【單元知識點歸納】（北師大版）2023-2024學(xué)年八年級數(shù)學(xué)上冊第1章勾股定理（知識歸納+題型突破）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

?第1章勾股定理（知識歸納+題型突破）

1.了解勾股定理的歷史，掌握勾股定理的證明方法；
2.理解并掌握勾股定理及逆定理的內(nèi)容；
3.能應(yīng)用勾股定理及逆定理解決有關(guān)的實際問題.

一、勾股定理
1.勾股定理：
直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.（即：）
二、勾股定理的逆定理
1.勾股定理的逆定理
　如果三角形的三邊長，滿足，那么這個三角形是直角三角形.
要點：應(yīng)用勾股定理的逆定理判定一個三角形是不是直角三角形的基本步驟：
（1）首先確定最大邊，不妨設(shè)最大邊長為；
（2）驗證：與是否具有相等關(guān)系：
　　若，則△ABC是以∠C為90°的直角三角形；
　　若時，△ABC是銳角三角形；
　　　若時，△ABC是鈍角三角形．
2.勾股數(shù)
滿足不定方程的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù)（又稱為高數(shù)或畢達哥拉斯數(shù)），顯然，以為三邊長的三角形一定是直角三角形.
要點：常見的勾股數(shù)：①3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41.
如果()是勾股數(shù)，當t為正整數(shù)時，以為三角形的三邊長，此三角形必為直角三角形.
觀察上面的①、②、④、⑤四組勾股數(shù)，它們具有以下特征：
1.較小的直角邊為連續(xù)奇數(shù)；
2.較長的直角邊與對應(yīng)斜邊相差1.
3.假設(shè)三個數(shù)分別為，且，那么存在成立.（例如④中存在＝24＋25、＝40＋41等）
三、勾股定理與勾股定理逆定理的區(qū)別與聯(lián)系
區(qū)別：勾股定理是直角三角形的性質(zhì)定理，而其逆定理是判定定理；
聯(lián)系：勾股定理與其逆定理的題設(shè)和結(jié)論正好相反，兩者互為逆定理，都與直角三角形有關(guān).
四、勾股定理的應(yīng)用
勾股定理反映了直角三角形三邊之間的關(guān)系，是直角三角形的重要性質(zhì)之一，其主要應(yīng)用是：
（1）已知直角三角形的兩邊，求第三邊；
（2）利用勾股定理可以證明有關(guān)線段平方關(guān)系的問題；
（3）解決與勾股定理有關(guān)的面積計算；
（4）勾股定理在實際生活中的應(yīng)用．

題型一用勾股定理理解三角形
【例1】若一個直角三角形的兩條直角邊長分別是6和8，則斜邊長是（???）
A．6 B．7 C．8 D．10
【答案】D
【分析】根據(jù)勾股定理計算即可得出答案．
【解析】∵一個直角三角形的兩直角邊長分別是6和8
∴斜邊長是
故選：D．
【點睛】本題主要考查勾股定理，掌握勾股定理的內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．
鞏固訓(xùn)練：
1．在直角中，∠B=90°，，，則的長為（????）
A．5 B． C．5或 D．5或
【答案】B
【分析】根據(jù)勾股定理計算即可．
【解析】解：因為∠B=90°，，，
所以，
故選：B．
【點睛】本題考查了勾股定理，解題關(guān)鍵是熟記勾股定理，準確進行計算．
2．如圖，在中，，，則的值為（????）
??
A．8 B．2 C．4 D．
【答案】A
【分析】利用勾股定理進行求解即可．
【解析】解：∵，，
∴；
故選A．
【點睛】本題考查勾股定理．熟練掌握直角三角形的兩直角邊的平方和等于斜邊的平方，是解題的關(guān)鍵．
3．已知直角三角形的兩邊長分別為5和12，則斜邊長是
【答案】12或13
【分析】求第三邊的長必須分類討論，分12是斜邊或直角邊兩種情況，然后利用勾股定理求解．
【解析】解：分兩種情況：
①當5和12為直角邊長時，
由勾股定理得：斜邊長；
②12為斜邊長時，斜邊長為12；
故答案為：12或13．
【點睛】本題考查了勾股定理；熟練掌握勾股定理，并能進行推理計算是解決問題的關(guān)鍵，注意分類討論，避免漏解．
4．如圖所示，已知中，，，于，為上任一點，則等于．

【答案】
【分析】在和中，分別表示出和，在和中，表示出和，代入求解即可；
【解析】解：∵于，
∴，
在和中，
，，
在和中，

，
，
，
．
故答案為：．
【點睛】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，準確分析計算是解題的關(guān)鍵．
題型二勾股數(shù)
【例2】．下列各組數(shù)中，是勾股數(shù)的是（????）
A．0.3，0.4，0.5 B．3，，4 C．，6， D．9，40，41
【答案】D
【分析】三個正整數(shù)，其中兩個較小的數(shù)的平方和等于最大的數(shù)的平方，則這三個數(shù)就是勾股數(shù)，據(jù)此判斷即可．
【解析】A.不是勾股數(shù)，因為0.3，0.4，0.5不是正整數(shù)，不符合題意；
B.不是勾股數(shù)，因為不是正整數(shù)，不符合題意；
C.不是勾股數(shù)，因為，不是正整數(shù)，不符合題意；
D.是勾股數(shù)，9，40，41都是正整數(shù)，且，符合題意；
故選D．
【點睛】本題考查勾股數(shù)的概念，解題的關(guān)鍵是掌握勾股數(shù)的特點：三個數(shù)均為正整數(shù)，其中兩個較小的數(shù)的平方和等于最大的數(shù)的平方．
鞏固訓(xùn)練：
1．下列各組數(shù)，是勾股數(shù)的一組是（　?。?br /> A．8，15，17 B．13，14，15 C．3，5， D．2，，
【答案】A
【分析】滿足的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù)，由此即可判斷．
【解析】解：A、，故A符合題意；
B、，故B不符合題意；
C、，故C不符合題意；
D、，故D不符合題意．
故選：A．
【點睛】此題主要考查了勾股數(shù)，掌握勾股數(shù)的定義及勾股定理的逆定理是解題的關(guān)鍵．
2．《九章算術(shù)》提供了許多勾股數(shù)如，等一組勾股數(shù)最大的數(shù)稱為“弦數(shù)”．經(jīng)研究，若m是大于1的奇數(shù)，把它平方后拆成相鄰的兩個整數(shù)，那么m與這兩個數(shù)組成勾股數(shù)，若m是大于1的偶數(shù)，把它除以2后再平方，然后把這個平方數(shù)分別減1，加1，得到兩個整數(shù)，那么m與這兩個數(shù)組成勾股數(shù)，根據(jù)上面的規(guī)律，由10生成的勾股數(shù)的“弦數(shù)”是（????）
A．16 B．24 C．26 D．32
【答案】C
【分析】根據(jù)題意，按照題目所給的方法進行計算求解即可．
【解析】解：，
，
，
∴由10生成的勾股數(shù)的“弦數(shù)”是26，
故選：C．
【點睛】本題主要考查了勾股數(shù)以及數(shù)字變化規(guī)律，解題的關(guān)鍵是正確理解題意．
題型三勾股定理的逆定理
【例3】. a，b，c是的，，的對邊，下列條件中，能判斷是直角三角形的有（??　）
①??②??③???④
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】D
【分析】利用直角三角形的定義和勾股定理的逆定理逐項判斷即可．
【解析】解：①，則是直角三角形，；
②，即，則是直角三角形，；
③∵，，∴，則是直角三角形；
④∵，∴，則是直角三角形；
故選：D．
【點睛】題考查了勾股定理的逆定理，及三角形內(nèi)角和定理，熟記定理并應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．
鞏固訓(xùn)練：
1．在中，，，的對邊分別為a，b，c，則下列命題中為假命題的是（??）
A．如果，則是直角三角形 B．如果，則是直角三角形
C．如果．則是直角三角形，且 D．若，則是直角三角形．
【答案】C
【分析】根據(jù)直角三角形的定義以及勾股定理的逆定理判斷即可．
【解析】解：A、若，則，則是直角三角形，是真命題，本選項不符合題意．
B、若，則即，則是直角三角形，是真命題，本選項不符合題意．
C、若即，則是直角三角形，且，原命題是假命題，本選項符合題意．
D、若，則，則是直角三角形，是真命題，本選項不符合題意．
故選：C．
【點睛】本題考查命題與定理，直角三角形的定義，勾股定理的逆定理等知識，解題的關(guān)鍵是掌握勾股定理的逆定理，屬于中考常考題型．
2．下列由三條線段a、b、c構(gòu)成的三角形：①，，，②，，，③，，，④，其中能構(gòu)成直角三角形的有（????）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】C
【分析】判斷一組數(shù)能否成為直角三角形的三邊，就是看是否滿足兩較小邊的平方和等于最大邊的平方，將題目中的各題一一做出判斷即可．
【解析】解：①∵，
∴能成為直角三角形的三邊長；
②∵，
∴能成為直角三角形的三邊長；
③，
∴能成為直角三角形的三邊長；
④∵，即，
∴a，b，c不構(gòu)成三角形
∴能構(gòu)成直角三角形的有3組，
故選：C．
【點睛】本題考查了勾股定理的逆定理的應(yīng)用，在應(yīng)用時注意是兩較短邊的平方和等于最長邊的平方．
3．的三邊分別是a、b、c，且滿足，，則的形狀是．
【答案】直角三角形
【分析】由條件可得，求解，，再利用勾股定理的逆定理進行判斷即可．
【解析】解：∵，
∴，
∴，
∴，，
解得：，，
∵，
∴，
∴為直角三角形．
故答案為：直角三角形．
【點睛】本題考查的是利用完全平方公式分解因式，非負數(shù)的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，利用非負數(shù)的性質(zhì)求解，是解本題的關(guān)鍵．
題型四勾股定理的逆定理的實際應(yīng)用
【例4】．如圖，某住宅小區(qū)在施工后留下了一塊空地，已知米，米，米，米，，小區(qū)為美化環(huán)境，欲在空地上鋪草坪．若草坪每平方米30元，則用該草坪鋪滿這塊空地需花費多少元？
??
【答案】鋪滿這塊空地共需花費元
【分析】連接，在中利用勾股定理計算出長，再利用勾股定理逆定理證明，再利用可得草坪面積，然后再計算花費即可．
【解析】連接，
??
在中，米，米，，
∴，
∵，
∴，
∴，
該區(qū)域面積（平方米），
鋪滿這塊空地共需花費元．
【點睛】此題主要考查了勾股定理和勾股定理逆定理，關(guān)鍵是掌握如果三角形的三邊長滿足，那么這個三角形就是直角三角形．
鞏固訓(xùn)練：
1．為了綠化環(huán)境，我市某中學(xué)有一塊四邊形的空地，如圖所示，學(xué)校計劃在空地上種植草皮，經(jīng)測量．
??
(1)求出空地的面積．
(2)若每種植1平方米草皮需要300元，問總共需投入多少元？
【答案】(1)空地的面積為；
(2)總共需投入10800元．
【分析】（1）連接．在中可求得的長，再由勾股定理的逆定理證得是直角三角形，且；根據(jù)三角形面積公式即可求解；
（2）根據(jù)總費用=面積×單價解答即可．
【解析】（1）解：連接．
??
在中，．
在中，，而，即，
∴是直角三角形，且，

；
（2）解：需費用（元)．
答：總共需投入10800元．
【點睛】本題考查了勾股定理及逆定理的應(yīng)用，通過勾股定理由邊與邊的關(guān)系也可證明直角三角形，這樣解題較為簡單．
題型五勾股定理與無理數(shù)的表示
【例5】．如圖，在數(shù)軸上點A表示的實數(shù)是（????）
??
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)勾股定理求得，進而即可求解．
【解析】解：如圖所示，
??
∵
∴，
故選：D．
【點睛】本題考查了勾股定理與無理數(shù)，實數(shù)與數(shù)軸，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．
鞏固訓(xùn)練：
1．如圖，，
??
(1)寫出數(shù)軸上點A表示的數(shù)；
(2)比較點A表示的數(shù)與的大??；
(3)在數(shù)軸上作出所對應(yīng)的點．
【答案】(1)．
(2)
(3)見解析
【分析】（1）OB是直角邊長為1的等腰直角三角形的斜邊長，因，根據(jù)勾股定理即可求得OA的長度，再考慮點A位于原點的左側(cè)，為負數(shù)，即可得解．
（2）先比較兩數(shù)的絕對值的平方值大小，然后再比較兩數(shù)的大小，考慮到絕對值越大的負數(shù)，實際值越小，即可得出結(jié)果．
（3）構(gòu)造直角邊長為1、2的直角三角形，其斜邊長即為，則問題得解．
【解析】（1）由勾股定理得：
．
因點A位于原點的左側(cè)，
∴點A表示的數(shù)是．
（2）∵，??
∴
∴
∴
（3）如下圖在區(qū)間的上方作一個直角邊長分別為1、2的直角，
??
由勾股定理得：，
以O(shè)為圓心，長為半徑畫弧，交x軸的正半軸于點D．
∴．
故點D就是數(shù)軸上作出的所對應(yīng)的點．
【點睛】本題為考查勾股定理、數(shù)軸和尺規(guī)作圖綜合題，體現(xiàn)了“數(shù)形結(jié)合”的思想，解題的關(guān)鍵構(gòu)造恰當?shù)闹苯侨切危?br /> 2．如圖，在數(shù)軸上以1個單位長度畫一個正方形，以原點為圓心，以正方形的對角線長為半徑畫弧，與正半軸的交點為B，且點B表示的是一個無理數(shù)，因此我們得出一個結(jié)論．

(1)點B表示的數(shù)為_________；得出的結(jié)論是：_________與數(shù)軸上的點是一一對應(yīng)的．
(2)若將圖中數(shù)軸上標的A，C，D各點與所給的三個實數(shù)，3和對應(yīng)起來，則點A表示的實數(shù)為_________，點C表示的實數(shù)為_________，點D表示的實數(shù)為_________．
【答案】(1)，實數(shù)
(2)，，3
【分析】（1）根據(jù)勾股定理求得對角線的長度，即可求解；
（2）判斷出三個數(shù)的大小關(guān)系，結(jié)合A，C，D的位置即可求解．
【解析】（1）解：應(yīng)用勾股定理得，正方形的對角線的長度為：，
為圓的半徑，則，所以數(shù)軸上的點B表示的數(shù)為：，它是無理數(shù)．
得出的結(jié)論是實數(shù)與數(shù)軸上的點是一一對應(yīng)的；
故答案為：，實數(shù)；
（2）解：根據(jù)數(shù)軸可得A表示負數(shù)，C和D表示正數(shù)，且D表示的數(shù)大于C表示的數(shù)，
∴A表示，C表示的數(shù)是，D表示的數(shù)是3．
故答案為：，，3．
【點睛】此題考查了勾股定理，實數(shù)與數(shù)軸，解題的關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理以及數(shù)軸與實數(shù)的有關(guān)知識．
題型六網(wǎng)格問題
【例6】．如圖，在的正方形方格圖中，小正方形的頂點稱為格點，的頂點都在格點上，則是三角形．

【答案】直角
【分析】結(jié)合網(wǎng)格圖，先根據(jù)勾股定理求出、和，再根據(jù)勾股定理的逆定理即可作答．
【解析】由圖可知，，，，
∴，
∴是直角三角形，
故答案為：直角．
【點睛】本題考查的是勾股定理及其逆定理的知識，熟知在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方是解答此題的關(guān)鍵．
鞏固訓(xùn)練：
1．如圖，在3 ×3的網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1，點A，B，C都在格點上，若是的高，則的長為（????）
??
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)勾股定理計算的長，利用面積和差關(guān)系可求的面積，由三角形的面積法求高即可．
【解析】解：由勾股定理得：，
∵，
∴，
∴，
∴，
故選：D．
【點睛】本題考查了網(wǎng)格與勾股定理，三角形的面積的計算，掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．
2．如圖，小正方形邊長為1，連接小正方形的三個頂點，可得，則邊上的高長度為（????）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】求出三角形的面積，再根據(jù)三角形的面積公式即可求得邊上的高．
【解析】解：四邊形是正方形，面積是4；
，的面積相等，且都是．
的面積是：．
則的面積是：．
在直角中根據(jù)勾股定理得到：．
設(shè)邊上的高線長是．則，
解得：，
故選A．

【點睛】本題考查了勾股定理，掌握勾股定理，利用“割補法”求面積是解決本題的關(guān)鍵．
3. 如圖，正方形網(wǎng)格中的每個小正方形的邊長都是1，每個小格的頂點叫做格點．
??
(1)在圖1中以格點A為頂點畫一個面積為5的正方形；
(2)①在圖2中以格點E為頂點畫一個，使得，，；
②求出的面積．
【答案】(1)見解析
(2)①見解析；②3
【分析】（1）根據(jù)正方形網(wǎng)格的特點作邊長為的正方形即可；
（2）①根據(jù)正方形網(wǎng)格的特點及勾股定理確定點E、F、G，再連接即可得出圖形；②根據(jù)勾股定理及三角形面積公式即可得出答案；
【解析】（1）如圖1，
??
正方形即為所求作的圖形；
（2）①如圖2，即為所求作的圖形；
??
②，，

為直角三角形

．
【點睛】本題考查了勾股定理及網(wǎng)格以及勾股定理的逆定理，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．
題型七利用勾股定理證明平方關(guān)系
【例7】．在中，、、的對應(yīng)邊分別是a、b、c，若，則下列等式中成立的是（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由已知兩角之和為90度，利用三角形內(nèi)角和定理得到三角形為直角三角形，利用勾股定理即可得到結(jié)果．
【解析】解：∵在中，，
∴，
∴為直角三角形，
則根據(jù)勾股定理得：．
故選：C．
【點睛】此題考查了勾股定理，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．
鞏固訓(xùn)練：
1．如圖，中，，點A向上平移后到，得到．下面說法錯誤的是（????）

A．的內(nèi)角和仍為 B． C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，勾股定理以及平移的性質(zhì)對各選項分析判斷后利用排除法求解．
【解析】解：A、△A′BC的內(nèi)角和仍為180°正確，故本選項正確，不合題意；
B、∵∠BA′C＜90°，∠BAC=90°，
∴∠BA′C＜∠BAC正確，故本選項正確，不合題意；
C、由勾股定理，AB2+AC2=BC2，故本選項正確，不合題意；
D、應(yīng)為A′B2+A′C2＞BC2，故本選項錯誤，符合題意．
故選：D．
【點睛】本題考查了勾股定理，三角形的內(nèi)角和定理，以及平移，熟記定理并準確識圖是解題的關(guān)鍵．
2．如圖，在中，，于H，M為AH上異于A的一點，比較與的大小，則（????）．

A．大于 B．等于 C．小于 D．大小關(guān)系不確定
【答案】C
【分析】由題意得，AB2＝AH2＋BH2，AC2＝AH2＋HC2，則AB2?AC2＝BH2?HC2，同理有MB2?MC2＝BH2?HC2，則AB2?AC2＝MB2?MC2．再根據(jù)平方差公式即可求解．
【解析】解：∵AH⊥BC，有AB2＝AH2＋BH2，AC2＝AH2＋HC2，
∴AB2?AC2＝BH2?HC2，
又∵MH⊥BC，同理有MB2?MC2＝BH2?HC2，
∴AB2?AC2＝MB2?MC2，
即（AB＋AC）（AB?AC）＝（MB＋MC）（MB?MC），
又∵M點在△ABC內(nèi)，∵AB＋AC＞MB＋MC，
則AB?AC＜MB?MC．
故選C．
【點睛】本題考查了勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟知勾股定理及平方差公式的應(yīng)用．
題型八、九、十一以直角三角形三邊的面積問題、勾股樹、以弘圖為背景的計算題
【例8】．如圖是一株美麗的勾股樹，圖中所有四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A，B的面積分別為5，3，則正方形C的面積是．
??
【答案】8
【分析】分別設(shè)三個正方形A，B，C的邊長為x，y，z，然后根據(jù)勾股定理求解即可．
【解析】解：設(shè)正方形A、B、C的邊長分別為x、y、z，
由勾股定理得：，
∴正方形C的面積是8，
故答案為：8．
【點睛】本題考查的是勾股定理，熟知在直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方是解答此題的關(guān)鍵．
【例9】．“勾股樹”是以正方形－邊為斜邊向外作直角三角形，再以該直角三角形的兩直角邊分別向外作正方形，重復(fù)這－過程所畫出來的圖形，因為重復(fù)數(shù)次后的形狀好似－－棵樹而得名．假設(shè)下圖分別是第一代勾股樹、第二代勾股樹、第三代勾股樹，按照勾股樹的作圖原理作圖，則第五代勾股樹中正方形的個數(shù)為（???????）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由已知圖形觀察規(guī)律，即可得到第五代勾股樹中正方形的個數(shù)．
【解析】解：由題意可知第一代勾股樹中正方形有（個），
第二代勾股樹中正方形有（個），
第三代勾股樹中正方形有（個），
由此推出第五代勾股樹中正方形有（個）
故選：B．
【點睛】本題考查了圖形類規(guī)律探索的相關(guān)問題，仔細觀察從圖中找到規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
【例10】．如圖是由“趙爽弦圖”變化得到的，它由八個全等的直角三角形拼接而成，記圖中正方形、正方形、正方形的面積分別為．若，則的值是（　?。?br /> ??
A． B．6 C．5 D．
【答案】B
【解析】先設(shè)每個直角三角形的長直角邊為a，短直角邊為b，然后根據(jù)圖形和，可以寫出關(guān)于a、b的方程，然后整理化簡，即可求得的值．
【解答】解：設(shè)每個直角三角形的長直角邊為a，短直角邊為b，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故選：B．
【點評】本題考查勾股定理的應(yīng)用、正方形的面積，解答本題的關(guān)鍵是明確勾股定理的內(nèi)容，可以寫出相應(yīng)的等式．
鞏固訓(xùn)練：
1．如圖，在四邊形中，，分別以為一邊向外作正方形甲、乙、丙、丁，若用，，，來表示它們的面積，則（填＞，＜或＝）．

【答案】
【解析】連接，分別在和中，利用勾股定理可得，，從而可得，即可解答．
【分析】解：連接，

∵，
∴，，
∴，
∴，
故答案為：．
【點睛】本題考查了勾股定理，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．
2．畢達哥拉斯樹也叫“勾股樹”，是由畢達哥拉斯根據(jù)勾股定理所畫出來的一個可以無限重復(fù)的樹狀圖形，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．如圖，若正方形，，，的邊長分別是2，3，1，2，則正方形的邊長是（????）

A．8 B． C． D．5
【答案】C
【分析】分別設(shè)中間兩個正方形和最大正方形的邊長為x，y，z，由勾股定理得出，，即最大正方形的面積為，則可求出答案．
【解析】解：設(shè)中間兩個正方形的邊長分別為x、y，最大正方形E的邊長為z，則由勾股定理得：
；
；
；
即最大正方形E的面積為：，
∴最大正方形E的邊長為．
故選：C．
【點睛】本題考查的是勾股定理，熟知在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方是解答此題的關(guān)鍵．
3．如圖，有一個面積為1的正方形，經(jīng)過一次“生長”后，在他的左右肩上生出兩個小正方形，其中，三個正方形圍成的三角形是直角三角形，再經(jīng)過一次“生長”后，就變成了如圖所示的形狀，若繼續(xù)“生長”下去，它將變得“枝繁葉茂”，請你算出“生長”了2023次后形成的圖形中所有的正方形的面積和是（　?。?br />
A．2024 B．2023 C．2022 D．1
【答案】A
【分析】根據(jù)勾股定理和正方形的面積公式，知“生長”1次后，以直角三角形兩條直角邊為邊長的正方形的面積和等于以斜邊為邊長的正方形的面積，即所有正方形的面積和是；“生長”2次后，所有的正方形的面積和是，推而廣之即可求出“生長”2023次后形成圖形中所有正方形的面積之和．
【解析】解：設(shè)直角三角形的是三條邊分別是a，b，c．根據(jù)勾股定理，得，即．
“生長”1次后，以直角三角形兩條直角邊為邊長的正方形的面積和等于以斜邊為邊長的正方形的面積，即所有正方形的面積和是；
“生長”2次后，所有的正方形的面積和是，
“生長”3次后，所有的正方形的面積和是，
…
“生長”了2023次后形成的圖形中所有的正方形的面積和是．
故選：A．

【點睛】能夠根據(jù)勾股定理發(fā)現(xiàn)每一次得到新正方形的面積和與原正方形的面積之間的關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．
4．勾股定理是數(shù)學(xué)定理中證明方法最多的定理之一，也是用代數(shù)思想解決幾何問題最重要的工具之一．下列圖形中可以證明勾股定理的有（????）
??
A．①③ B．②③ C．②④ D．①④
【答案】D
【分析】利用同一個圖形的面積的不同表示方法進行驗證即可．
【解析】解：①，，
∴，
整理得，
故①滿足題意；
④或，
∴，
∴，
故④滿足題意；
②沒有體現(xiàn)直角三角形斜邊的長度，故②不符合題意；
③無法證明直角三角三邊關(guān)系，故③不符合題意；
故選：D
【點睛】此題考查了勾股定理，熟練掌握利用圖形面積相等證明勾股定理是解題的關(guān)鍵．
5．如圖，在四邊形中，，，點C是邊上一點，，．．下列結(jié)論；①；②；③四邊形的面積是；④；⑤該圖可以驗證勾股定理．其中正確的結(jié)論個數(shù)是（　?。?br /> ??
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】C
【分析】證明，由全等三角形的性質(zhì)可得出，．再由圖形的面積可得出①②⑤正確．
【解析】解：，，
，
．
在和中，
，
，
，．
，
．
，
，
故①②正確；
，，
四邊形的面積是；
故③錯誤；
梯形的面積直角三角形的面積兩個直角三角形的面積，
，
，，
故④錯誤，故⑤正確
故①②⑤共3個正確，③④錯誤．
故選：C．
【點睛】本題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)的運用，勾股定理的證明，垂直的判定及性質(zhì)的運用，解答時證明三角形全等是關(guān)鍵．
6．意大利著名畫家達·芬奇用一張紙片剪拼出不一樣的空洞，而兩個空洞的面積是相等的，如圖所示，證明了勾股定理，若設(shè)圖1中空白部分的面積為，圖2中空白部分的面積為，則下列對，所列等式不正確的是（????）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)勾股定理、直角三角形以及正方形的面積公式計算，即可解決問題．
【解析】解：由勾股定理可得，
由題意，可得，
故選項A符合題意，選項B、C、D不符合題意．
故選：A．
【點睛】本題考查了勾股定理的證明，直角三角形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是讀懂圖像信息．
7．勾股定理又稱畢達哥拉斯定理、商高定理、新娘座椅定理、百牛定理等，是人類早期發(fā)現(xiàn)并證明的重要數(shù)學(xué)定理之一，大約有五百多種證明方法，我國古代數(shù)學(xué)家趙爽和劉徽也分別利用《趙爽弦圖》和《青朱出入圖》證明了勾股定理，以下四個圖形，哪一個是趙爽弦圖（????）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)趙爽弦圖證明勾股定理的方法即可求解．
【解析】解：
趙爽弦圖，是個全等的直角三角形和中間一個小正方形拼成一個大正方形，直角三角形中較長的直角邊為，較短的直角邊為，中間小正方形的邊長為，
∴選項，是趙爽弦圖，符合題意；
選項，不是趙爽弦圖，不符合題意；
選項，不是趙爽弦圖，不符合題意；
選項，不是趙爽弦圖，不符合題意；
故選：．
【點睛】本題主要考查對趙爽弦圖的理解，掌握勾股定理的證明方法，趙爽弦圖證明勾股定理的方法是解題的關(guān)鍵．
題型十一勾股定理的實際應(yīng)用題
【例11】．如圖，A，C之間隔有一湖，在與方向成角的方向上的點B處測得，，則AC的長為（????）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)勾股定理：兩直角邊的平方和等于斜邊的平方計算判斷．
【解析】解：如圖，中，
故選：A．
【點睛】本題考查勾股定理，掌握勾股定理描述的三邊關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
鞏固訓(xùn)練：
1．海洋熱浪對全球生態(tài)帶來了嚴重影響，全球變暖導(dǎo)致華南地區(qū)汛期更長、降水強度更大，使得登錄廣東的臺風減少，但是北上的臺風增多．如圖，一棵大樹在一次強臺風中距地面處折斷，倒下后樹頂端著地點A距樹底端B的距離為，這棵大樹在折斷前的高度為（????）
??
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】如圖，勾股定理求出的長，利用求解即可．
【解析】解：如圖，由題意，得：，，
??
∴，
∴這棵大樹在折斷前的高度為；
故選C．
【點睛】本題考查勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．
2．如圖，圓柱的底面周長為6，高為4，螞蟻在圓柱表面爬行，從點A爬到點B的最短路程是（????）
????
A． B．5 C． D．10
【答案】B
【分析】沿過A點和過B點的母線剪開，展成平面，連接，則的長是螞蟻在圓柱表面從A點爬到B點的最短路程，求出和的長，根據(jù)勾股定理求出斜邊即可．
【解析】解：如圖所示：沿過A點和過B點的母線剪開，展成平面，連接，則的長是螞蟻在圓柱表面從A點爬到B點的最短路程，
∵圓柱的底面周長為6，高為4，
∴，
∴，
∴從點A爬到點B的最短路程是5，
故選B．
??
【點睛】本題考查勾股定理的應(yīng)用—最短路徑問題，能把圓柱的側(cè)面展開成平面圖形，利用勾股定理進行求解是解題的關(guān)鍵．
3．將一根長為的筷子，置于內(nèi)徑為高為的圓柱形水杯中，設(shè)筷子露在杯子外面的長度為x cm，則x的取值范圍是（　?。?br /> A． B． C． D．
【答案】B
【分析】畫出示意圖，找出最長和最短的位置，分別求解即可.
【解析】解：如圖，當筷子的底端在D點時，筷子露在杯子外面的長度最長，
∴；
當筷子的底端在A點時，筷子露在杯子外面的長度最短，
在中，，，
∴，
∴此時，
所以x的取值范圍是：．
故選：B．
??
【點睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，能夠讀懂題意，確定出x的值最大值與最小值的位置是解題關(guān)鍵．
4．一棵高的大樹倒在了高的墻上，大樹的頂端正好落在墻的最高處，如果隨著大樹的頂端沿著墻面向下滑動，請回答下列各題．
??
(1)如果大樹的頂端沿著墻面向下滑動了，那么大樹的另一端點是否也左滑動了？說明理由．
(2)如果大樹的頂端沿著墻面向下滑動了，那么大樹的另一端點是否也左滑動了？說明理由．
【答案】(1)是，理由見解析
(2)不一定，理由見解析

【分析】（1）利用勾股定理分別求得，，再根據(jù)，即可求解；
（2）利用勾股定理求得，當時，求出a的值，即可求解．
【解析】（1）解：是，理由如下：由題意可知，是直角三角形，
∵，，
由勾股定理得：，
∵，
∴，
由勾股定理得：，
∴,
∴大樹的另一端點也左滑動了．
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
當時，，即，
解得：或（舍），
∴只有當時，大樹的頂端沿著墻面向下滑動了，那么大樹的另一端點也向左滑動了．
【點睛】本題考查勾股定理的實際應(yīng)用，理解題意，利用勾股定理求得線段長度是解題的關(guān)鍵．
5．如圖，圓柱形玻璃杯高為，底面周長為，在杯內(nèi)壁離杯底的點B處有一滴蜂蜜，此時一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿且與蜂蜜相對的點A處，則螞蟻從外壁A處到內(nèi)壁B處的最短距離為（????）．（杯壁厚度不計）

A．20 B．25 C．30 D．40
【答案】B
【分析】化曲為直，利用勾股定理解決．
【解析】解：把玻璃杯的側(cè)面展開，如圖，把點A向上平移6cm到點C，連接，過點B作于D，
由已知得：，，，
在中，由勾股定理得：，
則螞蟻從外壁A處到內(nèi)壁B處的最短距離為．

故選：B
【點睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)題意把圓柱展開，化曲為直是解決問題的關(guān)鍵．
6．為了積極響應(yīng)國家新農(nóng)村建設(shè)的號召，遂寧市某鎮(zhèn)政府采用了移動宣講的形式進行廣播宣傳．如圖，筆直的公路的一側(cè)點處有一村莊，村莊到公路的距離為，假使宣講車周圍以內(nèi)能聽到廣播宣傳，宣講車在公路上沿方向行駛．

(1)村莊能否聽到廣播宣傳請說明理由．
(2)已知宣講車的速度是，如果村莊能聽到廣播宣傳，那么總共能聽多長時間
【答案】(1)村莊能聽到廣播宣傳，理由見解析
(2)
【分析】（1）根據(jù)村莊到公路的距離為米米，即可得出村莊能聽到廣播宣傳．
（2）根據(jù)勾股定理得到米，求得米，即可得出結(jié)果．
【解析】（1）解：村莊能聽到廣播宣傳，理由如下：
村莊到公路的距離為米米，
村莊能聽到廣播宣傳．
（2）如圖：假設(shè)當宣傳車行駛到點開始能聽到廣播，行駛到點剛好不能聽到廣播，
則米，米，
由勾股定理得：米，
米，
能聽到廣播的時間為：分鐘，
村莊總共能聽到的宣傳．

【點睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，結(jié)合生活實際，便于更好地理解題意是解題的關(guān)鍵．
7．在海平面上有A，B，C三個標記點，其中A在C的北偏西方向上，與C的距離是800海里，B在C的南偏西方向上，與C的距離是600海里．
??
(1)求點A與點B之間的距離；
(2)若在點C處有一燈塔，燈塔的信號有效覆蓋半徑為500海里，每隔半小時會發(fā)射一次信號，此時在點B處有一艘輪船準備沿直線向點A處航行，輪船航行的速度為每小時20海里．輪船在駛向A處的過程中，最多能收到多少次信號？（信號傳播的時間忽略不計）．
【答案】(1)海里
(2)最多能收到14次信號
【分析】（1）由題意易得是直角，由勾股定理即可求得點A與點B之間的距離；
（2）過點C作交于點H，在上取點M，N，使得海里，分別求得的長，可求得此時輪船過時的時間，從而可求得最多能收到的信號次數(shù)；
【解析】（1）由題意，得：；
∴；
∵；
∴海里；
（2）過點C作交于點H，在上取點M，N，使得海里．
??
∵；
∴；
∵；
∴；
∵；
∴；
則信號次數(shù)為（次）．
答：最多能收到14次信號．
【點睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，直角三角形的判定等知識，涉及路程、速度、時間的關(guān)系，熟練掌握勾股定理是關(guān)鍵．
題型十二勾股定理的折疊問題
【例12】．如圖所示，在中，∠B=90，，，將折疊，使點與點重合，折痕為，則的周長是（????）
??
A．7 B．7.5 C．8 D．
【答案】A
【分析】先根據(jù)勾股定理求出的長，再根據(jù)圖形翻折變換的性質(zhì)得出，進而求出的周長
【解析】∵在中，∠B=90，，
，
∴
，
∵ 是翻折而成，
∴
∴
∴的周長
.
故答案為：7
【點睛】本題考查的是圖形翻折變換的性質(zhì)，即折疊是一種對稱變換，它屬干軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等．
鞏固訓(xùn)練：
1．如圖，在中，，，，D為上的一點，將沿折疊，使點C恰好落在上的點E處，求的長．

【答案】
【分析】首先根據(jù)勾股定理求出，然后根據(jù)折疊的性質(zhì)和勾股定理列方程求解即可．
【解析】∵，，，
∴，
∵將沿折疊，使點C恰好落在上的點E處，
∴，，，
∴，
∴設(shè)，則，
∴在，，即，
∴解得：，
∴．
【點睛】本題考查了翻折變換的性質(zhì)，勾股定理，此類題目熟記性質(zhì)并利用勾股定理列出方程是解題的關(guān)鍵．
2．如圖，將一張正方形紙片對折，使與重合，得到折痕后展開，E為上一點，將沿所在的直線折疊，使得點C落在折痕上的點F處，連接．若，則的長度為（　?。?br /> ??
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由正方形可得，再由折疊可得，，，，利用勾股定理可求的長，進而得到，在中，利用勾股定理構(gòu)造方程，即可求得的長．
【解析】解：∵四邊形是正方形
∴
由折疊可得，，，

故選：A．
【點睛】本題只要考查折疊問題中勾股定理的運用，在這類問題中利用勾股定理構(gòu)造方程是常用的方法．
題型十三勾股定理的解答證明題
【例13】．如圖，已知在中，于點，，，．
??
(1)求的長；
(2)求證：是直角三角形．
【答案】(1)16
(2)見解析
【分析】（1）直接根據(jù)勾股定理求出的長，再利用勾股定理可得出的長；
（2）根據(jù)勾股定理的逆定理即可得出結(jié)論．
【解析】（1）解：，
，
在中，
，，
∴，
在中，
∵，，
；
（2）證明：∵，，
∴，
∴，
是直角三角形．
【點睛】本題考查了勾股定理，勾股定理逆定理，根據(jù)勾股定理求出的長是解本題的關(guān)鍵．
鞏固訓(xùn)練：
1．如圖,AC是四邊形的對角線,
??
(1)試判斷的形狀，并說明理由；
(2)求四邊形的面積.
【答案】(1)是直角三角形，理由見解析
(2)44
【分析】（1）在中，利用勾股定理求出的長，再利用勾股定理的逆定理證明，由此即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)進行計算即可詳解．
【解析】（1）解：是直角三角形，理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是直角三角形，
（2）解：

，
∴四邊形的面積為44．
【點睛】本題考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，熟練掌握勾股定理的逆定理是解題的關(guān)鍵．
2．在中，，，D，E是邊上兩點，．
??
(1)求證：；
(2)若，求的值．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）作，使，連接，再證明和，再由勾股定理和等量代換即可解答；
（2）由，，可得，，從而可得答案.
【解析】（1）證明：過點A作，使，連接，，
??
∵在中，，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵ ，，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）∵，，
∴,
∴,
∴.
【點睛】此題主要考查勾股定理及三角形全等的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，解答時要充分分析里面的條件與問題之間的聯(lián)系．
3．用四個全等的直角三角形拼成如圖①所示的大正方形，中間也是一個正方形，它是美麗的弦圖，其中四個直角三角形的直角邊長分別為、，斜邊長為c．

(1)結(jié)合圖①，求證：.
(2)如圖②，將這四個全等的直角三角形無縫隙無重疊地拼接在一起，得到圖形．若該圖形的周長為24，．求該圖形的面積．
【答案】(1)證明見解析
(2)24

【分析】（1）由圖形可知，大正方形面積等于中間小正方形面積與四個完全相同的直角三角形的面積的和，列出等式化簡即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)周長，得到，設(shè)，利用勾股定理列方程，求得，從而得到，即可求出該圖形的面積．
【解析】（1）證明：由圖形可知，小正方形的邊長為，
，
，
；
（2）解：圖形的周長為24，
，
設(shè)，則，，
在中，，
，
解得：，
，
圖形的面積．
【點睛】本題考查了幾何法證明勾股定理及不規(guī)則圖形面積求解，利用數(shù)形結(jié)合的思想，準確找出圖中各個線段長度及面積關(guān)系是解題關(guān)鍵．
4．如圖，的周長為，其中，．
??
(1)______；
(2)判斷是否為直角三角形，并說明理由．
(3)過點A作，，在上取一點D，使得，求的長度．
【答案】(1)；
(2)是直角三角形，理由見解析；
(3)1

【分析】（1）由三角形周長公式可求解；
（2）由勾股定理的逆定理可證是直角三角形；
（3）利用勾股定理可求解．
【解析】（1）解：∵的周長為，，，
∴，
故答案：；
（2）解：是直角三角形，理由如下：
∵，，
∴，
∴是直角三角形；
（3）解：∵，
∴，
∴．
【點睛】本題考查了勾股定理的逆定理的應(yīng)用，勾股定理，掌握勾股定理的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
5．閱讀材料：一般地，設(shè)平面上任意兩點和，可以用表示兩點之間的距離，那么該如何計算呢？作軸、作軸，垂足分別是點；作軸，垂足為點、作軸，垂足為點，且與交于點，則四邊形是矩形．
∵
∴，
∴．
這就是平面直角坐標系中兩點之間的距離公式．
如：點和點之間的距離．
??
(1)請運用公式計算點和點之間的距離；
(2)在（1）的條件下，點為原點，求的周長．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用平面直角坐標系中兩點之間的距離公式直接計算即可；
（2）利用平面直角坐標系中兩點之間的距離公式分別計算出，，，即可計算出的周長．
【解析】（1）解：
點和點之間的距離是．
（2）

的周長．
【點睛】本題是閱讀理解題，主要考查了平面直角坐標系中兩點之間的距離，解題的關(guān)鍵是正確利用平面直角坐標系中兩點之間的距離公式．

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