數(shù)學(xué)選擇性必修 第一冊(cè)1.2.2 空間中的平面與空間向量同步測(cè)試題

這是一份數(shù)學(xué)選擇性必修 第一冊(cè)1.2.2 空間中的平面與空間向量同步測(cè)試題，共9頁。
1．2.2　空間中的平面與空間向量知識(shí)點(diǎn)一  平面的法向量1.已知平面α內(nèi)有一點(diǎn)A(2，－1,2)，α的一個(gè)法向量為n＝，則下列四個(gè)點(diǎn)中在平面α內(nèi)的是(　　)A．P1(1，－1,1)   B．P2C．P3   D．P4答案　B解析　對(duì)于A中的點(diǎn)P1(1，－1,1)，＝(1,0,1)，·n＝≠0，排除A.同理可排除C，D.對(duì)于B中的點(diǎn)P2，＝，∴·n＝0，故選B.2．已知＝(1,5，－2)，＝(3,1，z)，若⊥，＝(x－1，y，－3)，且⊥平面ABC，則等于(　　)A．(－，，－3)  B.(，－，－3)C.(，－，－3)  D.(，，－3)答案　B解析　由·＝0，得3＋5－2z＝0，∴z＝4.又⊥平面ABC，∴即解得故＝(，－，－3).故選B.3．過點(diǎn)A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)的平面的一個(gè)法向量為________．答案　(1,1,1)解析　設(shè)法向量n＝(x，y,1)，由得∴∴n＝(1,1,1)．知識(shí)點(diǎn)二  利用方向向量和法向量判斷線面位置關(guān)系4.給定下列命題：①若n1，n2分別是平面α，β的法向量，則n1∥n2?α∥β；②若n1，n2分別是平面α，β的法向量，則α∥β?n1·n2＝0；③若n是平面α的法向量，且向量a與平面α共面，則a·n＝0；④若兩個(gè)平面的法向量不垂直，則這兩個(gè)平面一定不垂直．其中正確命題的個(gè)數(shù)是(　　)A．1   B．2  C．3   D．4答案　B解析　①中平面α，β可能平行，也可能重合，②中α∥β?n1∥n2，故①②不正確．③④易知正確．故選B.5．設(shè)平面α與向量a＝(－1,2，－4)垂直，平面β與向量b＝(2,3,1)垂直，則平面α與β的位置關(guān)系是________．答案　垂直解析　∵a·b＝(－1,2，－4)·(2,3,1)＝－2＋6－4＝0，∴a⊥b，∵平面α與向量a＝(－1,2，－4)垂直，平面β與向量b＝(2,3,1)垂直，∴α⊥β，故答案為垂直．6．設(shè)u，v分別是平面α，β的法向量，根據(jù)下列條件判斷α，β的位置關(guān)系．(1)u＝(1，－1,2)，v＝(3,2，－)；(2)u＝(0,3,0)，v＝(0，－5,0)；(3)u＝(2，－3,4)，v＝(4，－2,1)．解　(1)∵u＝(1，－1,2)，v＝(3,2，－)，∴u·v＝3－2－1＝0.∴u⊥v，∴α⊥β.(2)∵u＝(0,3,0)，v＝(0，－5,0)，∴u＝－v，∴u∥v，∴平面α，β可能平行，也可能重合．(3)∵u＝(2，－3,4)，v＝(4，－2,1)，∴u與v既不共線，也不垂直，∴平面α與β相交(不垂直)．7．設(shè)u是平面α的法向量，a是直線l的方向向量，根據(jù)下列條件判斷α與l的關(guān)系．(1)u＝(2,2，－1)，a＝(－3,4,2)；(2)u＝(0,2，－3)，a＝(0，－8,12)；(3)u＝(4,1,5)，a＝(2，－1,0)．解　(1)∵u＝(2,2，－1)，a＝(－3,4,2)，∴u·a＝－6＋8－2＝0.∴u⊥a.∴直線l與平面α的位置關(guān)系是l?α或l∥α.(2)∵u＝(0,2，－3)，a＝(0，－8,12)，∴u＝－a.∴u∥a，∴l⊥α.(3)∵u＝(4,1,5)，a＝(2，－1,0)，∴u與a不共線也不垂直．∴l與α相交(斜交)．8．已知三棱錐P－ABC，D，E，F分別為棱PA，PB，PC的中點(diǎn)，求證：平面DEF∥平面ABC.證明　如圖．設(shè)＝a，＝b，＝c，則由條件知，＝2a，＝2b，＝2c.設(shè)平面DEF的一個(gè)法向量為n，則n·＝0，n·＝0.∴n·(b－a)＝0，n·(c－a)＝0.∴n·A＝n·(－)＝n·(2b－2a)＝0，n·＝n·(－)＝n·(2c－2a)＝0，∴n⊥，n⊥.∴n是平面ABC的法向量．∴平面DEF∥平面ABC.知識(shí)點(diǎn)三  三垂線定理及其逆定理9.如圖，BC是Rt△ABC的斜邊，過點(diǎn)A作△ABC所在平面α的垂線AP，連接PB，PC，過點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，連接PD，那么圖中的直角三角形共有(　　)A．4個(gè)   B．6個(gè)C．7個(gè)   D．8個(gè)答案　D解析　∵AP⊥平面α，∴PD在平面α內(nèi)的射影為AD，∵AD⊥BC，由三垂線定理可得，PD⊥BC，∴△ABC，△ABD，△ACD，△PBD，△PCD，△PAB，△PAD，△PAC均為直角三角形，共8個(gè)，故選D.10．已知三棱錐P－ABC的高為PH，若P到△ABC的三邊的距離相等，且點(diǎn)H在△ABC內(nèi)，則點(diǎn)H為△ABC的(　　)A．垂心   B．重心C．外心   D．內(nèi)心答案　D解析　由題意，作出符合題意的圖形，過點(diǎn)P分別作PE⊥AB于點(diǎn)E，PF⊥AC于點(diǎn)F，連接HE，HF，∵PH⊥平面ABC，∴PE在平面ABC內(nèi)的射影為HE，∵PE⊥AB，由三垂線定理的逆定理可得，HE⊥AB，同理可得HF⊥AC，∵PE＝PF，∴HE＝HF，即點(diǎn)H到AB，AC的距離相等，同理可證，點(diǎn)H到△ABC三邊的距離都相等，∴點(diǎn)H是△ABC的內(nèi)心，故選D.  一、選擇題1．設(shè)A是空間一定點(diǎn)，n為空間內(nèi)任一非零向量，滿足條件A·n＝0的點(diǎn)M構(gòu)成的圖形是(　　)A．圓   B．直線  C．平面   D．線段答案　C解析　∵A·n＝0，∴A⊥n或A＝0，∴點(diǎn)M在過點(diǎn)A且以n為法向量的平面上，故選C.2．若直線l的方向向量為a＝，平面β的法向量為b＝(－1,0，－2)，則(　　)A．l∥β   B．l⊥βC．l?β   D．l與β斜交答案　B解析　∵b＝(－1,0，－2)＝－2＝－2a.∴a與b共線，又b是β的法向量，∴l⊥β.故選B.3．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，若E為A1C1的中點(diǎn)，則直線CE垂直于(　　)A．AC   B．BD  C．A1D   D．A1A答案　B解析　直線CE在平面ABCD內(nèi)的射影在AC上，∵BD⊥AC，∴由三垂線定理，得BD⊥CE，故選B.4．若平面α，β的法向量分別為(－1,2,4)，(x，－1，－2)，并且α⊥β，則x的值為(　　)A．10   B．－10  C.   D．－答案　B解析　∵α⊥β，∴它們的法向量也垂直，即(－1,2,4)·(x，－1，－2)＝0.∴－x－2－8＝0.∴x＝－10.5.(多選)如圖，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，ED⊥平面ABCD，FB⊥平面ABCD，且ED＝FB＝1，G為線段EC上的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的是(　　)A．EC⊥AFB．該幾何體外接球的表面積為3πC．若G為EC的中點(diǎn)，則GB∥平面AEFD．AG2＋BG2的最小值為3答案　ABC解析　如圖所示，幾何體可補(bǔ)形為正方體，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，的方向分別為x軸、y軸、z軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系．A中，由正方體的性質(zhì)易得EC⊥AF；B中，該幾何體的外接球與正方體的外接球相同，外接球半徑為，故外接球表面積為3π；C中，A(1,0,0)，E(0,0,1)，F(1,1,1)，B(1，1,0)，C(0,1,0)，則＝(－1，0,1)，＝(0,1,1)．設(shè)平面AEF的一個(gè)法向量為n＝(x，y，z)．由得令z＝1，得x＝1，y＝－1，則n＝(1，－1,1)．當(dāng)G為EC的中點(diǎn)時(shí)，G，則＝，所以·n＝0，又GB?平面AEF，所以GB∥平面AEF；D中，設(shè)G(0，t，1－t)(0≤t≤1)，則AG2＋BG2＝4t2－6t＋5＝42＋，故當(dāng)t＝時(shí)，AG2＋BG2取最小值.故選ABC.二、填空題6．已知平面α的一個(gè)法向量u＝(－2，x,1)，平面β的一個(gè)法向量v＝(1，－2，y)，若α∥β，則x＋y＝________.答案　解析　因?yàn)?/span>α∥β，所以u∥v，所以＝＝，解得x＝4，y＝－，所以x＋y＝.7．已知平面α經(jīng)過點(diǎn)A(0,0,2)，且平面α的一個(gè)法向量為n＝(1，－1，－1)，則x軸與平面α的交點(diǎn)坐標(biāo)是______．答案　(－2,0,0)解析　設(shè)交點(diǎn)為M(x,0,0)，則＝(x,0，－2)，平面α的一個(gè)法向量n＝(1，－1，－1)，則n·＝0，解得x＝－2，故x軸與平面α的交點(diǎn)坐標(biāo)是(－2,0,0)．8．如圖所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面是以∠ABC為直角的等腰三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中點(diǎn)，點(diǎn)E在棱AA1上，要使CE⊥平面B1DE，則AE＝________.答案　a或2a解析　建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)B1(0,0,3a)，C(0，a,0)，D(a，a,3a).設(shè)E(a,0，z)(0≤z≤3a)，則＝(a，－a，z)，＝(a，0，z－3a)，＝(a，a，0).又·＝a2－a2＋0＝0，C·＝2a2＋z2－3az＝0，解得z＝a或2a.故AE＝a或2a.三、解答題9．如圖所示，正三棱柱(底面為正三角形的直三棱柱)ABC－A1B1C1的所有棱長(zhǎng)都為2，D為CC1的中點(diǎn)．求證：AB1⊥平面A1BD.證明　如圖所示，取BC的中點(diǎn)O，連接AO.因?yàn)?/span>△ABC為正三角形，所以AO⊥BC.因?yàn)樵谡庵?/span>ABC－A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，所以AO⊥平面BCC1B1.取B1C1的中點(diǎn)O1，以O為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則B(1,0,0)，D(－1,1,0)，A1(0,2，)，A(0,0，)，B1(1,2,0)，＝(－1,2，)，＝(－2,1,0)．設(shè)平面A1BD的一個(gè)法向量為n＝(x，y，z)，因?yàn)?/span>n⊥，n⊥，故?令x＝1，則y＝2，z＝－，故n＝(1,2，－)為平面A1BD的一個(gè)法向量，而＝(1,2，－)，所以＝n，所以∥n，故AB1⊥平面A1BD.10.如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別是C1C，B1C1的中點(diǎn)．求證：MN∥平面A1BD.證明　證法一：如圖所示，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，的方向分別為x軸、y軸、z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，則M(0,1，)，N(，1,1)，D(0,0,0)，A1(1，0,1)，B(1，1,0)，于是＝(，0，)，＝(1,0,1)，＝(1,1,0)．設(shè)平面A1BD的一個(gè)法向量是n＝(x，y，z)，則n·＝0，且n·＝0，得取x＝1，得y＝－1，z＝－1，所以n＝(1，－1，－1)．又·n＝(，0，)·(1，－1，－1)＝0，所以⊥n.又MN?平面A1BD，所以MN∥平面A1BD.證法二：因?yàn)?/span>＝－＝－＝(－)＝，所以∥.而MN?平面A1BD，DA1?平面A1BD，所以MN∥平面A1BD.