高中數(shù)學(xué)人教B版 (2019)選擇性必修 第一冊第一章　空間向量與立體幾何1.2 空間向量在立體幾何中的應(yīng)用1.2.2 空間中的平面與空間向量優(yōu)秀課件ppt

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1.2.2　空間中的平面與空間向量學(xué) 習(xí) 任 務(wù)核 心 素 養(yǎng)1．理解平面的法向量的概念，會求平面的法向量．(重點(diǎn))2．會用平面的法向量、直線的方向向量證明直線與平面、平面與平面的平行、垂直問題．(重點(diǎn))3．理解并會應(yīng)用三垂線定理及其逆定理證明有關(guān)垂直問題．(難點(diǎn))1．通過本節(jié)知識的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)．2．借助向量法證明有關(guān)平行與垂直問題，提升邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．牌樓，與牌坊類似，是中國傳統(tǒng)建筑之一，最早見于周朝．在園林、寺觀、宮苑、陵墓和街道常有建造．舊時牌樓主要有木、石、木石、磚木、琉璃等幾種，多設(shè)于要道口．牌樓中有一種柱門形結(jié)構(gòu)，一般較高大．如圖，牌樓的柱子與地面是垂直的，如果牌樓上部的下邊線與柱子垂直，我們就能知道下邊線與地面平行．這是為什么呢？知識點(diǎn)1　平面的法向量(1)如果α是空間中的一個平面，n是空間中的一個非零向量，且表示n的有向線段所在的直線與平面α垂直，則稱n為平面α的一個法向量，此時也稱n與平面α垂直，記作n⊥α．1．平面α的法向量有多少個？它們之間什么關(guān)系？[提示]　無數(shù)個　平行2．一個平面的法向量與此平面共面的所有向量間有什么關(guān)系？[提示]　垂直．(2)平面的法向量的性質(zhì)①如果直線l垂直于平面α，則直線l的任意一個方向向量都是平面α的一個法向量．②如果n是平面α的一個法向量，則對任意的實數(shù)λ≠0，空間向量λn也是平面α的一個法向量，而且平面α的任意兩個法向量都平行．③如果n為平面α的一個法向量，A為平面α上一個已知的點(diǎn)，則對于平面α上任意一點(diǎn)B，向量一定與向量n垂直，即n·＝0，從而可知平面α的位置可由n和A唯一確定．(3)如果v是直線l的一個方向向量，n是平面α的一個法向量，則n∥v?l⊥α，n⊥v?l∥α，或l?α．(4)如果n1是平面α1的一個法向量，n2是平面α2的一個法向量，則n1⊥n2?α1⊥α2，n1∥n2?α1∥α2，或α1與α2重合．1．(1)若直線l的方向向量為a＝(1，0，2)，平面α的法向量為u＝(－2，0，－4)，則(　　)A．l∥α　　　 B．l⊥αC．l?α D．l與α斜交(2)平面α的一個法向量為(1，2，0)，平面β的一個法向量為(2，－1，0)，則平面α與平面β的位置關(guān)系為(　　)A．平行 B．相交但不垂直C．垂直 D．不能確定(1)B　(2)C　[(1)∵a＝(1，0，2)，u＝－2(1，0，2)＝－2a，∴u與a平行，∴l⊥α．(2)∵(1，2，0)·(2，－1，0)＝0，∴兩法向量垂直，從而兩平面垂直．]知識點(diǎn)2　三垂線定理及其逆定理(1)三垂線定理：如果平面內(nèi)的一條直線與平面的一條斜線在該平面內(nèi)的射影垂直，則它也和這條斜線垂直．(2)三垂線定理的逆定理：如果平面內(nèi)的一條直線和這個平面的一條斜線垂直，則它也和這條斜線在該平面內(nèi)的射影垂直．定理中的已知直線必須是已知平面內(nèi)的直線．2．思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)已知直線l垂直于平面α，向量a與直線l平行，則a是平面α的一個法向量．????????????? (　　)(2)若直線l是平面α外的一條直線，直線m垂直于l在平面α內(nèi)的投影，則l與m垂直．????????????? (　　)(3)一個平面的法向量有無數(shù)多個，任意兩個都是共線向量． (　　)[答案]　(1)×　(2)×　(3)√[提示]　(1)×　不一定．當(dāng)a＝0時，也滿足a∥l，盡管l垂直于平面α，a也不是平面α的法向量．(2)×　不一定．若直線m在平面α外，例如m⊥α，盡管m垂直于直線l在平面α內(nèi)的投影，也不能得出m⊥l．(3)√ 類型1　求平面的法向量【例1】　如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，E為PD的中點(diǎn)，AB＝AP＝1，AD＝，試建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求平面ACE的一個法向量．[解]　∵在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，∴以A為原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，AP所在直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則A(0，0，0)，C(1，，0)，D(0，，0)，P(0，0，1)，E，＝，＝(1，，0)，設(shè)平面ACE的法向量n＝(x，y，z)，則取y＝－，得n＝(3，－，3)．∴平面ACE的一個法向量為n＝(3，－，3)．求平面的法向量的步驟[跟進(jìn)訓(xùn)練]1．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，∠DAB＝60°，AB＝2AD＝2，PD⊥底面ABCD，且PD＝AD，求平面PAB的一個法向量．[解]　因為∠DAB＝60°，AB＝2AD，由余弦定理得BD＝AD，從而BD2＋AD2＝AB2，故BD⊥AD，以D點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線DA，DB，DP為x，y，z軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz，則A(1，0，0)，B(0，，0)，P(0，0，1)．∴＝(－1，，0)，＝(0，，－1)，設(shè)平面PAB的法向量為n＝(x，y，z)，則即即因此可取n＝(，1，)．∴平面PAB的一個法向量為(，1，)． 類型2　利用法向量證明空間中的位置關(guān)系【例2】　如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F，M分別為棱BB1，CD，AA1的中點(diǎn)．證明：(1)C1M∥平面ADE；(2)平面ADE⊥平面A1D1F．利用空間向量證明線面平行和垂直問題的依據(jù)是什么？[提示]　因為直線的方向向量與平面的法向量可以確定直線和平面的位置關(guān)系，所以我們可以利用直線的方向向量與平面的法向量表示空間線面、面面間的平行和垂直關(guān)系．(1)設(shè)v是直線l的一個方向向量，n是平面α的一個法向量，則：①n∥v?l⊥α；②n⊥v?l∥α，或l?α．(2)設(shè)n1是平面α1的一個法向量，n2是平面α2的一個法向量，則：①n1⊥n2?α1⊥α2；②n1∥n2?α1∥α2，或α1與α2重合．[證明]　(1)以D為原點(diǎn)，向量，，的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系如圖，設(shè)正方體的棱長為1．則D(0，0，0)，A(1，0，0)，E，C1(0，1，1)，M，＝(1，0，0)，＝，＝．設(shè)平面ADE的一個法向量為m＝(a，b，c)，則即令c＝2，得m＝(0，－1，2)，∵m·＝(0，－1，2)·＝0＋1－1＝0，∴⊥m．又C1M?平面ADE，∴C1M∥平面ADE．(2)由D1(0，0，1)，A1(1，0，1)，F，得＝(1，0，0)，＝，設(shè)平面A1D1F的一個法向量為n＝(x，y，z)，則即令y＝2，則n＝(0，2，1)．∵m·n＝(0，－1，2)·(0，2，1)＝0－2＋2＝0，∴m⊥n．∴平面ADE⊥平面A1D1F．1．(變結(jié)論)本例條件不變，試求直線D1E的一個方向向量和平面EFM的一個法向量．[解]　如本例建系定坐標(biāo)，D1(0，0，1)，E，M，所以＝，即直線D1E的一個方向向量．設(shè)平面EFM的法向量為n＝(x，y，z)，因為F，所以＝，＝(0，－1，0)，由即所以令x＝1，則z＝－2．所以平面EFM的一個法向量為(1，0，－2)．2．(變條件，變結(jié)論)在本例中設(shè)D1B1的中點(diǎn)為N，其他條件不變．試證：EN⊥平面B1AC．[證明]　如本例解析，E，N，A(1，0，0)，B1(1，1，1)，C(0，1，0)．∴＝，＝(0，1，1)，＝(－1，1，0)，∴·＝0，·＝0，∴⊥，⊥，即EN⊥AB1，EN⊥AC．又AB1∩AC＝A，∴EN⊥平面B1AC．利用向量法證明空間中的位置關(guān)系，關(guān)鍵是建立坐標(biāo)系，用坐標(biāo)向量，證法的核心是利用向量的數(shù)量積或數(shù)乘運(yùn)算.提醒：解這類問題時要利用好向量垂直和平行的坐標(biāo)表示.[跟進(jìn)訓(xùn)練]2．如圖，四邊形ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝PD＝1．證明：(1)PQ⊥平面DCQ；(2)PC∥平面BAQ．[證明]　如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DP，DC所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz．(1)依題意有Q(1，1，0)，C(0，0，1)，P(0，2，0)，則＝(1，1，0)，＝(0，0，1)，＝(1，－1，0)，所以·＝0，·＝0，即PQ⊥DQ，PQ⊥DC且DQ∩DC＝D，故PQ⊥平面DCQ．(2)根據(jù)題意得，＝(1，0，0)，＝(0，0，1)，＝(0，1，0)，故有·＝0，·＝0，所以為平面BAQ的一個法向量．又因為＝(0，－2，1)，且·＝0，即DA⊥PC，且PC?平面BAQ，故有PC∥平面BAQ． 類型3　三垂線定理及其逆定理的應(yīng)用【例3】　如圖，已知在正方體ABCD-A1B1C1D1中，連接BD1，AC，CB1，B1A，求證：BD1⊥平面AB1C．[證明]　連接BD，A1B，∵四邊形ABCD是正方形，∴AC⊥BD．又DD1⊥平面ABCD，∴BD是斜線BD1在平面ABCD上的射影，∴BD1⊥AC，而A1B是BD1在平面ABB1A1內(nèi)的射影，∴BD1⊥AB1．又AB1∩AC＝A，∴BD1⊥平面AB1C．利用三垂線定理證明線線垂直的關(guān)鍵點(diǎn)與注意點(diǎn)(1)關(guān)鍵點(diǎn)：找到平面的一條垂線，有了垂線，才能作出斜線的射影．(2)注意點(diǎn)：要注意定理中的“平面內(nèi)的一條直線”這一條件，忽視這一條件，就會產(chǎn)生錯誤結(jié)果．[跟進(jìn)訓(xùn)練]3．在四面體PABC中，PA⊥BC，PB⊥AC，求證：PC⊥AB．[證明]　如圖，過P作PH⊥平面ABC，連接AH并延長交BC于E，連接BH并延長交AC于F，PH⊥平面ABC，PA⊥BC，而PA在平面ABC內(nèi)的射影為AH，由三垂線定理的逆定理知BC⊥AH，同理可證BF⊥AC．則H為△ABC的垂心，連CH并延長交AB于G，于是CG⊥AB，而CH是PC在平面ABC內(nèi)的射影，故PC⊥AB．1．若直線l的方向向量a＝(1，2，－1)，平面α的一個法向量m＝(－2，－4，k)，若l⊥α，則實數(shù)k＝(　　)A．2　　　　B．－10　　　　C．－2　　　　D．10A　[∵直線l的方向向量a＝(1，2，－1)，平面α的法向量m＝(－2，－4，k)，l⊥α，∴a∥m，∴＝＝，解得k＝2．]2．已知平面α的一個法向量為a＝(1，2，－2)，平面β的一個法向量為b＝(－2，－4，k)，若α⊥β，則k＝(　　)A．4　　B．－4　　C．5　　D．－5D　[∵α⊥β，∴a⊥b，∴a·b＝1×(－2)＋2×(－4)＋(－2)·k＝0，∴k＝－5．]3．若兩個向量＝(1，2，3)，＝(3，2，1)，則平面ABC的一個法向量為(　　)A．(－1，2，－1) B．(1，2，1)C．(1，2，－1) D．(－1，2，1)A　[設(shè)平面ABC的一個法向量n＝(x，y，z)，則取x＝－1，得平面ABC的一個法向量為(－1，2，－1)．]4．已知直線l與平面α垂直，直線l的一個方向向量u＝(1，－3，z)，向量v＝(3，－2，1)與平面α平行，則z＝________．－9　[由題意知u⊥v，∴u·v＝3＋6＋z＝0．∴z＝－9．]5．設(shè)平面α的一個法向量的坐標(biāo)為(1，2，－2)，平面β的一個法向量的坐標(biāo)為(－2，－4，k)，若α∥β，則k等于________．4　[∵α∥β，∴兩平面的法向量平行，∴＝＝，∴k＝4．]回顧本節(jié)知識，自我完成以下問題．1．平面的法向量有何特點(diǎn)？[提示]　設(shè)向量n是平面α的一個法向量．則(1)n是一個非零向量．(2)向量n與平面α垂直．(3)平面α的法向量有無數(shù)多個，它們都與向量n平行，方向相同或相反．(4)給定空間中任意一點(diǎn)A和非零向量n，可確定唯一一個過點(diǎn)A且垂直于向量n的平面．2．用向量法證明空間線面平行和垂直問題有何優(yōu)勢？[提示]　利用向量法來解決有關(guān)直線與平面、平面與平面的關(guān)系問題，不必考察圖形的位置關(guān)系，只需通過向量運(yùn)算，就可得到證明的結(jié)果．3．利用三垂線定理證明線線垂直的步驟是什么？[提示]　(1)找平面(基準(zhǔn)面)及平面的垂線．(2)找射影線(平面上的直線與斜線)．(3)證明射影線與直線垂直，從而得線線垂直，更進(jìn)一步證明線面垂直或面面垂直．