【單元知識點歸納】（人教版）2023-2024學年八年級數(shù)學上冊第十三章軸對稱（知識歸納+題型突破）-試卷下載-教習網(wǎng)

?第十三章軸對稱（知識歸納+題型突破）

1.會判斷軸對稱圖形，能畫出軸對稱圖形．　
2.理解并掌握垂直平分線的性質(zhì)和判定．　
3.理解并掌握等腰三角形和等邊三角形的性質(zhì)和判定．

一、軸對稱
軸對稱概念：有一個圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個圖形重合,那么就說這兩個圖形關(guān)于這條直線對稱，這條直線叫做對稱軸，折疊后重合的點是對應點，叫做對稱點．兩個圖形關(guān)于直線對稱也叫做軸對稱．
二、軸對稱圖形
軸對稱圖形概念：如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形.這條直線就是它的對稱軸.（對稱軸必須是直線）
軸對稱圖形的性質(zhì)（重點）：如果兩個圖形關(guān)于某條直線對稱，那么對稱軸是任何一對對應點所連線段的垂直平分線.類似的，軸對稱圖形的對稱軸，是任何一對對應點所連線段的垂直平分線.連接任意一對對應點的線段被對稱軸垂直平分．軸對稱圖形上對應線段相等、對應角相等.
畫一圖形關(guān)于某條直線的軸對稱圖形步驟：
找到關(guān)鍵點，畫出關(guān)鍵點的對應點，
按照原圖順序依次連接各點.
用坐標表示軸對稱
1、點（x，y）關(guān)于x軸對稱的點的坐標為（x，-y）；
2、點（x，y）關(guān)于y軸對稱的點的坐標為（-x， y）；
三、線段的垂直平分線
概念：經(jīng)過線段的中點并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線（或線段的中垂線）
性質(zhì)：線段的垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等；反過來，與一條線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上．
四、等腰三角形
（1）定義：有兩邊相等的三角形，叫做等腰三角形.
（2）等腰三角形性質(zhì)
①等腰三角形的兩個底角相等，即“等邊對等角”；②等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線與底邊上的高線互相重合（簡稱“三線合一”）.特別地，等腰直角三角形的每個底角都等于45°.
（3）等腰三角形的判定
如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等（即“等角對等邊”）.
五、等邊三角形
（1）定義：三條邊都相等的三角形，叫做等邊三角形.
（2）等邊三角形性質(zhì)：等邊三角形的三個角相等，并且每個角都等于60°.　　
（3）等邊三角形的判定：
①三條邊都相等的三角形是等邊三角形；
②三個角都相等的三角形是等邊三角形；
③有一個角為 60°的等腰三角形是等邊三角形.

題型一軸對稱圖形的識別
例題：12月2日是全國交通安全日，你認為下列交通標志不是軸對稱圖形的是（???????）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根據(jù)軸對稱的定義判斷即可得出．
【詳解】
解：由軸對稱圖形的定義：“把一個圖形沿著某條直線折疊，直線兩旁的部分能夠完全重合，這個圖形叫做軸對稱圖形”分析可知，上述四個圖形中，A，B，D都是軸對稱圖形，只有C不是軸對稱圖形．
故選：C．
【點睛】
本題主要考查了軸對稱的定義，熟練掌握軸對稱的定義是解此題的關(guān)鍵．
【變式訓練】
1．下列圖形是軸對稱圖形的是(?????)
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根據(jù)軸對稱圖形的概念求解，如果一個圖形沿著一條直線對折后兩部分完全重合，這樣的圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸．
【詳解】
解：A、是軸對稱圖形，故此選項符合題意；
B、不是軸對稱圖形，故此選項不符合題意；
C、不是軸對稱圖形，故此選項不符合題意；
D、不是軸對稱圖形，故此選項不符合題意；
故選：A．
【點睛】
此題主要考查了軸對稱圖形的概念．軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．
2．下列2022年北京冬季奧運會體育圖標中，是軸對稱圖形的是（???????）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根據(jù)軸對稱圖形的定義進行判斷即可；
【詳解】
軸對稱圖形指的是平面內(nèi),一個圖形沿一條直線折疊,直線兩旁的部分能夠完全重合的圖形；故符合題意的只有選項C；
故選：C．
【點睛】
本題主要考查軸對稱圖形的定義，掌握軸對稱圖形的定義是解題的關(guān)鍵．

題型三軸對稱中折疊問題
例題：如圖，長方形紙片中，AB，DC邊上分別有點E，F(xiàn)，將長方形紙片沿EF翻折至同一平面后，點A，D分別落在點G，H處．若，則∠DFE的度數(shù)是（???????）

A．75° B．76° C．77° D．78°
【答案】B
【解析】
【分析】
根據(jù)折疊的性質(zhì)可得∠AEF=∠GEF，再由，可得∠AEF+∠GEF=∠AEF+∠BEF+∠BEG=208°，從而得到∠AEF=104°，然后根據(jù)AB∥CD，即可求解．
【詳解】
解：根據(jù)題意得：∠AEF=∠GEF，∠AEF+∠BEF=180°，AB∥CD，
∵，
∴∠AEF+∠GEF=∠AEF+∠BEF+∠BEG=208°，
∴∠AEF=104°，
∵AB∥CD，
∴∠DFE=180°-∠AEF=76°．
故選：B
【點睛】
本題主要考查了圖形的折疊，平行線的性質(zhì)，熟練掌握折疊的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【變式訓練】
1．如圖1，將長方形紙片沿著翻折，使得點，分別落在點，位置．如圖2，在第一次翻折的基礎上再次將紙片沿著翻折，使得點恰好落在延長線上的點處．

(1)若，求的度數(shù)；
(2)若，試用含的式子表示，并說明理由．
【答案】(1)40°
(2)，理由見解析
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)翻折變換的性質(zhì)可得：∠EMN=∠BMN=70°，再運用鄰補角互補即可求得答案；
（2）由翻折可得：，∠BMN=∠QMN，再運用鄰補角互補即可求得答案．
(1)
解∶根據(jù)題意得：∠EMN=∠BMN=70°，
∴∠BME=140°，
∴∠AME=180°-∠BME=40°；
(2)
解：，理由如下：
根據(jù)題意得：，∠BMN=∠QMN，
∴，
∴∠AMQ=180°-∠QMN-∠BMN=．
【點睛】
本題考查了幾何變換——翻折的性質(zhì)，鄰補角互補等，熟練掌握翻折的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
2．如圖1，將筆記本活頁一角折過去，使角的頂點A落在點'處，BC為折痕．

(1)如圖1，若∠1＝25°，求∠BD的度數(shù)；
(2)如果又將活頁的另一角斜折過去，使BD邊與B重合，折痕為BE，如圖2所示，求∠CBE的度數(shù)．
【答案】(1)130°
(2)90°
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)折疊性質(zhì)得到∠1=∠ABC=25°．然后利用鄰補角的定義計算∠BD的度數(shù)；
（2）根據(jù)折疊的性質(zhì)得∠2=∠DBE=∠BD=60°，然后計算∠1+∠2得到∠CBE的度數(shù)．
(1)
解：∵角的頂點A落在點處，BC為折痕，
∴∠1=∠ABC=25°．
∴∠A'BD=180°-25°-25°=130°；
(2)
解：由折疊性質(zhì)得∠1=∠ABC=∠AB，
∠2=∠DBE=∠BD，
∴∠1+∠2=∠AB+∠BD
=（∠AB +∠BD）
=×180°
=90°．
即∠CBE=90°．
【點睛】
本題考查了角的計算，折疊的性質(zhì)，結(jié)合圖形進行角的和差倍分計算是解答的關(guān)鍵．
題型四線段的垂直平分線的性質(zhì)
例題：如圖，在△ABC中，BC的垂直平分線交AC，BC于點D，E．若△ABD的周長為20，△ABC的周長為32，則BE＝_______．

【答案】6
【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出BD=CD，結(jié)合△ABD的周長求出AB+AC的長，再根據(jù)△ABC的周長求出BC的長，解答即可．
【詳解】解：∵BC的垂直平分線分別交AC，BC于點D，E，
∴DB＝DC，BE＝EC，
∵△ABD的周長為20，
∴AB＋AD＋BD＝20，
∵DB＝DC，
∴AB＋AD＋DC＝20，
即AB＋AC＝20，
∵△ABC的周長為32，
∴AB＋BC＋AC＝32，
∴BC＝32?20＝12，
∴BE＝EC＝BC＝6．
故答案為：6．
【點睛】本題主要考查線段垂直平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)求出DB＝DC．
【變式訓練】
1．已知，如圖中，，邊、的垂直平分線分別交于、，交、于、，連接與，則的周長＝______．

【答案】10
【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到AD=BD，AE=CE，則△ADE的周長=AD+DE+AE=BD+DE+CE=BC．
【詳解】解：∵DF和EG分別是AB，AC的垂直平分線，
∴AD=BD，AE=CE，
∴△ADE的周長=AD+DE+AE=BD+DE+CE=BC=10，
故答案為：10．
【點睛】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，熟知線段垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
2．如圖，∠BAC的平分線AD與BC的垂直平分線DG相交于點D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E，F(xiàn)，AE＝8，AC＝5，則BE的值為______．

【答案】3
【分析】連接CD，BD，證明（HL），由全等三角形的性質(zhì)得AE=AF，證明（HL），得出BE=CF，根據(jù)邊之間的關(guān)系即可得．
【詳解】解：如圖所示，連接CD，BD，

∵AD平分，，，
∴DE=DF，
在和中，
，
∴（HL），
∴AE=AF，
∵DG垂直平分BC，
∴CD=BD，
在和中，

∴（HL），
∴BE=CF，
∵，
∴，
故答案為：3．
【點睛】本題考查了線段垂直平分的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握這些知識點．

題型五線段的垂直平分線的判定
例題：如圖，已知，點P為的平分線上一點，，，垂足分別為E、F

(1)求證∶
(2)若，求證：點P在的垂直平分線上．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
【分析】（1）通過證明，即可求證；
（2）連接、，通過證明，得到，即可求證．
【詳解】（1）證明：∵點P為的平分線上一點
∴
∵，
∴
在和中

∴
∴
（2）證明：連接、，如下圖：

由（1）可得：
又∵，
∴
∴
∴點P在的垂直平分線上
【點睛】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，垂直平分線的判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定方法與性質(zhì)．
【變式訓練】
1．如圖，為平分線上一點，于，于．
??
(1)求證：；
(2)求證：垂直平分．
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到，進而利用證明，即可證明；
（2）根據(jù)，即可證明結(jié)論．
【詳解】（1）證明：∵為平分線上一點，，，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）解：由（1）得，，
∴垂直平分．
【點睛】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)，線段垂直平分線的判定，全等三角形的性質(zhì)與判定等等，靈活運用所學知識是解題的關(guān)鍵．
2．如圖，是的角平分線，分別是和的高．

(1)求證：垂直平分；
(2)若的面積是4，則．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】（1）由角平分線的性質(zhì)得，再由，得，從而證明結(jié)論；
（2）根據(jù)三角形的面積公式，代入計算即可．
【詳解】（1）∵是的角平分線，分別是和的高，
∴，
在與中，
，
∴，
∴，
∵，
∴垂直平分；
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
故答案為：．
【點睛】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，線段垂直平分線的判定等知識，熟練掌握角平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

題型六坐標與圖形變換——軸對稱
例題：（2021·山東·單縣湖西學校八年級階段練習）如圖，在平面直角坐標系中，的三個頂點坐標分別是，，．畫出關(guān)于x軸對稱的，并寫出點、的坐標．

【答案】見詳解，，
【分析】關(guān)于x軸對稱的兩個點，橫坐標相同，縱坐標互為相反數(shù)，據(jù)此先找到A、B、C關(guān)于x軸的對稱點、、的坐標，再兩兩連接即可得到．
【詳解】∵，，，
又∵關(guān)于x軸對稱的兩個點，橫坐標相同，縱坐標互為相反數(shù)，
∴，，，
作圖如下：

即為所求，，．
【點睛】本題主要考查了在坐標系中作關(guān)于x軸對稱的圖形的知識，掌握關(guān)于x軸對稱的兩個點，橫坐標相同，縱坐標互為相反數(shù)，是解答本題的關(guān)鍵．
【變式訓練】
1．如圖，方格紙中的每個小方格都是邊長為1個單位長度的正方形，建立平面直角坐標系后△ABC的頂點均在格點上．

(1)寫出點A、B、C的坐標；
(2)寫出△ABC關(guān)于x軸對稱的的頂點、、的坐標；
(3)求．
【答案】(1)A（1，3），B（﹣1，2），C（2，0）
(2)，，
(3)
【分析】（1）根據(jù)點的坐標的確定方法寫出點A、B、C的坐標；
（2）根據(jù)關(guān)于x軸對稱的點的坐標特征求解；
（3）利用面積的和差計算△ABC的面積．
（1）
解：根據(jù)圖形可知：A（1，3），B（﹣1，2），C（2，0）；
（2）
解：關(guān)于x軸對稱的點的坐標：，，；
（3）
解：.
【點睛】本題考查了關(guān)于x軸、y軸對稱的點的坐標：點關(guān)于x軸的對稱點的坐標是；點關(guān)于y軸的對稱點的坐標是．也考查了三角形面積公式．
2．如圖，在平面直角坐標系中，△ABC的三個頂點的坐標分別為A（-3，4），B（-4，1），C（-1，2）．

(1)在圖中作出△ABC關(guān)于x軸的對稱圖形△．
(2)請直接寫出點C關(guān)于y軸的對稱點的坐標：．
(3)求△ABC的面積．
(4)在x軸上畫出點P，使QA＋QC最?。?br /> 【答案】(1)見解析
(2)（1，2）
(3)4
(4)見解析
【分析】（1）根據(jù)軸對稱的性質(zhì)即可作出△ABC關(guān)于x軸的對稱圖形△；
（2）根據(jù)軸對稱的性質(zhì)即可寫出點C關(guān)于y軸的對稱點的坐標
（3）根據(jù)網(wǎng)格利用割補法即可求出△ABC的面積；
（4）連接C交x軸于點Q，根據(jù)兩點之間線段最短即可使得QA＋QC最?。?br /> （1）
解：如圖所示，△即為所求；
；
（2）
解：點C關(guān)于y軸的對稱點的坐標為（1，2）；
故答案為：（1，2）；
（3）
解：△ABC的面積=3×3-×1×3-×1×3-×2×2=4；
（4）
解：如圖．點Q即為所求．
【點睛】本題考查了作圖-軸對稱變換，軸對稱-最短路線問題，解決本題的關(guān)鍵是掌握軸對稱的性質(zhì)．

題型七等腰三角形的定義
例題：等腰三角形一邊長等于2，一邊長等于3，則它的周長是（?????）
A．5 B．7 C．8 D．7或8
【答案】D
【解析】
【分析】
題目給出等腰三角形有兩條邊長為2和3，而沒有明確腰、底分別是多少，所以要進行討論，還要應用三角形的三邊關(guān)系驗證能否組成三角形．
【詳解】
解：分兩種情況：
當腰為2時，2+2＞3，所以能構(gòu)成三角形，周長是2+2+3=7；
當腰為3時，3+2＞3，所以能構(gòu)成三角形，周長是：2+3+3=8．
故選：D．
【點睛】
本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形的三邊關(guān)系；已知沒有明確腰和底邊的題目一定要想到兩種情況，分類進行討論，還應驗證各種情況是否能構(gòu)成三角形進行解答，這點非常重要，也是解題的關(guān)鍵．
【變式訓練】
1．在等腰△ABC中，∠A＝70°，則∠C的度數(shù)不可能是（?????）
A．40° B．55° C．65° D．70°
【答案】C
【解析】
【分析】
根據(jù)等腰三角形的定義及三角形內(nèi)角和定理即可求解．
【詳解】
解：當∠A＝70°為頂角時，則兩底角為：；
當∠A＝70°為底角時，另一個底角為70°，頂角為180°-70°-70°=40°
∴∠C的度數(shù)不可能是65°．
故選：C．
【點睛】
本題考查等腰三角形的分類討論及三角形內(nèi)角和定理，在不明確所給的角是等腰三角形的什么角時，需分類討論是解題關(guān)鍵．
2．已知等腰三角形一邊長為4，周長為10，則另兩邊長分別為（???????）
A．4，2 B．3，3 C．4，2或3，3 D．以上都不對
【答案】C
【解析】
【分析】
分兩種情況討論：若腰長為4；若底邊長為4，即可求解．
【詳解】
解：若腰長為4，則底邊長為10-4-4=2，
此時另兩邊長分別為4，2；可以構(gòu)成三角形，滿足題意；
若底邊長為4，則腰長為，
此時另兩邊長分別為3，3；可以構(gòu)成三角形，滿足題意；
綜上所述，另兩邊長分別為4，2或3，3．
故選：C
【點睛】
本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的兩腰相等是解題的關(guān)鍵．

題型八根據(jù)等腰三角形中三線合一求解
例題：如圖，中，，于點D，，若，則的度數(shù)為 _____．

【答案】
【解析】
【分析】
如圖（見詳解），根據(jù)等腰三角形的三線合一性質(zhì)，過點A作于點E，可證，即可求出的度數(shù)．
【詳解】
解：如圖，過點A作于點E，

∵AB=AC，
∴E是BC的中點，且AE平分．
∵，
∴BD=BE．
在和中，
，
∴．
∴．
故答案為：．
【點睛】
本題考查等腰三角形的三線合一性質(zhì)以及直角三角形全等的判定定理，正確運用定理進行判定是解題的關(guān)鍵．
【變式訓練】
1．如圖，△ABC中，AB＝AC＝6，∠BAC＝120°，AD是△ABC的中線，AE是△BAD的角平分線，DFAB交AE的延長線于點F，則DF的長是（???????）

A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】
【分析】
先根據(jù)等腰三角形的內(nèi)角和定理可得，再根據(jù)等腰三角形的三線合一可得，且AD平分，從而可得，然后根據(jù)角平分線的定義、平行線的性質(zhì)可得，最后根據(jù)等腰三角形的定義即可求解．
【詳解】
解：在中，，
，
是的中線，
，且AD平分，
，，
是的角平分線，
，
，
，
，
，
故選C．
【點睛】
本題考查了等腰三角形的三線合一、角平分線的定義、平行線的性質(zhì)、含的直角三角形性質(zhì)等知識點，熟練掌握等腰三角形的三線合一是解題關(guān)鍵．
2．如圖，△ABC中，AB＝AC，BC＝，AB的垂直平分線交BC于點D．且BD＜CD，過點B作射線AD的垂線，垂足為E，則CDDE＝_______．

【答案】
【解析】
【分析】
作AF⊥BC于F，證明△BDE≌△ADF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得DF=DE，可得CD-DE=CF，由等腰三角形的性質(zhì)即可求解．
【詳解】
解：作AF⊥BC于F，

∵AB的垂直平分線交BC于點D．
∴AD=BD，
∵AF⊥BC，BE⊥DE，
∴∠E=∠AFD=90°，
在△BDE和△ADF中，
，
∴△BDE≌△ADF（AAS），
∴DF=DE，
∴CD-DE=CD-DF=CF，
∵AB=AC，AF⊥BC，BC=，
∴CF=BC=．
故答案為：．
【點睛】
此題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

題型九等腰三角形的性質(zhì)與判定
例題：如圖，已知在四邊形ABCD中，ADBC，∠A＝90°，AD＝BE，CE⊥BD，垂足為E．

(1)求證：BD＝BC；
(2)若∠DBC＝50°，求∠DCE的度數(shù)．
【答案】(1)見解析；
(2)25°
【解析】
【分析】
（1）由AD∥BC得到∠ADB＝∠CBE，∠A＝90°，CE⊥BD，則∠BEC＝∠A＝90°，又由已知AD＝BE，根據(jù)ASA可證明△ABD≌△ECB，可得結(jié)論；
（2）由（1）知BD＝BC，根據(jù)等邊對等角可求得∠BDC的度數(shù)，再根據(jù)外角的性質(zhì)求得∠DCE的度數(shù)．
(1)
證明：∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBE，
∵∠A＝90°，CE⊥BD，
∴∠BEC＝∠A＝90°，
在△ABD和△ECB中，
，
∴△ABD≌△ECB（ASA），
∴BD＝CB；
(2)
解：∵BD＝CB，
∴△BCD是等腰三角形，
∴∠BCD＝∠BDC＝（180°﹣∠DBC）＝（180°﹣50°）＝65°，
∵∠BEC＝∠BDC＋∠DCE＝90°，
∴∠DCE＝90°－∠BDC ＝90°﹣65°＝25°．
【點睛】
此題主要考查了三角形全等的性質(zhì)和判定、等腰三角形的性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)，證明△ABD≌△ECB是解題的關(guān)鍵．
【變式訓練】
1．如圖，已知在四邊形ABCD中，點E在AD上，∠BCE＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠D，BC＝CE．

(1)求證：AC＝CD；
(2)若AC＝AE，求∠ACB的度數(shù)．
【答案】(1)見解析
(2)∠ACB的度數(shù)為22.5°
【解析】
【分析】
（1）利用同角的余角相等得∠ACB＝∠DCE，再根據(jù)AAS證明△ABC≌△DEC，即可證明結(jié)論；
（2）由AC＝CD，知△ACD是等腰直角三角形，得∠CAD＝45°，再根據(jù)AC＝AE，得∠ACE（180°﹣∠CAD）（180°﹣45°）＝67.5°，從而得出答案．
(1)
證明：∵∠BCE＝∠ACD＝90°，
∴∠ACB＝∠DCE，
在△ABC和△DEC中，
，
∴△ABC≌△DEC（AAS），
∴AC＝CD；
(2)
解：由（1）知，AC＝CD，
∵∠ACD＝90°，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∴∠CAD＝45°，
∵AC＝AE，
∴∠ACE（180°﹣∠CAD）（180°﹣45°）＝67.5°，
∴∠ACB＝∠BCE﹣∠ACE＝90°﹣67.5°＝22.5°，
∴∠ACB的度數(shù)為22.5°．
【點睛】
本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等知識，證明△ABC≌△DEC是解題的關(guān)鍵．
2．如圖，△ABC中，∠B＝∠C＝50°．點D在線段BC上運動（點D不與B、C重合），連接AD，作∠ADE＝50°，DE交線段AC于E．

(1)當∠BAD＝20°時，∠EDC＝ °；
(2)當∠BAD＝____°時，△ABD ≌△DCE？請說明理由；
(3)△ADE能成為等腰三角形嗎？若能，請直接寫出∠BAD的度數(shù)；若不能，請說明理由．
【答案】(1)20
(2)15，理由見解析
(3)能，∠BAD＝15°或∠BAD＝30°，理由見解析
【解析】
【分析】
（1）先利用平角的意義求出∠CDE，再用三角形外角的性質(zhì)求出∠AED，最后用三角形的內(nèi)角和定理求出∠DAE；
（2）利用三角形內(nèi)角和定理得出∠BAC＝80°，再由三角形外角的性質(zhì)及等量代換確定∠AED＝∠DAE＝65°，AD＝DE，結(jié)合圖形利用全等三角形的判定即可證明；
（3）先求出∠BAC＝80°，再分三種情況，利用等腰三角形的性質(zhì)求出∠DAE，即可得出結(jié)論．
(1)
∵∠BAD＝20°，∠B＝50°，
∴∠ADC＝70°，
∵∠ADE＝50°，
∴∠EDC＝70°﹣50°＝20°，
故答案為：20；
(2)
解：∠BAD＝15°時，△ABD?≌△DCE，理由如下：
在△ABC中，∠B＝∠C＝50°，
∴∠BAC＝80°，
∵∠BAD＝15°，
∴∠DAE＝65°，
又∵∠ADE＝50°，
∴∠AED＝∠DAE＝65°，
∴AD＝DE，
在△ABD中，
∠BAD＋∠ADB＝130°，
∵∠CDE＋∠ADB＝180°－∠ADE＝130°，
∴∠BAD＝∠CDE，
∵∠B＝∠CAD＝DE，
∴△ABD≌△DCE；
(3)
能，當∠BAD＝15°或30°時，△ADE能成為等腰三角形．
理由：在△ABC中，∠B＝∠C＝50°，
∴∠BAC＝80°，
①當DA＝DE時，
∵∠ADE＝50°，
∴∠CAD＝（180°﹣∠ADE）＝65°，
∴∠BAD＝∠BAC﹣∠CAD＝15°，
②當EA＝ED時，
∴∠DAC＝∠ADE＝50°，
∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝30°，
③當AD＝AE時，∠AED＝∠ADE＝50°，
∴∠DAE＝180°﹣∠ADE﹣∠AED＝80°，此時，點D與點B重合，不符合題意，
綜上所述，當∠BAD＝15°或30°時，△ADE能成為等腰三角形．
【點睛】
此題是三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定，平角的意義，三角形外角的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)與判定，用分類討論的思想解決問題是解本題的關(guān)鍵．

題型十等邊三角形的性質(zhì)與判定
例題：如圖，是上一點，點，分別在兩側(cè)，，且，．

(1)求證；
(2)連接，若，，求的長．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）由平行線的性質(zhì)，結(jié)合條件可證明，即可得出；
（2）證明是等邊三角形，由等邊三角形的性質(zhì)可得出答案．
(1)
證明：∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
(2)
解：

由（1）知，，
又∵，
∴是等邊三角形，
∵，
∴．
∴的長為．
【點睛】
本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)．掌握全等三角形的判定方法，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．
【變式訓練】
1．如圖，在△ABC中，∠BAC=∠B=60°，D點為BC的中點，AB=4，則BD=__．

【答案】2
【解析】
【分析】
根據(jù)已知條件證明△ABC是等邊三角形，得到BC=AB=4，即可求出BD．
【詳解】
解：∵∠BAC=∠B=60°，
∴∠C=∠BAC=∠B=60°，
∴△ABC是等邊三角形，
∴BC=AB=4，
∵D點為BC的中點，
∴BD=2，
故答案為：2．
【點睛】
此題考查了等邊三角形的判定及性質(zhì)定理，熟記三個角相等的三角形是等邊三角形是解題的關(guān)鍵．
2．如圖，點O是等邊△ABC內(nèi)一點，D是△ABC外的一點，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，△BOC≌△ADC，∠OCD＝60°，連接OD．

(1)求證：△OCD是等邊三角形；
(2)當α＝150°時，試判斷△AOD的形狀，并說明理由；
(3)探究：當α為多少度時，△AOD是等腰三角形．
【答案】(1)見解析
(2)△AOD是直角三角形，理由見解析
(3)當α=110°或125°或140°時，△AOD是等腰三角形
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形可得證；
（2）根據(jù)全等易得∠ADC=∠BOC=α=150°，結(jié)合（1）中的結(jié)論可得∠ADO為90°，那么可得所求三角形的形狀；
（3）根據(jù)題中所給的全等及∠AOB的度數(shù)可得∠AOD的度數(shù)，根據(jù)等腰三角形的兩底角相等分類探討即可．
(1)
證明：∵△BOC≌△ADC，
∴OC=DC，
∵∠OCD=60°，
∴△OCD是等邊三角形．
(2)
△AOD是直角三角形．
理由如下：
∵△OCD是等邊三角形，
∴∠ODC=60°，
∵△BOC≌△ADC，α=150°，
∴∠ADC=∠BOC=α=150°，
∴∠ADO=∠ADC-∠ODC=150°-60°=90°，
∴△AOD是直角三角形．
(3)
∵△OCD是等邊三角形，
∴∠COD=∠ODC=60°．
∵∠AOB=110°，∠ADC=∠BOC=α，
∴∠AOD=360°-∠AOB-∠BOC-∠COD=360°-110°-α-60°=190°-α，
∠ADO=∠ADC-∠ODC=α-60°，
∴∠OAD=180°-∠AOD-∠ADO=180°-（190°-α）-（α-60°）=50°．
①當∠AOD=∠ADO時，190°-α=α-60°，
∴α=125°．
②當∠AOD=∠OAD時，190°-α=50°，
∴α=140°．
③當∠ADO=∠OAD時，
α-60°=50°，
∴α=110°．
綜上所述：當α=110°或125°或140°時，△AOD是等腰三角形．
【點睛】
題目綜合考查了全等三角形的性質(zhì)及等腰三角形的判定；注意應分類探討三角形為等腰三角形的各種情況是解題關(guān)鍵．

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