TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc20255" 【題型1 利用勾股定理求線段長】 PAGEREF _Tc20255 \h 1
\l "_Tc27933" 【題型2 利用勾股定理求面積】 PAGEREF _Tc27933 \h 2
\l "_Tc18288" 【題型3 利用勾股定理解決折疊問題】 PAGEREF _Tc18288 \h 3
\l "_Tc18691" 【題型4 利用勾股定理求平面坐標(biāo)系中兩點(diǎn)之間的距離】 PAGEREF _Tc18691 \h 5
\l "_Tc19035" 【題型5 利用勾股定理證明線段的平方關(guān)系】 PAGEREF _Tc19035 \h 6
\l "_Tc19725" 【題型6 勾股定理驗(yàn)證方法的應(yīng)用】 PAGEREF _Tc19725 \h 7
\l "_Tc9716" 【題型7 勾股樹問題】 PAGEREF _Tc9716 \h 9
\l "_Tc22711" 【題型8 勾股定理在格點(diǎn)中的應(yīng)用】 PAGEREF _Tc22711 \h 11
\l "_Tc9912" 【題型9 直角三角形中的分類討論思想】 PAGEREF _Tc9912 \h 12
\l "_Tc28106" 【題型10 利用勾股定理解決動點(diǎn)問題】 PAGEREF _Tc28106 \h 13
【知識點(diǎn) 勾股定理】
在任何一個(gè)直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方．如果直角三角形的兩條直角
邊長分別是a，b，斜邊長為c，那么a2+b2=c2．
【題型1 利用勾股定理求線段長】
【例1】（2023春·浙江·八年級專題練習(xí)）如圖，小聰用圖1中的一副七巧板拼出如圖2所示“鳥”，已知正方形ABCD的邊長為4，則圖2中E，F(xiàn)兩點(diǎn)之間的距離為（ ）

A．26B．213C．10D．16
【變式1-1】（2023春·廣東東莞·八年級?？计谥校┤鐖D，在△ABC中，AB=2,∠B=60°,∠C=45°，求BC和AC的長．

【變式1-2】（2023春·安徽安慶·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在△ABC中，AB長比AC長大1，BC=15，D是AB上一點(diǎn)，BD=9，CD=12．
(1)求證：CD⊥AB；
(2)求AC長．
【變式1-3】（2023春·遼寧營口·八年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖OP=1，過P作PP1⊥OP且PP1=1，得OP1=2，再過點(diǎn)P1作P1P2⊥OP1且P1P2=1，連接OP2，得OP2=3；又過點(diǎn)P2作P2P3⊥OP2且P2P3=1，得OP3=2；依此法繼續(xù)作下去，得OP12+OP22+OP32+OP42+…+OP102=__．

【題型2 利用勾股定理求面積】
【例2】（2023春·安徽合肥·八年級校考期中）勾股定理是我國古代的偉大數(shù)學(xué)發(fā)明之一．如圖，以Rt△ABC∠ACB=90°的各邊向外作正方形，得到三塊正方形紙片，再把較小的兩張正方形紙片放入最大的正方形中，重疊部分的面積記作S1，左下不重疊部分的面積記作S2，若S1=3，則S2的值是（ ）
A．1B．1.5C．2D．2.5
【變式2-1】（2023春·北京昌平·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖來自古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底所研究的幾何圖形，此圖由三個(gè)半圓構(gòu)成，三個(gè)半圓的直徑分別為直角三角形ABC的斜邊BC，直角邊AB,AC，灰色部分面積記為S1，黑色部分面積記為S2，白色部分面積記為S3，則（ ）
A．S1=S2B．S2=S3C．S1=S3D．S1=S2?S3
【變式2-2】（2023春·廣東深圳·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，△PAB中AB邊上的高等于AB的長度，△QBC中BC邊上的高等于BC的長度，△HAC中AC邊上的高等于AC的長度，且△PAB，△QBC的面積分別是10和8，則△ACH的面積是（ ）
A．2B．4C．6D．9
【變式2-3】（2023春·八年級單元測試）在直線 l 上依次擺放著七個(gè)正方形(如圖所示)，已知斜放置的三個(gè)正方形的面積分別 為 a，b，c，正放置的四個(gè)正方形的面積依次為 S1，S2，S3，S4，則 S1＋S2＋S3＋S4＝( )
A．a(chǎn)＋bB．b＋cC．a(chǎn)＋cD．a(chǎn)＋b＋c
【題型3 利用勾股定理解決折疊問題】
【例3】（2023春·全國·八年級階段練習(xí)）如圖，有一張直角三角形的紙片，兩直角邊AC＝6cm，BC＝8cm，現(xiàn)將直角邊AC沿直線AD折疊，使它落在斜邊AB上且與AE重合，則BD的長為（ ）
A．5cmB．4cmC．3cmD．2cm
【變式3-1】（2023春·八年級課時(shí)練習(xí)）已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=4，D為斜邊AB上的中點(diǎn)，E是直角邊AC上的一點(diǎn)，連接DE，將△ADE沿DE折疊至△A'DE，A'E交BD于點(diǎn)F，若△DEF的面積是△ADE面積的一半，則DE為（ ）
A．2B．25C．22D．4
【變式3-2】（2023春·福建廈門·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖的實(shí)線部分是由 Rt△ABC 經(jīng)過兩次折疊得到的，首先將 Rt△ABC 沿 BD 折疊，使點(diǎn) C 落在斜邊上的點(diǎn) C' 處，再沿 DE 折疊，使點(diǎn) A 落在 DC' 的延長線上的點(diǎn) A' 處．若圖中 ∠C=90°，DE=3cm，BD=4cm，則 DC' 的長為______．
【變式3-3】（2023春·全國·八年級階段練習(xí)）有一塊直角三角形紙片，兩直角邊AC = 6cm，BC = 8cm．
①如圖1，現(xiàn)將紙片沿直線AD折疊，使直角邊AC落在斜邊AB上，則CD =_________cm．
②如圖2，若將直角∠C沿MN折疊，點(diǎn)C與AB中點(diǎn)H重合，點(diǎn)M、N分別在AC、BC上，則AM2、BN2與MN2之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論．
【題型4 利用勾股定理求平面坐標(biāo)系中兩點(diǎn)之間的距離】
【例4】（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）先閱讀一段文字，再回答下列問題，已知在平面內(nèi)兩點(diǎn)坐標(biāo)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，其兩點(diǎn)間距離公式為P1P2=(x2?x1)2+(y2?y1)2，同時(shí)，當(dāng)兩點(diǎn)所在直線在坐標(biāo)軸上或平行于x軸或垂直于x軸時(shí)，兩點(diǎn)間距離公式可化簡為|x2?x1|或|y2?y1|．
(1)已知A(3,5)，B(?2,?1)，則A、B兩點(diǎn)間的距離為 ；
(2)已知A，B在平行于y軸的直線上，點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為5，點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為?1，則A，B兩點(diǎn)間的距離為 ；
(3)已知A，B在平行于x軸的直線上，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為5.且A，B兩點(diǎn)間的距離為3，則點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為 ；
(4)已知一個(gè)三角形各頂點(diǎn)坐標(biāo)為A(0,6)，B(?3,2)，C(3,2)，請判定此三角形的形狀，并說明理由．
【變式4-1】（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）如圖，Rt△AOB的頂點(diǎn)A2，1，B?2，n分別在第一，二象限內(nèi)，∠AOB=90°，則n的值為（ ）
A．6B．5C．4D．3
【變式4-2】（2023春·江蘇南通·八年級統(tǒng)考期末）平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)P(m,2n2?4)，且實(shí)數(shù)m，n滿足m?n2+4=0，則點(diǎn)P到原點(diǎn)O的距離的最小值為______．
【變式4-3】（2023春·福建龍巖·八年級?？茧A段練習(xí)）閱讀理解：說明代數(shù)式x2+1+(x?3)2+4的幾何意義，并求它的最小值．
解：x2+1+(x?3)2+4=(x?0)2+1+(x?3)2+22．
幾何意義：如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，點(diǎn)P(x,0)是x軸上一點(diǎn)，則(x?0)2+12可以看成點(diǎn)P與點(diǎn)A(0,1)的距離，(x?3)2+22可以看成點(diǎn)P與點(diǎn)B(3,2)的距離，所原代數(shù)式的值可以看成線段PA與PB長度之和，它的最小值就是PA+PB的最小值．
求最小值：設(shè)點(diǎn)A關(guān)于x軸對稱點(diǎn)A'，則PA=PA'．因此，求PA+PB的最小值，只需求PA'+PB的最小值，而點(diǎn)A'，B間的直線段距離最短，所以PA'+PB的最小值為線段A'B的長度．為此，構(gòu)造直角三角形A'CB，因?yàn)锳'C=3,CB=3，所以由勾股定理得A'B=32，即原式的最小值為32．
根據(jù)以上閱讀材料，解答下列問題：
(1)代數(shù)式(x?1)2+1+(x?2)2+9的值可以看成平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)P(x,0)與點(diǎn)A(1,1)，點(diǎn)B__________的距離之和．（填寫點(diǎn)B的坐標(biāo)）
(2)代數(shù)式x2+49+x2?12x+37的值可以看成平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)P(x,0)．與點(diǎn)A__________、點(diǎn)B__________的距離之和．（填寫點(diǎn)A，B的坐標(biāo)）
(3)求出代數(shù)式x2+49+x2?12x+37的最小值．
【題型5 利用勾股定理證明線段的平方關(guān)系】
【例5】（2023春·河北石家莊·八年級石家莊外國語學(xué)校校考階段練習(xí)）已知對角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形，現(xiàn)有如圖所示的“垂美”四邊形ABCD，對角線AC，BD交于點(diǎn)O．
（1）若AB=5，OA=3，OC=4，則BC=______；
（2）若AD=2，BC=5，則AB2+CD2=______；
（3）若AB=m，BC=n，CD=c，AD=d，則m，n，c，d之間的數(shù)量關(guān)系是______．
【變式5-1】（2023春·廣東云浮·八年級?？计谥校┰赗t△ABC中，∠A，∠B，∠C的對邊分別是a，b，c，若∠A=90°，則（ ）
A．a(chǎn)2+b2=c2B．a(chǎn)2+c2=b2C．b2+c2=a2D．a(chǎn)+c=b
【變式5-2】（2023春·八年級課時(shí)練習(xí)）素有“千古第一定理”之稱的勾股定理，它是人類第一次將數(shù)與形結(jié)合在一起的偉大發(fā)現(xiàn)，也是人類最早發(fā)現(xiàn)并用于生產(chǎn)、觀天、測地的第一個(gè)定理，它導(dǎo)致了無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)，引發(fā)了第一次數(shù)學(xué)危機(jī)，它使數(shù)學(xué)由測量計(jì)算轉(zhuǎn)變?yōu)橥评碚撟C．在中國，也被稱為“商高定理”，西方則稱其為“畢達(dá)哥拉斯定理”，幾千年來，太多的溢美之詞給了這一定理，由于它迷人的魅力，人們冥思苦索給出了數(shù)百種證明方法，成為了證明方法最多的定理，其中，利用等面積法證明勾股定理最為常見，現(xiàn)有四名網(wǎng)友為證明勾股定理而提供的圖形，其中提供的圖形（可以作輔助線）能證明勾股定理的網(wǎng)友是________（填寫數(shù)字序號即可）．
【變式5-3】（2023春·湖北·八年級校考期中）已知如圖，在△ABC中，AB=AC，D在CB的延長線上．
求證：（1）AD2?AB2=BD?CD；
（2）若D在CB上，結(jié)論如何，試證明你的結(jié)論．
【題型6 勾股定理驗(yàn)證方法的應(yīng)用】
【例6】（2023春·山西太原·八年級統(tǒng)考期中）我國古代稱直角三角形為“勾股形”，并且直角邊中較短邊為勾，另一直角邊為股，斜邊為弦.如圖1所示，數(shù)學(xué)家劉徽（約公元225年—公元295年）將勾股形分割成一個(gè)正方形和兩對全等的直角三角形，后人借助這種分割方法所得的圖形證明了勾股定理.如圖2所示的長方形，是由兩個(gè)完全相同的“勾股形”拼接而成，若a=3，b=1，則長方形的面積為______.
【變式6-1】（2023春·新疆烏魯木齊·八年級統(tǒng)考期中）如圖，四邊形ABCD中，∠DAB=∠BCD=90°，分別以四邊形的四條邊為邊向外作正方形，面積分別為S1,S2,S3,S4，若S1+S4=135,S3=49，則S2=（ ）
A．184B．86C．119D．81
【變式6-2】（2023春·北京海淀·八年級北京市十一學(xué)校校考期中）“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關(guān)系證明了勾股定理，是我國古代數(shù)學(xué)的驕傲．如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形（如圖1）拼成的一個(gè)大正方形（如圖2）．設(shè)直角三角形較長直角邊長為a，較短直角邊長為b．若ab=8，大正方形的面積為25，則圖2中EF的長為（ ）

A．3B．4C．22D．32
【變式6-3】（2023春·江蘇·八年級專題練習(xí)）中國數(shù)學(xué)史上最先完成勾股定理證明的數(shù)學(xué)家是公元3世紀(jì)三國時(shí)期的趙爽，他為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一副“弦圖”，后人稱其為“趙爽弦圖”（如圖1）．圖2由弦圖變化得到，它是由八個(gè)全等的直角三角形拼接而成． 將圖中正方形MNKT，正方形EFGH，正方形ABCD的面積分別記為S1,S2，S3． 若S1+S2+S3=18， 則正方形EFGH的面積為_______．
【題型7 勾股樹問題】
【例7】（2023春·全國·八年級階段練習(xí)）正方形ABCD的邊長為1，其面積記為S1，以CD為斜邊作等腰直角三角形，以該等腰直角三角形的一條直角邊為邊向外作正方形，其面積記為S2，?按此規(guī)律繼續(xù)下去，則S2022的值為（ ）
A．122022B．122021C．222022D．222021
【變式7-1】（2023春·八年級統(tǒng)考期中）圖1是第七屆國際數(shù)學(xué)教育大會（ICME）的會徽，主體圖案是由如圖2的一連串直角三角形演化而成，其中 OA1=A1A2=A2A3=???=A8A9=1 ，現(xiàn)把圖2中的直角三角形繼續(xù)作下去如圖3所示，若 OA3?OAn 的值是整數(shù)，且1≤n≤30，則符合條件的n有（ ）
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
【變式7-2】（2023春·山東菏澤·八年級校考階段練習(xí)）“勾股樹”是以正方形一邊為斜邊向外作直角三角形，再以該直角三角形的兩直角邊分別向外作正方形，重復(fù)這一過程所畫出來的圖形，因?yàn)橹貜?fù)數(shù)次后的形狀好似一棵樹而得名．假設(shè)如圖分別是第一代勾股樹、第二代勾股樹、第三代勾股樹，按照勾股樹的作圖原理作圖，如果第一個(gè)正方形面積為1，則第2023代勾股樹中所有正方形的面積為______．

【變式7-3】（2023春·江西南昌·八年級南昌市第三中學(xué)?？计谥校┕垂啥ɡ硎侨祟愖顐ゴ蟮氖畟€(gè)科學(xué)發(fā)現(xiàn)之一，西方國家稱之為畢達(dá)哥拉斯定理．在我國古書《周髀算經(jīng)》中就有“若勾三，股四，則弦五”的記載，我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”（如圖1），后人稱之為“趙爽弦圖”，流傳至今．
(1)①如圖2，3，4，以直角三角形的三邊為邊或直徑，分別向外部作正方形、半圓、等邊三角形，面積分別為S1，S2，S3，利用勾股定理，判斷這3個(gè)圖形中面積關(guān)系滿足S1+S2=S3的有________個(gè)．
②如圖5，分別以直角三角形三邊為直徑作半圓，設(shè)圖中兩個(gè)月牙形圖案（圖中陰影部分）的面積分別為S1，S2，直角三角形面積為S3，也滿足S1+S2=S3嗎？若滿足，請證明；若不滿足，請求出S1，S2，S3的數(shù)量關(guān)系．
(2)如果以正方形一邊為斜邊向外作直角三角形，再以該直角三角形的兩直角邊分別向外作正方形，重復(fù)這一過程就可以得到如圖6所示的“勾股樹”．在如圖7所示的“勾股樹”的某部分圖形中，設(shè)大正方形M的邊長為定值m，四個(gè)小正方形A，B，C，D的邊長分別為a，b，c，d，則a2+b2+c2+d2=__________．
【題型8 勾股定理在格點(diǎn)中的應(yīng)用】
【例8】（2023春·江蘇鹽城·八年級校聯(lián)考階段練習(xí)）問題背景：
在△ABC中，AB、BC、AC三邊的長分別為5、10、13，求這個(gè)三角形的面積．小明同學(xué)在解答這道題時(shí)，先建立一個(gè)正方形網(wǎng)格（每個(gè)小正方形的邊長為1），再在網(wǎng)格中畫出格點(diǎn)△ABC（即△ABC三個(gè)頂點(diǎn)都在小正方形的頂點(diǎn)處）．如圖①所示．這樣不需求△ABC的高，而借用網(wǎng)格就能計(jì)算出它的面積．
(1)請你將△ABC的面積直接填寫在橫線上 ；
思維拓展：
(2)我們把上述求△ABC面積的方法叫做構(gòu)圖法．若△ABC三邊的長分別為2、13、17，請利用圖②的正方形網(wǎng)格（每個(gè)小正方形的邊長為1）畫出相應(yīng)的△ABC．并求出它的面積．
探索創(chuàng)新：
(3)若△ABC三邊的長分別為5a、22a、17a（a＞0），請利用圖③的正方形網(wǎng)格（每個(gè)小正方形的邊長為a）畫出相應(yīng)的△ABC，并求出它的面積．
(4)若△ABC三邊的長分別為m2+16n2、9m2+4n2、2m2+n2（m＞0，n＞0，且m≠n），試運(yùn)用構(gòu)圖法求出這個(gè)三角形的面積．
【變式8-1】（2023春·湖北武漢·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在4×4正方形網(wǎng)格中，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的△ABC的面積等于3，則點(diǎn)A到邊BC的距離為（ ）
A．B．2C．4D．3
【變式8-2】（2023春·浙江·八年級期末）在每個(gè)小正方形的邊長為1的網(wǎng)格圖形中，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)．以頂點(diǎn)都是格點(diǎn)的正方形ABCD的邊為斜邊，向內(nèi)作四個(gè)全等的直角三角形，使四個(gè)直角頂點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H都是格點(diǎn)，且四邊形EFGH為正方形，我們把這樣的圖形稱為格點(diǎn)弦圖．例如，在如圖1所示的格點(diǎn)弦圖中，正方形ABCD的邊長為65，此時(shí)正方形EFGH的而積為5．問：當(dāng)格點(diǎn)弦圖中的正方形ABCD的邊長為65時(shí)，正方形EFGH的面積的所有可能值是_____（不包括5）．
【題型9 直角三角形中的分類討論思想】
【例9】（2023春·安徽合肥·八年級統(tǒng)考期中）△ABC中，AB=20，AC=13，BC上的高為12，求BC的長．
【變式9-1】（2023春·河南鄭州·八年級?？计谥校┤鐖D，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AB=5，點(diǎn)E為射線BC上一點(diǎn)，若△ABE是直角三角形，則△ABE的面積是___________.
【變式9-2】（2023春·四川成都·八年級四川省蒲江縣蒲江中學(xué)?？计谥校┰凇鰽BC中，AB=20，AC=13，AD為BC邊上的高，且AD=12，△ABC的周長為______．
【變式9-3】（2023·黑龍江哈爾濱·八年級期中）已知在△ABC中，AB=3，AC=1，S△ABC=34，則BC的長是___________．
【題型10 利用勾股定理解決動點(diǎn)問題】
【例10】（2022春·安徽合肥·八年級合肥市第四十二中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，AC=6，動點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長的速度，沿射線BC運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t秒，請解答以下問題：
(1)BC邊的長為________；
(2)當(dāng)△ABP為直角三角形時(shí)，求t的值，寫出求解過程；
(3)當(dāng)△ABP為等腰三角形時(shí)，直接寫出t的值．
【變式10-1】（2023春·河南信陽·八年級期中）如圖，在矩形ABCD中，AB=2，AD=1，E是AB上一個(gè)動點(diǎn)，F(xiàn)是AD上一個(gè)動點(diǎn)（點(diǎn)F不與點(diǎn)D重合）．連接EF把△AEF沿EF折疊，使點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)A'總落在邊DC上．若△A'EC是以A'E為腰的等腰三角形，則A'D的長為_____________________．
【變式10-2】（2023春·全國·八年級階段練習(xí)）如圖，在四邊形ABCD中，∠BAD＝∠B＝∠D＝90°，AD＝AB＝4，E是AD中點(diǎn)，M是邊BC上的一個(gè)動點(diǎn)，N是邊CD上的一個(gè)動點(diǎn)，則AM＋MN＋EN的最小值是______．
【變式10-3】（2023·河南駐馬店·八年級駐馬店市第二初級中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，點(diǎn) A，B 的坐標(biāo)分別為 A（0，2），B（8，8），點(diǎn) C（m，0）為 x 正半軸 上一個(gè)動點(diǎn)．
1.1 勾股定理【十大題型】
【北師大版】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc20255" 【題型1 利用勾股定理求線段長】 PAGEREF _Tc20255 \h 1
\l "_Tc27933" 【題型2 利用勾股定理求面積】 PAGEREF _Tc27933 \h 5
\l "_Tc18288" 【題型3 利用勾股定理解決折疊問題】 PAGEREF _Tc18288 \h 7
\l "_Tc18691" 【題型4 利用勾股定理求平面坐標(biāo)系中兩點(diǎn)之間的距離】 PAGEREF _Tc18691 \h 12
\l "_Tc19035" 【題型5 利用勾股定理證明線段的平方關(guān)系】 PAGEREF _Tc19035 \h 16
\l "_Tc19725" 【題型6 勾股定理驗(yàn)證方法的應(yīng)用】 PAGEREF _Tc19725 \h 19
\l "_Tc9716" 【題型7 勾股樹問題】 PAGEREF _Tc9716 \h 24
\l "_Tc22711" 【題型8 勾股定理在格點(diǎn)中的應(yīng)用】 PAGEREF _Tc22711 \h 30
\l "_Tc9912" 【題型9 直角三角形中的分類討論思想】 PAGEREF _Tc9912 \h 34
\l "_Tc28106" 【題型10 利用勾股定理解決動點(diǎn)問題】 PAGEREF _Tc28106 \h 38
【知識點(diǎn) 勾股定理】
在任何一個(gè)直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方．如果直角三角形的兩條直角
邊長分別是a，b，斜邊長為c，那么a2+b2=c2．
【題型1 利用勾股定理求線段長】
【例1】（2023春·浙江·八年級專題練習(xí)）如圖，小聰用圖1中的一副七巧板拼出如圖2所示“鳥”，已知正方形ABCD的邊長為4，則圖2中E，F(xiàn)兩點(diǎn)之間的距離為（ ）

A．26B．213C．10D．16
【答案】D
【分析】作輔助線如解析圖，由七巧板和正方形的性質(zhì)可知，EG=1，F(xiàn)G=1+4=5，再利用勾股定理可得答案．
【詳解】解：如圖，過E作EG⊥FG于G，

由七巧板和正方形的性質(zhì)可知：
EG=1，
FG=1+4=5，
在Rt△FEG中，
由勾股定理得，
EF=12+52=26，
【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，七巧板的特點(diǎn)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟悉根據(jù)七巧板的特點(diǎn)．
【變式1-1】（2023春·廣東東莞·八年級?？计谥校┤鐖D，在△ABC中，AB=2,∠B=60°,∠C=45°，求BC和AC的長．

【答案】BC=1+3，AC=6
【分析】作AD⊥BC，在兩直角三角形中分別根據(jù)勾股定理即可解答．
【詳解】解：作AD⊥BC，

∴∠ADC=∠ADB=90°，
∵AB=2，∠B=60°，
∴∠BAD=30°，BD=12AB=1，
∴AD=22?12=3，
∵∠C=45°，
∴AD=CD=3，
∴BC=1+3，
在Rt△ADC，根據(jù)勾股定理得
AC=AD2+CD2=3+3=6．
【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，正確做出輔助線并根據(jù)勾股定理列出關(guān)系式是解答本題的關(guān)鍵．
【變式1-2】（2023春·安徽安慶·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在△ABC中，AB長比AC長大1，BC=15，D是AB上一點(diǎn)，BD=9，CD=12．
(1)求證：CD⊥AB；
(2)求AC長．
【答案】(1)見解析
(2)13
【分析】（1）根據(jù)BC=15，BD=9，CD=12，得到BD2+CD2=BC2，根據(jù)勾股定理逆定理即可得到∠CDB=90°，問題得證；
（2）設(shè)AC=x，則AD=x?8，根據(jù)勾股定理得到(x?8)2+122=x2，解方程即可求解．
【詳解】（1）證明：∵BC=15，BD=9，CD=12，
∴BD2+CD2=92+122=225 ，BC2=152=225，
∴BD2+CD2=BC2，
∴∠CDB=90°，
∴CD⊥AB；
（2）解：由題意得AB?AC=1，
設(shè)AC=x，則AD=AB?BD=x+1?9=x?8，
∵∠ADC=90°，
∴AC2=AD2+CD2，
∴(x?8)2+122=x2，
解得：x=13，
即AC=13．
【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理及其逆定理，熟知兩個(gè)定理并根據(jù)題意靈活應(yīng)用是解題關(guān)鍵．
【變式1-3】（2023春·遼寧營口·八年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖OP=1，過P作PP1⊥OP且PP1=1，得OP1=2，再過點(diǎn)P1作P1P2⊥OP1且P1P2=1，連接OP2，得OP2=3；又過點(diǎn)P2作P2P3⊥OP2且P2P3=1，得OP3=2；依此法繼續(xù)作下去，得OP12+OP22+OP32+OP42+…+OP102=__．

【答案】65
【分析】先根據(jù)勾股定理，分別求出OP12,OP22,OP32,OP42…OP102，再相加即可．
【詳解】解：根據(jù)題意可得：
OP12=22=2，
OP22=OP12+P1P22=2+1=3，
OP32=OP22+P2P32=3+1=4，
OP42=OP32+P3P42=4+1=5，
……
OP102=10+1=11，
∴OP12+OP22+OP32+OP42+…+OP102=2+3+4+5+6+7+8+9+10+11=65．
故答案為：65．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理、圖形的規(guī)律運(yùn)算，找到線段長度的變化規(guī)律并歸納公式是解決此題的關(guān)鍵．
【題型2 利用勾股定理求面積】
【例2】（2023春·安徽合肥·八年級校考期中）勾股定理是我國古代的偉大數(shù)學(xué)發(fā)明之一．如圖，以Rt△ABC∠ACB=90°的各邊向外作正方形，得到三塊正方形紙片，再把較小的兩張正方形紙片放入最大的正方形中，重疊部分的面積記作S1，左下不重疊部分的面積記作S2，若S1=3，則S2的值是（ ）
A．1B．1.5C．2D．2.5
【答案】B
【分析】設(shè)Rt△ABC的直角邊AC=a，BC=b，BA=c．則a2+b2=c2，S2=c?ac?b=c2?a+bc+ab，根據(jù)S1=a+b?c2=3即可推出2c2+2ab?2ac?2bc=3，即可得出結(jié)論．
【詳解】解：設(shè)Rt△ABC的直角邊AC=a，BC=b，BA=c．
∴a2+b2=c2，
∵面積為S2的矩形的長和寬分別是c?a，c?b，
∴S2=c?ac?b=c2?a+bc+ab，
∵面積為S1的正方形的邊長是a?c?b=a+b?c，
∴S1=a+b?c2=3，
∴a2+b2+c2+2ab?2ac?2bc=3，
∴2c2+2ab?2ac?2bc=3，
∴c2?a+bc+ab=1.5，
∴S2=1.5．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理，整式的乘法，解題個(gè)關(guān)鍵是熟練掌握直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊平方，以及整式的乘法運(yùn)算．
【變式2-1】（2023春·北京昌平·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖來自古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底所研究的幾何圖形，此圖由三個(gè)半圓構(gòu)成，三個(gè)半圓的直徑分別為直角三角形ABC的斜邊BC，直角邊AB,AC，灰色部分面積記為S1，黑色部分面積記為S2，白色部分面積記為S3，則（ ）
A．S1=S2B．S2=S3C．S1=S3D．S1=S2?S3
【答案】D
【分析】由勾股定理，由整個(gè)圖形的面積減去以BC為直徑的半圓的面積，即可得出結(jié)論．
【詳解】Rt△ABC中，
∵AB2+AC2＝BC2
∴S2＝12π12AB2+12π12AC2?12π12BC2+S△ABC
＝18πAB2+AC2?BC2+SΔABC
＝S1．
故選A．
【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理、圓面積公式以及數(shù)學(xué)常識；熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．
【變式2-2】（2023春·廣東深圳·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，△PAB中AB邊上的高等于AB的長度，△QBC中BC邊上的高等于BC的長度，△HAC中AC邊上的高等于AC的長度，且△PAB，△QBC的面積分別是10和8，則△ACH的面積是（ ）
A．2B．4C．6D．9
【答案】D
【分析】根據(jù)勾股定理可求AC2+BC2＝AB2，再根據(jù)三角形的面積公式即可求解．
【詳解】解：在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴12AC2+12BC2＝12AB2，
∵△PAB中AB邊上的高等于AB的長度，△QBC中BC邊上的高等于BC的長度，△HAC中AC邊上的高等于AC的長度，且△PAB，△QBC的面積分別是10和8，
∴△ACH的面積是10﹣8＝2．
【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理，熟知勾股定理是解題的關(guān)鍵．
【變式2-3】（2023春·八年級單元測試）在直線 l 上依次擺放著七個(gè)正方形(如圖所示)，已知斜放置的三個(gè)正方形的面積分別 為 a，b，c，正放置的四個(gè)正方形的面積依次為 S1，S2，S3，S4，則 S1＋S2＋S3＋S4＝( )
A．a(chǎn)＋bB．b＋cC．a(chǎn)＋cD．a(chǎn)＋b＋c
【答案】A
【分析】求證△ABC≌△CDE，得DE=BC，△ABC中AB2+CE2=AC2，根據(jù)S3=AB2，S4=DE2可求得S3+S4=c，同理可得S1+S2=a，故S3+S4+S1+S2=a+c.
【詳解】解：
∵∠ACB+∠DCE=90°，∠BAC+∠ACB=90°，
∴∠DCE=∠BAC，
∵AC=CE，∠ABC=∠CDE,
∴△ABC≌△CDE，
∴BC=DE，
在直角△ABC中，AB2+BC2=AC2，
即，AB2+DE2=AC2，
∵S3=AB2，S4=DE2,
∴S3+S4=c,
同理S1+S2=a,
故可得S1+S2+S3+S4=a+c，
故選C.
【點(diǎn)睛】本題考查了正方形面積的計(jì)算，正方形各邊相等的性質(zhì)，全等三角形的判定．本題中根據(jù)△ABC≌△CDE證明S3+S4=c是解題的關(guān)鍵.
【題型3 利用勾股定理解決折疊問題】
【例3】（2023春·全國·八年級階段練習(xí)）如圖，有一張直角三角形的紙片，兩直角邊AC＝6cm，BC＝8cm，現(xiàn)將直角邊AC沿直線AD折疊，使它落在斜邊AB上且與AE重合，則BD的長為（ ）
A．5cmB．4cmC．3cmD．2cm
【答案】D
【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)可得AC=AE=6cm，CD=DE，∠ACD=∠AED=∠DEB=90°，利用勾股定理列式求出AB，從而求出BE，設(shè)CD=DE=x cm，表示出BD，然后在Rt△DEB中，利用勾股定理列式計(jì)算即可得解．
【詳解】解：∵△ACD與△AED關(guān)于AD成軸對稱，
∴AC=AE=6cm，CD=DE，∠ACD=∠AED=∠DEB=90°，
在Rt△ABC中，AB2=AC2+BC2=62+82=102，
∴AB=10cm，
∴BE=AB-AE=10-6=4(cm)，
設(shè)CD=DE=x cm，則DB=BC-CD=（8-x）cm，
在Rt△DEB中，由勾股定理，得x2+42=（8-x）2，
解得x=3，
∴CD=3cm．
∴BD=8-x =8-3=5(cm)，
【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，熟記性質(zhì)并表示出Rt△DEB的三邊，然后利用勾股定理列出方程是解題的關(guān)鍵．
【變式3-1】（2023春·八年級課時(shí)練習(xí)）已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=4，D為斜邊AB上的中點(diǎn)，E是直角邊AC上的一點(diǎn)，連接DE，將△ADE沿DE折疊至△A'DE，A'E交BD于點(diǎn)F，若△DEF的面積是△ADE面積的一半，則DE為（ ）
A．2B．25C．22D．4
【答案】A
【分析】連接BE，過D作DG⊥AC于G，先判定△A'DE≌△EBF（SAS），即可得出A'D=BE=AD=25，再根據(jù)勾股定理求得CE的長，進(jìn)而得出EG和DG的長，再根據(jù)勾股定理即可得到DE的長．
【詳解】解：如圖所示，連接BE，過D作DG⊥AC于G，
∵∠ACB=90°，AC=8，BC=4，
∴由勾股定理得AB=45，
由折疊可得，△ADE與△A'DE全等，
∵△DEF的面積是△ADE面積的一半，
∴△DEF的面積是△A'DE面積的一半，且DF=12AD，
∴是A'E的中點(diǎn)，
又∵D是AB的中點(diǎn)，
∴DF=12AD=12BD，即F是BD的中點(diǎn)，
又∵∠A'FD=∠EFB，
∴△A'DE≌△EBFSAS，
∴A'D=BE=AD=25，
又∵∠C=90°，
∴Rt△BCE中，CE=BE2?BC2=20?16=2，
∵DG∥BC，D是AB的中點(diǎn)，
∴G是AC的中點(diǎn)，即CG=12AC=4，
∴EG=CG?CE=4?2=2，DG=12BC=2，
∴Rt△DEG中，DE=DG2+EG2=4+4=22，
【點(diǎn)睛】本題主要考查了折疊問題以及勾股定理的運(yùn)用，折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等．
【變式3-2】（2023春·福建廈門·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖的實(shí)線部分是由 Rt△ABC 經(jīng)過兩次折疊得到的，首先將 Rt△ABC 沿 BD 折疊，使點(diǎn) C 落在斜邊上的點(diǎn) C' 處，再沿 DE 折疊，使點(diǎn) A 落在 DC' 的延長線上的點(diǎn) A' 處．若圖中 ∠C=90°，DE=3cm，BD=4cm，則 DC' 的長為______．
【答案】125cm
【分析】由折疊的性質(zhì)得出∠BDC=∠BDC′=12∠CDC'，∠ADE=∠A'DE=12∠ADA'，∠BCD=∠C=90°，求出∠BDE=∠BDC'+∠A′DE=90°，DC'⊥AB，由勾股定理得出BE=DE2+BD2=5cm，由三角形面積即可得出答案．
【詳解】解：∵△ABC是直角三角形，
∴∠C=90°，
由折疊的性質(zhì)得：∠BDC=∠BDC′=12∠CDC'，∠ADE=∠A'DE=12∠ADA'，∠BCD=∠C=90°，
∴∠BDE=∠BDC'+∠A′DE=12×180°=90°，DC'⊥AB，
∴BE=DE2+BD2=32+42=5（cm），
∵△BDE的面積=12BE×DC'=12DE×BD，
∴DC'=DE×BDBE=3×45=125（cm）；
故答案為：125cm．
【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換的性質(zhì)、勾股定理、三角形面積等知識；熟練掌握翻折變換的性質(zhì)和勾股定理是解題的關(guān)鍵．
【變式3-3】（2023春·全國·八年級階段練習(xí)）有一塊直角三角形紙片，兩直角邊AC = 6cm，BC = 8cm．
①如圖1，現(xiàn)將紙片沿直線AD折疊，使直角邊AC落在斜邊AB上，則CD =_________cm．
②如圖2，若將直角∠C沿MN折疊，點(diǎn)C與AB中點(diǎn)H重合，點(diǎn)M、N分別在AC、BC上，則AM2、BN2與MN2之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論．
【答案】（1）3；（2）答：AM2+BN2=MN2．
【詳解】解：（1）解：如圖所示：
∵將紙片沿直線AD折疊，使直角邊AC落在斜邊AB上，
∴CD=DE，AC=AE，∠AED=∠C=90°，
∵AC = 6，BC = 8，
∴AB=10，
設(shè)CD=DE=x，則BD=8-x，BE=10-6=4，
在Rt△BED中，x2+42=8?x2，解得：x=3．
故答案為：3；
（2）AM2+BN2=MN2，理由如下：
過點(diǎn)B作BP∥AC交MH延長線于點(diǎn)P，連接PN，
∴∠A=∠PBH
在△AMH和△BPH中
∠A=∠PBH， AH=BH， ∠AHM=∠BHP
∴△AMH≌△BPH
∴AM=BP，MH=PH
又∵NH⊥MP
∴MN=NP
∵BP∥AC，∠C=90°
∴∠NBP=90°
∴BP2+BN2=NP2
∴AM2+BN2=MN2
【題型4 利用勾股定理求平面坐標(biāo)系中兩點(diǎn)之間的距離】
【例4】（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）先閱讀一段文字，再回答下列問題，已知在平面內(nèi)兩點(diǎn)坐標(biāo)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，其兩點(diǎn)間距離公式為P1P2=(x2?x1)2+(y2?y1)2，同時(shí)，當(dāng)兩點(diǎn)所在直線在坐標(biāo)軸上或平行于x軸或垂直于x軸時(shí)，兩點(diǎn)間距離公式可化簡為|x2?x1|或|y2?y1|．
(1)已知A(3,5)，B(?2,?1)，則A、B兩點(diǎn)間的距離為 ；
(2)已知A，B在平行于y軸的直線上，點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為5，點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為?1，則A，B兩點(diǎn)間的距離為 ；
(3)已知A，B在平行于x軸的直線上，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為5.且A，B兩點(diǎn)間的距離為3，則點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為 ；
(4)已知一個(gè)三角形各頂點(diǎn)坐標(biāo)為A(0,6)，B(?3,2)，C(3,2)，請判定此三角形的形狀，并說明理由．
【答案】(1)61
(2)6
(3)2
(4)等腰三角形，見解析
【分析】（1）直接代入兩點(diǎn)間距離公式為P1P2=(x2?x1)2+(y2?y1)2即可；
（2）直接代入兩點(diǎn)間距離公式|y2?y1|即可；
（3）分點(diǎn)B在點(diǎn)A左側(cè)還是右側(cè)兩種情況，左側(cè)橫坐標(biāo)減去距離，右側(cè)橫坐標(biāo)加上距離；
（4）先分別用公式求出三邊長，再依據(jù)邊的長度判定三角形是等腰三角形．
【詳解】（1）根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式可得：AB=(3+2)2+(5+1)2=61；
（2）由題意可得：|y2?y1|=?1?5=6；
（3）點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為5+3=8或5?3=2；
（4）由兩點(diǎn)間距離公式可得：AB=(0+3)2+(6?2)2=5，
BC=(?3?3)2+(2?2)2=6，
AC=(0?3)2+(6?2)2=5，
∴AB=AC，
∴ΔABC是等腰三角形．
【點(diǎn)睛】本題考查兩點(diǎn)間距離公式和三角形的分類，關(guān)鍵是正確代入公式計(jì)算．
【變式4-1】（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）如圖，Rt△AOB的頂點(diǎn)A2，1，B?2，n分別在第一，二象限內(nèi)，∠AOB=90°，則n的值為（ ）
A．6B．5C．4D．3
【答案】A
【分析】利用勾股定理求解即可．
【詳解】解：∵Rt△AOB的頂點(diǎn)A2，1，B?2，n，
∴OB2=n2+22，OA2=22+12=5，AB2=?2?22+n?12，
∵∠AOB=90°，
∴OB2+OA2=AB2，
∴n2+22+5=?2?22+n?12，
∴n2+9=n2?2n+17，
解得n=4，
故選C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理，熟知坐標(biāo)系中兩點(diǎn)距離公式是解題的關(guān)鍵．
【變式4-2】（2023春·江蘇南通·八年級統(tǒng)考期末）平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)P(m,2n2?4)，且實(shí)數(shù)m，n滿足m?n2+4=0，則點(diǎn)P到原點(diǎn)O的距離的最小值為______．
【答案】455
【分析】根據(jù)勾股定理先表示出PO，然后根據(jù)m?n2+4=0結(jié)合完全平方公式對式子變形，再利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，可以得到PO的最小值．
【詳解】解：∵點(diǎn)P(m,2n2?4)，點(diǎn)O0,0，
∴PO=(m?0)2+(2n2?4?0)2=m2+(2n2?4)2，
∵m?n2+4=0，
∴n2=m+4，
∴PO=m2+[2(m+4)?4]2
=m2+(2m+4)2
=m2+4m2+16m+16
=5(m+85)2+165，
∵(m+85)2≥0，
∴5(m+85)2+165≥165=455，
∴PO的最小值是455，
故答案為：455．
【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的應(yīng)用、完全平方公式的應(yīng)用、非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，用含m的式子表示出PO．
【變式4-3】（2023春·福建龍巖·八年級?？茧A段練習(xí)）閱讀理解：說明代數(shù)式x2+1+(x?3)2+4的幾何意義，并求它的最小值．
解：x2+1+(x?3)2+4=(x?0)2+1+(x?3)2+22．
幾何意義：如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，點(diǎn)P(x,0)是x軸上一點(diǎn)，則(x?0)2+12可以看成點(diǎn)P與點(diǎn)A(0,1)的距離，(x?3)2+22可以看成點(diǎn)P與點(diǎn)B(3,2)的距離，所原代數(shù)式的值可以看成線段PA與PB長度之和，它的最小值就是PA+PB的最小值．
求最小值：設(shè)點(diǎn)A關(guān)于x軸對稱點(diǎn)A'，則PA=PA'．因此，求PA+PB的最小值，只需求PA'+PB的最小值，而點(diǎn)A'，B間的直線段距離最短，所以PA'+PB的最小值為線段A'B的長度．為此，構(gòu)造直角三角形A'CB，因?yàn)锳'C=3,CB=3，所以由勾股定理得A'B=32，即原式的最小值為32．
根據(jù)以上閱讀材料，解答下列問題：
(1)代數(shù)式(x?1)2+1+(x?2)2+9的值可以看成平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)P(x,0)與點(diǎn)A(1,1)，點(diǎn)B__________的距離之和．（填寫點(diǎn)B的坐標(biāo)）
(2)代數(shù)式x2+49+x2?12x+37的值可以看成平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)P(x,0)．與點(diǎn)A__________、點(diǎn)B__________的距離之和．（填寫點(diǎn)A，B的坐標(biāo)）
(3)求出代數(shù)式x2+49+x2?12x+37的最小值．
【答案】(1)（2，3），（2，?3）
(2)（0，7），（6，1）
(3)10
【分析】（1）先把原式化為(x?1)2+1+(x?2)2+32的形式，再根據(jù)題中所給的例子即可得出結(jié)論；
（2）先把原式化為(x?0)2+72+(x?6)2+12的形式，故得出所求代數(shù)式的值可以看成平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)P(x,0)與點(diǎn)A（0，7）、點(diǎn)B（6，1）的距離之和，
（3）在坐標(biāo)系內(nèi)描出各點(diǎn)，利用勾股定理得出結(jié)論即可．
【詳解】（1）∵原式化為(x?1)2+1+(x?2)2+32的形式，
∴代數(shù)式(x?1)2+1+(x?2)2+9的值可以看成平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)P(x,0)與點(diǎn)AA(1,1)、點(diǎn)B（2，3）或（2，?3）的距離之和，
故答案為（2，3），（2，?3）；
（2）∵原式化為(x?0)2+72+(x?6)2+12的形式，
∴所求代數(shù)式的值可以看成平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)P(x,0)與點(diǎn)A（0，7）、點(diǎn)B（6，1）的距離之和，
故答案為：（0，7），（6，1）．
（3）如圖所示：設(shè)點(diǎn)A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為A'，則PA=PA'，
∴PA+PB的最小值，只需求PA'+PB的最小值，而點(diǎn)A'、B間的直線段距離最短，
∴PA'+PB的最小值為線段A'B的長度，
∵A（0，7），B（6，1）
∴A'（0，?7），A'C＝6，BC＝8，
∴A'B=A'C2+BC262+82=10，
∴代數(shù)式x2+49+x2?12x+37的最小值為10．
【點(diǎn)睛】本題屬于幾何變換綜合題，考查的是軸對稱﹣?zhàn)疃搪肪€問題，解答此題的關(guān)鍵是利用數(shù)形結(jié)合思想解決問題，學(xué)會用轉(zhuǎn)化的思想解決問題．
【題型5 利用勾股定理證明線段的平方關(guān)系】
【例5】（2023春·河北石家莊·八年級石家莊外國語學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知對角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形，現(xiàn)有如圖所示的“垂美”四邊形ABCD，對角線AC，BD交于點(diǎn)O．
（1）若AB=5，OA=3，OC=4，則BC=______；
（2）若AD=2，BC=5，則AB2+CD2=______；
（3）若AB=m，BC=n，CD=c，AD=d，則m，n，c，d之間的數(shù)量關(guān)系是______．
【答案】 42 7 m2+c2=n2+d2
【分析】（1）根據(jù)題意和勾股定理即可求出．
（2）利用勾股定理，進(jìn)行等量代換，可以得到AB2+CD2的值．
（3）由（2）得求解過程可以得到AB2+CD2=BC2+AD2，進(jìn)行替換即可．
【詳解】（1）∵AC⊥BD，
∴∠BOC=∠COD=∠DOA=∠AOB=90°，
∴OB=AB2?OA2
=52?32
=4，
∴CB=OB2+OC2
=42+42
=42．
故答案為42．
（2）由（1）得：
∴OB2+OC2=BC2，OA2+OD2=AD2，OB2+OA2=AB2，OC2+OD2=CD2，∴AB2+CD2=OB2+OA2+OC2+OD2=BC2+AD2，
∵AD=2，BC=5，
∴AB2+CD2=22+52
=7．
故答案為7．
（3）由（2）得：
AB2+CD2=BC2+AD2，
∴m2+c2=n2+d2．
故答案為m2+c2=n2+d2．
【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的應(yīng)用問題，熟練利用勾股定理和等量代換是解題的關(guān)鍵．
【變式5-1】（2023春·廣東云浮·八年級校考期中）在Rt△ABC中，∠A，∠B，∠C的對邊分別是a，b，c，若∠A=90°，則（ ）
A．a(chǎn)2+b2=c2B．a(chǎn)2+c2=b2C．b2+c2=a2D．a(chǎn)+c=b
【答案】A
【分析】根據(jù)勾股定理解答即可．
【詳解】解：∵∠A，∠B，∠C的對邊分別是a，b，c，∠A=90°，
∴a為斜邊，
∴b2+c2=a2．
【點(diǎn)睛】本題考查的勾股定理，熟知在任何一個(gè)直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方是解題的關(guān)鍵．
【變式5-2】（2023春·八年級課時(shí)練習(xí)）素有“千古第一定理”之稱的勾股定理，它是人類第一次將數(shù)與形結(jié)合在一起的偉大發(fā)現(xiàn)，也是人類最早發(fā)現(xiàn)并用于生產(chǎn)、觀天、測地的第一個(gè)定理，它導(dǎo)致了無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)，引發(fā)了第一次數(shù)學(xué)危機(jī)，它使數(shù)學(xué)由測量計(jì)算轉(zhuǎn)變?yōu)橥评碚撟C．在中國，也被稱為“商高定理”，西方則稱其為“畢達(dá)哥拉斯定理”，幾千年來，太多的溢美之詞給了這一定理，由于它迷人的魅力，人們冥思苦索給出了數(shù)百種證明方法，成為了證明方法最多的定理，其中，利用等面積法證明勾股定理最為常見，現(xiàn)有四名網(wǎng)友為證明勾股定理而提供的圖形，其中提供的圖形（可以作輔助線）能證明勾股定理的網(wǎng)友是________（填寫數(shù)字序號即可）．
【答案】①②③④
【分析】根據(jù)各部分圖形的面積和差系導(dǎo)出a、b、c三者關(guān)系進(jìn)行判斷便可．
【詳解】解：①由圖形可知，(b?a)2+4×12ab=c2，
整理得a2+b2=c2，
故①符合題意；
②由圖形可知，c2+4×12ab=(a+b)2，
整理得a2+b2=c2，
故②符合題意；
③由下圖知，2×12ab+12c2=12(a+b)2，
整理得a2+b2=c2，
故③符合題意；
④由下圖知，S△ADE=S△ABC?S△BCE，
即12c?DF=12ab?12(b?a)a，
∴DF=a2c，
∴DE=c?a2c，
由△ABE的面積公式得12b?b=12c(c?a2c)，
整理得a2+b2=c2，
故④符合題意；
故答案為：①②③④．
【點(diǎn)睛】本題主要考查的是勾股定理的證明，掌握正方形、梯形、直角三角形的面積公式是解決此題的關(guān)鍵．
【變式5-3】（2023春·湖北·八年級?？计谥校┮阎鐖D，在△ABC中，AB=AC，D在CB的延長線上．
求證：（1）AD2?AB2=BD?CD；
（2）若D在CB上，結(jié)論如何，試證明你的結(jié)論．
【答案】（1）見詳解；（2）AB2?AD2=BD?CD，理由見詳解
【分析】（1）過點(diǎn)A作AE⊥BC于E，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得BE＝CE，利用勾股定理列式表示出DE2、CE2，然后相減即可得解；
（2）根據(jù)（1）的求解思路列式整理即可．
【詳解】（1）證明：如圖，過點(diǎn)A作AE⊥BC于E，
∵AB＝AC，
∴BE＝CE，
在Rt△ADE中，AD2?AE2＝DE2，
在Rt△ACE中，AC2?AE2＝CE2，
兩式相減得，AD2?AC2＝DE2?CE2＝（DE?CE）（DE＋CE）＝（DE?BE）CD＝BD?CD，
即AD2?AB2＝BD?CD；
（2）結(jié)論為：AB2?AD2＝BD?CD．
證明如下：與（1）同理可得，AD2?AE2＝DE2，AC2?AE2＝CE2，
∵點(diǎn)D在CB上，
∴AB＞AD，即：AC＞AD，
∴AC2?AD2＝CE2?DE2＝（CE?DE）（CE＋DE）＝（BE?DE）（CE＋DE）＝BD?CD，
∴AC2?AD2＝BD?CD，
即AB2?AD2＝BD?CD．
【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，作輔助線構(gòu)造出直角三角形是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn)．
【題型6 勾股定理驗(yàn)證方法的應(yīng)用】
【例6】（2023春·山西太原·八年級統(tǒng)考期中）我國古代稱直角三角形為“勾股形”，并且直角邊中較短邊為勾，另一直角邊為股，斜邊為弦.如圖1所示，數(shù)學(xué)家劉徽（約公元225年—公元295年）將勾股形分割成一個(gè)正方形和兩對全等的直角三角形，后人借助這種分割方法所得的圖形證明了勾股定理.如圖2所示的長方形，是由兩個(gè)完全相同的“勾股形”拼接而成，若a=3，b=1，則長方形的面積為______.
【答案】12
【分析】欲求矩形的面積，則求出圖1中陰影部分小三角形長直角邊邊長即可，由此可設(shè)其為x，在直角三角形ACB中，利用勾股定理可建立關(guān)于x的方程，進(jìn)而可求出該矩形的面積．
【詳解】
解：設(shè)如圖1陰影部分小三角形長直角邊邊長為x，
∵a=3，
∴AB=x+3，
在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，
即（1+x）2+（1+3）2=(x+3)2，
整理得，x=2，
∴該矩形的面積=AC·BC=（1+3）（1+x）=4×3=12
故答案為：12．
【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的證明以及運(yùn)用和一元二次方程的運(yùn)用，得到關(guān)于x的方程是解題的關(guān)鍵．
【變式6-1】（2023春·新疆烏魯木齊·八年級統(tǒng)考期中）如圖，四邊形ABCD中，∠DAB=∠BCD=90°，分別以四邊形的四條邊為邊向外作正方形，面積分別為S1,S2,S3,S4，若S1+S4=135,S3=49，則S2=（ ）
A．184B．86C．119D．81
【答案】B
【分析】連接BD，根據(jù)勾股定理可得AD2+AB2=BD2，BC2+CD2=BD2，即S1+S4=S2+S3，即可求解．
【詳解】解：連接BD，
根據(jù)勾股定理可得AD2+AB2=BD2，BC2+CD2=BD2，
即S1+S4=S2+S3，
∴S2=135?49=86，
【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理，根據(jù)直角的信息提示，作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形，是解題的關(guān)鍵．
【變式6-2】（2023春·北京海淀·八年級北京市十一學(xué)校?？计谥校摆w爽弦圖”巧妙地利用面積關(guān)系證明了勾股定理，是我國古代數(shù)學(xué)的驕傲．如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形（如圖1）拼成的一個(gè)大正方形（如圖2）．設(shè)直角三角形較長直角邊長為a，較短直角邊長為b．若ab=8，大正方形的面積為25，則圖2中EF的長為（ ）

A．3B．4C．22D．32
【答案】D
【分析】由圖形2可知，中間四邊形的邊長為a?b的小正方形，由大正方形的面積由四個(gè)全等的直角三角形加中間小正方形的面積得出ab2×4+a?b2=25，再結(jié)合ab=8即可得出a?b的值，再根據(jù)勾股定理即可求出EF的長．
【詳解】解：由圖形2可知，中間四邊形的邊長為a?b的小正方形，
∵大正方形的面積為25，
∴AB2=25，
又∵大正方形的面積由四個(gè)全等的直角三角形加中間小正方形的面積，
∴ab2×4+a?b2=25，
∴a?b2+2ab=25，
∴a?b2+2×8=25，
∴a?b=3（負(fù)值已舍），
即圖2中小正方形的邊長為3，
∴EF=32+32=32，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的證明，勾股定理的應(yīng)用，正確得出大正方形的面積是解題的關(guān)鍵．
【變式6-3】（2023春·江蘇·八年級專題練習(xí)）中國數(shù)學(xué)史上最先完成勾股定理證明的數(shù)學(xué)家是公元3世紀(jì)三國時(shí)期的趙爽，他為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一副“弦圖”，后人稱其為“趙爽弦圖”（如圖1）．圖2由弦圖變化得到，它是由八個(gè)全等的直角三角形拼接而成． 將圖中正方形MNKT，正方形EFGH，正方形ABCD的面積分別記為S1,S2，S3． 若S1+S2+S3=18， 則正方形EFGH的面積為_______．
【答案】6
【分析】設(shè)四邊形MTKN的面積為x，八個(gè)全等的三角形面積一個(gè)設(shè)為y，構(gòu)建方程組，利用整體的思想思考問題，求出x+4y即可．
【詳解】解：設(shè)四邊形MTKN的面積為x，八個(gè)全等的三角形面積一個(gè)設(shè)為y，
∵正方形MNKT，正方形EFGH，正方形ABCD的面積分別為S1，S2，S3，S1+S2+S3=18，
∴得出S1=x，S2=4y+x，S3=8y+x，
∴S1+S2+S3=3x+12y=18，故3x+12y=18，
x+4y=6，
所以S2=x+4y=6，即正方形EFGH的面積為6．
故答案為6
【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的證明，正方形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用參數(shù)，構(gòu)建方程組解決問題．
【題型7 勾股樹問題】
【例7】（2023春·全國·八年級階段練習(xí)）正方形ABCD的邊長為1，其面積記為S1，以CD為斜邊作等腰直角三角形，以該等腰直角三角形的一條直角邊為邊向外作正方形，其面積記為S2，?按此規(guī)律繼續(xù)下去，則S2022的值為（ ）
A．122022B．122021C．222022D．222021
【答案】B
【分析】根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得出S2+S2＝S1，寫出部分Sn的值，根據(jù)數(shù)的變化找出變化規(guī)律Sn＝（12）n﹣1，依此規(guī)律即可得出結(jié)論．
【詳解】解：在圖中標(biāo)上字母E，如圖所示．
∵正方形ABCD的邊長為1，△CDE為等腰直角三角形，
∴DE2+CE2＝CD2，DE＝CE，
∴S2+S2＝S1．
觀察，發(fā)現(xiàn)規(guī)律：
S1＝12＝1，
S2＝12S1＝12，
S3＝12S2＝(12)2，
S4＝12S3＝(12)3 ，
…，
∴Sn＝（12）n﹣1．
當(dāng)n＝2022時(shí)，S2022＝（12）2022﹣1＝（12）2021，
【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理以及規(guī)律型中數(shù)的變化規(guī)律，解題的關(guān)鍵是找出規(guī)律Sn＝（12）n-1．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，寫出部分Sn的值，根據(jù)數(shù)值的變化找出變化規(guī)律是關(guān)鍵
【變式7-1】（2023春·八年級統(tǒng)考期中）圖1是第七屆國際數(shù)學(xué)教育大會（ICME）的會徽，主體圖案是由如圖2的一連串直角三角形演化而成，其中 OA1=A1A2=A2A3=???=A8A9=1 ，現(xiàn)把圖2中的直角三角形繼續(xù)作下去如圖3所示，若 OA3?OAn 的值是整數(shù)，且1≤n≤30，則符合條件的n有（ ）
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
【答案】A
【分析】利用勾股定理可求出OA2，OA3，OA4…OAn=n，即可得到OA3·OAn=3·n，再根據(jù)OA3·OAn是整數(shù)及1≤n≤30，由此可求出n的值的個(gè)數(shù)．
【詳解】由題意得
OA2=12+12=2；
OA3=22+12=2+1=3；
OA4=3+12=4…
OAn=n；
∵ 1≤n≤30，
∴OA3·OAn的值是整數(shù)，
∴·OAn的值可以是3，23，33
是整數(shù)的有3個(gè)．
故答案為：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用；探索圖形規(guī)律，找到規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
【變式7-2】（2023春·山東菏澤·八年級?？茧A段練習(xí)）“勾股樹”是以正方形一邊為斜邊向外作直角三角形，再以該直角三角形的兩直角邊分別向外作正方形，重復(fù)這一過程所畫出來的圖形，因?yàn)橹貜?fù)數(shù)次后的形狀好似一棵樹而得名．假設(shè)如圖分別是第一代勾股樹、第二代勾股樹、第三代勾股樹，按照勾股樹的作圖原理作圖，如果第一個(gè)正方形面積為1，則第2023代勾股樹中所有正方形的面積為______．

【答案】2024
【分析】根據(jù)勾股定理可得第一代勾股樹中所有正方形的面積為2，再一次求出第二代、第三代勾股樹中所有三角形的面積，總結(jié)出一般規(guī)律，即可進(jìn)行解答．
【詳解】解：設(shè)第一代勾股樹中間三角形的兩直角邊長為a和b，斜邊長為c，
根據(jù)勾股定理可得：a2+b2=c2，
∵c2=1,
∴第一代勾股樹中所有正方形的面積為=a2+b2+c2=c2+c2=2；
同理可得：第二代勾股樹中所有正方形的面積為=2a2+2b2+c2=3c2=3；
第三代勾股樹中所有正方形的面積為=4c2=4；
第n代勾股樹中所有正方形的面積為=n+1c2=n+1；
∴第2023代勾股樹中所有正方形的面積為2024．
故答案為：2024．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理，解題的關(guān)鍵是仔細(xì)觀察圖形，根據(jù)勾股定理總結(jié)出變化的一般規(guī)律．
【變式7-3】（2023春·江西南昌·八年級南昌市第三中學(xué)?？计谥校┕垂啥ɡ硎侨祟愖顐ゴ蟮氖畟€(gè)科學(xué)發(fā)現(xiàn)之一，西方國家稱之為畢達(dá)哥拉斯定理．在我國古書《周髀算經(jīng)》中就有“若勾三，股四，則弦五”的記載，我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”（如圖1），后人稱之為“趙爽弦圖”，流傳至今．
(1)①如圖2，3，4，以直角三角形的三邊為邊或直徑，分別向外部作正方形、半圓、等邊三角形，面積分別為S1，S2，S3，利用勾股定理，判斷這3個(gè)圖形中面積關(guān)系滿足S1+S2=S3的有________個(gè)．
②如圖5，分別以直角三角形三邊為直徑作半圓，設(shè)圖中兩個(gè)月牙形圖案（圖中陰影部分）的面積分別為S1，S2，直角三角形面積為S3，也滿足S1+S2=S3嗎？若滿足，請證明；若不滿足，請求出S1，S2，S3的數(shù)量關(guān)系．
(2)如果以正方形一邊為斜邊向外作直角三角形，再以該直角三角形的兩直角邊分別向外作正方形，重復(fù)這一過程就可以得到如圖6所示的“勾股樹”．在如圖7所示的“勾股樹”的某部分圖形中，設(shè)大正方形M的邊長為定值m，四個(gè)小正方形A，B，C，D的邊長分別為a，b，c，d，則a2+b2+c2+d2=__________．
【答案】(1)①3；②滿足，證明見解析
(2)m2
【分析】（1）設(shè)兩直角邊分別為x，y，斜邊為z，用x，y，z分別表示正方形、圓、等邊三角形的面積，根據(jù)x2+y2=z2，求解S1，S2，S3之間的關(guān)系，進(jìn)而可得結(jié)果；②根據(jù)a2+b2=c2，S1+S2=πa222+πb222+ab2?πc222=ab2，S3=ab2，可得S1+S2=S3；
（2）由題意知，SA=a2，SB=b2，SC=c2，SD=d2，SA+SB+SC+SD=SM=m2，代入求解即可．
【詳解】（1）①解：設(shè)兩直角邊分別為x，y，斜邊為z，
則圖2中，S1=x2，S2=y2，S3=z2，
∵x2+y2=z2，
∴S1+S2=S3，故圖2符合題意；
圖3中，S1=πx222=πx28，S2=πy222=πy28，S3=πz222=πz28，
∵πx28+πy28=πx2+y28=πz28，
∴S1+S2=S3，故圖3符合題意；
圖4中，S1=12x?x?sin60°=3x24，S2=12y?y?sin60°=3y24，S3=12z?z?sin60°=3z24，
∵3x24+3y24=3x2+y24=3z24，
∴S1+S2=S3，故圖4符合題意；
∴這3個(gè)圖形中面積關(guān)系滿足S1+S2=S3的有3個(gè)，
故答案為：3；
②解：滿足，證明如下：
由題意知a2+b2=c2，S1+S2=πa222+πb222+ab2?πc222=ab2，S3=ab2，
∴S1+S2=S3；
（2）解：由題意知，SA=a2，SB=b2，SC=c2，SD=d2，SA+SB+SC+SD=SM=m2，
∴a2+b2+c2+d2=m2，
故答案為：m2．
【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，勾股樹．解題的關(guān)鍵在于正確的表示各部分的面積．
【題型8 勾股定理在格點(diǎn)中的應(yīng)用】
【例8】（2023春·江蘇鹽城·八年級校聯(lián)考階段練習(xí)）問題背景：
在△ABC中，AB、BC、AC三邊的長分別為5、10、13，求這個(gè)三角形的面積．小明同學(xué)在解答這道題時(shí)，先建立一個(gè)正方形網(wǎng)格（每個(gè)小正方形的邊長為1），再在網(wǎng)格中畫出格點(diǎn)△ABC（即△ABC三個(gè)頂點(diǎn)都在小正方形的頂點(diǎn)處）．如圖①所示．這樣不需求△ABC的高，而借用網(wǎng)格就能計(jì)算出它的面積．
(1)請你將△ABC的面積直接填寫在橫線上 ；
思維拓展：
(2)我們把上述求△ABC面積的方法叫做構(gòu)圖法．若△ABC三邊的長分別為2、13、17，請利用圖②的正方形網(wǎng)格（每個(gè)小正方形的邊長為1）畫出相應(yīng)的△ABC．并求出它的面積．
探索創(chuàng)新：
(3)若△ABC三邊的長分別為5a、22a、17a（a＞0），請利用圖③的正方形網(wǎng)格（每個(gè)小正方形的邊長為a）畫出相應(yīng)的△ABC，并求出它的面積．
(4)若△ABC三邊的長分別為m2+16n2、9m2+4n2、2m2+n2（m＞0，n＞0，且m≠n），試運(yùn)用構(gòu)圖法求出這個(gè)三角形的面積．
【答案】(1)72
(2)SΔABC=52，圖見解析
(3)SΔABC=3a2，圖見解析
(4)SΔABC=5mn，圖見解析
【分析】（1）利用分割法求三角形的面積即可；
（2）利用網(wǎng)格圖，構(gòu)造三角形，利用分割法求解即可；
（3）利用網(wǎng)格圖，構(gòu)造三角形，利用分割法求解即可；
（4）構(gòu)造長方形，利用分割法求解即可．
（1）解： S△ABC＝3×3?12×1×2?12×2×3?12×1×3=72．故答案為：72；
（2）解∶ 如圖，△ABC如圖所示．
S△ABC＝2×4?12×2×3?12×4×1?12×1×1=52．
解∶ 如圖，△ABC即為所求．
S△ABC＝2a×4a?12×2a×2a?12×2a×a?12×4a×a＝3a2．
（4）解∶ 根據(jù)題意，構(gòu)造長為2n，寬為3m的長方形，作出邊長為為m2+16n2、9m2+4n2、2m2+n2的三角形，如圖，△ABC即為所求．
S△ABC＝3m×4n?12×3m×2n?12×2m×2n?12×4n×m＝5mn．
【點(diǎn)睛】本題是四邊形的綜合題，考查了勾股定理及作圖的知識，解答本題關(guān)鍵是仔細(xì)理解問題背景，熟練掌握勾股定理，關(guān)鍵是結(jié)合網(wǎng)格用矩形及容易求得面積的直角三角形表示出所求三角形的面積進(jìn)行解答．
【變式8-1】（2023春·湖北武漢·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在4×4正方形網(wǎng)格中，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的△ABC的面積等于3，則點(diǎn)A到邊BC的距離為（ ）
A．B．2C．4D．3
【答案】B
【詳解】試題分析：根據(jù)勾股定理計(jì)算出BC的長，再根據(jù)三角形的面積為3，即可求出點(diǎn)A到邊BC的距離．
解：∵BC=12+12=2，S△ABC=3，
∴點(diǎn)A到邊BC的距離為62=22，
故選B．
考點(diǎn)：勾股定理;三角形面積．
【變式8-2】（2023春·浙江·八年級期末）在每個(gè)小正方形的邊長為1的網(wǎng)格圖形中，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)．以頂點(diǎn)都是格點(diǎn)的正方形ABCD的邊為斜邊，向內(nèi)作四個(gè)全等的直角三角形，使四個(gè)直角頂點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H都是格點(diǎn)，且四邊形EFGH為正方形，我們把這樣的圖形稱為格點(diǎn)弦圖．例如，在如圖1所示的格點(diǎn)弦圖中，正方形ABCD的邊長為65，此時(shí)正方形EFGH的而積為5．問：當(dāng)格點(diǎn)弦圖中的正方形ABCD的邊長為65時(shí)，正方形EFGH的面積的所有可能值是_____（不包括5）．
【答案】9或13或49.
【詳解】分析：共有三種情況：①當(dāng)DG=13，CG=213時(shí)，滿足DG2+CG2=CD2，此時(shí)HG=13，可得正方形EFGH的面積為13；
②當(dāng)DG=8，CG=1時(shí)，滿足DG2+CG2=CD2，此時(shí)HG=7，可得正方形EFGH的面積為49；
③當(dāng)DG=7，CG=4時(shí)，滿足DG2+CG2=CD2，此時(shí)HG=3，可得正方形EFGH的面積為9.
詳解：①當(dāng)DG=13，CG=213時(shí)，滿足DG2+CG2=CD2，此時(shí)HG=13，可得正方形EFGH的面積為13．
②當(dāng)DG=8，CG=1時(shí)，滿足DG2+CG2=CD2，此時(shí)HG=7，可得正方形EFGH的面積為49；
③當(dāng)DG=7，CG=4時(shí)，滿足DG2+CG2=CD2，此時(shí)HG=3，可得正方形EFGH的面積為9.
故答案為9或13或49．
點(diǎn)睛：本題考查作圖-應(yīng)用與設(shè)計(jì)、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題，屬于中考填空題中的壓軸題．
【變式8-3】（2023春·河南鄭州·八年級?？计谀┳鲌D．網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長都是1，
(1)在圖1網(wǎng)格中作一個(gè)直角三角形，使它的三邊長都是整數(shù)；
(2)在圖2網(wǎng)格中作一個(gè)直角三角形，使它的三邊長都是無理數(shù)；
(3)在圖3網(wǎng)格中作一個(gè)鈍角三角形，使它的面積等于6．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
(3)見解析
【分析】（1）根據(jù)題意作出相應(yīng)三角形即可；
（2）根據(jù)題意作出相應(yīng)三角形即可；
（3）根據(jù)題意作出相應(yīng)三角形即可．
【詳解】（1）解：如圖所示，AB=4，BC=3，AC=AB2+BC2=5，
∴△ABC即為所求；
（2）如圖所示：DE=32+32=32，DF=22+42=25，EF=12+12=2，
∵DE2+EF2=DF2，
∴△DEF為直角三角形，符合題意；
（3）如圖所示，NO=3且NO邊上的高為4，
∴△MNO的面積為：12×3×4=6，
∴△MNO即為所求．
【點(diǎn)睛】題目主要考查勾股定理與網(wǎng)格問題，理解題意，根據(jù)勾股定理作出相應(yīng)三角形是解題關(guān)鍵．
【題型9 直角三角形中的分類討論思想】
【例9】（2023春·安徽合肥·八年級統(tǒng)考期中）△ABC中，AB=20，AC=13，BC上的高為12，求BC的長．
【答案】BC=21或11
【分析】由于三角形的高的位置隨三角形的形狀改變而變化，分別根據(jù)題意畫出當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上、點(diǎn)D在線段BC的延長線上時(shí)的圖形，分別利用勾股定理得出答案即可．
【詳解】解：設(shè)BC邊上的高為AD，
當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)，
如圖1所示：
在Rt△ABD中，AB=20，AD=12，
根據(jù)勾股定理：BD=AB2?AD2=202?122=16；
在Rt△ACD中，AC=13，AD=12，
根據(jù)勾股定理：CD=AC2?AD2=132?122=5；
∴BC=BD+CD=16+5=21；
當(dāng)D在線段BC的延長線上時(shí)，
如圖2所示：
同理可知：BD=16，CD=5，
∴BC=BD?CD=16?5=11；
綜上所述：BC=21或11.
【點(diǎn)睛】此題主要考查了三角形高的性質(zhì)和勾股定理，根據(jù)題意利用分類討論正確畫出圖形是解題關(guān)鍵．
【變式9-1】（2023春·河南鄭州·八年級?？计谥校┤鐖D，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AB=5，點(diǎn)E為射線BC上一點(diǎn)，若△ABE是直角三角形，則△ABE的面積是___________.
【答案】6或503
【分析】分兩種情況討論：①當(dāng)∠AEB=90°時(shí)，根據(jù)勾股定理求出AC的長，即可求出△ABE的面積；②當(dāng)∠BAE=90°時(shí)，設(shè)CE=x,，在Rt△ABE中根據(jù)勾股定理列方程求出x的值，即可求出BE的長，進(jìn)而可求出△ABE的面積.
【詳解】①當(dāng)∠AEB=90°時(shí)，E點(diǎn)與C點(diǎn)重合
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AB=5
∴AC=52?32=4
即AE=4
∴S△ABE=12?BE?AE=12×3×4=6
②如圖，當(dāng)∠BAE=90°時(shí)，設(shè)CE=x,
在Rt△ACE中,AE2=AC2+CE2 =42+x2
在Rt△ABE中，BE2=AB2+AE2
∴(3+x)2=52+(x2+42)
解得x=163
∴BE=3+163=253
∴S△ABE=12?BE?AC=12×253×4=503
∴△ABE的面積是6或503
故答案為：6或503
【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理和求直角三角形面積，分類討論是解題的關(guān)鍵.
【變式9-2】（2023春·四川成都·八年級四川省蒲江縣蒲江中學(xué)?？计谥校┰凇鰽BC中，AB=20，AC=13，AD為BC邊上的高，且AD=12，△ABC的周長為______．
【答案】44或54
【分析】根據(jù)題意作出圖形，利用勾股定理列式求出CD、BD，再分CD在△ABC內(nèi)部和外部兩種情況求出BC，然后根據(jù)三角形的周長的定義解答即可．
【詳解】解：∵AB=20，AC=13，BC邊上的高AD=12，
∴BD=AB2?AD2=16，CD=AC2?AD2=5，
如圖1，CD在△ABC內(nèi)部時(shí)，BC=BD+DC=16+5=21，
此時(shí)，△ABC的周長=20+13+21=54，
如圖2，CD在△ABC外部時(shí)，BC=BD?CD=16?5=11，
此時(shí)，△ABC的周長=20+13+11=44，
綜上所述，△ABC的周長為44或54．
故答案為：44或54．
【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是分情況討論求出BC的長，作出圖形更形象直觀．
【變式9-3】（2023·黑龍江哈爾濱·八年級期中）已知在△ABC中，AB=3，AC=1，S△ABC=34，則BC的長是___________．
【答案】1或7
【分析】分∠A是銳角和鈍角兩種情況，分別畫出圖形，根據(jù)三角形的面積公式求得CD=12，再求出AD,再根據(jù)圖形求得AB，最后運(yùn)用勾股定理即可解答．
【詳解】解：①如圖：當(dāng)∠A是銳角時(shí)，當(dāng)過C作AB的垂線交AB于D
∵S△ABC=34
∴12CD?AC=34,即12×3?CD=34，解得：CD=12，
∴ AD=AC2?DC2=12?122=32
∴BD=AB?AD=32
∴BC=CD2+BD2=122+322=1
②如圖：如圖：當(dāng)∠A是鈍角時(shí)，當(dāng)過C作AB的垂線交BA的延長線于D
∵S△ABC=34
∴12AB?CD=34,即12×3?CD=34，即CD=12
∴AD=AC2?DC2=12?122=32
∴BD=AB+AD=332
∴BC=CD2+BD2=122+3322=7
故答案是：1或7．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)三角形的面積公式和勾股定理求得BD的長是解答本題的關(guān)鍵．
【題型10 利用勾股定理解決動點(diǎn)問題】
【例10】（2022春·安徽合肥·八年級合肥市第四十二中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，AC=6，動點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長的速度，沿射線BC運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t秒，請解答以下問題：
(1)BC邊的長為________；
(2)當(dāng)△ABP為直角三角形時(shí)，求t的值，寫出求解過程；
(3)當(dāng)△ABP為等腰三角形時(shí)，直接寫出t的值．
【答案】(1)8
(2)t=4或t=254
(3)t=5或t=8或t=258
【分析】（1）利用勾股定理直接求解；
（2）分∠BAP=90°和∠BPA=90°兩種情況討論，分別利用勾股定理求解；
（3）當(dāng)PA=PB時(shí)，利用勾股定理求解t，當(dāng)BA=BP時(shí)，可直接得到BP長，當(dāng)AB=AP時(shí)，BP=2BC．
（1）
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，AC=6，
∴BC=AB2?AC2=102?62=8；
（2）
若△ABP為直角三角形：
（i）∠APB=90°，此時(shí)BP=BC=8，t=8÷2=4（s）；
（ii）∠BAP=90°，BP=2t，則CP=2t-8，由勾股定理得：AP?=AC?+PC?=BP?-AB?，
即6?+（2t-8）?=（2t）?-10?，解得：t=254；
（3）
若△ABP為等腰三角形：
（i）當(dāng)AB=BP時(shí)，t=5；
（ii）當(dāng)AB=AP時(shí)，BP=2BC=16，t=8；
（iii）當(dāng)BP=AP時(shí)，AP=BP=2t，CP=8-2t，AC=6，由勾股定理得：（2t）?=6?+（8-2t）?
解得：t=258．
【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)等知識點(diǎn)．正確的分類討論，熟練應(yīng)用勾股定理，準(zhǔn)確找到等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
【變式10-1】（2023春·河南信陽·八年級期中）如圖，在矩形ABCD中，AB=2，AD=1，E是AB上一個(gè)動點(diǎn)，F(xiàn)是AD上一個(gè)動點(diǎn)（點(diǎn)F不與點(diǎn)D重合）．連接EF把△AEF沿EF折疊，使點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)A'總落在邊DC上．若△A'EC是以A'E為腰的等腰三角形，則A'D的長為_____________________．
【答案】13或12
【分析】由于只知道A'E為腰的等腰三角形，所以要討論另外兩條邊分別為腰的情況，可設(shè)已知腰為x,再根據(jù)折疊的性質(zhì)對應(yīng)邊相等，用x的代數(shù)式表示出其它邊，再構(gòu)造出一個(gè)關(guān)于x的直角三角形，運(yùn)用勾股定理即可求出x和A'D的長度．
【詳解】過點(diǎn)E作EG⊥DC于點(diǎn)G,設(shè)A'E=x
當(dāng)A'E=A'C時(shí)，如圖1，A'D=2?x,CG=BE=2?x,
∴A'G=2x?2
在Rt△A'GE中，由勾股定理，得x2?2x?22=12，
解得，x1=53,x2=1(舍去)
∴A'D=13
當(dāng)A'E=CE時(shí)，如圖2，A'G=GC=BE=2?x,A'D=2x?2.
在Rt△A'GE中，由勾股定理，得22?2?x2=12.
解得x=54
∴A'D=12
綜上所述，A'D的長為13或12
故答案為13或12
【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形，直角三角形等知識點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)折疊的性質(zhì)，構(gòu)造出一個(gè)含有未知數(shù)的直角三角形，利用勾股定理列出等式求解．
【變式10-2】（2023春·全國·八年級階段練習(xí)）如圖，在四邊形ABCD中，∠BAD＝∠B＝∠D＝90°，AD＝AB＝4，E是AD中點(diǎn)，M是邊BC上的一個(gè)動點(diǎn)，N是邊CD上的一個(gè)動點(diǎn)，則AM＋MN＋EN的最小值是______．
【答案】10
【分析】作A點(diǎn)關(guān)于BC的對稱點(diǎn)A1，連接A1M，作E點(diǎn)關(guān)于DC的對稱點(diǎn)E1，連接E1N，因此AM＋MN＋EN=A1M＋MN＋E1N，所以最小值為A1E1，用勾股定理算出即可．
【詳解】解：如圖，作A點(diǎn)關(guān)于BC的對稱點(diǎn)A1，連接A1M，作E點(diǎn)關(guān)于DC的對稱點(diǎn)E1，連接E1N，
∵∠B＝∠D＝90°，點(diǎn)A和點(diǎn)A1關(guān)于BC對稱，點(diǎn)E和點(diǎn)E1關(guān)于DC對稱，
∴AM=A1M，EN=E1N，
∴AM＋MN＋EN=A1M＋MN＋E1N≥A1E1，
∴AM＋MN＋EN的最小值是A1E1，
∵AD＝AB＝4，E是AD中點(diǎn)，
∴AB=A1B=4，ED=E1D=2，
∴AA1=8，AE1=6，
∵∠BAD＝90°，
∴A1E1=62+82=10，
故答案為：10．
【點(diǎn)睛】本題考查了線段和的最值問題，勾股定理、軸對稱性質(zhì)，作出輔助線是本題的關(guān)鍵．
【變式10-3】（2023·河南駐馬店·八年級駐馬店市第二初級中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，點(diǎn) A，B 的坐標(biāo)分別為 A（0，2），B（8，8），點(diǎn) C（m，0）為 x 正半軸 上一個(gè)動點(diǎn)．
（1）當(dāng) m＝4 時(shí)，寫出線段 AC＝ ，BC＝ ．
（2）當(dāng) 0＜m＜8 時(shí)，求△ABC 的面積．（用含 m 的代數(shù)式表示）
（3）當(dāng)點(diǎn) C 在運(yùn)動時(shí)，是否存在點(diǎn) C 使△ABC 為直角三角形，如果存在，請求出這個(gè)三角形的面積；如果不存在， 請說明理由．
【答案】（1）25，25；（2）S△ABC=3m+8；（3）存在m的值為32或4或14，使△ABC為直角三角形，面積為252或20或50．
【分析】（1）過點(diǎn)B作BE⊥x軸于E，由A、B、C點(diǎn)的坐標(biāo)可得BE=8、OE=8、AO=2、OC=4，最后根據(jù)勾股定理解答即可；
（2）由0＜m＜8可得點(diǎn)C在OE上，然后根據(jù)面積關(guān)系求解即可；
（3）分∠BAC=90°、∠ABC=90°、∠ACB=90°三種情況，根據(jù)勾股定理求解即可．
【詳解】解：（1）如圖，過點(diǎn)B作BE⊥x軸于E
∵點(diǎn)A（0，2），點(diǎn)B{8，8），點(diǎn)C（4，0）
∴BE=8，OE=8，AO=2，OC=4，
∴CE=4，
∴AC=OA2+OC2=4+16=25,BC=16+64=45，
故填：25，25；

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