方程可變形為x(x＋16)＝0，
∴x＝0或x＋16＝0，
∴x1＝0，x2＝－16.
(2)原方程可變形為(3x＋2－2x)(3x＋2＋2x)＝0，
即(x＋2)(5x＋2)＝0，
∴x＋2＝0或5x＋2＝0，
∴x1＝－2，x2＝－eq \f(2,5).
(3)根據(jù)題意，原方程可化為(x＋3)(2x－3)＝0，
∴原方程的解為x1＝－3，x2＝eq \f(3,2).
17、當(dāng)x為何值時(shí)，代數(shù)式x2－2x－3的值與代數(shù)式4x＋4的值互為相反數(shù)？
【答案】-1
【解析】解：由題意，得x2－2x－3＝－(4x＋4)．
整理，得x2＋2x＋1＝0，
解得x1＝x2＝－1.
即當(dāng)x為－1時(shí)，代數(shù)式x2－2x－3的值與代數(shù)式4x＋4的值互為相反數(shù)．
題型六 根的判別式
【例19】關(guān)于x的一元二次方程x2+4x+k=0有實(shí)數(shù)解，則k的取值范圍是（ ）
A.k≥4B.k≤4 C.k＞4D.k=4
【答案】B；
【解析】∵關(guān)于x的一元二次方程x2+4x+k=0有實(shí)數(shù)解，
∴b2﹣4ac=42﹣4×1×k≥0，
解得：k≤4，故選B．
【例20】關(guān)于x的一元二次方程x2+（k﹣3）x+1﹣k＝0根的情況，下列說法正確的是（ ）
A．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根
C．無實(shí)數(shù)根D．無法確定
【答案】A
【解析】先計(jì)算判別式，再進(jìn)行配方得到△＝（k﹣1）2+4，然后根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得到△＞0，再利用判別式的意義即可得到方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
解：△＝（k﹣3）2﹣4（1﹣k）
＝k2﹣6k+9﹣4+4k
＝k2﹣2k+5
＝（k﹣1）2+4，
∴（k﹣1）2+4＞0，即△＞0，
∴方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
故選：A．
【例21】 若關(guān)于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+2=0有實(shí)數(shù)根，則整數(shù)a的最大值為（ ）
A．﹣1 B．0 C.1 D.2
【答案】B；
【解析】∵關(guān)于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+2=0有實(shí)數(shù)根，
∴△=（﹣2）2﹣8（a﹣1）=12﹣8a≥0且a﹣1≠0，
∴a≤且a≠1，
∴整數(shù)a的最大值為0．故選：B．
鞏固訓(xùn)練
18. 一元二次方程x2﹣4x+4=0的根的情況是（ ）
A．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根
C．無實(shí)數(shù)根D．無法確定
【答案】B.
【解析】在方程x2﹣4x+4=0中，△=（﹣4）2﹣4×1×4=0，∴該方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根．
19．一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則滿足的條件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B；
【解析】(a≠0)有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根．
20．關(guān)于方程的兩根的說法正確的是（ ）
A. B. C. D.無實(shí)數(shù)根
【答案】D；
【解析】求得Δ=b2-4ac=-8＜0，此無實(shí)數(shù)根，故選D.
21．當(dāng)k為何值時(shí)，關(guān)于x的方程x2-(2k-1)x＝-k2+2k+3，
(1)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根？
(2)有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根？
(3)沒有實(shí)數(shù)根?
【答案】見解析
【解析】
解：化為一般形式為：，
∴ ，，．
∴ ．
(1)若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則△＞0，即．∴ ．
(2)若方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則△＝0，即，∴ ．
(3)若方程沒有實(shí)數(shù)根，則△＜0，即，∴ ．
答：當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)k＝時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；
當(dāng)，方程沒有實(shí)數(shù)根．
題型七 求根與系數(shù)的關(guān)系
【例22】若x1，x2是一元二次方程x2+10x+16=0的兩個(gè)根，則x1+x2的值是（ ）
A．﹣10 B．10 C．﹣16 D．16
【答案】A
【解析】解：∵x1，x2一元二次方程x2+10x+16=0兩個(gè)根，
∴x1+x2=﹣10．
故選：A．
【例23】已知關(guān)于x的一元二次方程x2+mx+n=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為x1=﹣2，x2=4，則m+n的值是（ ）
A．﹣10 B．10 C．﹣6 D．2
【答案】A
【解析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得出﹣2+4=﹣m，﹣2×4=n，求出即可．
解：∵關(guān)于x的一元二次方程x2+mx+n=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為x1=﹣2，x2=4，
∴﹣2+4=﹣m，﹣2×4=n，
解得：m=﹣2，n=﹣8，
∴m+n=﹣10，
故選A．
【例24】已知實(shí)數(shù)x1，x2滿足x1+x2=7，x1x2=12，則以x1，x2為根的一元二次方程是（ ）
A．x2﹣7x+12=0B．x2+7x+12=0C．x2+7x﹣12=0D．x2﹣7x﹣12=0
【答案】A
【解析】根據(jù)以x1，x2為根的一元二次方程是x2﹣（x1+x2）x+x1，x2=0，列出方程進(jìn)行判斷即可．
解：以x1，x2為根的一元二次方程x2﹣7x+12=0，
故選：A．
【例25】若α，β是關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0的兩實(shí)根，且＝﹣，則m等于（ ）
A．﹣2B．﹣3C．2D．3
【答案】B
【解析】解：α，β是關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0的兩實(shí)根，
∴α+β＝2，αβ＝m，
∵+＝＝＝﹣，
∴m＝﹣3； 故選：B．
【例26】已知x1，x2是方程x2﹣4x+2＝0的兩根．
（1）填空：x1+x2＝ ，x1?x2＝ ，1x1+1x2= ，x12x2+x1x22= ；
（2）求x1﹣x2的值．
【答案】見解析
【解析】（1）利用根與系數(shù)的關(guān)系得到x1+x2和x1?x2的值，利用通分得1x1+1x2=x1+x2x1?x2，利用因式分解得到x12x2+x1x22=x1x2（x1+x2），然后利用整體代入的方法計(jì)算；
（2）利用完全平方公式得到x1﹣x2＝±(x1+x2)2?4x1x2，然后利用整體代入的方法計(jì)算．
解：（1）x1+x2＝4，x1?x2＝2，
1x1+1x2=x1+x2x1?x2=42=2；
x12x2+x1x22=x1x2（x1+x2）＝2×4＝8；
故答案為4，2，2，8；
（2）x1﹣x2＝±(x1?x2)2=(x1+x2)2?4x1x2=±42?4×2=±22．
鞏固訓(xùn)練
22、若方程x2﹣3x+2＝0的兩根是α、β，則α+αβ+β＝ ．
【答案】5
【解析】利用根與系數(shù)的關(guān)系可得出α+β＝3，αβ＝2，將其代入α+αβ+β中即可求出結(jié)論．
∵方程x2﹣3x+2＝0的兩根是α、β，
∴α+β＝3，αβ＝2，
∴α+αβ+β＝α+β+αβ＝3+2＝5．
故答案為：5．
題型八 利用根與系數(shù)的關(guān)系求代數(shù)式的值
【例27】已知a，b是一元二次方程x2+x﹣1＝0的兩根，則3a2﹣b的值是 ．
【答案】8
【解析】
由題意可知：a+b＝﹣1，ab＝﹣1， a2＝1-a，
∴原式＝3（1﹣a）﹣b+＝3﹣3a﹣b+＝3﹣2a﹣（a+b）+
＝3﹣2a+1+＝4﹣2a+＝4+
＝4+＝4+4＝8，
故答案為：8．
【例28】如果實(shí)數(shù)分別滿足，，求的值
【答案】 當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，
【解析】 由題意知：為方程的兩個(gè)根，且，
解方程得：，
⑴當(dāng)時(shí)，有，，；
⑵當(dāng)時(shí)，方程的根為，．
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，．
鞏固訓(xùn)練
23、若方程x2﹣2x﹣4＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為α，β，則α2+β2的值為（ ）
A．12B．10C．4D．﹣4
【答案】A
【解析】解：∵方程x2﹣2x﹣4＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為α，β，
∴α+β＝2，αβ＝﹣4，
∴α2+β2＝（α+β）2﹣2αβ＝4+8＝12；
故選：A．
24、若一元二次方程x2﹣x﹣2＝0的兩根為x1，x2，則（1+x1）+x2（1﹣x1）的值是（ ）
A．4B．2C．1D．﹣2
【答案】A
【解析】解：根據(jù)題意得x1+x2＝1，x1x2＝﹣2，
所以（1+x1）+x2（1﹣x1）＝1+x1+x2﹣x1x2＝1+1﹣（﹣2）＝4．
故選：A．
題型九 利用根與系數(shù)的關(guān)系求系數(shù)字母的值
【例29】設(shè)、是方程的兩個(gè)不同的實(shí)根，且，
則的值是 ．
【答案】
【解析】 由根與系數(shù)的關(guān)系得，．
且有，即．
所以．
從而，
解之得或．又，所以．
【例30】已知關(guān)于x的方程x2+（a﹣2）x+a+1＝0的兩實(shí)根x1、x2滿足，則實(shí)數(shù)a＝ ．
【答案】3﹣
【解析】解：∵關(guān)于x的方程x2+（a﹣2）x+a+1＝0的兩實(shí)根為x1、x2，
∴△＝（a﹣2）2﹣4（a+1）≥0，即a（a﹣8）≥0，
∴當(dāng)a≥0時(shí)，a﹣8≥0，即a≥8；
當(dāng)a＜0時(shí)，a﹣8＜0，即a＜8，所以a＜0．
∴a≥8或a＜0，
∴x1+x2＝2﹣a，x1?x2＝a+1，
∵x12+x22＝4，（x1+x2）2﹣2x1?x2＝（2﹣a）2﹣2（a+1）＝4，
∴（x1+x2）2﹣2x1?x2＝（2﹣a）2﹣2（a+1）＝4，解得a＝3±．
∵3＜＜4，
∴6＜3+＜7（不合題意舍去），3﹣＜0；
∴a＝3﹣．
故答案為：a＝3﹣．
鞏固訓(xùn)練
25、已知x1，x2是關(guān)于x的一元二次方程x2+2x+k﹣1＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且x12+x22﹣x1x2＝13，
則k的值為 ．
【答案】—2
【解析】解：根據(jù)題意得：x1+x2＝﹣2，x1x2＝k﹣1，
x12+x22﹣x1x2＝13＝﹣3x1x2＝4﹣3（k﹣1）＝13，k＝﹣2，
故答案為：﹣2．
26、已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣4x+m﹣1＝0的實(shí)數(shù)根x1，x2，滿足3x1x2﹣x1﹣x2＞2，
則m的取值范圍是 ．
【答案】3＜m≤5
【解析】解：依題意得：，
解得3＜m≤5．
故答案是：3＜m≤5．
題型十 解決實(shí)際問題之（傳播、握手、球賽問題）
【例31】某班學(xué)生畢業(yè)時(shí)，都將自己的照片向本班其他同學(xué)送一張留念，全班一共送了1260張，如果全班有x名同學(xué)，根據(jù)題意，列出方程為（ ）
A．x（x+1）＝1260 B．2x（x+1）＝1260 C．x（x﹣1）＝1260 D．x（x﹣1）＝1260×2
【答案】C
【解析】解：依題意，得：x（x﹣1）＝1260．故選：C．
【例32】為增強(qiáng)學(xué)生身體素質(zhì)，提高學(xué)生足球運(yùn)動(dòng)競技水平，我市開展“市長杯”足球比賽，賽制為單循環(huán)形式（每兩隊(duì)之間賽一場）．現(xiàn)計(jì)劃安排21場比賽，應(yīng)邀請多少個(gè)球隊(duì)參賽？設(shè)邀請x個(gè)球隊(duì)參賽，根據(jù)題意，可列方程為 ．
【答案】 x（x﹣1）=21
【解析】解：設(shè)有x個(gè)隊(duì)，每個(gè)隊(duì)都要賽（x﹣1）場，但兩隊(duì)之間只有一場比賽，由題意得：
x（x﹣1）=21，
故答案為：x（x﹣1）=21．
鞏固訓(xùn)練
27、元旦到了，九（2）班每個(gè)同學(xué)都與全班同學(xué)交換一件自制的小禮物，結(jié)果全班交換小禮物共1560件，該班有 個(gè)同學(xué)．
【答案】40
【解析】設(shè)該班有x個(gè)同學(xué)，則每個(gè)同學(xué)需交換（x﹣1）件小禮物，根據(jù)全班交換小禮物共1560件，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論．
設(shè)該班有x個(gè)同學(xué)，則每個(gè)同學(xué)需交換（x﹣1）件小禮物，
依題意，得：x（x﹣1）＝1560，
解得：x1＝40，x2＝﹣39（不合題意，舍去）．
故答案為：40．
28．有一人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后，共有人患了流感，每輪傳染中平均每人傳染了（ ）個(gè)人
A．11B．12C．13D．14
【答案】B
【解析】患流感的人把病毒傳染給別人，自己仍然患病，包括在總數(shù)中．設(shè)每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了x個(gè)人，則第一輪傳染了x個(gè)人，第二輪作為傳染源的是人，則傳染人，依題意列方程：，解方程即可求解．
設(shè)每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了x個(gè)人，依題意得
，即，
解方程得(舍去)，
即每輪傳染中平均每人傳染了個(gè)人，
故選：B
29．一個(gè)人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后共有144人患了流感，每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了 人．
【答案】11
【解析】解：設(shè)每輪傳染中平均一個(gè)人傳染x人，
根據(jù)題意可得方程，
解得，（舍去），
故每輪傳染中平均一個(gè)人傳染11人，
故答案為：11．
題型十一 解決實(shí)際問題之幾何動(dòng)點(diǎn)問題
【例33】如圖，矩形中，，，點(diǎn)從開始沿邊向點(diǎn)以厘米/秒的速度移動(dòng)，點(diǎn)從點(diǎn)開始沿邊向點(diǎn)以厘米/秒的速度移動(dòng)，如果、分別是從同時(shí)出發(fā)，求經(jīng)過幾秒時(shí)，
(1)的面積等于平方厘米？
(2)五邊形的面積最??？最小值是多少？
【答案】(1)2秒或4秒
(2)3秒時(shí)，五邊形的面積最小，最小值是39平方厘米
【解析】（1）設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，則，，再由面積公式建立方程求解即可；
（2）由（1）可得：要使的面積有最大值，則要使取最大值，則此時(shí)，面積為9， 則此時(shí)五邊形的面積最小，從而可得答案．
（1）解：設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，則，，
則，
解得：或．
∴經(jīng)過2秒或4秒時(shí)，的面積等于8平方厘米．
（2）由（1）可得：
∴要使的面積有最大值，則要使取最大值，則此時(shí)，面積為9，
則此時(shí)五邊形的面積最小，最小值為．
【例34】在中，，動(dòng)點(diǎn)M、N分別從點(diǎn)A和點(diǎn)C同時(shí)開始移動(dòng)，點(diǎn)M的速度為/秒，點(diǎn)N的速度為/秒，點(diǎn)M移動(dòng)到點(diǎn)C后停止，點(diǎn)N移動(dòng)到點(diǎn)B后停止．問經(jīng)過幾秒鐘，的面積為？

【答案】2秒
【解析】解：設(shè)經(jīng)過x秒鐘后，的面積為，
由題意得，，
∴，
∴．
∵，即，
∴舍去，即．
答：經(jīng)過2秒，的面積為．
鞏固訓(xùn)練
30．如圖，在中，，，，點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿邊向點(diǎn)B以的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿向點(diǎn)C以的速度移動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，P，Q均停止運(yùn)動(dòng)，若的面積等于，則運(yùn)動(dòng)時(shí)間為（ ）
A．1秒B．4秒C．1秒或4秒D．1秒或秒
【答案】A
【解析】當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒時(shí)，，，根據(jù)的面積等于，可得出關(guān)于t的一元二次方程，解之取其符合題意的值，即可得出結(jié)論．
解：當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒時(shí)，，，
根據(jù)題意得：，
即，
整理得：，
解得：，，
當(dāng)時(shí)，，不符合題意，舍去，
∴．
∴運(yùn)動(dòng)時(shí)間為1秒．
故選：A．
31．如圖，，，，一個(gè)小球從點(diǎn)出發(fā)沿著方向滾向點(diǎn)，另一小球立即從點(diǎn)出發(fā)，沿勻速前進(jìn)攔截小球，恰好在點(diǎn)處截住了小球．若兩個(gè)小球滾動(dòng)的速度相等，則另一個(gè)小球滾動(dòng)的路程是 ．
【答案】
【解析】解：，，，設(shè)，則，
在中，，
∵兩個(gè)小球滾動(dòng)的速度相等，設(shè)速度為，根據(jù)題意可知，一個(gè)小球從點(diǎn)出發(fā)，另一小球立即從點(diǎn)出發(fā)，恰好在點(diǎn)處截住，則運(yùn)動(dòng)時(shí)間相等，
∴，則，
∴，解得，，
∴，
故答案為：．
32．如圖，在長方形中，，，點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿邊向終點(diǎn)B以的速度移動(dòng)，與此同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿邊向終點(diǎn)C以的速度移動(dòng)．如果P、Q分別從A、B同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，兩點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．

(1)填空：______，______（用含的代數(shù)式表示）
(2)當(dāng)為何值時(shí)，的長度等于？
(3)是否存在，使得五邊形的面積等于？若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)；
(2)當(dāng)或時(shí)，的長度等于
(3)不存在；理由見解析
【解析】（1）根據(jù)P、Q兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度可得、的長度；
（2）根據(jù)勾股定理可得，代入相應(yīng)數(shù)據(jù)解方程即可；
（3）根據(jù)題意可得的面積為長方形的面積減去五邊形的面積，再根據(jù)三角形的面積公式代入相應(yīng)線段的長即可得到方程，再解方程即可．
（1）解：∵P從點(diǎn)A開始沿邊向終點(diǎn)B以的速度移動(dòng)，
∴，
∵，
∴，
∵點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿邊向終點(diǎn)C以的速度移動(dòng)，
∴；
故答案為：；．
（2）解：由題意得：，
解得：，；
∴當(dāng)或時(shí)，的長度等于；
（3）解：不存在；理由如下：
長方形的面積是：，
使得五邊形的面積等于，則的面積為，
∴，
整理得：，
∵，
∴此方程無解，
∴不存在，使得五邊形的面積等于．
題型十二 增長率（變化率）問題
【例35】淄博燒烤火爆出圈，各地游客紛紛“進(jìn)淄趕烤”．某燒烤店5月1日收入約為5萬元，之后兩天的收入按相同的增長率增長，5月3日收入約為9.8萬元，若設(shè)每天的增長率為x，則x滿足的方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】根據(jù)題意列方程為：，
故選D．
【例36】某商店將一批夏裝降價(jià)處理，經(jīng)過兩次降價(jià)后，由每件100元降至81元，求平均每次降價(jià)的百分率．設(shè)平均每次降價(jià)的百分率為x，可列方程（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】解：設(shè)平均每次降價(jià)的百分率為，根據(jù)題意列方程得
故選：A．
【例37】據(jù)統(tǒng)計(jì)，目前某市基站的數(shù)量約萬座，計(jì)劃到2023年底，全市基站數(shù)是目前的4倍，到2025年底，全市基站數(shù)最將達(dá)到萬座．
(1)計(jì)劃到2023年底，全市基站的數(shù)量是多少萬座？
(2)求2023年底到2025年底，全市基站數(shù)量的年平均增長率．
【答案】(1)計(jì)劃到2023年底，全市5G基站的數(shù)量是6萬座.
(2)2023年底到2025年底，全市5G基站數(shù)量的年平均增長率為
【解析】（1）按照條件計(jì)算即可；
（2）設(shè)出未知數(shù)，按題目要求列出算式，得出結(jié)果檢驗(yàn)．
（1）解：（萬座），
答：計(jì)劃到2023年底，全市基站的數(shù)量是6萬座.
（2）解：設(shè)2023年底到2025年底，全市基站數(shù)量的年平均增長率為x，
依題意，得，
解得（不符合題意，舍去），
答：2023年底到2025年底，全市5G基站數(shù)量的年平均增長率為；
鞏固訓(xùn)練
33．如今網(wǎng)上購物已經(jīng)成為一種時(shí)尚，某網(wǎng)店“雙十一”全天交易額逐年增長，2018年的交易額為40萬元，2020年的交易額為48.4萬元，求2018年至2020年該網(wǎng)店“雙十一”交易額的年平均增長率？
【答案】
【解析】解：設(shè)2018年至2020年該網(wǎng)店“雙十一”交易額的年平均增長率為x，
根據(jù)題意，得，
解得，（不符合實(shí)際，舍去）．
答：2018年至2020年該網(wǎng)店“雙十一”交易額的年平均增長率為．
34．某件服裝廠促銷一種服裝，原來每件每件售價(jià)為200元，經(jīng)過連續(xù)兩次降價(jià)后，該種服裝每件售價(jià)為98元，則平均每次降價(jià)的百分率為 ．
【答案】
【解析】設(shè)平均每次降價(jià)的百分率為x，那么第一次降價(jià)后為，第二次降價(jià)后為，然后根據(jù)每件的價(jià)格由原來的200元降為現(xiàn)在的98元即可列出方程，解方程即可．
設(shè)平均每次降價(jià)的百分率為x，
依題意得，
∴，
∴，
解得，（舍去）．
即：平均每次降價(jià)的百分率為．
故答案是：．
35．某藥店一月份銷售口罩500包，三月份銷售口罩605包，設(shè)該店二、三月份銷售口罩的月平均增長率為x，則可列方程 ．
【答案】
【解析】根據(jù)題意，可得：，
故答案為：．
36．某服裝廠生產(chǎn)一批服裝，2020年該類服裝出廠價(jià)為200元/件，2021年、2022年連續(xù)兩年改進(jìn)技術(shù)，降低成本，2022年該類服裝的出廠價(jià)調(diào)整為162元/件．若這兩年此類服裝的出廠價(jià)下降的百分率相同，則2021年此類服裝的出廠價(jià)為 元/件．
【答案】
【解析】解：設(shè)這兩年此類服裝的出廠價(jià)下降的百分率為，由題意可得：
解得：或（舍去）
2021年此類服裝的出廠價(jià)為（元）
故答案為：
37．公安交警部門提醒市民，騎車出行必須嚴(yán)格遵守“一盔一帶”的規(guī)定．某頭盔經(jīng)銷商統(tǒng)計(jì)了某品牌頭盔3月份到5月份的銷量，該品牌頭盔3月份銷售256個(gè)，5月份銷售400個(gè)，且從3月份到5月份銷售量的月增長率均為．
(1)求月增長率r；
(2)經(jīng)在市場中調(diào)查，若此種頭盔的進(jìn)價(jià)為30元/個(gè)時(shí)，定價(jià)為40元/個(gè)時(shí)，月銷售量為600個(gè)，若在此基礎(chǔ)上售價(jià)每上漲1元/個(gè)，則月銷售量將減少10個(gè)，為使月銷售利潤達(dá)到10000元，而且盡可能讓顧客得到實(shí)惠，則該品牌頭盔的實(shí)際售價(jià)應(yīng)定為多少元/個(gè)？
【答案】(1)
(2)50
【解析】（1）解：由題意得：，
解得或（不符合題意，舍去），
答：月增長率為．
（2）解：設(shè)該品牌頭盔的實(shí)際售價(jià)應(yīng)定為元/個(gè)，則月銷售量為（個(gè)），
由題意得：，
解得或，
要盡可能讓顧客得到實(shí)惠，
，
答：該品牌頭盔的實(shí)際售價(jià)應(yīng)定為50元/個(gè)．
題型十三 面積問題
【例38】現(xiàn)有一塊長 80 cm 、寬 60 cm 的矩形鋼片，將它的四個(gè)角各剪去一個(gè)邊長為 x cm 的小正方形，做成一個(gè)底面積為 1500 cm2 的無蓋的長方體盒子，根據(jù)題意列方程，化簡可得 ．
【答案】 x2?70x+825=0
【解析】由題意得 80?2x60?2x=1500．整理得 x2?70x+825=0．
【例39】如圖，把長40cm，寬30cm的長方形紙板剪掉2個(gè)小正方形和2個(gè)小長方形（陰影部分即剪掉部分），將剩余的部分折成一個(gè)有蓋的長方體盒子，設(shè)剪掉的小正方形邊長為xcm（紙板的厚度忽略不計(jì)），若折成長方體盒子的表面積是950cm2，則x的值是（ ）

A．3cmB．4cmC．4.8cmD．5cm
【答案】 D
【解析】觀察圖形可知小長方形的長為（x）cm，根據(jù)去除陰影部分的面積為950cm2，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論．
依題意，得：40×30﹣2x2﹣2x?（x）＝950，
整理，得：x2+20x﹣125＝0，
解得：x1＝5，x2＝﹣25（不合題意，舍去）．
故選：D．
【例40】現(xiàn)要在一個(gè)長為40m，寬為26m的矩形花園中修建等寬的小道，剩余的地方種植花草．如圖所示，要使種植花草的面積為864m2，那么小道的寬度應(yīng)是 m．
【答案】 2
【解析】設(shè)小道進(jìn)出口的寬度為x米，然后利用其種植花草的面積為864m2列出方程求解即可．
設(shè)小道進(jìn)出口的寬度為x米，依題意得（40﹣2x）（26﹣x）＝864，
整理，得x2﹣46x+88＝0．
解得，x1＝2，x2＝44．
∵44＞40（不合題意，舍去），
∴x＝2．
答：小道進(jìn)出口的寬度應(yīng)為2米．
故答案為：2．
【例41】如圖，某小區(qū)有一塊長為36m，寬為24m的矩形空地，計(jì)劃在其中修建兩塊相同的矩形綠地，它們的面積之和為600m2，兩塊綠地之間及周邊有寬度相等的人行通道，則人行通道的寬度為 m．
【答案】 2
【解析】將矩形綠地平移后，根據(jù)圖中的等量關(guān)系列出方程即可求出答案．
設(shè)人行通道的寬度為x，
將臉矩形綠地平移，如圖所示，
∴AB＝2x，GD＝3x，ED＝24﹣2x
由題意可列出方程：36×24﹣600＝2x×36+3x（24﹣2x）
解得：x＝2或x＝22（不合題意，舍去）
故答案為：2
鞏固訓(xùn)練
38、在一塊長，寬的長方形鐵皮的四個(gè)角上截去四個(gè)相同的小正方形，然后做成底面積是的無蓋長方體盒子，設(shè)小正方形的邊長為，則可列出的方程為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】解：設(shè)在4個(gè)角上截去4個(gè)相同的邊長為xcm的小正方形，
則得出長方體的盒子底面的長為：，寬為：，
又因?yàn)榈酌娣e為， 所以，
整理得：， 故選：．
39、如圖，一塊矩形鐵皮的長是80cm，寬為50cm，在這個(gè)鐵皮的四角各剪去一個(gè)邊長相同的小正方形，做成一個(gè)無蓋的長方體盒子，若盒子的底面積是2800cm2，四個(gè)角剪去的小正方形的邊長為xcm，則根據(jù)題意，列出的方程是 ．
【答案】 （80﹣2x）（50﹣2x）＝2800．
【解析】根據(jù)長方形的面積公式即可列出方程．
設(shè)四個(gè)角剪去的小正方形的邊長為xcm，
則根據(jù)題意，列出的方程是（80﹣2x）（50﹣2x）＝2800，
故答案為：（80﹣2x）（50﹣2x）＝2800．
40、五個(gè)完全相同的小長方形拼成如圖所示的大長方形，大長方形的面積是135cm2，則以小長方形的寬為邊長的正方形面積是 cm2．
【答案】 9
【解析】設(shè)小長方形的長為xcm，寬為xcm，
根據(jù)題意得：（x+2×x）?x＝135，
解得：x＝9或x＝﹣9（舍去），
則x＝3．
所以3×3＝9（cm 2）．
故答案為：9．
題型十四 數(shù)字問題
【例42】兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的積為99，設(shè)其中較小的一個(gè)奇數(shù)為x，則可得方程為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】解：設(shè)其中較小的一個(gè)奇數(shù)為x，則較大的一個(gè)奇數(shù)為，
則，
故選：B．
【例43】一個(gè)兩位數(shù)等于它個(gè)位數(shù)字的平方，且個(gè)位數(shù)字比十位數(shù)字大3，則這個(gè)兩位數(shù)是（ ）
A．25B．36C．25或36D．64
【答案】C
【解析】設(shè)這個(gè)兩位數(shù)的十位數(shù)字為，則個(gè)位數(shù)字為．
依題意得：，
解得:.
∴ 這個(gè)兩位數(shù)為25或36．
故選C．
【例44】兩個(gè)連續(xù)整數(shù)之積為20，那么這兩個(gè)數(shù)是 ．
【答案】4和5或和
【解析】設(shè)第一個(gè)自然數(shù)為，則第二個(gè)自然數(shù)為，
根據(jù)題意得：，
整理，得：，
解得：．
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，，
故這兩個(gè)整數(shù)是：4與5或與；
故答案是：4和5或和．
鞏固訓(xùn)練
41．一個(gè)兩位數(shù)，十位上的數(shù)字比個(gè)位上的數(shù)字的平方少9．如果把十位上的數(shù)字與個(gè)位上的數(shù)字對調(diào)，得到的兩位數(shù)比原來的兩位數(shù)小27，則原來的兩位數(shù)是
【答案】74
【解析】解：設(shè)這個(gè)兩位數(shù)的十位數(shù)字為a，個(gè)數(shù)數(shù)字為b，
由題意得，，
整理得：，
∴，即，
解得或（舍去），
∴，
∴原來的兩位數(shù)是74，
故答案為：74．
42．有一個(gè)兩位數(shù)，如果個(gè)位上的數(shù)比十位上的數(shù)大1，并其十位上的數(shù)的平方比個(gè)位上的數(shù)也大1，那么這個(gè)兩位數(shù)是 ．
【答案】23
【解析】設(shè)十位上的數(shù)為x，則個(gè)位上的數(shù)位，十位上的數(shù)的平方比個(gè)位上的數(shù)也大1，再建立方程求出其解就可以得出結(jié)論．
解：設(shè)原兩位數(shù)的十位數(shù)字為x，
根據(jù)題意得：
∴，
解得：，（不符合題意舍去）
答：這個(gè)兩位數(shù)為23，
故答案為23．
43．一個(gè)兩位數(shù)，個(gè)位數(shù)字比十位數(shù)字少1，且個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字的乘積等于72，則這個(gè)兩位數(shù)是 ．
【答案】98
【解析】解∶設(shè)這個(gè)兩位數(shù)個(gè)位上的數(shù)字為x，則十位上的數(shù)字為，
依題意，得：，
整理，得：，
解得：（不合題意，舍去），，
∴．
故答案為：98
題型十五 銷售利潤問題
【例45】某商品進(jìn)貨價(jià)為每件50元，售價(jià)每件90元時(shí)平均每天可售出20件，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每件降價(jià)2元，那么平均每天可以多出售4件，若每天想盈利1000元，設(shè)每件降價(jià)x元，可列出方程為（ ）
A．（40﹣x）（20+x）＝1000B．（40﹣x）（20+2x）＝1000
C．（40﹣x）（20﹣x）＝1000D．（40﹣x）（20+4x）＝1000
【答案】B
【解析】設(shè)每件應(yīng)降價(jià)x元，
由題意，得（90﹣50﹣x）（20+）＝1000，
即：（40﹣x）（20+2x）＝1000，
故選：B．
【例46】某花圃用花盆培育某種花苗，經(jīng)過試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，每盆花的盈利與每盆株數(shù)構(gòu)成一定的關(guān)系．每盆植入3株時(shí)，平均單株盈利5元；以同樣的栽培條件，若每盆每増加1株，平均單株盈利就減少0.5元，要使每盆的盈利為20元，需要每盆増加幾株花苗？設(shè)每盆增加x株花苗，下面列出的方程中符合題意的是（ ）
A．（x+3）（5﹣0.5x）＝20B．（x﹣3）（5+0.5x）＝20
C．（x﹣3）（5﹣0.5x）＝20D．（x+3）（5+0.5x）＝20
【答案】A
【解析】根據(jù)題意，可以得到增加x株后，每盆的株數(shù)為x+3，每株的價(jià)格為5﹣0.5x，再根據(jù)每盆的盈利為20元，即可得到（x+3）（5﹣0.5x）＝20，從而可以解答本題．
由題意可得，（x+3）（5﹣0.5x）＝20，
故選：A．
【例47】某工廠生產(chǎn)的某種產(chǎn)品按質(zhì)量分為10個(gè)檔次，第1檔次（最低檔次）的產(chǎn)品一天能生產(chǎn)95件，每件利潤6元，每提高一個(gè)檔次，每件利潤增加2元，但一天產(chǎn)量減少5件．若生產(chǎn)的產(chǎn)品一天的總利潤為1120元，且同一天所生產(chǎn)的產(chǎn)品為同一檔次，則該產(chǎn)品的質(zhì)量檔次是（ ）
A．6B．8C．10D．12
【答案】A
【解析】設(shè)該產(chǎn)品的質(zhì)量檔次是x檔，則每天的產(chǎn)量為[95﹣5（x﹣1）]件，每件的利潤是[6+2（x﹣1）]元，
根據(jù)題意得：[6+2（x﹣1）][95﹣5（x﹣1）]＝1120，
整理得：x2﹣18x+72＝0，
解得：x1＝6，x2＝12（舍去）．
故選A．
【例48】某賓館客房部有60個(gè)房間供游客居住，當(dāng)每個(gè)房間的定價(jià)為每天200元時(shí)，房間正好可以住滿．每個(gè)房間每天的定價(jià)每增加10元，就會(huì)有一個(gè)房間空閑．已知有游客入住的房間，賓館每天需對每個(gè)房間支出50元的各種費(fèi)用．
（1）若某天賓館的入住量為58個(gè)房間，則該天賓館的利潤為________元；
（2）求賓館每天房間入住量達(dá)到多少個(gè)時(shí)，每天的利潤為11000元．
【答案】（1）9860；（2）每天房間入住量達(dá)到55個(gè)或20個(gè)時(shí)，利潤為11000元
【解析】根據(jù)總利潤=每個(gè)入住的房間的利潤×入住房間的數(shù)量，即可求出結(jié)論；
設(shè)每個(gè)房間每天的定價(jià)增加了x元，則每天可入?。?0-）個(gè)房間，根據(jù)每天的利潤為11000 元，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再將其代入（60-）中即可求出結(jié)論．
（1）[200+10×（60﹣58）﹣50]×58＝9860（元）．
故答案為：9860．
（2）設(shè)每個(gè)房間每天的定價(jià)增加了x元，則每天可入?。?0﹣）個(gè)房間，
依題意，得：（60﹣）（200+x﹣50）＝11000，
化簡得：x2﹣450x+20000＝0，
解得：x1＝50，x2＝400，
∴60﹣＝55或20．
答：每天房間入住量達(dá)到55個(gè)或20個(gè)時(shí)，利潤為11000元．
鞏固訓(xùn)練
44、某商場銷售一批襯衣，平均每天可售出30件，每件襯衣盈利50元．為了擴(kuò)大銷售，增加盈利，盡快減少庫存，商場決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r(jià)措施，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每件襯衣降價(jià)10元，商場平均每天可多售出20件．若商場平均每天盈利2000元．每件襯衣應(yīng)降價(jià)（ ）元．
A．10B．15C．20D．25
【答案】D
【解析】設(shè)每件襯衫應(yīng)降價(jià)x元．
根據(jù)題意，得：（50﹣x）（30+2x）＝2000，
整理，得x2﹣35x+250＝0，
解得x1＝10，x2＝25．
∵“增加盈利，減少庫存”，
∴x1＝10應(yīng)舍去，
∴x＝25．
答：每件襯衫應(yīng)降價(jià)25元．
故選：D．
45、一件工藝品進(jìn)價(jià)為100元，標(biāo)價(jià)130元售出，每天平均可售出100件．根據(jù)銷售統(tǒng)計(jì)，一件工藝品每降價(jià)1元出售，則每天可多售出5件，某店為減少庫存量，同時(shí)使每天平均獲得的利潤為3000元，每件需降價(jià)的錢數(shù)為（ ）
A．12元B．10元C．8元D．5元
【答案】B
【解析】設(shè)每件工藝品降價(jià)x元，則每天的銷售量為（100+5x）件，根據(jù)每日的利潤＝每件的利潤×日銷售量，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其較大值即可得出結(jié)論．
設(shè)每件工藝品降價(jià)x元，則每天的銷售量為（100+5x）件，
根據(jù)題意得：（130﹣100﹣x）（100+5x）＝3000，
整理得：x2﹣10x＝0，
解得：x1＝0，x2＝10．
∵要減少庫存量，
∴x＝10．
故選：B．
46、超市的一種飲料，平均每天可售出100箱，每箱利潤12元，為擴(kuò)大銷售，準(zhǔn)備適當(dāng)降價(jià)，據(jù)測算，每降價(jià)1元，每天可多售出20箱，若要使每天銷售這種飲料獲利1400元，每箱應(yīng)降價(jià)多少元？設(shè)每箱降價(jià)x元，則可列方程（不用化簡）為： ．
【答案】（12﹣x）（100+20x）＝1400．
【解析】由每降價(jià)1元每天可多售出20箱，可得出平均每天可售出（100+20x）箱，根據(jù)總利潤＝每箱飲料的利潤×銷售數(shù)量，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，此題得解．
∵每箱降價(jià)x元，每降價(jià)1元，每天可多售出20箱，
∴平均每天可售出（100+20x）箱．
依題意，得：（12﹣x）（100+20x）＝1400．
故答案為：（12﹣x）（100+20x）＝1400．
47、某商場銷售一批襯衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元。先為了擴(kuò)大銷售，增加盈利，盡快減少庫存，商場決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r(jià)措施。經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每件襯衫每降價(jià)1元，商場平均每天可多售出2件。若商場平均每天要盈利1200元，每件襯衫應(yīng)降價(jià)多少元？
【答案】：20元
【解析】： = 1 \* GB3 ①依據(jù)題意，尋找等量關(guān)系式：
此題是利潤問題，等量關(guān)系式為：每件襯衫利潤×銷售件數(shù)=利潤
= 2 \* GB3 ②設(shè)未知數(shù)：
∵利潤已知，每件襯衫利潤、銷售件數(shù)都與襯衫降價(jià)量有關(guān) ∴設(shè)每件襯衫應(yīng)降價(jià)x元
= 3 \* GB3 ③根據(jù)等量關(guān)系式建立方程：
每件襯衫利潤為：（40－x）元 ；銷售件數(shù)為：（20+2x）件
方程為：（40－x）（20+2x）=1200
= 4 \* GB3 ④解方程并解答：
方程化簡得：, 解答：，
∵要求盡快減少庫存,即售出件數(shù)應(yīng)盡量多 , ∴應(yīng)降價(jià)20元

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