?第4章 一次函數(shù) （知識(shí)歸納+題型突破）

1．了解常量、變量和函數(shù)的概念，了解函數(shù)的三種表示方法（列表法、解析式法和圖象法），能利用圖象數(shù)形結(jié)合地分析簡單的函數(shù)關(guān)系.
2．理解正比例函數(shù)和一次函數(shù)的概念，會(huì)畫它們的圖象，能結(jié)合圖象討論這些函數(shù)的基本性質(zhì)，能利用這些函數(shù)分析和解決簡單實(shí)際問題.
3．通過討論一次函數(shù)與方程（組）及不等式的關(guān)系，從運(yùn)動(dòng)變化的角度，用函數(shù)的觀點(diǎn)加深對已經(jīng)學(xué)習(xí)過的方程（組）及不等式等內(nèi)容的再認(rèn)識(shí).
4. 通過討論選擇最佳方案的問題，提高綜合運(yùn)用所學(xué)函數(shù)知識(shí)分析和解決實(shí)際問題的能力.

一、函數(shù)的相關(guān)概念
一般地，在一個(gè)變化過程中. 如果有兩個(gè)變量 與，并且對于的每一個(gè)確定的值，都有唯一確定的值與其對應(yīng)，那么我們就說 是自變量，是的函數(shù).
是的函數(shù)，如果當(dāng)＝時(shí)＝，那么叫做當(dāng)自變量為時(shí)的函數(shù)值.
函數(shù)的表示方法有三種：解析式法，列表法，圖象法.
二、一次函數(shù)的相關(guān)概念
　　一次函數(shù)的一般形式為，其中、是常數(shù)，≠0.特別地，當(dāng)＝0時(shí)，一次函數(shù)即（≠0），是正比例函數(shù).
三、一次函數(shù)的圖象及性質(zhì)
1、函數(shù)的圖象
　　如果把自變量與函數(shù)的每對對應(yīng)值分別作為點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)，那么坐標(biāo)平面內(nèi)由這些點(diǎn)組成的圖形，就是這個(gè)函數(shù)的圖象.
要點(diǎn)：直線可以看作由直線平移||個(gè)單位長度而得到（當(dāng)＞0時(shí)，向上平移；當(dāng)＜0時(shí)，向下平移）.說明通過平移，函數(shù)與函數(shù)的圖象之間可以相互轉(zhuǎn)化.
2、一次函數(shù)性質(zhì)及圖象特征
掌握一次函數(shù)的圖象及性質(zhì)（對比正比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)）

要點(diǎn)：理解、對一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)的影響：
（1）決定直線從左向右的趨勢（及傾斜角的大小——傾斜程度），決定它與軸交點(diǎn)的位置，、一起決定直線經(jīng)過的象限．
（2）兩條直線：和：的位置關(guān)系可由其系數(shù)確定：
與相交；
，且與平行；
，且與重合；
（3）直線與一次函數(shù)圖象的聯(lián)系與區(qū)別
一次函數(shù)的圖象是一條直線；特殊的直線、直線不是一次函數(shù)的圖象.
四、用函數(shù)的觀點(diǎn)看方程、方程組、不等式　
方程（組）、不等式問題
函 數(shù) 問 題
從“數(shù)”的角度看
從“形”的角度看
求關(guān)于、的一元一次方程＝0（≠0）的解
為何值時(shí)，函數(shù)的值為0？
確定直線與軸（即直線＝0）交點(diǎn)的橫坐標(biāo)
求關(guān)于、的二元一次方程組的解．
為何值時(shí)，函數(shù)與函數(shù)的值相等？
確定直線與直線的交點(diǎn)的坐標(biāo)
求關(guān)于的一元一次不等式＞0（≠0）的解集
為何值時(shí)，函數(shù)的值大于0？
確定直線在軸（即直線＝0）上方部分的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)的范圍


題型一 函數(shù)的有關(guān)概念
【例1】李師傅駕車五一假期到北京游玩，途中到某加油站加油，如圖是所用的加油機(jī)上的數(shù)據(jù)顯示牌，其中因變量是（????）
??
A．金額 B．?dāng)?shù)量 C．單價(jià) D．金額和數(shù)量
【答案】A
【分析】根據(jù)函數(shù)中自變量和因變量的定義即可求得答案．
【解析】在加油過程中，有數(shù)量和金額兩個(gè)變量，對于數(shù)量的每一個(gè)確定的值，都能隨之確定一個(gè)金額的值，因此金額是數(shù)量的函數(shù)，數(shù)量是自變量，金額是因變量．
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的有關(guān)概念，牢記函數(shù)的有關(guān)概念（在同一個(gè)變化過程中，有兩個(gè)變量和，如果對于變量的每一個(gè)確定的值，都能隨之確定一個(gè)值，我們就把叫做 的函數(shù)，其中叫做自變量，叫做因變量）是解題的關(guān)鍵．
鞏固訓(xùn)練：
1．在式子①，②，③，④，⑤中，是的函數(shù)的有（　?。?，
A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)
【答案】C
【分析】根據(jù)函數(shù)的定義可知，滿足對于x的每一個(gè)取值，y都有唯一確定的值與之對應(yīng)，據(jù)此即可逐一判斷．
【解析】解：在①，②，③，④，中，對于x的每一個(gè)取值，y都有唯一確定的值與之對應(yīng)，所以y是x的函數(shù)；
⑤對于x的每一個(gè)取值，y都有一個(gè)或兩個(gè)值與之對應(yīng)，所以y不是x的函數(shù)；
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的概念，解題關(guān)鍵是明確滿足對于x的每一個(gè)取值，y都有唯一確定的值與之對應(yīng)，兩個(gè)變量為函數(shù)關(guān)系．
2．如圖曲線中不能表示是的函數(shù)的是（ 　　）
A．??B．??C．?? D．??
【答案】C
【分析】根據(jù)函數(shù)的概念，對于自變量 x的每一個(gè)值，因變量 y都有唯一確定的值與它對應(yīng)，即可解答．
【解析】解：A、對于自變量的每一個(gè)值，因變量都有唯一的值與它對應(yīng)，所以是的函數(shù)，故A不符合題意；
B、對于自變量的每一個(gè)值，因變量都有唯一的值與它對應(yīng)，所以是的函數(shù)，故B不符合題意；
C、對于自變量的每一個(gè)值，因變量不是都有唯一的值與它對應(yīng)，所以不是的函數(shù)，故C符合題意；
D、對于自變量的每一個(gè)值，因變量都有唯一的值與它對應(yīng)，所以是的函數(shù)，故D不符合題意；
故選：．
【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的概念，熟練掌握函數(shù)的概念是解題的關(guān)鍵．
3．已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，的值為（　?。?br /> A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)自變量的取值，選擇不同的函數(shù)表達(dá)式進(jìn)行計(jì)算即可求解．
【解析】解：當(dāng)時(shí)，，
故選：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的代入求值，掌握分段函數(shù)的計(jì)算方法，根據(jù)不同的自變量范圍選擇不同的表達(dá)式計(jì)算是解題的關(guān)鍵．
4．彈簧掛上物體后會(huì)伸長，測得一彈簧的長度y（）與所掛的物體的質(zhì)量x（）問有下面的關(guān)系：

0
1
2
3
4
5

10
10.5
11
11.5
12
12.5
下列說法一定錯(cuò)誤的是（????）
A． x與y都是變量，且x是自變量，y是x的函數(shù)
B．彈簧不掛重物時(shí)的長度為0
C．物體質(zhì)量每增加1，彈簧長度y增加0.5
D．所掛物體質(zhì)量為7時(shí)，彈簧長度為13.5
【答案】B
【分析】根據(jù)表格中的信息，對各選項(xiàng)進(jìn)行判斷作答即可．
【解析】解：由題意知，x與y都是變量，且x是自變量，y是x的函數(shù)，A正確，故不符合要求；
彈簧不掛重物時(shí)的長度為10，B錯(cuò)誤，故符合要求；
物體質(zhì)量每增加1，彈簧長度y增加0.5，C正確，故不符合要求；
所掛物體質(zhì)量為7時(shí)，彈簧長度為，D正確，故不符合要求；
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的變量，函數(shù)關(guān)系式．解題的關(guān)鍵在于從表格中獲取正確的信息．
題型二 正比例函數(shù)
【例2】如果關(guān)于的函數(shù)是正比例函數(shù)，那么的取值范圍是（????）
A． B． C．一切實(shí)數(shù) D．
【答案】B
【分析】根據(jù)正比例函數(shù)的定義求解即可．
【解析】解：∵函數(shù)是正比例函數(shù)，
∴，
∴，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了正比例函數(shù)的定義，掌握正比例函數(shù)的定義：形如的形式，叫正比例函數(shù)．
鞏固訓(xùn)練：
1．下列式子中，表示y是x的正比例函數(shù)的個(gè)數(shù)正確的為（???）
（1）；（2）；（3）；（4）．
A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)
【答案】B
【分析】根據(jù)正比例函數(shù)的定義進(jìn)行逐一判斷即可．
【解析】解：是正比例函數(shù)，符合題意；
是正比例函數(shù)，符合題意；
不是正比例函數(shù)，不符合題意；
不是正比例函數(shù)，不符合題意；
∴表示y是x的正比例函數(shù)的個(gè)數(shù)正確的為2個(gè)，
故選B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了正比例函數(shù)的識(shí)別，熟知正比例函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵：一般地，形如的函數(shù)叫做正比例函數(shù)．
2．下列說法中不成立的是（????）
A．在中與x成正比例 B．在中，y與x成正比例
C．在中與成正比例 D．在中y與成正比例
【答案】B
【分析】根據(jù)正比例函數(shù)的定義，逐一判斷即可．
【解析】解：將變形為，故與x成正比例，故A選項(xiàng)正確；
在中，成反比例，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；
將變形為，故與成正比例，故C選項(xiàng)正確；
在中y與成正比例，故D選項(xiàng)正確，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了正比例函數(shù)的定義：一般地，兩個(gè)變量之間的關(guān)系可以表示為形如的函數(shù)，那么y就叫做x的正比例函數(shù)．
3．下列關(guān)于正比例函數(shù)的說法中，正確的是（????）
A．當(dāng)時(shí)， B．它的圖象是一條過原點(diǎn)的直線
C．y隨x的增大而減小 D．它的圖象經(jīng)過第二、四象限
【答案】B
【分析】根據(jù)正比例函數(shù)的性質(zhì)對各選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析即可．
【解析】解：A、當(dāng)時(shí)，，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不合題意；
B、直線是正比例函數(shù)，它的圖象是一條過原點(diǎn)的直線，故本選項(xiàng)正確，符合題意；
C、，隨的增大而增大，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不合題意；
D、直線是正比例函數(shù)，，此函數(shù)的圖象經(jīng)過一三象限，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不合題意．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查的是正比例函數(shù)的性質(zhì)，熟知正比例函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵．
4．點(diǎn)、都在直線上，則與的關(guān)系是（????）
A． B． C． D．與值有關(guān)
【答案】C
【分析】直接根據(jù)正比例函數(shù)的性質(zhì)即可得．
【解析】解：直線中的，
隨的增大而減小，
又點(diǎn)、都在直線上，且，
，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了正比例函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握正比例函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
題型三 一次函數(shù)的有關(guān)概念
【例3】下列函數(shù)中，是一次函數(shù)的是（????）
A． B．
C．（、是常數(shù)） D．
【答案】B
【分析】根據(jù)形如的函數(shù)為一次函數(shù)判斷即可．
【解析】A、 不是一次函數(shù)，不符合題意；
B、 是一次函數(shù)，符合題意；
C、（、是常數(shù)），當(dāng)時(shí)，不是一次函數(shù)，不符合題意；????
D、不是一次函數(shù)，不符合題意；
故選B．
【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的定義，熟練掌握定義是解題的關(guān)鍵．
鞏固訓(xùn)練：
1．下列函數(shù)：①；②；③；④，其中一次函數(shù)的個(gè)數(shù)是（????）
A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)
【答案】B
【分析】根據(jù)形如，、是常數(shù)）的函數(shù)，叫做一次函數(shù)進(jìn)行分析即可．
【解析】解：①；③是一次函數(shù)，共2個(gè)．
故選：B．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了一次函數(shù)定義，關(guān)鍵是掌握一次函數(shù)形如，、是常數(shù)），一次函數(shù)解析式的結(jié)構(gòu)特征：；自變量的次數(shù)為1；常數(shù)項(xiàng)可以為任意實(shí)數(shù)．
2．若點(diǎn)在直線上，則代數(shù)式的值為（????）
A．3 B． C．2 D．0
【答案】A
【分析】把點(diǎn)代入，得出，將其代入進(jìn)行計(jì)算即可．
【解析】解：把點(diǎn)代入得，
整理得：，
∴，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，求代數(shù)式的值，解題的關(guān)鍵是掌握一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)都符合一次函數(shù)表達(dá)式，以及整式添加括號(hào)，若括號(hào)前為負(fù)號(hào)，要變號(hào)．
3．若為一次函數(shù)，則 ．
【答案】0
【分析】利用一次函數(shù)的定義可得，求解即可．
【解析】解：由題意得：，
解得：或（舍去），
，
故答案為：0．
【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的定義，熟練掌握其定義是解題的關(guān)鍵．
4．根據(jù)如圖所示的程序計(jì)算函數(shù)的值，若輸入的值是6，則輸出的值是1，若輸入的值是2，則輸出的值是（????）
????
A．4 B．10 C．19 D．21
【答案】A
【分析】根據(jù)程序框圖，將代入求出的值，將代入即可求出的值．
【解析】當(dāng)時(shí)，，解得：，
當(dāng)時(shí)，．
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)解析式的函數(shù)值求法，熟練掌握函數(shù)解析式的代入求值是解題的關(guān)鍵．
題型四 一次函數(shù)的圖像與性質(zhì)
【例4】．一次函數(shù)的圖象不經(jīng)過第四象限，則的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】依題意，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)得出，解不等式組即可求解．
【解析】解：∵一次函數(shù)的圖象不經(jīng)過第四象限，
∴
解得：，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握一次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
鞏固訓(xùn)練：
1．若一次函數(shù)圖象與直線平行，且過點(diǎn)，則此一次函數(shù)的解析式是 ．
【答案】/
【分析】設(shè)一次函數(shù)的解析式是 ，根據(jù)兩直線平行求出 ，把點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，求出b即可．
【解析】解：設(shè)一次函數(shù)的解析式是，
∵一次函數(shù)圖象與直線平行，
∴，
即，
∵一次函數(shù)的圖象過點(diǎn)，
∴代入得：，
解得：，
即，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了兩直線平行和用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，能求出一次函數(shù)的解析式是解此題的關(guān)鍵．
2．對于函數(shù)，下列結(jié)論不正確的是（????）
A．它的圖象必經(jīng)過點(diǎn) B．它的圖象經(jīng)過第一、二、四象限
C．當(dāng)時(shí)， D．的值隨值的增大而減小
【答案】C
【分析】根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)，進(jìn)行判斷即可．
【解析】解：∵，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
∴圖象過點(diǎn)，；
∵，
∴直線經(jīng)過第一、二、四象限，的值隨值的增大而減小，
∴當(dāng)時(shí)，；
故結(jié)論不正確的是C；
故選C．
【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)．熟練掌握一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．
3．已知點(diǎn)，，都在直線上，則，，的大小關(guān)系是（????）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可．
【解析】解：∵，，
∴隨的增大而減小，
∵點(diǎn)，，都在直線上，且，
∴；
故選A．
【點(diǎn)睛】本題考查比較一次函數(shù)的函數(shù)值大?。忸}的關(guān)鍵是熟練掌握一次函數(shù)的增減性．
4．將直線向右平移2個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位得到直線解析式為（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)平移的性質(zhì)“左加右減，上加下減”，即可找出平移后的直線解析式，此題得解．
【解析】解：將直線向右平移2個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位，
可得：，即．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)圖象與幾何變換，牢記平移的規(guī)則“左加右減，上加下減”是解題的關(guān)鍵．
5．如圖所示，兩條直線與在同一直角坐標(biāo)系中的圖像位置可能是（????）
A．??B．??C．?? D．??
E．

【答案】A
【分析】根據(jù)選項(xiàng)，結(jié)合一次函數(shù)圖像與表達(dá)式系數(shù)的關(guān)系逐項(xiàng)判斷即可得到答案．
【解析】解：A、由選項(xiàng)中直線的圖像可知，則斷定直線圖像正確，該選項(xiàng)符合題意；
B、由選項(xiàng)中直線的圖像可知，則斷定直線圖像錯(cuò)誤，該選項(xiàng)不符合題意；
C、由選項(xiàng)中直線的圖像可知，則斷定直線圖像錯(cuò)誤，該選項(xiàng)不符合題意；
D、由選項(xiàng)中直線的圖像可知，則斷定直線圖像錯(cuò)誤，該選項(xiàng)不符合題意；
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)圖像與表達(dá)式系數(shù)的關(guān)系，掌握此類題型的解題方法是解決問題的關(guān)鍵．
6．若一次函數(shù)（為常數(shù)），當(dāng)自變量滿足時(shí)，對應(yīng)的函數(shù)值滿足，則的值是（????）
A． B．2 C．或2 D．3或
【答案】C
【分析】分兩種情況考慮：①當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大，當(dāng)時(shí)，時(shí)列方程組求解②當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小，當(dāng)時(shí)，時(shí)列方程組求解．
【解析】解：當(dāng)時(shí)，則有，
解得,
當(dāng)時(shí)，則有，
解得
綜上可知或
o故選：C.
【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)分類討論的思想思考問題．
7．一次函數(shù)與函數(shù)的圖象恰好有兩個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】根據(jù)函數(shù)解析式畫出大致的函數(shù)圖象，找到兩次只有一個(gè)公共交點(diǎn)的情況，中間即是有兩個(gè)交點(diǎn)的情況，得出結(jié)論．
【解析】解：必過，
????
①當(dāng)，，與有一個(gè)公共交點(diǎn)；
②當(dāng)，與的一個(gè)分支有一個(gè)公共交點(diǎn)；
故若一次函數(shù)與函數(shù)的圖象恰好有兩個(gè)交點(diǎn)是當(dāng)時(shí)．
故答案為．
【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)和的圖象，確認(rèn)兩個(gè)函數(shù)交點(diǎn)情況是解題關(guān)鍵．
8．有8條不同的直線（n＝1，2，3，4，5，6，7，8），其中，，則這8條直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)最多是（????）
A．21個(gè) B．22個(gè) C．23個(gè) D．24個(gè)
【答案】C
【分析】通過一次項(xiàng)系數(shù)相等的一次函數(shù)圖像直線直線平行，得到．一次函數(shù)與軸交點(diǎn)為，且，得到這三條直線交于一點(diǎn)．想要直線之間交點(diǎn)盡可能多，則后出現(xiàn)的直線與前面所有直線都有不同交點(diǎn)，畫圖可得到最多的交點(diǎn)情況，得出最多交點(diǎn)個(gè)數(shù)．
【解析】先畫出交于1點(diǎn)，后畫分別與前3條直線各有1個(gè)交點(diǎn)，與前面6條直線各有1個(gè)交點(diǎn)，與前面7條直線各有1個(gè)交點(diǎn)．

所以最多共有23個(gè)交點(diǎn)．

故選C．
【點(diǎn)睛】本題考查直線之間的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，直線之間的交點(diǎn)個(gè)數(shù)最多的情況為后出現(xiàn)的直線與前面的直線均有不同交點(diǎn)．有位置前提的情況下，需要了解直線本身具有什么位置關(guān)系特點(diǎn)，先理清楚條件再按照交點(diǎn)個(gè)數(shù)最多的策略畫圖．理解直線之間的交點(diǎn)個(gè)數(shù)最多的情況是解題的關(guān)鍵．
題型五 一次函數(shù)與方程、不等式
【例5】．如圖，直線y=ax+b(a≠0)過點(diǎn)A（0，4），B（-3，0），則方程ax+b=0的解是（????）

A．x=-3 B．x=4 C．x= D．x=
【答案】A
【分析】根據(jù)所求方程的解，即為函數(shù)y=ax+b圖象與x軸交點(diǎn)橫坐標(biāo)，確定出解即可．
【解析】方程ax+b=0的解，即為函數(shù)y=ax+b圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，
∵直線y=ax+b過B（-3，0），
∴方程ax+b=0的解是x=-3，
故選A．
【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)與一元一次方程，任何一元一次方程都可以轉(zhuǎn)化為ax+b=0 （a，b為常數(shù)，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以轉(zhuǎn)化為：當(dāng)某個(gè)一次函數(shù)的值為0時(shí)，求相應(yīng)的自變量的值．從圖象上看，相當(dāng)于已知直線y=ax+b確定它與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的值．
鞏固訓(xùn)練：
1．若函數(shù)和的圖象如圖所示，則關(guān)于x的不等式的解集是（????）
??
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)，寫出直線在直線下方所對應(yīng)的自變量的范圍即可．
【解析】解：觀察函數(shù)圖象得直線與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為，
∴時(shí)，，
所以關(guān)于x的不等式的解集為．
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)與一元一次不等式的關(guān)系：認(rèn)真體會(huì)一次函數(shù)與一元一次不等式（組）之間的內(nèi)在聯(lián)系及數(shù)形結(jié)合思想．理解一次函數(shù)的增減性是解決本題的關(guān)鍵．
2．一次函數(shù)和與的部分對應(yīng)值如表1，與的部分對應(yīng)值如表2：


0
1



0
1



3
5



0
-1

則當(dāng)時(shí)，的取值范圍是（　?。?
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先求得兩函數(shù)解析式，再根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)求解不等式即可解答.
【解析】解：將代入
可得：，解得：，
∴；
同理可得：
聯(lián)立和，解得：
∴的解集為；
∵，
∴，
∴的解集為.
故選C.
【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)的交點(diǎn)問題、一次函數(shù)的解析式、解不等式等知識(shí)點(diǎn)，正確求得兩函數(shù)解析式是解答本題的關(guān)鍵.
3．一次函數(shù)與的圖象如圖所示，下列說法：①；②，是直線上不重合的兩點(diǎn)．則．③；④；⑤當(dāng)時(shí)，．其中正確的個(gè)數(shù)有（????）
??
A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)
【答案】B
【分析】根據(jù)一次函數(shù)過一，二，四象限，可得，，則，故①符合題意；由，可得隨增大而減小，故②不符合題意；當(dāng)，，，結(jié)合函數(shù)圖象可得：，故③符合題意；由函數(shù)圖象可得，兩函數(shù)的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，當(dāng)時(shí)，，即，故④符合題意；由函數(shù)圖象可得：當(dāng)時(shí)，可得，故⑤不符合題意．
【解析】解：∵一次函數(shù)過一，二，四象限，
∴，，
∴，故①符合題意；
∵，
∴隨增大而減小，
而，是直線上不重合的兩點(diǎn)．
當(dāng)，則，則，
當(dāng)，則，則，故②不符合題意；
當(dāng)，，，
結(jié)合函數(shù)圖象可得：，故③符合題意；
由函數(shù)圖象可得，兩函數(shù)的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，
∴當(dāng)時(shí)，，即，故④符合題意；
由函數(shù)圖象可得：當(dāng)時(shí)，
，故⑤不符合題意；
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查的是一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，利用兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)確定不等式的解集，熟練的利用數(shù)形結(jié)合的方法解題是關(guān)鍵．
題型六 一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用
【例6】．某電信公司推出兩種不同的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)：A種方式是月租20元；B種方式是月租0元．一個(gè)月本地網(wǎng)內(nèi)打出電話費(fèi)S（元）與打出時(shí)間t（分）的函數(shù)圖象如圖所示，當(dāng)打出150分鐘時(shí)，這兩種方式的電話費(fèi)相差（????）
??
A．5元 B．10元 C．15元 D．20元
【答案】B
【分析】根據(jù)圖象先求出兩條直線的解析式，然后時(shí)代入各自的解析式就可以求出各自的付費(fèi)情況從而求出結(jié)論．
【解析】解：設(shè)種方式直線的解析式為：，種方式直線的解析式為：，
由圖象可得：，，
解得，，
這兩個(gè)函數(shù)的解析式分別為：，，
當(dāng)時(shí)，
，，
兩種方式的電話費(fèi)相差：，
故選B．
【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，求出函數(shù)解析式．
鞏固訓(xùn)練：
1. 清明期間，甲、乙兩人同時(shí)登云霧山，甲、乙兩人距地面的高度y（米）與登山時(shí)間x（分）之間的函數(shù)圖象如圖所示，且乙提速后乙的速度是甲的3倍．則下列說法錯(cuò)誤的是（　　）
??
A．乙提速后每分鐘攀登30米 B．乙攀登到300米時(shí)共用時(shí)11分鐘
C．從甲、乙相距100米到乙追上甲時(shí)，乙用時(shí)分鐘 D．從甲、乙相距100米到乙追上甲時(shí)，甲、乙兩人共攀登了330米．
【答案】D
【分析】根據(jù)圖象可得甲的速度，進(jìn)而得出乙提速后的速度；利用乙提速后的速度可得提速后所用時(shí)間，進(jìn)而得出乙攀登到300米時(shí)共用時(shí)間；別求出甲和乙提速后y和x之間的函數(shù)關(guān)系式，進(jìn)而判斷C、D．
【解析】解：甲的速度為：（米/分），
（米/分），
即乙提速后每分鐘攀登30米，故選項(xiàng)A不符合題意；
乙攀登到300米時(shí)共用時(shí)：（分鐘），故選項(xiàng)B不符合題意；
設(shè)，，
由函數(shù)圖象得：，
解得 ，
∴，
∵乙提速后，乙的速度是甲登上速度的3倍，
∴乙提速后的速度為：30米/分，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得 ，
∴，
當(dāng)時(shí)，
則，
解得，
即從甲、乙相距100米到乙追上甲時(shí)，乙用時(shí)分鐘，故選項(xiàng)C不符合題意；
從甲、乙相距100米到乙追上甲時(shí)，
甲、乙兩人共攀登了：（米），
故選項(xiàng)D符合題意．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查的是一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，理解點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)是含義，熟練的求解一次函數(shù)的解析式是解本題的關(guān)鍵．
2．小帶和小路兩個(gè)人開車從城出發(fā)勻速行駛至城．整個(gè)行駛過程中，小帶和小路兩人的車離開城的距離（千米）與行駛的時(shí)間（小時(shí)）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示，有下列結(jié)論：
①、兩城相距千米；
②小路的車比小帶的車晚出發(fā)小時(shí)，卻早到小時(shí)；
③小路的車出發(fā)后小時(shí)追上小帶的車；
④當(dāng)時(shí)，小帶和小路的車相距千米．
其中正確的結(jié)論有（???）

A．①②③④ B．①②④ C．②③④ D．①②
【答案】B
【分析】觀察圖象可判斷，由圖象所給數(shù)據(jù)可求得小帶、小路兩車離開城的距離與時(shí)間的關(guān)系式，可求得兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)，可判斷，再令兩函數(shù)解析式的差為，可求得，可判斷，可得出答案．
【解析】解：由圖象可知、兩城市之間的距離為千米，小帶行駛的時(shí)間為小時(shí)，而小路是在甲出發(fā)小時(shí)后出發(fā)的，且用時(shí)小時(shí)，即早到小時(shí)，

都正確；
設(shè)小帶車離開城的距離與的關(guān)系式為，
把代入可求得，
，
設(shè)小路車離開城的距離與的關(guān)系式為，
把和代入可得，
解得：，
，
令，可得：，
解得：，
即小帶、小路兩直線的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為，
此時(shí)小路出發(fā)時(shí)間為小時(shí)，即小路車出發(fā)小時(shí)后追上小帶車，
不正確；
令，可得，即，
當(dāng)時(shí)，可解得，
當(dāng)時(shí)，可解得，
又當(dāng)時(shí)，，此時(shí)小路還沒出發(fā)，
當(dāng)時(shí)，小路到達(dá)城，；
綜上可知當(dāng)?shù)闹禐榛蚧蚧驎r(shí)，兩車相距千米，
正確；
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查一次函數(shù)的應(yīng)用，掌握一次函數(shù)圖象的意義是解題的關(guān)鍵，特別注意是甲車所用的時(shí)間．
題型七 一次函數(shù)解答題
【例7】．已知一次函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)和．求：
(1)這個(gè)一次函數(shù)的解析式．
(2)當(dāng)時(shí)，y的值．
【答案】(1)
(2) -5
【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解；
（2）將代入一次函數(shù)的解析式，即可求出y的值．
【解析】（1）解：設(shè)一次函數(shù)的解析式為，
將點(diǎn)和代入， 可得，
解得，
故這個(gè)一次函數(shù)的解析式為．
（2）解：由（1）知這個(gè)一次函數(shù)的解析式為，
當(dāng)時(shí)，，
即y的值是-5．
【點(diǎn)睛】本題考查求一次函數(shù)解析式和函數(shù)值，解題的關(guān)鍵是利用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)的解析式．
鞏固訓(xùn)練：
1．已知一次函數(shù)．
(1)若函數(shù)圖象在y軸上的截距為，求m的值；
(2)若函數(shù)圖象平行于直線，求m的值；
(3)該函數(shù)圖象不經(jīng)過第二象限，求m的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）截距等于，得，解方程即可；
（2）根據(jù)平行直線的解析式的k值相等列式計(jì)算即可得解；
（3）根據(jù)圖象不在第二象限，，列出不等式組求解即可．
【解析】（1）解：∵函數(shù)的圖象在y軸上的截距為，
∴，
解得；
（2）解：∵函數(shù)的圖象平行于直線，
∴，
解得；
（3）解：∵函數(shù)的圖象不過第二象限，
∴，，
由①得：，
由②得，，
∴．
【點(diǎn)睛】本題主要考查一次函數(shù)圖象在坐標(biāo)平面內(nèi)的位置與k、b的關(guān)系．解答本題注意理解：直線y=kx+b所在的位置與k、b的符號(hào)有直接的關(guān)系；時(shí)，直線必經(jīng)過一、三象限；時(shí)，直線必經(jīng)過二、四象限；時(shí)，直線與y軸正半軸相交；時(shí)，直線過原點(diǎn)；時(shí)，直線與y軸負(fù)半軸相交．
2．已知是的一次函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．
(1)求這個(gè)一次函數(shù)的表達(dá)式；
(2)當(dāng)時(shí)，直接寫出函數(shù)的取值范圍，
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式；
（2）先計(jì)算出和時(shí)的函數(shù)值，再根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．
【解析】（1）解：設(shè)這個(gè)一次函數(shù)的表達(dá)式為，
根據(jù)題意得，
解得，
∴這個(gè)一次函數(shù)的表達(dá)式為；
（2）解：當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，，
∴當(dāng)時(shí)，對應(yīng)的函數(shù)的取值范圍為．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，一次函數(shù)的性質(zhì)，解方程等知識(shí)，解題關(guān)鍵是掌握一次函數(shù)性質(zhì)．
3．已知直線經(jīng)過點(diǎn)，，，第一象限內(nèi)的一點(diǎn)在直線上，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．
(1)求直線的解析式；
(2)點(diǎn)繞著點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式即可；
（2）過點(diǎn)P作軸交于E，過點(diǎn)作軸交于F，可證明，再由邊的關(guān)系可求點(diǎn)坐標(biāo)．
【解析】（1）解：設(shè)直線l的解析式為，
將點(diǎn)，，代入，
∴，
解得，
∴；
（2）過點(diǎn)P作軸交于E，過點(diǎn)作軸交于F，

∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
當(dāng)時(shí)，，
∴，
當(dāng)時(shí)，，
∴，
∴，，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握一次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，三角形全等的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
4．如圖，函數(shù)與的圖象交于點(diǎn)．

(1)求出，的值．
(2)直接寫出的解集．
(3)求出的面積．
【答案】(1)，；
(2)；
(3)的面積為．

【分析】（1）將代入，求解n的值，再代入，求解m的值即可；
（2）根據(jù)圖象求解即可；
（3）求得A、B的坐標(biāo)，根據(jù)三角形的面積公式即可求解．
【解析】（1）解：將代入得，，
解得，
將代入得，，
解得，
∴m，n的值分別為，；
（2）解：∵，
∴由圖象知，不等式的解集為；
（3）解：令，則，，
∴，，
∴，
∴的面積為．
【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)解析式，兩直線交點(diǎn)求不等式解集．解題的關(guān)鍵在于熟練掌握一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)．體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想．
5．小明從A地出發(fā)向B地行走，同時(shí)曉陽從B地出發(fā)向A地行走，小明、曉陽離A地的距離y（千米）與已用時(shí)間x（分鐘）之間的函數(shù)關(guān)系分別如圖中、所示．

(1)小明與曉陽出發(fā)幾分鐘時(shí)相遇？
(2)求曉陽到達(dá)A地的時(shí)間．
【答案】(1)12分鐘
(2)20分鐘

【分析】（1）由圖可知當(dāng)二人離A地的距離時(shí)，兩人相遇，根據(jù)圖像求出的解析式，再代入即可得出答案；
（2）根據(jù)圖象求出曉陽的速度，再根據(jù)路程公式即可得出曉陽到達(dá)A地的時(shí)間．
【解析】（1）解：設(shè)的解析式為：．
∵函數(shù)的圖象過，
，
即，
，
當(dāng)時(shí)，，
∴小明與曉陽出發(fā)12分鐘時(shí)相遇．
（2）解：∵曉陽的速度為（千米/分鐘），
∴曉陽到達(dá)A地的時(shí)間為分鐘．
【點(diǎn)睛】本題考查利用一次函數(shù)圖象解決路程問題，分析圖象中點(diǎn)的坐標(biāo)的實(shí)際意義是本題解題關(guān)鍵．
6．如下圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、點(diǎn)B，點(diǎn)D在y軸的負(fù)半軸上，若將△DAB沿直線AD折疊，點(diǎn)B恰好落在x軸正半軸上的點(diǎn)C處．

(1)求AB的長
(2)求點(diǎn)C和點(diǎn)D的坐標(biāo)
(3)y軸上是否存在一點(diǎn)P，使得？若存在，直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由
【答案】(1)5
(2)C(8，0)；D(0，-6)
(3)P點(diǎn)的坐標(biāo)為(0，12)或(0，-4)

【分析】（1）根據(jù)直線解析式可求出A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)，從而可求出OA和OB的長，再根據(jù)勾股定理即可求出AB的長；
（2）由翻折可知AC=AB=5，CD=BD，即得出OC=8，即C(8，0)．設(shè)OD=x，則DB= x+4．再在Rt△OCD中，利用勾股定理可列出關(guān)于x的等式，解出x，即可求出D點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）求出的值，即可得出的值，再根據(jù)，即可求出BP的值，從而即得出P點(diǎn)坐標(biāo)；
【解析】（1）令x=0得：y=4，
∴B(0，4)．
∴OB=4
令y=0得：，解得：x=3，
∴A(3，0)．
∴OA=3．
在Rt△OAB中，；
（2）由翻折可知AC=AB=5，CD=BD，
∴OC=OA+AC=3+5=8，
∴C(8，0)．
設(shè)OD=x，則CD=DB=OD+OB=x+4．
在Rt△OCD中，，即，
解得：x=6，
∴D(0，-6)；
（3）∵，，
∴．
∵點(diǎn)P在y軸上，，
∴，即，
解得：BP=8，
∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為(0，12)或(0，-4)．
【點(diǎn)睛】本題主要考查的是一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了翻折的性質(zhì)、勾股定理、三角形的面積公式，依據(jù)勾股定理列出關(guān)于x的方程是解題的關(guān)鍵．


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