（考試時(shí)間：100分鐘 試卷滿分：120分）
學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________
一、選擇題（本大題共10個(gè)小題，每小題3分，共30分；在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）
1．直角三角形的兩條邊長(zhǎng)分別為3和4，則這個(gè)直角三角形斜邊上的高的為（ ）
A．5B．C．D．或
2．下列數(shù)據(jù)不是勾股數(shù)的是（ ）
A．7，14，16B．5，12，13C．3，4，5D．9，40，41
3．滿足下列條件的，不是直角三角形的是（ ）
A．B．
C．D．
4．如圖，在的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，點(diǎn)，，都在格點(diǎn)上，于點(diǎn)，則的長(zhǎng)為（ ）
A．B．C．D．
5．下列說法中正確的個(gè)數(shù)有 （ ）
（1）兩直線被第三條直線所截，內(nèi)錯(cuò)角相等 ．
（2）鈍角三角形三內(nèi)角的平分線的交點(diǎn)不一定在三角形內(nèi)部．
（3）相等的角是對(duì)頂角．
（4）銳角三角形的任意兩個(gè)內(nèi)角的和大于90°
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
6．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AB＝5，點(diǎn)E為射線BC上一點(diǎn)，若△ABE是等腰三角形，則△ABE的面積不可能是（ ）
A．10B．12C．D．
7．如圖：在一個(gè)邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的方格稿紙上，有A、B、C、D、E、F、G七個(gè)點(diǎn)，則在下列任選三個(gè)點(diǎn)的方案中可以構(gòu)成直角三角形的是( )
A．點(diǎn)A、點(diǎn)B、點(diǎn)CB．點(diǎn)A、點(diǎn)D、點(diǎn)G
C．點(diǎn)B、點(diǎn)E、點(diǎn)FD．點(diǎn)B、點(diǎn)G、點(diǎn)E
8．一艘輪船從A港向南偏西方向航行到達(dá)B島，再?gòu)腂島沿方向航行到達(dá)C島，A港到航線的最短距離是.若輪船速度為，輪船從C島沿返回A港所需的時(shí)間是（ ）
A．B．C．D．
9．如圖，一個(gè)梯子斜靠在一豎直的墻AO上，測(cè)得AO＝4m，若梯子的頂端沿墻下滑1m，這時(shí)梯子的底端也下滑1m，則梯子AB的長(zhǎng)度為（ ）
A．5mB．6mC．3mD．7m
10．我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的“勾股方圓圖”是由四個(gè)全等的直角三角形與中間的一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形（如圖所示），如果大正方形的面積是25，小正方形的面積是1，直角三角形的兩直角邊分別是a和b，那么ab的值為（ ）
A．49B．25C．12D．10
二、填空題（本大題共8個(gè)小題，每題3分，共24分）
11．分別以下列四組數(shù)為一個(gè)三角形的邊長(zhǎng)：（1）6、8、10，（2）5、12、13，（3）8、15、17，（4）4、5、6，其中能構(gòu)成直角三角形的有__．（填序號(hào)）
12．如圖，已知∠B＝45°，AB＝2cm，點(diǎn)P為∠ABC的邊BC上一動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)BP2＝________cm時(shí)，△BAP為直角三角形．
13．如圖，已知等腰的直角邊長(zhǎng)為，以它的斜邊為直角邊畫第二個(gè)等腰，再以斜邊為直角邊畫第三個(gè)等腰，…，依此類推，長(zhǎng)為，長(zhǎng)為，第個(gè)等腰直角三角形斜邊長(zhǎng)為___________，第個(gè)等腰三角形斜邊長(zhǎng)為__________，則第個(gè)等腰直角三角形斜邊長(zhǎng)為__________．
14．如圖，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都相等，A，B，C是小正方形的頂點(diǎn)，則∠ABC的度數(shù)為___．
15．如圖，點(diǎn)C在A點(diǎn)的北偏東15°方向，點(diǎn)C在B點(diǎn)的北偏東60°方向，則___________．
16．如圖，∠MON＝90°，△ABC的頂點(diǎn)A、B分別在OM、ON上，當(dāng)A點(diǎn)從O點(diǎn)出發(fā)沿著OM向右運(yùn)動(dòng)時(shí)，同時(shí)點(diǎn)B在ON上運(yùn)動(dòng)，連接OC．若AC＝4，BC＝3，AB＝5，則OC的長(zhǎng)度的最大值是________．
17．如圖，已知中，，D是的中點(diǎn)，于點(diǎn)E；連接，則下列結(jié)論正確的是___________．(寫出所有正確結(jié)論的序號(hào))
①； ②當(dāng)E為中點(diǎn)時(shí)，﹔
③若，則； ④若，則面積的最大值為2．
18．如圖，東西海岸線上有、兩個(gè)碼頭，相距6千米，燈塔到碼頭距離為千米．燈塔在碼頭的北偏東方向，則燈塔與直線的距離為______千米．
三、解答題（本大題共8小題，共66分；第19-22每小題6分，第23-24每小題8分，第25小題12分，第26小題14分）
19．如圖，，分別是的兩條高，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)．
(1)求證：；
(2)若，，求的長(zhǎng)．
20．如圖，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，P、Q是△ABC邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，其中點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿A→B方向運(yùn)動(dòng)，且速度為每秒1cm，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿B→C方向運(yùn)動(dòng)，且速度為每秒2cm，它們同時(shí)出發(fā)，設(shè)出發(fā)的時(shí)間為t秒．
(1)當(dāng)t＝2秒時(shí)，求的長(zhǎng)；
(2)求出發(fā)時(shí)間為幾秒時(shí)，△PQB是等腰三角形？
(3)若Q沿B→C→A方向運(yùn)動(dòng)，則當(dāng)點(diǎn)Q在邊CA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求能使△BCQ成為等腰三角形的運(yùn)動(dòng)時(shí)間．
21．在一條東西走向的河流一側(cè)有一村莊C，河邊原有兩個(gè)取水點(diǎn)A，B，其中，由于某種原因，由C到A的路現(xiàn)在已經(jīng)不通，該村為方便村民取水，決定在河邊新建一個(gè)取水點(diǎn)D（A、D、B在同一條直線上），并新修一條路，測(cè)得千米，千米，千米．
(1)求證：；
(2)求原來的路線的長(zhǎng)．
22．在△ABC中，已知三角形的三邊長(zhǎng)，求這個(gè)三角形的面積．
(1)如圖1，已知AC＝5，BC＝12，AB＝13，則△ABC的面積是______；
(2)如圖2，已知BC＝10，AB＝AC＝13，求△ABC的面積；
(3)如圖3，已知AC＝8，BC＝10，AB＝12，求△ABC的面積．
23．新冠疫情期間，為了提高人民群眾防疫意識(shí)，很多地方的宣講車開起來了，大喇叭響起來了，宣傳橫幅掛起來了，電子屏亮起來了，電視、廣播、微信、短信齊上陣，防疫標(biāo)語、宣傳金句頻出，這傳遞著打贏疫情防控阻擊戰(zhàn)的堅(jiān)定決心．如圖，在一條筆直公路MN的一側(cè)點(diǎn)A處有一村莊，村莊A到公路MN的距離AB為800米，若宣講車周圍1000米以內(nèi)能聽到廣播宣傳，宣講車在公路MN上沿MN方向行駛．
(1)請(qǐng)問村莊A能否聽到宣傳？請(qǐng)說明理由；
(2)如果能聽到，已知宣講車的速度是300米/分鐘，那么村莊A總共能聽到多長(zhǎng)時(shí)間的宣傳？
24．已知：在中，，，點(diǎn)D在直線AB上，連接CD，在CD 的右側(cè)作，．
(1)如圖1，①點(diǎn)D在AB邊上，線段BE和線段AD數(shù)量關(guān)系是______，位置關(guān)系是______；
②直接寫出線段AD，BD，DE之間的數(shù)量關(guān)系______．
(2)如圖2，點(diǎn)D在B右側(cè)．AD，BD，DE之間的數(shù)量關(guān)系是______，若，．直接寫出DE的長(zhǎng)______．
(3)拓展延伸
如圖3，，，，，求出線段EC的長(zhǎng)．
25．如圖所示，A、B兩塊試驗(yàn)田相距200m，C為水源地，AC＝160m，BC＝120m，為了方便灌溉，現(xiàn)有兩種方案修筑水渠．
甲方案：從水源地C直接修筑兩條水渠分別到A、B；
乙方案；過點(diǎn)C作AB的垂線，垂足為H，先從水源地C修筑一條水渠到AB所在直線上的H處，再?gòu)腍分別向A、B進(jìn)行修筑．
（1）請(qǐng)判斷△ABC的形狀（要求寫出推理過程）；
（2）兩種方案中，哪一種方案所修的水渠較短？請(qǐng)通過計(jì)算說明．
26．如圖（1），是兩個(gè)全等的直角三角形（直角邊分別為a，b，斜邊為c）

（1）用這樣的兩個(gè)三角形構(gòu)造成如圖（2）的圖形，利用這個(gè)圖形，證明：a2+b2=c2；
（2）用這樣的兩個(gè)三角形可以拼出多種四邊形，畫出周長(zhǎng)最大的四邊形；當(dāng)a=2，b=4時(shí)，求這個(gè)四邊形的周長(zhǎng)；
（3）當(dāng)a=1，b=2時(shí)，將其中一個(gè)直角三角形放入平面直角坐標(biāo)系中（如圖（3）），使直角頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，兩直角邊a，b分別與x軸、y軸重合．
①請(qǐng)?jiān)趚軸、y軸上找一點(diǎn)C，使△ABC為等腰三角形；（要求：用尺規(guī)畫出所有符合條件的點(diǎn)，并用C1，C2，…，Cn在圖中標(biāo)出所找的點(diǎn)．只保留作圖痕跡，不寫作法）
②寫出一個(gè)滿足條件的在x軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)：_____，寫出一個(gè)滿足條件的在y軸上的點(diǎn)坐標(biāo)：_____．
【高效培優(yōu)】2022—2023學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)必考重難點(diǎn)突破必刷卷（蘇科版）
【單元測(cè)試】第3章 勾股定理（夯實(shí)基礎(chǔ)培優(yōu)卷）
（考試時(shí)間：100分鐘 試卷滿分：120分）
學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________
一、選擇題（本大題共10個(gè)小題，每小題3分，共30分；在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）
1．直角三角形的兩條邊長(zhǎng)分別為3和4，則這個(gè)直角三角形斜邊上的高的為（ ）
A．5B．C．D．或
【答案】D
【分析】設(shè)直角三角形斜邊上的高為h，①當(dāng)長(zhǎng)為4的邊是直角邊時(shí)，②當(dāng)長(zhǎng)為4的邊是斜邊時(shí)，分別求得第三邊長(zhǎng)，進(jìn)而根據(jù)等面積法即可求解．
【詳解】解：設(shè)直角三角形斜邊上的高為h，
①當(dāng)長(zhǎng)為4的邊是直角邊時(shí)，斜邊長(zhǎng)＝5，
則×3×4＝×5×h，
解得：h＝；
②當(dāng)長(zhǎng)為4的邊是斜邊時(shí)，另一條直角邊長(zhǎng)的平方＝＝7，即另一條直角邊長(zhǎng)＝，
×3×＝×4×h，
解得：h＝；
綜上，直角三角形斜邊上的高為：或．
故本題選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，分類討論是解題的關(guān)鍵．
2．下列數(shù)據(jù)不是勾股數(shù)的是（ ）
A．7，14，16B．5，12，13C．3，4，5D．9，40，41
【答案】A
【分析】根據(jù)勾股數(shù)可直接進(jìn)行求解．
【詳解】解：A、，所以不是勾股數(shù)，故符合題意；
B、，所以是勾股數(shù)，故不符合題意；
C、，所以是勾股數(shù)，故不符合題意；
D、，所以是勾股數(shù)，故不符合題意；
故選A．
【點(diǎn)睛】本題主要考查勾股數(shù)，熟練掌握勾股數(shù)是解題的關(guān)鍵．
3．滿足下列條件的，不是直角三角形的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】利用三角形內(nèi)角和定理和勾股定理逆定理進(jìn)行計(jì)算可得答案．
【詳解】解：、，即，
，故能判定是直角三角形；
、設(shè)，，，，
，故能判定是直角三角形；
、，
，故不能判定是直角三角形；
、，
，
，故能判定是直角三角形．
故選：．
【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形內(nèi)角和定理、勾股定理的逆定理的應(yīng)用，勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c滿足，那么這個(gè)三角形就是直角三角形，掌握勾股定理的逆定理是解題的關(guān)鍵．
4．如圖，在的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，點(diǎn)，，都在格點(diǎn)上，于點(diǎn)，則的長(zhǎng)為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)面積相等的方法，即可求出答案 ．
【詳解】解：由題意可得，的面積是：，
∵是的高，，
∴，
解得，，
故選：．
【點(diǎn)睛】本題考查利用勾股定理計(jì)算三角形的相關(guān)知識(shí)，幾何圖形與網(wǎng)格的結(jié)合考查三角形的相關(guān)知識(shí)，理解和掌握三角形的知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
5．下列說法中正確的個(gè)數(shù)有 （ ）
（1）兩直線被第三條直線所截，內(nèi)錯(cuò)角相等 ．
（2）鈍角三角形三內(nèi)角的平分線的交點(diǎn)不一定在三角形內(nèi)部．
（3）相等的角是對(duì)頂角．
（4）銳角三角形的任意兩個(gè)內(nèi)角的和大于90°
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
【答案】A
【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)，三角形的角平分線的定義，對(duì)頂角的定義，三角形內(nèi)角和定理，逐項(xiàng)分析判斷即可求解．
【詳解】（1）兩平行直線被第三條直線所截，內(nèi)錯(cuò)角相等，故該說法不正確，
（2）鈍角三角形三內(nèi)角的平分線的交點(diǎn)一定在三角形內(nèi)部，故該說法不正確，
（3）相等的角不一定是對(duì)頂角，故該說法不正確，
（4）銳角三角形的任意兩個(gè)內(nèi)角的和大于，故該說法正確，
故選A．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形的角平分線的定義，對(duì)頂角的定義，三角形內(nèi)角和定理，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
6．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AB＝5，點(diǎn)E為射線BC上一點(diǎn)，若△ABE是等腰三角形，則△ABE的面積不可能是（ ）
A．10B．12C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)勾股定理求出AC，分三種情況：①BE=AB，②AE=AB，③當(dāng)AE=BE，分別求出BE，分別根據(jù)三角形的面積公式求出△ABE的面積即判斷到選項(xiàng)．
【詳解】在中，∠ACB＝90°，BC＝3，AB＝5，
∴，
當(dāng)時(shí)，
；
當(dāng)時(shí)，
∵，
∴，
∴，
當(dāng)時(shí)，
∴，
在中，，
∴，
解得：，
∴，
，
綜上所述：的面積是10或12或．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的面積公式，能夠正確分類是解決
問題的關(guān)鍵．
7．如圖：在一個(gè)邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的方格稿紙上，有A、B、C、D、E、F、G七個(gè)點(diǎn)，則在下列任選三個(gè)點(diǎn)的方案中可以構(gòu)成直角三角形的是( )
A．點(diǎn)A、點(diǎn)B、點(diǎn)CB．點(diǎn)A、點(diǎn)D、點(diǎn)G
C．點(diǎn)B、點(diǎn)E、點(diǎn)FD．點(diǎn)B、點(diǎn)G、點(diǎn)E
【答案】C
【分析】先利用勾股定理求出各邊的長(zhǎng)，再利用勾股定理的逆定理：如果三邊滿足，則可組成直角三角形進(jìn)行判斷即可．
【詳解】A．AB2=1+36=37，AC2=16+25=41，BC2=1+9=10，37+10≠41，不可以構(gòu)成直角三角形；
B．AD2=16+16=32，AG2=9+36=45，DG2=1+4=5，32+5≠45，不可以構(gòu)成直角三角形；
C．BE2=36+16=52，BF2=25+25=50，EF2=1+1=2，50+2=52，可以構(gòu)成直角三角形
D．BG2=25+9=34，BE2=36+16=52，GE2=9+1=10，34+10≠52，不可以構(gòu)成直角三角形．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查勾股定理及其逆定理，掌握勾股定理及其逆定理是解題的關(guān)鍵．
8．一艘輪船從A港向南偏西方向航行到達(dá)B島，再?gòu)腂島沿方向航行到達(dá)C島，A港到航線的最短距離是.若輪船速度為，輪船從C島沿返回A港所需的時(shí)間是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】在Rt△ABD中，利用勾股定理求得BD的長(zhǎng)度，則CD=BC-BD；然后在Rt△ACD中，利用勾股定理來求AC的長(zhǎng)度，則時(shí)間=路程÷速度可求解．
【詳解】解：由題意，得：AD=60km，
在Rt△ABD中，AB=100km，AD=60km，
∴BD=(km)．
∴CD=BC-BD=125-80=45（km）．
∴在Rt△ACD中，AC==75（km）．
75÷25=3（h）．
答：從C島沿CA返回A港所需的時(shí)間為3h．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，方向角問題，屬基礎(chǔ)題目，比較簡(jiǎn)單．
9．如圖，一個(gè)梯子斜靠在一豎直的墻AO上，測(cè)得AO＝4m，若梯子的頂端沿墻下滑1m，這時(shí)梯子的底端也下滑1m，則梯子AB的長(zhǎng)度為（ ）
A．5mB．6mC．3mD．7m
【答案】A
【分析】設(shè)BO＝xm，利用勾股定理用x表示出AB和CD的長(zhǎng)，進(jìn)而求出x的值，然后由勾股定理求出AB的長(zhǎng)度．
【詳解】解：設(shè)BO＝xm，
由題意得：AC＝1m，BD＝1m，AO＝4m，
在Rt△AOB中，根據(jù)勾股定理得：AB2＝AO2+OB2＝42+x2，
在Rt△COD中，根據(jù)勾股定理得：CD2＝CO2+OD2＝（4﹣1）2+（x+1）2，
∴42+x2＝（4﹣1）2+（x+1）2，
解得：x＝3，
，
即梯子AB的長(zhǎng)為5m，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理，由勾股定理得出方程是解題的關(guān)鍵．
10．我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的“勾股方圓圖”是由四個(gè)全等的直角三角形與中間的一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形（如圖所示），如果大正方形的面積是25，小正方形的面積是1，直角三角形的兩直角邊分別是a和b，那么ab的值為（ ）
A．49B．25C．12D．10
【答案】C
【詳解】試題解析：如圖，∵大正方形的面積是25，
∴c2=25，
∴a2+b2=c2=25，
∵直角三角形的面積是（25-1）÷4=6，
又∵直角三角形的面積是ab=6，
∴ab=12．
故選C.
二、填空題（本大題共8個(gè)小題，每題3分，共24分）
11．分別以下列四組數(shù)為一個(gè)三角形的邊長(zhǎng)：（1）6、8、10，（2）5、12、13，（3）8、15、17，（4）4、5、6，其中能構(gòu)成直角三角形的有__．（填序號(hào)）
【答案】（1）（2）（3）
【分析】只需計(jì)算兩短邊的平方和是否等于最長(zhǎng)邊的平方，即可得出答案．
【詳解】解：（1）62+82＝102，可以構(gòu)成直角三角形；
（2）52+122＝132，能構(gòu)成直角三角形；
（3）82+152＝172，能構(gòu)成直角三角形；
（4）52+42≠62．不能構(gòu)成直角三角形；
故答案為：（1）（2）（3）．
【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的逆定理，如果兩條邊的平方和等于第三條邊的平方，那么這個(gè)三角形是直角三角形，熟記勾股定理的逆定理，正確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．
12．如圖，已知∠B＝45°，AB＝2cm，點(diǎn)P為∠ABC的邊BC上一動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)BP2＝________cm時(shí)，△BAP為直角三角形．
【答案】2或8
【分析】由于直角頂點(diǎn)不能確定，故應(yīng)分∠APB=90°與∠BAP=90°兩種情況進(jìn)行分類討論．
【詳解】解：①當(dāng)∠APB＝90°時(shí)，
∵∠B＝45°，AB＝2cm，
∴，
∴，
∴；
②當(dāng)∠BAP＝90°時(shí)，
∵∠B＝45°，AB＝2cm，
∴AB＝AP2＝2，
∴．
故本題答案為：2或8．
【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理的逆定理，在解答此題時(shí)要注意分類討論，不要漏解．
13．如圖，已知等腰的直角邊長(zhǎng)為，以它的斜邊為直角邊畫第二個(gè)等腰，再以斜邊為直角邊畫第三個(gè)等腰，…，依此類推，長(zhǎng)為，長(zhǎng)為，第個(gè)等腰直角三角形斜邊長(zhǎng)為___________，第個(gè)等腰三角形斜邊長(zhǎng)為__________，則第個(gè)等腰直角三角形斜邊長(zhǎng)為__________．
【答案】
【分析】根據(jù)勾股定理就可以求出，，第五個(gè)等腰直角三角形的斜邊長(zhǎng)為，依此類推就可以得出第個(gè)等腰直角三角形的斜邊長(zhǎng)．從而得出結(jié)論．
【詳解】解：在直角三角形中由勾股定理可以得出：
第一個(gè)等腰三角形斜邊長(zhǎng)為：，
第二個(gè)等腰三角形斜邊長(zhǎng)為：，
第三個(gè)等腰三角形斜邊長(zhǎng)為：，
第四個(gè)等腰三角形斜邊長(zhǎng)為：，
……依此類推，
第個(gè)等腰三角形斜邊長(zhǎng)為：．
故答案為：；；．
【點(diǎn)睛】本題考查等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，規(guī)律探究題的解答方法的應(yīng)用．根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)和勾股定理求出斜邊長(zhǎng)從而確定其變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
14．如圖，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都相等，A，B，C是小正方形的頂點(diǎn)，則∠ABC的度數(shù)為___．
【答案】45°
【分析】根據(jù)勾股定理得到AB，BC，AC的長(zhǎng)度，再判斷△ABC是等腰直角三角形，進(jìn)而得出結(jié)論．
【詳解】解：如圖，連接AC．
由題意，AC＝ ，BC＝，AB＝，
∴AC＝BC，AB2＝AC2+BC2，
∴△ABC是等腰直角三角形，且∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝∠CAB＝45°．
故答案為：45°．
【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，判斷出△ABC是等腰直角三角形是解決本題的關(guān)鍵．
15．如圖，點(diǎn)C在A點(diǎn)的北偏東15°方向，點(diǎn)C在B點(diǎn)的北偏東60°方向，則___________．
【答案】45°
【分析】過點(diǎn)C作CE∥MB，根據(jù)題意可得∠MBC=60°，∠NAC=15°，然后利用平行線的性質(zhì)可求出∠BCE，∠ACE的度數(shù)，進(jìn)行計(jì)算即可解答．
【詳解】解：過點(diǎn)C作CE∥MB，
由題意得：
∠MBC=60°，∠NAC=15°，
∵M(jìn)B∥CE，
∴∠MBC=∠BCE=60°，
∵NA∥CE，
∴∠NAC=∠ACE=15°，
∴∠BCA=∠BCE-∠ACE=45°，
故答案為：45°．
【點(diǎn)睛】本題考查了方向角，平行線的性質(zhì)，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．
16．如圖，∠MON＝90°，△ABC的頂點(diǎn)A、B分別在OM、ON上，當(dāng)A點(diǎn)從O點(diǎn)出發(fā)沿著OM向右運(yùn)動(dòng)時(shí)，同時(shí)點(diǎn)B在ON上運(yùn)動(dòng)，連接OC．若AC＝4，BC＝3，AB＝5，則OC的長(zhǎng)度的最大值是________．
【答案】5
【詳解】試題分析：取AB中點(diǎn)E，連接OE、CE，在直角三角形AOB中，OE=AB，利用勾股定理的逆定理可得△ACB是直角三角形，所以CE=AB，利用OE+CE≥OC，所以O(shè)C的最大值為OE+CE，即OC的最大值=AB=5．
考點(diǎn)：勾股定理的逆定理，
17．如圖，已知中，，D是的中點(diǎn)，于點(diǎn)E；連接，則下列結(jié)論正確的是___________．(寫出所有正確結(jié)論的序號(hào))
①； ②當(dāng)E為中點(diǎn)時(shí)，﹔
③若，則； ④若，則面積的最大值為2．
【答案】①②③④
【分析】根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)以及等角的余角相等即可判斷①正確；證得△ACD是等邊三角形，得出∠BAC=60°，解得BC=AC，即可判斷②正確；證得△ADE≌△BDM即可求得DE=DM，解直角三角形即可得到BE=2EM=4DE，即可判斷③正確；根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的可得，則，則面積的最大值為2，即可判斷④正確．
【詳解】解：△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中點(diǎn)，
∴CD=BD=AD，
∴∠DCB=∠DBC，
∴∠ADC=2∠DCB，
∵AE⊥CD于點(diǎn)E，
∴∠ACE+∠CAE=90°，
∵∠ACE+∠DCB=90°，
∴∠CAE=∠DCB，
∴∠ADC=2∠CAE，故①正確；
當(dāng)E為CD中點(diǎn)時(shí)，∵AE⊥CD，
∴AC=AD，
∴△ACD是等邊三角形，
∴∠BAC=60°，
∴BC=AC，故②正確；
作BM⊥CD，交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，則AE∥BM，
∴∠DAE=∠DBM，
∵∠ADE=∠BDM，AD=BD，
∴△ADE≌△BDM（AAS），
∴DE=DM，
若∠BED=60°，則BE=2EM=4DE，故③正確；
∵△ADE≌△BDM，
∴AE=BM，DE=DM，
∴S△ABE=S△BEM=?BM?EM=?AE?2DE=AE?DE，
若AB=4，則AD=2，
在Rt△ADE中，AD2=AE2+DE2，
即的最大值值為1，
∴△ABE面積的最大值為2，故④正確；
故答案為：①②③④．
【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形斜邊的性質(zhì)，等邊三角形的判斷和性質(zhì)，解直角三角形，三角形的全等的判定和性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，三角形的面積，綜合運(yùn)用以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
18．如圖，東西海岸線上有、兩個(gè)碼頭，相距6千米，燈塔到碼頭距離為千米．燈塔在碼頭的北偏東方向，則燈塔與直線的距離為______千米．
【答案】4
【分析】過P作PH⊥AB交AB的延長(zhǎng)線于H，在RtΔAPH中利用勾股定理列方程求解.
【詳解】解：如圖，過P作PH⊥AB交AB的延長(zhǎng)線于H，
根據(jù)題意可得，∠PBH=45°, AB=6千米，PA=千米，
∴∠PBH=∠BPH=45°,
∴PH=BH，
設(shè)PH=x千米，
在RtΔAPH中，由勾股定理得， ,
∴,
解得，x1= 4，x2= -10(不符合題意，舍去）,
∴PH=4千米，
即燈塔與直線的距離為4千米.
故答案為：4
【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的實(shí)際應(yīng)用問題，方位問題，應(yīng)用勾股定理列方程求解是解答此題的重要思路.
三、解答題（本大題共8小題，共66分；第19-22每小題6分，第23-24每小題8分，第25小題12分，第26小題14分）
19．如圖，，分別是的兩條高，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)．
(1)求證：；
(2)若，，求的長(zhǎng)．
【答案】(1)見解析
(2)12
【分析】（1）連接，，根據(jù)直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)可得，然后根據(jù)等腰三角形的三線合一性質(zhì)即可得證；
（2）由（1）可求DM，ME，然后在Rt△DEM中根據(jù)勾股定理即可求出DE．
【詳解】（1）證明：如圖，連接，，
、分別是的兩條高，
，，
，
是的中點(diǎn)，
，，
，
為的中點(diǎn)，
；
（2）解：，
，
點(diǎn)是的中點(diǎn)，，
，
由勾股定理得：．
【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)，等腰三角形三線合一性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)，根據(jù)角三角形斜邊上中線的性質(zhì)得出DM=DN是解題的關(guān)鍵．
20．如圖，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，P、Q是△ABC邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，其中點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿A→B方向運(yùn)動(dòng)，且速度為每秒1cm，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿B→C方向運(yùn)動(dòng)，且速度為每秒2cm，它們同時(shí)出發(fā)，設(shè)出發(fā)的時(shí)間為t秒．
(1)當(dāng)t＝2秒時(shí)，求的長(zhǎng)；
(2)求出發(fā)時(shí)間為幾秒時(shí)，△PQB是等腰三角形？
(3)若Q沿B→C→A方向運(yùn)動(dòng)，則當(dāng)點(diǎn)Q在邊CA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求能使△BCQ成為等腰三角形的運(yùn)動(dòng)時(shí)間．
【答案】(1)
(2)秒
(3)當(dāng)t為5.5秒或6秒或6.6秒時(shí)，△BCQ為等腰三角形
【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)P、Q的運(yùn)動(dòng)速度求出AP，再求出BP和BQ，用勾股定理求得PQ即可；
（2）由題意得出BQ=BP，即2t=8-t，解方程即可；
（3）當(dāng)點(diǎn)Q在邊CA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，能使△BCQ成為等腰三角形的運(yùn)動(dòng)時(shí)間有三種情況：①當(dāng)CQ=BQ時(shí)(如圖1)，則∠C=∠CBQ，可證明∠A=∠ABQ，則BQ=AQ，則CQ=AQ，從而求得t；②當(dāng)CQ=BC時(shí)(如圖2)，則BC+CQ=12(cm)，易求得t；③當(dāng)BC=BQ時(shí)(如圖3)，過B點(diǎn)作BE⊥AC于點(diǎn)E，則求出BE，CE，即可得出t．
【詳解】（1）解： BQ＝2×2＝4cm，BP＝AB﹣AP＝8﹣2×1＝6cm，
∵∠B＝90°，
∴；
（2）解：根據(jù)題意得：BQ＝BP，即2t＝8﹣t，解得：t＝，
即出發(fā)時(shí)間為秒時(shí)，△PQB是等腰三角形；
（3）解：分三種情況：
①當(dāng)CQ＝BQ時(shí)，如圖1，
則∠C＝∠CBQ，
∵∠ABC＝90°，
∴∠CBQ＋∠ABQ＝90°，∠A＋∠C＝90°，
∴∠A＝∠ABQ，
∴AQ＝BQ＝CQ，
∵∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，
∴AC＝＝10cm，
∴CQ＝AQ＝AC＝5cm，
∴BC＋CQ＝11cm，
∴t＝11÷2＝5.5秒；
②當(dāng)CQ＝BC時(shí)，如圖2，
則BC＋CQ＝12cm，
∴t＝12÷2＝6秒；
③當(dāng)BC＝BQ時(shí)，如圖3，過B點(diǎn)作BE⊥AC于點(diǎn)E，則CE=EQ，
則BE＝＝4.8cm，
∴，即CE＝3.6cm，
∴CQ＝2CE＝7.2cm，
∴BC＋CQ＝13.2cm，
∴t＝13.2÷2＝6.6秒．
綜上，當(dāng)t為5.5秒或6秒或6.6秒時(shí)，△BCQ為等腰三角形．
【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理、三角形的面積以及等腰三角形的判定和性質(zhì)；本題有一定難度，注意分類討論思想的應(yīng)用．
21．在一條東西走向的河流一側(cè)有一村莊C，河邊原有兩個(gè)取水點(diǎn)A，B，其中，由于某種原因，由C到A的路現(xiàn)在已經(jīng)不通，該村為方便村民取水，決定在河邊新建一個(gè)取水點(diǎn)D（A、D、B在同一條直線上），并新修一條路，測(cè)得千米，千米，千米．
(1)求證：；
(2)求原來的路線的長(zhǎng)．
【答案】(1)是，理由見解析
(2)路線AC的長(zhǎng)為8.45千米
【分析】（1）根據(jù)勾股定理的逆定理解答即可；
（2）設(shè)AC＝x千米，則AD＝（x﹣2.5）千米．在直角△ACD中根據(jù)勾股定理解答即可．
【詳解】（1）證明：∵CB＝6.5千米，CD＝6千米，BD＝2.5千米，
，
∴，
∴△CDB為直角三角形，
∴CD⊥AB；
（2）解：設(shè)AC＝x千米，則AD＝（x﹣2.5）千米．
∵CD⊥AB，∠ADC＝90°，
∴，即，
解得：x＝8.45．
答：原來的路線AC的長(zhǎng)為8.45千米．
【點(diǎn)睛】此題考查了勾股定理及其逆定理的應(yīng)用，掌握定理是解題的關(guān)鍵．
22．在△ABC中，已知三角形的三邊長(zhǎng)，求這個(gè)三角形的面積．
(1)如圖1，已知AC＝5，BC＝12，AB＝13，則△ABC的面積是______；
(2)如圖2，已知BC＝10，AB＝AC＝13，求△ABC的面積；
(3)如圖3，已知AC＝8，BC＝10，AB＝12，求△ABC的面積．
【答案】(1)30
(2)60
(3)15
【分析】（1）根據(jù)勾股定理的逆定理判斷△ABC是直角三角形，再求面積即可；
（2）作AD⊥BC于D，由等腰三角形三線合一的性質(zhì)及勾股定理求出AD的長(zhǎng)度，再根據(jù)面積公式計(jì)算即可；
（3）作CD⊥AB于D，先由勾股定理計(jì)算出CD的長(zhǎng)度，再根據(jù)面積公式計(jì)算即可．
【詳解】（1）∵AC＝5，BC＝12，AB＝13，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，∠C＝90°，
∴△ABC的面積＝AC×BC＝×5×12＝30；
故答案為：30；
（2）作AD⊥BC于D，如圖2所示：
∵AB＝AC，
∴BD＝CD＝BC＝5，
∴AD＝＝＝12，
∴△ABC的面積＝BC×AD＝×10×12＝60；
（3）作CD⊥AB于D，如圖3所示：
由勾股定理得：CD2＝AC2﹣AD2＝BC2﹣BD2，即82﹣AD2＝102﹣（12﹣AD）2，
解得：AD＝，
∴CD＝＝，
∴△ABC的面積＝AB×CD＝×12×＝15．
【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理及其逆定理、等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
23．新冠疫情期間，為了提高人民群眾防疫意識(shí)，很多地方的宣講車開起來了，大喇叭響起來了，宣傳橫幅掛起來了，電子屏亮起來了，電視、廣播、微信、短信齊上陣，防疫標(biāo)語、宣傳金句頻出，這傳遞著打贏疫情防控阻擊戰(zhàn)的堅(jiān)定決心．如圖，在一條筆直公路MN的一側(cè)點(diǎn)A處有一村莊，村莊A到公路MN的距離AB為800米，若宣講車周圍1000米以內(nèi)能聽到廣播宣傳，宣講車在公路MN上沿MN方向行駛．
(1)請(qǐng)問村莊A能否聽到宣傳？請(qǐng)說明理由；
(2)如果能聽到，已知宣講車的速度是300米/分鐘，那么村莊A總共能聽到多長(zhǎng)時(shí)間的宣傳？
【答案】(1)村莊能聽到宣傳，理由詳見解析
(2)村莊總共能聽到4分鐘的宣傳
【分析】（1）根據(jù)村莊A到公路MN的距離為800米＜1000米，于是得到結(jié)論；
（2）根據(jù)勾股定理得到BP=BQ=600米，求得PQ=1200米，于是得到結(jié)論．
【詳解】（1）解：村莊能聽到宣傳，
理由：∵村莊A到公路MN的距離為800米＜1000米，
∴村莊能聽到宣傳；
（2）解：如圖：假設(shè)當(dāng)宣講車行駛到P點(diǎn)開始影響村莊，行駛Q點(diǎn)結(jié)束對(duì)村莊的影響，
則AP=AQ=1000米，AB=800米，
∴BP=BQ==600（米），
∴PQ=1200米，
∴影響村莊的時(shí)間為：1200÷300=4（分鐘），
∴村莊總共能聽到4分鐘的宣傳．
【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，解題時(shí)結(jié)合生活實(shí)際，便于更好的理解題意．
24．已知：在中，，，點(diǎn)D在直線AB上，連接CD，在CD 的右側(cè)作，．
(1)如圖1，①點(diǎn)D在AB邊上，線段BE和線段AD數(shù)量關(guān)系是______，位置關(guān)系是______；
②直接寫出線段AD，BD，DE之間的數(shù)量關(guān)系______．
(2)如圖2，點(diǎn)D在B右側(cè)．AD，BD，DE之間的數(shù)量關(guān)系是______，若，．直接寫出DE的長(zhǎng)______．
(3)拓展延伸
如圖3，，，，，求出線段EC的長(zhǎng)．
【答案】(1)①BE＝AD，BE⊥AD；②
(2)，
(3)
【分析】（1）①證△ACD≌△BCE（SAS），得AD＝BE，∠A＝∠CBE＝45°，則∠ABE＝∠ABC+∠CBE＝90°，即可得出BE⊥AD；
②由①得AD＝BE，∠ABE＝90°，在Rt△BDE中，由勾股定理得BE2+BD2＝DE2，即可得出結(jié)論；
（2）連接BE，證△ACD≌△BCE（SAS），得∠A＝∠CBE＝45°，則∠DBE＝90°，再由勾股定理得，則，進(jìn)而求解即可；
（3）過C作CA⊥CB交DB于A，證△ACD≌△BCE（ASA），得AD＝BE＝1，AC＝BC，則AB＝BC＝2，再由勾股定理求出DE的長(zhǎng)，即可求解．
【詳解】（1）解：①∵∠ACB＝90°，BC＝AC，
∴∠A＝∠ABC＝45°，
∵CE⊥CD，
∴∠DCE＝90°＝∠ACB，
∴∠ACB﹣∠BCD＝∠DCE﹣∠BCD，
即∠ACD＝∠BCE，
∵AC＝BC，CD＝CE，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE，∠A＝∠CBE＝45°，
∴∠ABE＝∠ABC+∠CBE＝90°，
∴BE⊥AD，
故答案為：BE＝AD，BE⊥AD；
②由①得：AD＝BE，∠ABE＝90°，
在Rt△BDE中，由勾股定理得：，
∴，
故答案為：AD2+BD2＝DE2；
（2）解：如圖2，連接BE，
∵∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠ACB+∠BCD＝∠DCE+∠BCD，
即∠ACD＝∠BCE，
∵AC＝BC，CD＝CE，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE，∠A＝∠CBE＝45°，
∵∠A+∠ABC＝90°，
∴∠ABE＝∠ABC+∠CBE＝90°，
∴∠DBE＝90°，
在Rt△BDE中，由勾股定理得：，
∴，
∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，
∴AB＝AC＝4，
∴AD＝AB+BD＝4+1＝5，
∴DE＝＝＝，
故答案為：，；
（3）解：過C作CA⊥CB交DB于A，設(shè)BD與CE相交于點(diǎn)O，如圖3所示：
則∠ACB＝90°＝∠DCE，
∴∠DCE﹣∠ACE＝∠ACB﹣∠ACE，
即∠ACD＝∠BCE，
∵∠DCO＝∠EBO＝90°，∠DOC＝∠EOB，
∴∠CDA＝∠CEB，
又∵CD＝CE，
∴△ACD≌△BCE（ASA），
∴AD＝BE＝1，AC＝BC
∴△ABC是等腰直角三角形，
∵BC＝，
∴AB＝=BC＝2，
∴BD＝AB+AD＝3，
∵∠DBE＝90°，
∴DE＝＝＝，
∴EC＝DE＝．
【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、等角的余角相等等知識(shí)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)，運(yùn)用類比方法解答是解題的關(guān)鍵．
25．如圖所示，A、B兩塊試驗(yàn)田相距200m，C為水源地，AC＝160m，BC＝120m，為了方便灌溉，現(xiàn)有兩種方案修筑水渠．
甲方案：從水源地C直接修筑兩條水渠分別到A、B；
乙方案；過點(diǎn)C作AB的垂線，垂足為H，先從水源地C修筑一條水渠到AB所在直線上的H處，再?gòu)腍分別向A、B進(jìn)行修筑．
（1）請(qǐng)判斷△ABC的形狀（要求寫出推理過程）；
（2）兩種方案中，哪一種方案所修的水渠較短？請(qǐng)通過計(jì)算說明．
【答案】（1）△ABC是直角三角形，理由見解析；（2）（2）甲方案所修的水渠較短；理由見解析
【分析】（1）由勾股定理的逆定理即可得出△ABC是直角三角形；
（2）由△ABC的面積求出CH，得出AC+BC＜CH+AH+BH，即可得出結(jié)果．
【詳解】解：（1）△ABC是直角三角形；
理由如下：
∴AC2+BC2＝1602+1202＝40000，AB2＝2002＝40000，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°；
（2）甲方案所修的水渠較短；
理由如下：
∵△ABC是直角三角形，
∴△ABC的面積＝AB?CH＝AC?BC，
∴CH＝（m），
∵AC+BC＝160+120＝280（m），CH+AH+BH=CH+AB＝96+200＝296（m），
∴AC+BC＜CH+AH+BH，
∴甲方案所修的水渠較短．
【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用、勾股定理的逆定理、三角形面積的計(jì)算；熟練掌握勾股定理，由勾股定理的逆定理證出△ABC是直角三角形是解決問題的關(guān)鍵．
26．如圖（1），是兩個(gè)全等的直角三角形（直角邊分別為a，b，斜邊為c）

（1）用這樣的兩個(gè)三角形構(gòu)造成如圖（2）的圖形，利用這個(gè)圖形，證明：a2+b2=c2；
（2）用這樣的兩個(gè)三角形可以拼出多種四邊形，畫出周長(zhǎng)最大的四邊形；當(dāng)a=2，b=4時(shí)，求這個(gè)四邊形的周長(zhǎng)；
（3）當(dāng)a=1，b=2時(shí)，將其中一個(gè)直角三角形放入平面直角坐標(biāo)系中（如圖（3）），使直角頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，兩直角邊a，b分別與x軸、y軸重合．
①請(qǐng)?jiān)趚軸、y軸上找一點(diǎn)C，使△ABC為等腰三角形；（要求：用尺規(guī)畫出所有符合條件的點(diǎn)，并用C1，C2，…，Cn在圖中標(biāo)出所找的點(diǎn)．只保留作圖痕跡，不寫作法）
②寫出一個(gè)滿足條件的在x軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)：_____，寫出一個(gè)滿足條件的在y軸上的點(diǎn)坐標(biāo)：_____．
【答案】（1）證明見解析；（2）畫圖見解析，周長(zhǎng)為；（3）①作圖見解析；②（，0），（0，）（答案不唯一）.
【詳解】試題分析：（1）由圖知，梯形的面積等于三個(gè)直角三角形的面積之和，用字母表示出來，化簡(jiǎn)后，即證明勾股定理；
（2）由a與b的值，利用勾股定理求出c的值，拼圖后可知如圖1所示時(shí)周長(zhǎng)最大，求出最大周長(zhǎng)即可；
（3）①分別以A、B為圓心，AB長(zhǎng)為半徑畫圓，圓與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)即為滿足條件的點(diǎn)，再作線段AB的垂直平分線，垂直平分線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)也是滿足條件的點(diǎn)；
②根據(jù)①所作的圖形即可得.
試題解析：（1）由圖可得，×（a+b）（a+b）=ab+c2+ab，
∴a2+2ab+b2=2ab+c2，
∴a2+b2=c2；
（2）當(dāng)a=2，b=4時(shí)，可得：c=，
如圖1時(shí)：四邊形的周長(zhǎng)為：8+4；
如圖2時(shí)，四邊形的周長(zhǎng)為：12；
如圖3時(shí)，四邊形的周長(zhǎng)為：4+4；
綜上，圖1是周長(zhǎng)最大的四邊形，周長(zhǎng)為：8+4；
（3）①如圖所示；
②如上圖：
一個(gè)滿足條件的在x軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)：如C3（﹣1，0）；
一個(gè)滿足條件的在y軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)：如C5（0，2+）．
故答案為（﹣1，0）；（0，2+）（答案不唯一）.
【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的證明及應(yīng)用，尺規(guī)作圖等，利用數(shù)形結(jié)合思想、靈活應(yīng)用所學(xué)知識(shí)進(jìn)行解題是關(guān)鍵.

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