1.理解平面的法向量的定義并能在空間直角坐標(biāo)系中正確地求出某一平面的法向量;2.能用向量語言表達(dá)線面、面面的垂直、平行關(guān)系;3.理解三垂線定理及其逆定理.
基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識全過關(guān)
重難探究·能力素養(yǎng)全提升
成果驗(yàn)收·課堂達(dá)標(biāo)檢測
平面的位置關(guān)系問題一般借助平面的法向量處理
(1)如果α是空間中的一個(gè)平面,n是空間中的一個(gè)非零向量,且表示n的有向線段所在的直線與平面α　　　　,則稱n為平面α的一個(gè)法向量.此時(shí),也稱n與平面α垂直,記作　　　　.?(2)平面的法向量的求法在空間直角坐標(biāo)系下,求平面的法向量的一般步驟:①設(shè)平面的法向量為n=(x,y,z);②找出(求出)平面內(nèi)的兩個(gè)不共線的向量a=(a1,b1,c1),b=(a2,b2,c2);
④解方程組,取其中的一組解,即得平面的一個(gè)法向量.名師點(diǎn)睛如果n是平面α的法向量,則對于任意實(shí)數(shù)λ≠0,向量λn也是平面α的法向量.
過關(guān)自診1.[人教A版教材習(xí)題]判斷正誤.(正確的畫√,錯(cuò)誤的畫×)(1)零向量不能作為直線的方向向量和平面的法向量.(　　)(2)在空間直角坐標(biāo)系中,j=(0,0,1)是坐標(biāo)平面Oxy的一個(gè)法向量.(　　)2.若n=(2,-3,1)是平面α的一個(gè)法向量,則下列向量中能作為平面α的法向量的是(　　)A.(0,-3,1)B.(2,0,1)C.(-2,-3,1) D.(-2,3,-1)
用空間向量處理線面(面面)平行或垂直關(guān)系
(1)如果v是直線l的一個(gè)方向向量,n是平面α的一個(gè)法向量,則當(dāng)________　　　　　時(shí),l與α垂直;當(dāng)n⊥v時(shí),　 .?(2)如果n1是平面α1的一個(gè)法向量,n2是平面α2的一個(gè)法向量,則當(dāng)________　　　　　時(shí),α1與α2垂直;當(dāng)n1∥n2時(shí),α1與α2平行,或者α1與α2重合.
l與α平行,或者l在α內(nèi)
名師點(diǎn)睛解答這類問題的關(guān)鍵:一是要清楚直線的方向向量,平面的法向量和直線、平面的位置關(guān)系之間的內(nèi)在聯(lián)系;二是熟練掌握判斷向量共線、垂直的方法.在把向量問題轉(zhuǎn)化為幾何問題時(shí),要注意兩者的區(qū)別,直線的方向向量和平面平行,則直線可能在平面內(nèi),也可能與平面平行.
過關(guān)自診1.判斷正誤.(正確的畫√,錯(cuò)誤的畫×)(1)若平面外的一條直線的方向向量與平面的法向量垂直,則該直線與平面平行.(　　)(2)直線的方向向量與平面的法向量的方向相同或相反時(shí),直線與平面垂直.(　　)(3)兩個(gè)平面的法向量平行,則這兩個(gè)平面平行或重合;兩個(gè)平面的法向量垂直,則這兩個(gè)平面垂直.(　　)
2.設(shè)直線l的一個(gè)方向向量d=(6,2,3),平面α的一個(gè)法向量n=(-1,3,0),則直線l與平面α的位置關(guān)系是(　　)A.垂直B.平行C.直線l在平面α內(nèi)D.平行或直線l在平面α內(nèi)
三垂線定理及三垂線定理的逆定理
這兩個(gè)定理即為線面垂直判定與性質(zhì)的引申
三垂線定理:如果　　　　的一條直線與平面的一條斜線在該平面內(nèi)的　　　　垂直,則它也和這條　　　　垂直.?三垂線定理的逆定理:如果平面內(nèi)的一條直線和這個(gè)平面的一條斜線垂直,則它也和這條　　　　在該平面內(nèi)的　　　　垂直.?
過關(guān)自診在平面α內(nèi)和這個(gè)平面的斜線l垂直的直線(　　)A.只有一條B.可能一條也沒有C.可能有一條也可能有兩條D.有無數(shù)多條
探究點(diǎn)一　求平面的法向量
【例1】如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為矩形,PA⊥平面ABCD,E為PD的中點(diǎn).AB=AP=1,AD= ,試建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系,求平面ACE的一個(gè)法向量.
解 因?yàn)镻A⊥平面ABCD,底面ABCD為矩形,所以AB,AD,AP兩兩垂直.
變式探究本例條件不變,試求直線PC的一個(gè)方向向量和平面PCD的一個(gè)法向量.
規(guī)律方法　求平面的法向量的注意事項(xiàng)(1)選向量:在選取平面內(nèi)的向量時(shí),要選取不共線的兩個(gè)向量.(2)取特值:在求n的坐標(biāo)時(shí),可令x,y,z中一個(gè)為特殊值得另兩個(gè)值,得到平面的一個(gè)法向量.(3)注意0:提前假定法向量n=(x,y,z)的某個(gè)坐標(biāo)為某特定值時(shí)一定要注意這個(gè)坐標(biāo)不為0.
變式訓(xùn)練1[北師大版教材例題]已知點(diǎn)A(0,1,1),B(1,2,1),C(2,1,3),求平面ABC的一個(gè)法向量的坐標(biāo).
不妨取x=1,得y=z=-1,所以平面ABC的一個(gè)法向量的坐標(biāo)為(1,-1,-1).
探究點(diǎn)二　有關(guān)空間向量的證明問題
角度1.利用空間向量證明平行問題【例2】 已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2,E,F分別是BB1,DD1的中點(diǎn),求證:(1)FC1∥平面ADE;(2)平面ADE∥平面B1C1F.
令z2=2,得y2=-1,所以n2=(0,-1,2).因?yàn)閚1=n2,即n1∥n2,所以平面ADE∥平面B1C1F.
規(guī)律方法　證明線面、面面平行問題的方法(1)用向量法證明線面平行:①證明直線的方向向量與平面內(nèi)的某一向量是共線向量且直線不在平面內(nèi);②證明直線的方向向量可以用平面內(nèi)兩個(gè)不共線向量表示且直線不在平面內(nèi);③證明直線的方向向量與平面的法向量垂直且直線不在平面內(nèi),如例2(1)中,FC1?平面ADE一定不能漏掉.(2)利用空間向量證明面面平行,通常是證明兩平面的法向量平行.當(dāng)然要注意當(dāng)法向量坐標(biāo)中有0時(shí),要使用n1=λn2這一形式.
變式訓(xùn)練2[人教A版教材例題]如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中, AB=4,BC=3,CC1=2.線段B1C上是否存在點(diǎn)P,使得A1P∥平面ACD1?
解 以D為原點(diǎn),DA,DC,DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.因?yàn)锳,C,D1的坐標(biāo)分別為(3,0,0),(0,4,0),(0,0,2),
取z=6,則x=4,y=3,所以n=(4,3,6)是平面ACD1的一個(gè)法向量.
角度2.證明線面垂直問題【例3】 如圖所示,正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長都為2,D為CC1的中點(diǎn).求證:AB1⊥平面A1BD.
證明 如圖所示,取BC的中點(diǎn)O,連接AO.因?yàn)椤鰽BC為正三角形,所以AO⊥BC.因?yàn)樵谡庵鵄BC-A1B1C1中,平面ABC⊥平面BCC1B1,且平面ABC∩平面BCC1B1=BC,AO?平面ABC,所以AO⊥平面BCC1B1.取B1C1的中點(diǎn)O1,以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),OB,OO1,OA所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz,
又因?yàn)锽A1∩BD=B,BA1,BD?平面A1BD,所以AB1⊥平面A1BD.
變式探究本例中增加條件,E,F分別是BC,BB1的中點(diǎn),求證:EF⊥平面ADE.
證明 建系同例3:點(diǎn)E與點(diǎn)O重合.
即EF⊥EA,EF⊥ED.又EA∩ED=E,EA,ED?平面ADE,∴EF⊥平面ADE.
規(guī)律方法　1.用坐標(biāo)法證明線面垂直的常用方法
2.對于容易建系的幾何載體要盡量用坐標(biāo)法處理有關(guān)垂直問題,如果只用基向量法解決涉及的線性運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算比較復(fù)雜.而建系后只需一切交給坐標(biāo)即可.
變式訓(xùn)練3如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是BB1,D1B1的中點(diǎn).求證:EF⊥平面B1AC.
證明 (方法一)設(shè)正方體的棱長為2,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則A(2,0,0),C(0,2,0),B1(2,2,2),E(2,2,1),F(1,1,2),
又AB1∩AC=A,AB1,AC?平面B1AC,∴EF⊥平面B1AC.
同理,EF⊥B1C.又AB1∩B1C=B1,AB1,B1C?平面B1AC,∴EF⊥平面B1AC.
角度3.證明面面垂直問題【例4】如圖,在四棱錐E-ABCD中,AB⊥平面BCE,CD⊥平面BCE, AB=BC=CE=2CD=2,∠BCE=120°.求證:平面ADE⊥平面ABE.
證明 取BE的中點(diǎn)O,連接OC,易知OC⊥BE.又AB⊥平面BCE,所以以O(shè)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz(如圖所示),則
又AB⊥平面BCE,OC?平面BCE,所以AB⊥OC.因?yàn)锽E⊥OC,AB∩BE=B,AB,BE?平面ABE,所以O(shè)C⊥平面ABE,
規(guī)律方法　證明面面垂直的兩種方法(1)常規(guī)法:利用面面垂直的判定定理轉(zhuǎn)化為線面垂直、線線垂直去證明.(2)向量法:證明兩個(gè)平面的法向量互相垂直.本例就是用的向量法,關(guān)鍵是明確兩個(gè)平面的法向量.
變式訓(xùn)練4[人教A版教材習(xí)題]如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中, AB=2,BC=CC1=1,E是CD的中點(diǎn),F是BC的中點(diǎn).求證:平面EAD1⊥平面EFD1.
取x1=1,則y1=1,z1=1,∴n1=(1,1,1)是平面EAD1的一個(gè)法向量.
取x2=2,則y2=-1,z2=-1,∴n2=(2,-1,-1)是平面EFD1的一個(gè)法向量.又n1·n2=1×2+1×(-1)+1×(-1)=0,∴n1⊥n2,∴平面EAD1⊥平面EFD1.
探究點(diǎn)三　三垂線定理及其逆定理
【例5】如圖所示,已知四棱錐P-ABCD的底面是直角梯形, ∠ABC=∠BCD=90°,AB=BC=PB=PC=2CD,側(cè)面PBC⊥底面ABCD.求證:PA⊥BD.
證明 如圖,取BC的中點(diǎn)O,連接AO,交BD于點(diǎn)E,連接PO.因?yàn)镻B=PC,所以PO⊥BC.又平面PBC⊥平面ABCD,平面PBC∩平面ABCD=BC,PO?平面PBC,所以PO⊥平面ABCD,所以AP在平面ABCD內(nèi)的射影為AO.在直角梯形ABCD中,AB=BC=2CD,易知Rt△ABO≌Rt△BCD,所以∠BEO=∠OAB+∠DBA=∠DBC+∠DBA=90°,即AO⊥BD.由三垂線定理,得PA⊥BD.
規(guī)律方法　1.三垂線定理及其逆定理用于判定空間直線互相垂直時(shí)的注意事項(xiàng)(1)從條件上看,三垂線定理的條件是“和射影垂直”;其逆定理的條件是“和斜線垂直”.(2)從功能上看,三垂線定理用于解決已知共面垂直,證明異面垂直的問題;逆定理正好相反.解決垂心問題需要兩次垂直的證明,都能用上定理和其逆定理的框架結(jié)構(gòu).2.三垂線定理及其逆定理應(yīng)用中的三個(gè)環(huán)節(jié)用三垂線定理及其逆定理證明線線垂直的關(guān)鍵在于構(gòu)造三垂線定理的基本圖形,創(chuàng)設(shè)應(yīng)用定理的環(huán)境.構(gòu)造三垂線定理基本圖形時(shí)要抓住下面三個(gè)環(huán)節(jié):(1)確定投影面;(2)作出垂線;(3)確定射影.
變式訓(xùn)練5如圖,BC是Rt△ABC的斜邊,過點(diǎn)A作△ABC所在平面α的垂線AP,連接PB,PC,過點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D,連接PD,那么圖中的直角三角形共有(　　)A.4個(gè)B.6個(gè)C.7個(gè)D.8個(gè)
解析 ∵AP⊥平面α,∴PD在平面α內(nèi)的射影為AD.∵AD⊥BC,由三垂線定理可得,PD⊥BC,∴△ABC,△ABD,△ACD,△PBD,△PCD,△PAB,△PAD,△PAC均為直角三角形,共8個(gè).故選D.
1.若直線l的方向向量為a=(1,0,2),平面α的法向量為n=(-2,0,-4),則(　　)A.l∥αB.l⊥αC.l?αD.l與α相交但不垂直
解析 ∵n=-2a,∴a∥n,即l⊥α.
2.[2023山東濰坊高二階段練習(xí)]過空間三點(diǎn)A(1,1,0),B(1,0,1),C(0,1,1)的平面的一個(gè)法向量是(　　)A.(1,1,1)B.(1,1,-1)C.(1,0,1)D.(-1,0,1)
令z=1,得平面的一個(gè)法向量是(1,1,1).故選A.
3.若平面α,β的法向量分別為a=(2,-1,0),b=(-1,-2,0),則α與β的位置關(guān)系是(　　)A.平行B.垂直C.相交但不垂直D.無法確定
解析 ∵a·b=-2+2+0=0,∴a⊥b,∴α⊥β.
4.如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是平面AB1,平面A1C1的中心.求證:EF∥平面ACD1.
證明 如圖,以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)正方體棱長為2,則A(2,0,0),C(0,2,0),D1(0,0,2),E(2,1,1),F(1,1,2),
又EF?平面ACD1,∴EF∥平面ACD1.
5.在四面體ABCD中,AB⊥平面BCD,BC=CD,∠BCD=90°,∠ADB=30°, E,F分別是AC,AD的中點(diǎn),求證:平面BEF⊥平面ABC.
證明 建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)AB=a,則
∵∠BCD=90°,∴CD⊥BC.又AB⊥平面BCD,∴AB⊥CD.又AB∩BC=B,AB,BC?平面ABC,∴CD⊥平面ABC,

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高中數(shù)學(xué)人教B版 (2019)選擇性必修 第一冊電子課本

1.2.2 空間中的平面與空間向量

版本： 人教B版 (2019)

年級： 選擇性必修 第一冊

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