第2章　特殊三角形2.8　直角三角形全等的判定基礎(chǔ)過關(guān)全練知識(shí)點(diǎn)1　用“HL”判定直角三角形全等1.(2023浙江杭州翠苑中學(xué)期中)如圖,BE=CF,AE⊥BC,DF⊥BC,要根據(jù)“HL”證明Rt△ABE≌Rt△DCF,則還要添加條件(　　)A.∠A=∠D　　　　B.∠B=∠CC.AE=BF　　　　  D.AB=DC2.(2023浙江杭州綠城育華學(xué)校期中)如圖,△ABC中,∠C=90°,點(diǎn)D在BC上,且DE⊥AB于點(diǎn)E,AE=AC,若BC=4,DE=1.5,則BD=　　　　.3.【教材變式·P82作業(yè)題T2】如圖所示,點(diǎn)M、A、N在同一條直線上,△ABC為等腰三角形,AB=AC,BM⊥MN,CN⊥MN,垂足分別為M,N,且BM=AN,則MN與BM,CN之間的數(shù)量關(guān)系為　　　　　　　　 .4.(2022浙江杭州英特外國語學(xué)校期中)如圖,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC,AD平分∠CAB交BC于D,DE⊥AB于E,且AB=8 cm,則△BED的周長(zhǎng)是　　　　.知識(shí)點(diǎn)2　角平分線性質(zhì)定理的逆定理5.小明在學(xué)習(xí)了全等三角形的知識(shí)后,發(fā)現(xiàn)只用兩把完全相同的直尺就可以作出一個(gè)角的平分線.如圖,一把直尺的一邊與射線OB重疊,另一把直尺的一邊與射線OA重疊并且與第一把直尺交于點(diǎn)P,小明說:“射線OP就是∠BOA的平分線.”他這樣做的依據(jù)是(　　)                     A.角的內(nèi)部,到角兩邊距離相等的點(diǎn),在這個(gè)角的平分線上B.角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角兩邊的距離相等C.三角形三條角平分線的交點(diǎn)到三條邊的距離相等D.以上均不正確6.【新獨(dú)家原創(chuàng)】如圖,在△ABC中,BC=6,CD是AB邊上的高,點(diǎn)E是CD上一點(diǎn),已知DE=3,S△BEC=9,經(jīng)測(cè)量∠DCB的度數(shù)為28°,則∠DBE的度數(shù)為(　　)A.29°　　　　B.31°　　　　C.32°　　　　D.34°    能力提升全練7.(2023浙江嘉興桐鄉(xiāng)六中教育集團(tuán)三校聯(lián)考,7,★★☆)如圖,在△ABC中,AD⊥BC于點(diǎn)D,E為AC上一點(diǎn),連結(jié)BE交AD于點(diǎn)F,若BF=AC,DF=DC,則∠1與∠2的和為(　　) A.35°　　　　B.40°　　　　C.45°　　　　D.50°8.【一題多變】(2022山東泰安中考,9,★★☆)如圖,△ABC的外角∠ACD的平分線CP與內(nèi)角∠ABC的平分線BP交于點(diǎn)P,連結(jié)AP,若∠BPC=40°,則∠CAP=(　　)A.40°　　　　B.45°　　　　C.50°　　　　D.60°[變式]　如圖,△ABC的內(nèi)角∠ABC和外角∠EAC的平分線分別為BP,AP,且相交于點(diǎn)P,延長(zhǎng)BA,BC,PM⊥BE,PN⊥BF,垂足分別為M,N,連結(jié)CP,則下列結(jié)論中正確的是　　　　.(填序號(hào)) ①CP平分∠ACF;②∠ABC+2∠APC=180°;③∠ACB=2∠APB;④S△PAC=S△APM+S△CPN.9.【構(gòu)造全等三角形】(2023浙江寧波余姚子陵中學(xué)期中改編,15,★★☆)如圖,在△ABC中,高AE交BC于點(diǎn)E,若∠ABE+∠C=45°,CE=8,△ABC的面積為20,則AB的長(zhǎng)為　　　　.10.(2023江蘇揚(yáng)州寶應(yīng)實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué)月考,27,★★☆)如圖,△ABC的外角∠DAC的平分線交BC邊的垂直平分線于P點(diǎn),PD⊥AB于D,PE⊥AC于E.(1)求證:BD=CE;(2)若AB=6 cm,AC=10 cm,求AD的長(zhǎng).                                                11.【一題多解】(2023浙江杭州安吉路實(shí)驗(yàn)學(xué)校期中,21,★★☆)在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,D是AC邊上一點(diǎn),連結(jié)BD,EC⊥AC,且AE=BD,AE與BC交于點(diǎn)F.(1)求證:CE=AD;(2)當(dāng)AD=CF時(shí),求證:BD平分∠ABC.                                        素養(yǎng)探究全練12.【推理能力】(2023浙江杭州中學(xué)期中)如圖,在△ABC中,BD、CE分別是邊AC、AB上的高.(1)如果BD=CE,那么△ABC是等腰三角形,請(qǐng)說明理由;(2)取F為BC中點(diǎn),連結(jié)DE、DF、EF,得到△DEF,G是ED中點(diǎn),連結(jié)FG,求證:FG⊥DE;(3)在(2)的條件下,如果∠A=60°,BC=16,求FG的長(zhǎng)度.
答案全解全析基礎(chǔ)過關(guān)全練1.D　添加AB=DC.∵AE⊥BC,DF⊥BC,∴∠CFD=∠AEB=90°,在Rt△ABE和Rt△DCF中,∴Rt△ABE≌Rt△DCF(HL).故選D.2.答案　2.5解析　∵DE⊥AB,∴∠AED=∠C=90°,∵AD=AD,AE=AC,∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL),∴DC=DE=1.5,∴BD=BC-CD=4-1.5=2.5.3.答案　MN=BM+CN解析　∵BM⊥MN,CN⊥MN,∴∠AMB=∠CNA=90°,∵AB=AC,BM=AN,∴Rt△ABM≌Rt△CAN,∴AM=CN.∵MN=AN+AM,∴MN=BM+CN.4.答案　8 cm解析　∵∠C=90°,AD平分∠CAB,DE⊥AB,∴CD=DE,在Rt△ACD和Rt△AED中,∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL),∴AC=AE,∴△BED的周長(zhǎng)=DE+BD+BE=CD+BD+BE=BC+BE=AC+BE=AE+BE=AB=8 cm.5.A　根據(jù)題意可知,點(diǎn)P到射線OB的距離是直尺的寬度,點(diǎn)P到射線OA的距離也是直尺的寬度,∴點(diǎn)P到射線OB、OA的距離相等,∴點(diǎn)P在∠BOA的平分線上(角的內(nèi)部,到角兩邊距離相等的點(diǎn),在這個(gè)角的平分線上),∴射線OP就是∠BOA的平分線.故選A.6.B　過點(diǎn)E作EF⊥BC于點(diǎn)F(圖略),∵S△BEC=BC·EF=9,BC=6,∴EF=3,∵DE=3,∴DE=EF,∵CD是AB邊上的高,∴∠BDC=90°,∴∠DBC=90°-∠DCB=90°-28°=62°,∵DE=EF,EF⊥BC,∠BDC=90°,∴BE平分∠ABC,∴∠DBE=∠DBC=31°.故選B.能力提升全練7.C　∵AD⊥BC于點(diǎn)D,∴∠BDF=∠ADC=90°,在Rt△BDF和Rt△ADC中,∴Rt△BDF≌Rt△ADC(HL),∴∠DBF=∠2,BD=AD,∴∠DBA=∠DAB=45°,∴∠1+∠2=∠1+∠DBF=∠DBA=45°,∴∠1與∠2的和為45°.故選C.8.C　延長(zhǎng)BA,過P作PN⊥BD,PF⊥BA,PM⊥AC,垂足分別為N,F,M,                     設(shè)∠PCD=x°,∵CP平分∠ACD,∴∠ACP=∠PCD=x°,PM=PN,∵BP平分∠ABC,∴∠ABP=∠PBC,PF=PN,∴PF=PM,∵∠BPC=40°,∴∠ABP=∠PBC=∠PCD-∠BPC=(x-40)°,∴∠BAC=∠ACD-∠ABC=2x°-2(x-40)°=80°,∴∠CAF=100°,在Rt△PFA和Rt△PMA中,∴Rt△PFA≌Rt△PMA(HL),∴∠FAP=∠PAC=50°.故選C.[變式]　答案　①②③④解析　①過點(diǎn)P作PD⊥AC于D,∵BP平分∠ABC,AP平分∠EAC,PM⊥BE,PN⊥BF,PD⊥AC,∴PM=PN,PM=PD,∴PM=PN=PD,∴CP平分∠ACF,故①正確;②∵PM⊥BE,PN⊥BF,∴∠ABC+90°+∠MPN+90°=360°,∴∠ABC+∠MPN=180°,在Rt△PAM和Rt△PAD中,∴Rt△PAM≌Rt△PAD(HL),∴∠APM=∠APD,同理Rt△PCD≌Rt△PCN(HL),∴∠CPD=∠CPN,∴∠MPN=2∠APC,∴∠ABC+2∠APC=180°,故②正確;③∵AP平分∠CAE,BP平分∠ABC,∴∠CAE=∠ABC+∠ACB=2∠PAM,∠PAM=∠ABC+∠APB,∴∠ACB=2∠APB,故③正確;④由②可知Rt△PAM≌Rt△PAD,Rt△PCD≌Rt△PCN,∴S△APD=S△APM,S△CPD=S△CPN,∴S△APM+S△CPN=S△PAC,故④正確,故答案為①②③④.9.答案　5解析　如圖,以AC為邊,點(diǎn)C為頂點(diǎn)作∠ACD=∠ACB,延長(zhǎng)BA與CD交于點(diǎn)D,則∠BCD=2∠ACB,                     ∵∠ABE+∠ACB=45°,∴∠ABE+2∠ACB=90°,即∠ABE+∠BCD=90°,∴∠D=90°,∵AE⊥BC,AD⊥DC,CA平分∠BCD,∴AE=AD,在Rt△AEC和Rt△ADC中,∴Rt△AEC≌Rt△ADC(HL),∴CD=CE=8,∵S△ABC=AB·CD=AB×8=20,∴AB=5.10.解析　(1)證明:如圖,連結(jié)BP、CP,∵點(diǎn)P在BC的垂直平分線上,∴BP=CP,∵AP是∠DAC的平分線,PD⊥AB,PE⊥AC,∴DP=EP,在Rt△BDP和Rt△CEP中,∴Rt△BDP≌Rt△CEP(HL),∴BD=CE.(2)在Rt△ADP和Rt△AEP中,∴Rt△ADP≌Rt△AEP(HL),∴AD=AE,∵AB=6 cm,AC=10 cm,BD=CE,∴6+AD=10-AE,即6+AD=10-AD,∴AD=2 cm.11.證明　(1)∵EC⊥AC,∠BAC=90°,∴∠ACE=∠BAC=90°,在Rt△AEC和Rt△BDA中,∴Rt△AEC≌Rt△BDA(HL),∴CE=AD.(2)證法一:設(shè)AE與BD交于點(diǎn)G(圖略),由(1)可得Rt△AEC≌Rt△BDA,∴∠EAC=∠ABD,∠E=∠ADB,由(1)得,CE=AD,∵AD=CF,∴CE=CF,∴∠CFE=∠E,∵∠CFE=∠AFB,∴∠AFB=∠E,∵∠E=∠ADB,∴∠AFB=∠ADB,∵∠AGB=∠EAC+∠ADB,∠AGB=∠DBC+∠AFB,∴∠EAC=∠DBC,∵∠EAC=∠ABD,∴∠ABD=∠DBC,∴BD平分∠ABC.證法二:∵∠BAC=90°,AB=AC,∴∠ABC=∠ACB=45°,∵EC⊥AC,∴∠ACE=90°,∴∠FCE=90°-∠ACB=45°,由(1)得CE=AD,∵AD=CF,∴CE=CF,∴∠CEF=∠CFE=67.5°,∴∠EAC=90°-67.5°=22.5°,由(1)得Rt△AEC≌Rt△BDA,∴∠ABD=∠EAC=22.5°,∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=22.5°,∴∠ABD=∠DBC,∴BD平分∠ABC.素養(yǎng)探究全練12.解析　(1)在△ABC中,BD、CE分別是邊AC、AB上的高,∴∠BDC=∠CEB=90°,在Rt△BCD和Rt△CBE中,∴Rt△BCD≌Rt△CBE(HL),∴∠BCD=∠CBE,∴AB=AC,∴△ABC是等腰三角形.(2)證明:在△ABC中,BD、CE分別是邊AC、AB上的高,∴∠BDC=∠CEB=90°,∵F是BC的中點(diǎn),∴EF=DF=BF=CF=BC,∴△DEF為等腰三角形,∵G是ED中點(diǎn),∴FG⊥DE.(3)∵EF=DF=BF=CF=BC,∴∠BEF=∠ABC,∠CDF=∠ACB,∵∠A=60°,∴∠ABC+∠ACB=120°,∴∠BFE+∠CFD=180°-2∠ABC+180°-2∠ACB=360°-2(∠ABC+∠ACB)=120°,∴∠EFD=60°,由(2)得△DEF為等腰三角形,∴△DEF是等邊三角形,∴DE=DF.∵DF=BC=8,∴DG=DF=4,∵FG2=DF2-DG2=48,∴FG=. 

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2.8 直角三角形全等的判定

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