1.理解圓、弧、弦、圓心角、圓周角的概念，了解等圓、等弧的概念;探索并掌握點與圓的位置關(guān)系.
2.探索并證明垂徑定理:垂直于弦的直徑平分弦以及弦所對的兩條弧.
3.探索圓周角與圓心角及其所對弧的關(guān)系，知道同弧(或等弧)所對的圓周角相等。了解并證明圓周角定理及其推論：圓周角等于它所對弧上的圓心角的一半；直徑所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑；圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ).
4.了解三角形的內(nèi)心與外心.
5.了解直線與圓的位置關(guān)系，掌握切線的概念(例75) .
6.能用尺規(guī)作圖:過不在同一直線上的三點作圓;作三角形的外接圓、內(nèi)切圓;作圓的內(nèi)接正方形和內(nèi)接正六邊形.
7.*能用尺規(guī)作圖:過圓外一點作圓的切線(例76) .
8.*探索并證明切線長定理:過圓外一點的兩條切線長相等.
9.會計算圓的弧長、扇形的面積.
10.了解正多邊形的概念及正多邊形與圓的關(guān)系.
一、圓的基本性質(zhì)
1.與圓有關(guān)的概念和性質(zhì)
（1）圓：平面上到定點的距離等于定長的所有點組成
的圖形．如圖所示的圓記做⊙O.
（2）弦與直徑：連接圓上任意兩點的線段叫做弦，過
圓心的弦叫做直徑，直徑是圓內(nèi)最長的弦.
（3）?。簣A上任意兩點間的部分叫做弧，小于半圓的
弧叫做劣弧，大于半圓的弧叫做優(yōu)弧.
（4）圓心角：頂點在圓心的角叫做圓心角.
（5）圓周角：頂點在圓上，并且兩邊都與圓還有一個
交點的角叫做圓周角.
（6）弦心距：圓心到弦的距離.
知識點二 ：垂徑定理及其推論
2.垂徑定理及其推論
定理
垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧．
推論
(1)平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧；
(2)弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條弧.
延伸
根據(jù)圓的對稱性，如圖所示，在以下五條結(jié)論中：
弧AC=弧BC;②弧AD=弧BD；③AE=BE;④AB⊥CD;⑤CD是直徑.
只要滿足其中兩個，另外三個結(jié)論一定成立，即推二知三
.關(guān)于垂徑定理的計算常與勾股定理相結(jié)合，解題時往往需要添加輔助線，一般過圓心作弦的垂線，構(gòu)造直角三角形.
3.圓心角、弧、弦的關(guān)系
定理在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等．
推論
在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等．
4.圓周角定理及其推論
（1）定理：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半.
( 2 )推論：
在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等.直徑所對的圓周角是直角.圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ).
二、與圓有關(guān)的位置關(guān)系
三、正多邊形和圓
1.正多邊形與圓
（1）正多邊形的有關(guān)概念：邊長(a)、中心(O)、中心角(∠AOB)、半徑(R))、邊心距(r),如圖所示①.

（2）特殊正多邊形中各中心角、長度比：

中心角=120° 中心角=90° 中心角=60°，△BOC為等邊△
a:r:R=2:1:2 a:r:R=2::2 a:r:R=2:2
四、弧長和扇形面積的計算
1..弧長和扇形面積的計算
扇形的弧長l＝；扇形的面積S＝＝
2.圓錐與側(cè)面展開圖
（1）圓錐側(cè)面展開圖是一個扇形，扇形的半徑等于圓錐的母線，扇形的弧長等于圓錐的底面周長.
（2）計算公式：
圓錐S側(cè)==πrl，S=πr（l+r）
注：易與勾股定理聯(lián)系，先求母線長，再求面積
題型一 垂徑定理及其應(yīng)用
【例1】（2023·北京西城·北師大實驗中學(xué)?？既＃┤鐖D，（非直徑）為的兩條弦，與交于點，請從①為直徑；②為中點；③為中點；中選擇兩個作為題設(shè)，余下的一個作為結(jié)論組成一個真命題，并完成證明．

【例2】（2023·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，某隧道的截面是一個半徑為3.4米的半圓形，一輛寬3.2米的廂式卡車（截面是長方形）恰好能通過該隧道，則這輛卡車的高為多少米？

鞏固訓(xùn)練：
1．（2023秋·河北張家口·九年級統(tǒng)考期末）小明不慎把家里的圓形鏡子打碎了（如圖），其中四塊碎片如圖所示，為了配到與原來大小一樣的圓形鏡子，小明帶到商店去的碎片應(yīng)該是（ ）

A．①B．②C．③D．④
2．（2023秋·河南新鄉(xiāng)·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，尺規(guī)作圖的部分作法如下：
（1）分別以弦的端點為圓心，適當(dāng)?shù)拈L為半徑畫弧，使兩弧相交于點；
（2）作直線交于點．

若，則的長等于（ ）
A．4B．6C．8D．10
3．（2023年陜西省中考數(shù)學(xué)試卷（A卷））陜西飲食文化源遠(yuǎn)流長，“老碗面”是陜西地方特色美食之一．圖②是從正面看到的一個“老碗”（ 圖①）的形狀示意圖．是的一部分，是的中點，連接，與弦交于點，連接，．已知cm，碗深，則的半徑為（ ）

A．13cmB．16cmC．17cmD．26cm
4．（2022秋·山東濟(jì)寧·九年級濟(jì)寧學(xué)院附屬中學(xué)?？计谀┤鐖D，一個底部呈球形的燒瓶，球的半徑為，瓶內(nèi)液體的最大深度．則截面圓中弦的長為（ ）

A．B．6C．8D．
5．（2023秋·陜西安康·九年級統(tǒng)考期末）如圖，為的一條弦，直徑于點E，連接、，若，，則的長為（ ）

A．3B．4C．5D．6
6．（2022秋·湖北十堰·九年級十堰市實驗中學(xué)校考期中）如圖，當(dāng)寬為的刻度尺的一邊與圓相切時，另一邊與圓的兩個交點處的讀圖如圖所示（單位：），那么該圓的半徑為（ ）

A．B．C．D．
7．（2023春·廣東廣州·九年級統(tǒng)考開學(xué)考試）筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，彰顯了我國古代勞動人民的智慧，如圖1，點表示筒車的一個盛水桶．如圖2，當(dāng)筒車工作時，盛水桶的運行路徑是以軸心為圓心．5米為半徑的圓，且圓心在水面上方，若圓被水面截得的弦長為8米，則筒車工作時，盛水桶在水面以下的最大深度為（ ）

A．2米B．3米C．4米D．5米
8．（2022秋·山東濟(jì)寧·九年級濟(jì)寧學(xué)院附屬中學(xué)?？计谀┤鐖D，將半徑為的折疊，弧恰好經(jīng)過與垂直的半徑的中點D，已知弦的長為，則 ．

9．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，、、都是的弦，，，垂足分別為、，若，則的長為 ．
10．（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）如圖所示，小區(qū)內(nèi)有個圓形花壇O，點C在弦上，，，，則這個花壇的半徑為 ．

11．（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）如圖，在中，已知是直徑，為上一點不與、兩點重合），弦過點，．

（1）若，，則的長為 ；
（2）當(dāng)P點在上運動時（保持 不變），則 ．
12．（2022秋·安徽淮南·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，過內(nèi)的一點P畫弦AB，使P是AB中點．（保留作圖痕跡，不寫畫法）

13．（2023秋·河北邢臺·九年級校聯(lián)考期末）“筒車”是一種以水流作動力，取水灌田的工具．如圖，“筒車”盛水筒的運行軌跡是以軸心O為圓心的圓，已知圓心O始終在水面上方．且當(dāng)圓被水面截得的弦為6米時，水面下盛水筒的最大深度為1米（即水面下方部分圓上一點距離水面的最大距離）．

(1)求該圓的半徑；
(2)若水面上漲導(dǎo)致圓被水面截得的弦從原來的6米變?yōu)?米時，則水面下盛水筒的最大深度為多少米？
14．（2022秋·山東臨沂·九年級臨沂第九中學(xué)?？计谥校┩曹囀俏覈糯l(fā)明的一種水利灌溉工具，明朝科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)政全書》中用圖畫描繪了筒車的工作原理，如圖1筒車盛水桶的運行軌道是以軸心O為圓心的圓，如圖2，已知圓心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦為6米，⊙O半徑長為4米．若點C為運行軌道的最低點，求點C到弦所在直線的距離．

15．（2022秋·廣東汕頭·九年級汕頭市龍湖實驗中學(xué)?？计谥校┤鐖D所示，一裝有部分油的圓柱形油罐的橫截面．若油面寬，油的最大深度為，

(1)用尺規(guī)作圖（保留作圖痕跡，不用證明），找出圓心O；
(2)求該油罐橫截面的半徑．
16．（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）平面直角坐標(biāo)系中，點、、、在上．
(1)在圖中清晰標(biāo)出點P的位置；
(2)點P的坐標(biāo)是 ___________，的半徑是 ___________．
17．（2023·浙江金華·統(tǒng)考中考真題）如圖，點在第一象限內(nèi)，與軸相切于點，與軸相交于點．連接，過點作于點．

(1)求證：四邊形為矩形．
(2)已知的半徑為4，，求弦的長．
題型二 圓心角、弦、弧
【例3】（2023·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，點A、B、C、D是上的點，為直徑，．

(1)求證：點C平分．
(2)利用無刻度的直尺和圓規(guī)做出的中點P（保留作圖痕跡）．
鞏固訓(xùn)練
1．（2022秋·遼寧葫蘆島·九年級校聯(lián)考期中）下列說法正確的是（ ）
A．相等的圓心角所對的弧相等B．在同圓中，等弧所對的圓心角相等
C．弦相等，圓心到弦的距離相等D．圓心到弦的距離相等，則弦相等
2．（2023·陜西西安·西安市慶安初級中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，是的直徑，點C，D在上，，則的度數(shù)是（ ）

A．B．C．D．
3．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，是的直徑，、是的兩條弦，交于點G，點C是的中點，點B是的中點，若，，則的長為（ ）

A．3B．4C．6D．8
4．（2023·河北·統(tǒng)考中考真題）如圖，點是的八等分點．若，四邊形的周長分別為a，b，則下列正確的是( )

A．B．C．D．a(chǎn)，b大小無法比較
5．（2023·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考二模）如圖，是的直徑，若，則的度數(shù)是（ ）．

A．B．C．D．
6．（2020秋·廣東廣州·九年級廣州市第十三中學(xué)校考期中）如圖，A、B、C、D是上的點，如果，，那么 ．

7．（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）如圖，是的直徑，C是延長線上一點，點D在上，且，的延長線交于點E．若，則度數(shù)為 ．
8．（2022·廣東湛江·一模）已知，有一量角器如圖擺放，中心O在邊上，為刻度線，為刻度線，角的另一邊與量角器半圓交于C，D兩點，點C，D對應(yīng)的刻度分別為，，則= ．

9．（2023秋·河北邢臺·九年級校聯(lián)考期末）如圖，是的直徑，，，求的度數(shù)．

10．（2022秋·江蘇揚州·九年級儀征市第三中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，弦與弦相交于點E，且．求證：．

11．（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）如圖所示，是的兩條弦，且，則與的大小有什么關(guān)系？為什么？

12．（2023·湖北武漢·?？寄M預(yù)測）如圖為圓O的直徑，為圓O的弦，C為O上一點，，，垂足為D．

(1)連接，判斷與的位置關(guān)系，并證明；
(2)若，，求圓O的半徑；
題型三 圓周角定理及其應(yīng)用
【例4】（1）（2023·江蘇連云港·校聯(lián)考三模）如圖，已知：四個邊長為1的小正方形拼成一個大正方形，A、B、O是小正方形頂點，的半徑為1，P是上的點，且位于右上方的小正方形內(nèi)，則等于（ ）

A．B．C．D．
（2）（2023秋·山西大同·九年級統(tǒng)考期末）如圖，為⊙的直徑，點在圓上且在直徑的兩側(cè)，若，則的度數(shù)為（ ）

A．B．C．D．
【例5】（2022秋·山西呂梁·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，是的直徑，弦平分交于點．交于點D．連接，．

(1)求四邊形的面積；
(2)求的長．
鞏固訓(xùn)練
1．（2022秋·天津濱海新·九年級?？计谥校┤鐖D，內(nèi)接于，，的半徑為2，則的長等于（ ）

A．2B．4C．D．
2．（2023·河南南陽·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，線段是半圓O的直徑，分別以點A和點O為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧交于M，N兩點，作直線，交半圓O于點C，交于點E，連接，若，則的長是（ ）
A．B．4C．6D．
3．（2023春·江蘇宿遷·九年級南師附中宿遷分校校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，為的直徑，弦于點E，連接，若，則的度數(shù)為（ ）

A．B．C．D．
4．（2022秋·安徽蕪湖·九年級校考階段練習(xí)）如圖，為的直徑，于，，連接．圖中與相等的角有（ ）

A．個B．個C．個D．個
5．（2023·河南安陽·統(tǒng)考一模）如圖，四邊形是⊙O的內(nèi)接四邊形，四邊形是平行四邊形，則下列結(jié)論：①；②；③；④．其中正確結(jié)論有（ ）

A．1個B．2個C．3個D．4個
6．（2023·遼寧阜新·阜新實驗中學(xué)校考一模）如圖，是的直徑，、為上的點，且點在上．若，則的度數(shù)為（ ）

A．B．C．D．
7．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）已知弦把圓周分成兩部分，則弦所對圓周角的度數(shù)為（ ）
A．B．C．或D．或
8．（2023秋·天津津南·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在⊙O中，，，則的度數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
9．（2022秋·安徽·九年級校聯(lián)考開學(xué)考試）如圖，已知點均在上，為的直徑，弦的延長線與弦的延長線交于點，連接．則下列命題為假命題的是（ ）

A．若點是的中點，則
B．若，則
C．若，則
D．若半徑平分弦，則四邊形是平行四邊形
10．（2023秋·安徽六安·九年級?？计谀┤鐖D，在中，，若弦，則 ．

11．（2023·寧夏·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形內(nèi)接于，延長至點，已知，那么 ．

12．（2023年遼寧省營口市中考模擬考試（一模）數(shù)學(xué)試卷）如圖，是的直徑，弦交于點，連接，．若，則 ．

13．（2022秋·山西忻州·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，四邊形內(nèi)接于，，，，對角線平分，則邊的長為 ．

14．（2022秋·河北邢臺·九年級邢臺三中?？茧A段練習(xí)）有三個邊長都為的正方形硬紙板，將這三個正方形硬紙板不重疊地放在桌面上，用一個圓形硬紙板將其蓋住．下面是三種不同的擺放類型：
(1)圖①能蓋住三個正方形所需的圓形硬紙板的最小直徑應(yīng)為 ；
(2)圖①②③中能蓋住三個正方形所需的圓形硬紙板直徑最小的是圖 (填序號)，最小直徑為 ．
15．（2022秋·安徽蕪湖·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，為半徑為3的的直徑，弦、相交于點E，，求的長．

16．（2023·河南信陽·統(tǒng)考一模）如圖，在中，，以為直徑作交于點D，交于點E，連接．
(1)求證：；
(2)連接，，當(dāng)__________時，四邊形為菱形；
(3)若，，則__________．
17．（2023秋·河北張家口·九年級統(tǒng)考期末）如圖，是上兩點，，C為弧上一點．

(1)寫出弦對的弧的度數(shù)；
(2)若是劣弧的中點，判斷四邊形的形狀，并說明理由．
18．（2023秋·江西贛州·九年級統(tǒng)考期末）如圖，以為直徑的半圓O經(jīng)過斜邊的兩個端點，交直角邊于點E，B、E是半圓弧的三等分點．請你僅用無刻度的直尺：
(1)請在圖①中畫出一條的平行線；

(2)請在圖②中畫出一條直線平分面積．

題型四 點與圓的位置關(guān)系
【例6】（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）如圖，在中，．以點A為圓心，r為半徑作圓，當(dāng)點C在內(nèi)且點B在外時，r的值可能是（ ）

A．3B．4C．5D．6
鞏固訓(xùn)練
1．（2023秋·遼寧葫蘆島·九年級統(tǒng)考期末）已知的直徑為，若點到圓心的距離為．則點與的位置關(guān)是（ ）
A．點在內(nèi)B．點在上C．點在外D．無法確定
2．（2023春·江西南昌·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，是斜邊上的中線，以為圓心，為半徑畫圓，則下列各點中，在內(nèi)的是（ ）

A．點AB．點BC．點CD．點O
3．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，矩形中，，，點在對角線上，圓經(jīng)過點．如果矩形有兩個頂點在圓O內(nèi)，那么圓O的半徑長r的取值范圍是（ ）

A．B．C．D．
4．（2023秋·江蘇宿遷·九年級統(tǒng)考期末）已知直角的斜邊長為6，則這個三角形的外接圓的半徑等于 ．
5．（2023·四川成都·統(tǒng)考二模）已知是內(nèi)一點（點不與圓心重合），點到圓上各點的距離中，最小距離與最大距離是關(guān)于的一元二次方程的兩個實數(shù)根，則的直徑為 ．
6．（2022秋·江蘇淮安·九年級統(tǒng)考期末）是內(nèi)一點，是上任意一點，若，則的半徑為 ．
7．（2023秋·河南周口·九年級?？计谀┤鐖D，在中，，cm，cm，以C為圓心，r為半徑作，若A，B兩點中只有一個點在內(nèi)，則半徑r的取值范圍是 .
8．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，，，， 經(jīng)過，， 三點．

(1)點 的坐標(biāo)為 ．
(2)判斷點 與 的位置關(guān)系．
題型五 直線與圓的位置關(guān)系
【例7】（1）（2022春·浙江杭州·九年級?？茧A段練習(xí)）已知，P是上一點，.以r為半徑作，若，則與直線OB的位置關(guān)系是（ ）
A．相交B．相切C．相離D．不確定
（2）（2023·全國·九年級專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，以點為圓心、以R為半徑作圓A與x軸相交，且原點O在圓A的外部，那么半徑R的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【例8】（2022秋·九年級單元測試）如圖，，，當(dāng)?shù)陌霃絩為何值時，與直線相離？相切？相交？

鞏固訓(xùn)練：
1．（2022秋·重慶·九年級重慶十八中校考周測）若的直徑為1，圓心O到直線l的距離是方程根，則與直線l的位置關(guān)系是（ ）
A．相切B．相離C．相交D．相切或相交
2．（2022秋·九年級單元測試）已知的半徑是，點在上，如果點到直線的距離是，那么與直線的位置關(guān)系是 （ ）
A．相交B．相離C．相切或相交D．相切或相離
3．（2023·河北滄州·?？既＃╊}目：“如圖，在中，，，，以點為圓心的的半徑為，若對于的一個值，與只有一個交點，求的取值范圍．”對于其答案，甲答：．乙答：．丙答：．則正確的是（ ）

A．只有乙答的對B．甲、乙的答案合在一起才完整
C．乙、丙的答案合在一起才完整D．三人的答案合在一起才完整
4．（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）在平面直角坐標(biāo)系中，以點為圓心，4為半徑的圓與x軸所在直線的位置關(guān)系是 ．
5．（2022秋·九年級單元測試）平面直角坐標(biāo)系中，的圓心坐標(biāo)為，半徑為，那么與軸的位置關(guān)系是 ．
6．（2022秋·江蘇連云港·九年級統(tǒng)考期中）直線l與相離，且的半徑等于3，圓心O到直線l的距離為d，則d的取值范圍是 ．
7．（2022秋·九年級單元測試）已知直線l與半徑長為R的相離，且點O到直線l的距離為5，那么R的取值范圍是 ．
8．（2023·吉林松原·校聯(lián)考二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，半徑為2的的圓心P的坐標(biāo)為，將沿x軸正方向平移，使與y軸相交，則平移的距離d的取值范圍是 ．

9．（2022春·九年級課時練習(xí)）如圖，直線l與x軸、y軸分別相交于點A、B，已知B（0，），，點P的坐標(biāo)為，與y軸相切于點O，若將沿x軸向左移動，當(dāng)與該直線相交時，橫坐標(biāo)為整數(shù)的點P的坐標(biāo) ．
題型六 切線的性質(zhì)和判定
【例9】（2022秋·安徽蕪湖·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，是的直徑，點E在弦的延長線上，過點E作交于點D，若平分．

(1)求證：是的切線；
(2)若，，求的長．
【例10】（2022秋·山東臨沂·九年級臨沂第九中學(xué)校考期中）如圖，已知是的直徑，點P在的延長線上，切于點D，過點B作，交的延長線于點C，連接延長，交點E．

(1)求證：；
(2)如果，，求的長．
【例11】（2022秋·江蘇泰州·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）探究問題：
(1)如圖1，PM、PN、EF分別切于點A、B、C，猜想的周長與切線長PA的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．
(2)如果圖1的條件不變，且，的周長為16cm，求的半徑．
(3)如圖2，點E是的邊PM上的點，于點F，與邊EF及射線PM、射線PN都相切．若，，求的半徑．
鞏固訓(xùn)練：
1．（2020秋·廣東惠州·九年級?？计谥校┤鐖D，是的切線，點為切點，交于點，，點在上，連接，，則的度數(shù)為（ ）

A．B．C．D．
2．（2023秋·青海西寧·九年級統(tǒng)考期末）如圖，，為的兩條切線，切點分別為，，連接交于點，交弦于點．下列結(jié)論中錯誤的是（ ）
A．B．
C．D．是等邊三角形
3．（2023·山東濱州·統(tǒng)考一模）如圖，與分別相切于點A，B，，則（ ）
A．B．2C．D．3
4．（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市第四十七中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖，在中，，以上一點為圓心，為半徑的圓與相切于點，若，則半徑為 ．
5．（2023秋·江西贛州·九年級統(tǒng)考期末）如圖，是的切線，A、B為切點，且，若，則 ．

6．（2022秋·安徽合肥·九年級統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，已知與的邊，，的延長線分別相切，，請完成下列問題：

（1） °；
（2）若的半徑為3，則的周長 ．
7．（2023秋·天津津南·九年級統(tǒng)考期末）已知：如圖，為的直徑，是的切線，A、C為切點，．則的度數(shù)為 ．

8．（2022秋·江蘇鹽城·九年級景山中學(xué)?？茧A段練習(xí)）等腰和如圖放置，已知，，的半徑為1，圓心與直線的距離為5.若兩個圖形同時向右移動，的速度為每秒2個單位，的速度為每秒1個單位，同時的邊長、都以每秒0.5個單位沿、方向增大.的邊與圓第一次相切時，點運動的距離是 個單位長度.
9．（2023秋·河北張家口·九年級張家口市第一中學(xué)?？计谀┮阎?，在中，，以為直徑的與相交于點，在上取一點，使得，
(1)求證：是的切線．
(2)當(dāng)，時，求的半徑．
10．（2023·甘肅蘭州·統(tǒng)考中考真題）如圖，內(nèi)接于，是的直徑，，于點，交于點，交于點，，連接．

(1)求證：是的切線；
(2)判斷的形狀，并說明理由；
(3)當(dāng)時，求的長．
11．（2022秋·湖北十堰·九年級十堰市實驗中學(xué)?？计谥校┤鐖D，是的直徑，C是上一點，D是的中點，交于點E，過點D作交的延長線于點F．

(1)求證：是的切線；
(2)若，，求的面積．
12．（2022秋·遼寧鞍山·九年級校聯(lián)考期中）如圖，為的直徑，切于點，與的延長線交于點，交延長線于點，連接，，已知，，．

(1)求證：是的切線：
(2)求的半徑．
13．（2022秋·山西朔州·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，為的直徑，點在上，為的中點，連接并延長交于點．連接，在的延長線上取一點，，連接，使．

(1)求證：為的切線；
(2)若，則______．
14．（2022春·廣東廣州·九年級廣州市第八十九中學(xué)?？奸_學(xué)考試）如圖，在中，，是的角平分線，以為圓心，為半徑作，求證：是的切線．

15．（2023·福建福州·?？寄M預(yù)測）如圖，以菱形的邊為直徑作交于點E，連接交于點M，F(xiàn)是上的一點，且，連接．

(1)求證：；
(2)求證：是的切線．
16．（2023·河南安陽·統(tǒng)考一模）如圖是兩條高速公路互通立交俯瞰圖，車輛從一條高速公路轉(zhuǎn)到另一條高速公路，需要經(jīng)過緩和曲線匝道進(jìn)行過渡．
如圖是一種緩和曲線過渡匝道的示意圖．若把過渡匝道的緩和曲線看作是一個平面上的圓弧，汽車沿的切線 經(jīng)過切點駛?cè)朐训?，從的切線經(jīng)過切點駛出匝道．已知，的半徑為．

(1)若在點處設(shè)置一高清廣角攝像頭對圓弧形過渡匝道進(jìn)行監(jiān)控，且高清攝像頭可以有效監(jiān)控以內(nèi)的物體，問此攝像頭能否有效監(jiān)控整個匝道？并說明理由；
(2)在圖中，若連接，交于點，且，判斷與的位置關(guān)系，并說明理由．
17．（2023秋·陜西安康·九年級統(tǒng)考期末）如圖，是的直徑，點C在半徑上，在上取點D，使，過點A作的切線交的延長線于點E．

(1)求證：；
(2)若，，求的半徑．
18．（2023秋·河北唐山·九年級統(tǒng)考期末）如圖，點為線段的中點，點為線段上一點（不與，重合），以點為圓心，為半徑作圓交線段于點，，，，連接，．

(1)求證：；
(2)當(dāng)與圓相切時，求的長度．
19．（2023·河南周口·校聯(lián)考三模）如圖，點是以為直徑的外一點，點是上一點，是的切線，，連接并延長交的延長線于點．

(1)求證：點是的中點；
(2)若，的半徑為，求的長．
20．（2022秋·九年級課時練習(xí)）如圖所示，、是的兩條切線，、是切點，、是上兩點，如果，，求的度數(shù)．
21．（2023·云南昆明·統(tǒng)考二模）如圖，在中，為上一點，以點為圓心，為半徑作半圓，與相切于點，過點A作交的延長線于點，且．

(1)求證：是半的切線；
(2)若，，求半的半徑．
22．（2023秋·廣東汕頭·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，以為直徑作，交于，過作，交于．
(1)求證：是的切線；
(2)連接，如果的半徑為，，求的長；
(3)在（2）的條件下，求的面積．
23．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）某種在同一平面進(jìn)行轉(zhuǎn)動的機(jī)械裝置如圖1，圖2是它的示意圖，其工作原理是：滑塊Q在平直滑道上可以左右滑動，在Q滑動的過程中，連桿也隨之運動，并且?guī)舆B桿繞固定點O擺動．在擺動過程中，兩連桿的接點P在以在以為半徑的上運動．?dāng)?shù)學(xué)興趣小組為進(jìn)一步研究其中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)知識，過點O作于點H，并測得分米，米，分米．
解決問題：
(1)點Q與點O間的最小距離是______分米；點Q與點O間的最大距離是______分米；點Q在l上滑到最左端的位置與滑到最右端位置間的距離是______分米；
(2)如圖3，有同學(xué)說：“當(dāng)點Q滑動到點H的位置時，與是相切的．”你認(rèn)為這個判斷對嗎？說明理由；
(3)當(dāng)繞點O左右擺動時，所掃過的區(qū)域為扇形，求這個扇形面積最大時圓心角的度數(shù)．
題型七 三角形的外心和外接圓
【例12】（2022秋·河北廊坊·九年級廊坊市第四中學(xué)校考期中）如圖，，，直線經(jīng)過點．設(shè)，于點，將射線繞點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，與直線交于點．
(1)判斷：___________
(2)若，求的長
(3)若是銳角三角形，直接寫出的取值范圍．
鞏固訓(xùn)練：
1．（2023·河北衡水·校聯(lián)考二模）如圖，直線，為垂足，且點在上．若在上找一點，使得，則下列作法中，正確的是（ ）
A．作線段的中垂線，交于點B．作的外接圓，交于點
C．過點作一直線垂直于，交于點D．作的平分線，交于點
2．（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）如圖，是的外接圓，則點O是的（ ）
A．三條高線的交點B．三條邊的垂直平分線的交點
C．三條中線的交點D．三角形三內(nèi)角角平分線的交點
3．（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）如圖，為的外心，為正三角形，與相交于點，連接．若，，則為（ ）
A．110°B．90°C．85°D．80°
4．（2022秋·河北石家莊·九年級?？计谥校┤鐖D，為銳角三角形的外心，四邊形為正方形，其中點在的外部，判斷下列敘述不正確的是（ ）
A．是的外心，不是的外心B．是的外心，不是的外心
C．是的外心，不是的外心D．是的外心，不是的外心
5．（2022秋·浙江寧波·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，已知點O是的外心，，連結(jié)，則的度數(shù)是（ ）
A．B．C．D．
6．（2022秋·安徽安慶·九年級統(tǒng)考期末）中，、、，則外接圓圓心坐標(biāo)為 ．
7．（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）平面直角坐標(biāo)系中，已知的三個頂點分別為，則的外心的坐標(biāo)為 ．
8．（2022秋·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·九年級統(tǒng)考期末）已知直角三角形的兩條直角邊分別為、，則它的外接圓半徑
9．（2023·湖北襄陽·?？级＃┮阎獌蛇呴L分別是和，則它的外接圓的半徑是 ．
10．（2023·湖北咸寧·統(tǒng)考一模）已知中，，點O是的外心，點是的外心，點是的外心，點是的外心，…，則的度數(shù)為 ．
11．（2023春·九年級單元測試）已知，作出的外接圓（尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）．
12．（2023秋·廣東東莞·九年級校聯(lián)考期末）如圖，為圓的內(nèi)接三角形，，連接并延長交于點．

(1)求證：；
(2)若，，求的半徑．
13．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）下面是證明定理的兩種方法，選擇其中一種完成證明．
14．（2022秋·江蘇宿遷·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，每個小正方形網(wǎng)格的邊長為1，點A，，的坐標(biāo)分別為、、．
(1)填空：的外接圓的圓心坐標(biāo)為______．該外接圓的半徑長為______；
(2)在圖中格點上標(biāo)出點（不與點重合），使得，并寫出它的坐標(biāo)．
題型八 三角形的內(nèi)心和內(nèi)切圓
【例13】（1）（2023秋·安徽六安·九年級?？计谀┤鐖D，已知是的內(nèi)切圓，且，則的度數(shù)為（ ）

A．B．C．D．
（2）（2023·湖南長沙·長沙市湘郡培粹實驗中學(xué)?？既＃┤鐖D，是的內(nèi)切圓，若的周長為18，面積為9，則的半徑是（ ）

A．1B．C．1.5D．2
（3）（2023·湖北·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，的內(nèi)切圓與分別相切于點，，連接的延長線交于點，則 ．

鞏固訓(xùn)練：
1．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）兩直角邊的長分別為和，則其內(nèi)心與外心的距離為（ ）
A．2B．C．D．
2．（2023·山東聊城·統(tǒng)考中考真題）如圖，點O是外接圓的圓心，點I是的內(nèi)心，連接，．若，則的度數(shù)為（ ）

A．B．C．D．
3．（2023秋·河北承德·九年級統(tǒng)考期末）如圖，甲、乙、丙、丁四位同學(xué)從四塊全等的等腰直角三角形紙板上裁下四塊不同的紙板（陰影部分），使得陰影面積盡可能大，他們的具體裁法如下：
甲同學(xué)：如圖1所示裁下一個正方形，面積記為；
乙同學(xué)：如圖2所示裁下一個正方形，面積記為；
丙同學(xué)：如圖3所示裁下一個半圓，使半圓的直徑在等腰的直角邊上，面積記為；
丁同學(xué)：如圖所示裁下一個內(nèi)切圓，面積記為；
則下列判斷正確的是（ ）
①；②；③在，，，中，最小
A．①②B．②③C．①③D．①②③
4．（2023秋·北京海淀·九年級期末）如圖，在一張紙片中，，，，是它的內(nèi)切圓．小明用剪刀沿著的切線剪下一塊三角形，則的周長為（ ）
A．4B．5C．6D．8
5．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，銳角三角形中，點O為中點．甲、乙二人想在上找一點P，使得的外心為點O，其作法分別如下．對于甲、乙二人的作法，下列判斷正確的是（ ）
A．兩人都正確B．兩人都錯誤C．甲正確，乙錯誤D．甲錯誤，乙正確
6．（2022秋·河北邢臺·九年級邢臺三中校考階段練習(xí)）如圖，的內(nèi)切圓（圓心為點O）與各邊分別相切于點D，E，F(xiàn)，連接，．以點B為圓心，以適當(dāng)長為半徑作弧分別交于G，H兩點；分別以點G，H為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩條弧在的內(nèi)部交于點P；作射線．給出下列結(jié)論：
①射線一定過點O；
②點O是三條中線的交點；
③點O是三條邊的垂直平分線的交點；
④點O是三條邊的垂直平分線的交點．
其中正確的個數(shù)是（ ）
A．0B．1C．2D．3
7．（2022秋·山東濟(jì)寧·九年級濟(jì)寧學(xué)院附屬中學(xué)校考期中）在中，，，，那么這個三角形內(nèi)切圓的半徑為 ．
8．（2022秋·貴州黔西·九年級?？计谥校┤鐖D，的內(nèi)切圓與兩直角邊、分別相切于點D、E，過劣?。ú话ǘ它cD、E）上任一點P作的切線，與、分別交于點M、N，，，則的周長為 ．
9．（2023秋·天津津南·九年級統(tǒng)考期末）如圖，的內(nèi)切圓與、、分別相切于點、、．

(1)若，，求的度數(shù)；
(2)若，，，求的長．
10．（2022秋·貴州黔西·九年級統(tǒng)考期中）如圖，已知O是的內(nèi)心，連接，，．若內(nèi)切圓的半徑為2，的周長為12，求的面積．
11．（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）如圖內(nèi)接于，，是的直徑，點是延長線上一點，且，．

(1)求證：是的切線；
(2)求的直徑；
(3)當(dāng)點B在下方運動時，直接寫出內(nèi)心的運動路線長是 ．
題型九 正多邊形和圓
【例14】（1）（2023秋·河南駐馬店·九年級統(tǒng)考期末）如圖，已知的半徑為4，則該圓內(nèi)接正六邊形的邊心距（ ）

A．B．C．D．3
（2）（2023·浙江杭州·統(tǒng)考中考真題）如圖，六邊形是的內(nèi)接正六邊形，設(shè)正六邊形的面積為，的面積為，則 ．

鞏固訓(xùn)練：
1．（2023秋·河南許昌·九年級許昌市第一中學(xué)校聯(lián)考期末）如圖，螺母的一個面的外沿可以看作是正六邊形，這個正六邊形的半徑是，則這個正六邊形的周長是（ ）

A．B．C． D．
5．（2022秋·山西忻州·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，五邊形是的內(nèi)接正五邊形，過點作的切線交的延長線于點，交的延長線于點．則下列結(jié)論中正確的是（ ）

A．B．C．D．
6．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，點O為正六邊形的中心，P，Q分別從點同時出發(fā)，沿正六邊形按圖示方向運動，點P的速度為每秒1個單位長度，點Q的速度為每秒2個單位長度，則第次相遇地點的坐標(biāo)為（ ）

A．B．C．D．
7．（2023·福建·統(tǒng)考中考真題）我國魏晉時期數(shù)學(xué)家劉徽在《九章算術(shù)注》中提到了著名的“割圓術(shù)”，即利用圓的內(nèi)接正多邊形逼近圓的方法來近似估算，指出“割之彌細(xì)，所失彌少．割之又割，以至于不可割，則與圓周合體，而無所失矣”．“割圓術(shù)”孕育了微積分思想，他用這種思想得到了圓周率的近似值為3.1416．如圖，的半徑為1，運用“割圓術(shù)”，以圓內(nèi)接正六邊形面積近似估計的面積，可得的估計值為，若用圓內(nèi)接正十二邊形作近似估計，可得的估計值為（ ）
A．B．C．3D．
8．（2022秋·山西朔州·九年級?？茧A段練習(xí)）若一個圓內(nèi)接正多邊形的中心角是，則這個正多邊形的邊數(shù)是（ ）
A．10B．9C．8D．6
9．（2023·浙江臺州·統(tǒng)考中考真題）如圖，的圓心O與正方形的中心重合，已知的半徑和正方形的邊長都為4，則圓上任意一點到正方形邊上任意一點距離的最小值為（ ）．

A．B．2C．D．
10．（2022秋·浙江麗水·九年級?？计谥校┤鐖D，A、、、為一個正多邊形的相鄰四個頂點，為正多邊形的中心，若，則這個正多邊形的邊數(shù)為 ．

11．（2023秋·山西長治·九年級統(tǒng)考期末）如圖，正三角形與正五邊形內(nèi)接于，則的度數(shù)為 ．

12．（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）如圖，用若干個全等的正五邊形排成圓環(huán)狀，圖中所示的是其中3個正五邊形的位置．要完成這一圓環(huán)排列，共需要正五邊形的個數(shù)是 個．

題型十 扇形面積和弧長計算
【例15】（1）（2023·遼寧沈陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形內(nèi)接于，的半徑為，，則的長是（ ）

A．B．C．D．
（2）（2023秋·山西大同·九年級統(tǒng)考期末）如圖，是以為直徑的半圓周的三等分點，是直徑上的任意一點．若，則圖中陰影部分的面積為（ ）

A．B．C．D．
鞏固訓(xùn)練：
1．（2023春·山東威海統(tǒng)考期末）如圖，將一個圓分成甲、乙、丙三個扇形，其圓心角度數(shù)之比為．若圓的半徑為3，則扇形乙的面積為（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市第四十七中學(xué)?？寄M預(yù)測）一個扇形的半徑是，圓心角是，則此扇形的弧長是（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·浙江嘉興·統(tǒng)考二模）如圖，將半徑為的扇形沿方向平移，得到扇形． 若，則重疊部分（陰影部分）的面積為（ ）

A．B．
C．D．
4．（2022秋·江蘇南京·九年級南京市竹山中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，從一塊直徑為的圓形鐵皮上剪出一個圓心角為的扇形，則此扇形的面積為（ ）

A．B．C．D．
5．（2023·四川雅安·統(tǒng)考中考真題）如圖，某小區(qū)要綠化一扇形空地，準(zhǔn)備在小扇形內(nèi)種花在其余區(qū)域內(nèi)（陰影部分）種草，測得，，，則種草區(qū)域的面積為（ ）

A．B．C．D．
6．（2023·四川·統(tǒng)考中考真題）如圖，半徑為的扇形中，，是上一點，，，垂足分別為，，若，則圖中陰影部分面積為( )

A．B．C．D．
7．（2023·河南南陽·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在矩形中，，，以D為圓心，以長為半徑畫弧，以C為圓心，以長為半徑畫弧，兩弧恰好交于上的點E處，則陰影部分的面積為 ．
8．（2023·吉林長春·校聯(lián)考二模）如圖，是的直徑，，點在上（點不與、重合），過點作的切線交的延長線于點，連接．若，則的長度是 （結(jié)果保留）
9．（2023秋·河北邢臺·九年級校聯(lián)考期末）曲線L在直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，曲線L是由半徑為2，圓心角為120°的（O是坐標(biāo)原點，點A在x軸上）繞點A旋轉(zhuǎn)180°，得到；再將繞點旋轉(zhuǎn)180°，得到；……依次類推，形成曲線L，現(xiàn)有一點P從O點出發(fā)，以每秒個單位長度的速度，沿曲線L向右運動，則點A的坐標(biāo)為 ；在第2020s時，點P的坐標(biāo)為 ．

10．（2023·吉林松原·統(tǒng)考一模）如圖所示，矩形的對角線，交于點，分別以點，為圓心，長為半徑畫弧，分別交，于點，．若，，則圖中陰影部分的面積為 ．（結(jié)果保留）

11．（2023秋·河北唐山·九年級統(tǒng)考期末）如圖，半圓的直徑，弦，的長為，則的長為 ．

12．（2023·浙江湖州·統(tǒng)考一模）一個扇形的半徑為4，圓心角為，則此扇形的弧長為 ．
17．（2022秋·上海靜安·七年級上海市風(fēng)華初級中學(xué)?？计谥校┰陂L方形中，弧是以為圓心的一段圓弧，．

求：
(1)用含有的代數(shù)式表示陰影部分的面積；
(2)當(dāng)時，求圖中陰影部分的面積（結(jié)果保留）．
題型十一 圓錐及其側(cè)面展開圖
【例14】(1)（2022秋·山西大同·九年級大同市第三中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）若圓錐的高為，母線長為，則圓錐的全面積為（ ）
A．B．C．D．
(2)（2023·浙江衢州·統(tǒng)考二模）某個圓錐的側(cè)面展開圖是一個半徑為，圓心角為的扇形，則這個圓錐的底面半徑為 cm．
(3)（2023秋·山東東營·九年級東營市勝利第一初級中學(xué)?？计谀┤鐖D，已知圓錐底面半徑為，母線長為，一只螞蟻從處出發(fā)繞圓錐側(cè)面一周（回到原來的位置）所爬行的最短路徑為 ．（結(jié)果保留根號）

鞏固訓(xùn)練：
1．（2020秋·廣東廣州·九年級?？茧A段練習(xí)）圓錐的底面半徑為15，母線長為50，則該圓錐的側(cè)面積為（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）如圖，圓錐底面圓的半徑為4，則這個圓錐的側(cè)面展開圖中的長為（ ）

A．B．C．D．
3．（2023秋·河北石家莊·九年級?？计谀┤鐖D，沿一條母線將圓錐側(cè)面剪開并展平，得到一個扇形，若圓錐的底面圓的半徑cm，扇形的圓心角為120°，則該圓錐的母線l長為（ ）．
A．4cmB．5cmC．6cmD．8cm
4．（2023春·江蘇宿遷·九年級南師附中宿遷分校校聯(lián)考階段練習(xí)）已知圓錐底面半徑為，母線長為，則該圓錐的側(cè)面積是 ．
5．（2023春·浙江金華·九年級校聯(lián)考期中）若圓錐的底面直徑為6cm，側(cè)面展開圖的面積為，則圓錐的母線長為 ．
6．（2023·湖南婁底·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，，邊上的高，將繞著所在的直線旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體的表面積為 ．

7．（2023秋·新疆和田·九年級統(tǒng)考期末）已知圓錐的底面半徑為5，母線長為10，則此圓錐側(cè)面展開圖的面積是 ．
66．（2022秋·湖北十堰·九年級十堰市實驗中學(xué)?？计谥校┮阎獔A錐的底面圓的半徑為，側(cè)面積為，則這個圓錐的高為 ．
8．（2023春·江蘇鹽城·九年級?？茧A段練習(xí)）已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的側(cè)面展開圖的面積是 ．

9．（2023·湖南衡陽·校聯(lián)考一模）已知圓錐的底面半徑為，母線長為，則其側(cè)面展開圖的面積為
10．（2023·浙江寧波·統(tǒng)考中考真題）如圖，圓錐形煙囪帽的底面半徑為，母線長為，則煙囪帽的側(cè)面積為 ．（結(jié)果保留）

11．（2023春·黑龍江齊齊哈爾·九年級校聯(lián)考期中）如圖，是圓錐底面的直徑，，母線．點為的中點，若一只螞蟻從點處出發(fā)，沿圓錐的側(cè)面爬行到點處，則螞蟻爬行的最短路程為 ．
12．（2023春·河北承德·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖漏斗，圓錐形內(nèi)壁的母線長為，開口直徑為．
（1）因直管部分堵塞，漏斗內(nèi)灌滿了水，則水深 ；
（2）若將貼在內(nèi)壁的濾紙（忽略漏斗管口處）展開，則展開濾紙的圓心角為 ．
13．（2022秋·江蘇·七年級專題練習(xí)）一個圓柱削去2.4立方米后，正好削成一個與它等底等高的圓錐，圓柱原來的體積是 立方米．
14．（2023·湖南衡陽·校考模擬預(yù)測）用一個半徑為10cm半圓紙片圍成一個圓錐的側(cè)面（接縫忽略不計），則該圓錐的高為 ．
15．（2023·遼寧鐵嶺·統(tǒng)考一模）如圖1，等腰三角形中，當(dāng)頂角的大小確定時，它的對邊（即底邊）與鄰邊（即腰或）的比值也就確定了，我們把這個比值記作，即 ，當(dāng)時，如．
(1) ， ，的取值范圍是 ；
(2)如圖2，圓錐的母線長為18，底面直徑，一只螞蟻從點P沿著圓錐的側(cè)面爬行到點Q，求螞蟻爬行的最短路徑長．（精確到0.1，參考數(shù)據(jù)：，）
16．（2022秋·山東泰安·七年級統(tǒng)考期中）如圖，一圓柱體的底面周長為24cm，高為9cm，是上底面的直徑．一只螞蟻從點出發(fā)，沿著圓柱的側(cè)面爬行到點，則螞蟻爬行的最短路程是多少？
1.點與圓的位置關(guān)系
設(shè)點到圓心的距離為d.
(1)dr?點在⊙O外．
2.直線和圓的位置關(guān)系
位置關(guān)系
相離
相切
相交
圖形
公共點個數(shù)
0個
1個
2個
數(shù)量關(guān)系
d＞r
d＝r
d＜r
3.切線的判定
（1）與圓只有一個公共點的直線是圓的切線（定義法）.
（2）到圓心的距離等于半徑的直線是圓的切線.
（3）經(jīng)過半徑外端點并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.
4.切線的性質(zhì)
（1）切線與圓只有一個公共點.
（2）切線到圓心的距離等于圓的半徑.
（3）切線垂直于經(jīng)過切點的半徑.
5.切線長
（1）定義：從圓外一點作圓的切線，這點與切點之間的線段長叫做這點到圓的切線長.
（2）切線長定理：從圓外一點可以引圓的兩條切線，兩切線長相等，圓心與這一點的連線平分兩條切線的夾角.
6.三角形的外接圓
圖形
相關(guān)概念
圓心的確定
內(nèi)、外心的性質(zhì)
經(jīng)過三角形各定點的圓叫做三角形的外接圓，外接圓的圓心叫做三角形的外心，這個三角形叫做圓的內(nèi)接三角形
三角形三條垂直平分線的交點
到三角形的三個頂點的距離相等
7.三角形的內(nèi)切圓
與三角形各邊都相切的圓叫三角形的內(nèi)切圓，內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心，這個三角形叫圓的外切三角形
到三角形三條角平分線的交點
到三角形的三條邊的距離相等
證明定理“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”．
已知：如圖，在中，，是斜邊上的中線，求證：．

方法1：利用矩形判定和性質(zhì)證明．

方法2：利用圓的性質(zhì)證明．

甲的作法

過點B作與垂直的直線，
交于點P，則P即為所求
乙的作法

以O(shè)為圓心，長為半徑畫弧，
交于點P，則P即為所求

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