2022-2023學(xué)年陜西省寶雞市千陽縣高二（下）期中數(shù)學(xué)試卷（文科）一、單選題（本大題共12小題，共60.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）1.  溶液酸堿度是通過計算的，的計算公式為，其中表示溶液中氫離子的濃度，單位是摩爾升，人體血液的氫離子的濃度通常在之間，如果發(fā)生波動，就是病理現(xiàn)象，那么，正常人體血液的值的范圍是(    )A.  B.  C.  D. 2.  已知為拋物線：上一點，點到的焦點的距離為，到軸的距離為，則(    )A.  B.  C.  D. 3.  甲、乙兩人投籃相互獨立，且各投籃一次命中的概率分別為和現(xiàn)甲、乙兩人各投籃一次，則兩人都命中的概率為(    )A.  B.  C.  D. 4.  已知復(fù)數(shù)，則的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于(    )A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限5.  設(shè)集合，，則(    )A.  B.  C.  D. 6.  已知雙曲線的一條漸近線被圓截得的線段長為，則雙曲線的離心率為(    )A.  B.  C.  D. 7.  對全班名同學(xué)的數(shù)學(xué)成績進行統(tǒng)計，得到平均數(shù)為，方差為，現(xiàn)發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)收集時有兩個錯誤，其中一個分記錄成了分，另一個分記錄成了分，糾正數(shù)據(jù)后重新計算，得到平均數(shù)為，方差為，則(    )A. ， B. ，
C. ， D. ，8.  閱讀如圖程序框圖，輸出的結(jié)果的值為(    )

 A.  B.  C.  D. 9.  對于，，大前提，小前提，所以結(jié)論以上推理過程中的錯誤為(    )A. 大前提 B. 小前提 C. 結(jié)論 D. 無錯誤10.  設(shè)，，且，，則下列不等式成立的是(    )A.  B.
C.  D. 11.  對四組數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計，獲得以下散點圖，關(guān)于其相關(guān)系數(shù)的比較，正確的是(    )

 A.  B.
C.  D. 12.  設(shè)是定義域為的偶函數(shù)，且在單調(diào)遞增，則(    )A.  B.
C.  D. 二、填空題（本大題共4小題，共20.0分）13.  已知單位向量，的夾角為，則 ______ ．14.  若實數(shù)，滿足約束條件，則的最小值為______ ．15.  觀察下列等式：，，，，根據(jù)上述規(guī)律，第五個等式為______．16.  古希臘數(shù)學(xué)家把，，，，，叫做三角數(shù)，它有一定的規(guī)律性，則第個三角數(shù)減去第個三角數(shù)的值為______ ．三、解答題（本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.  本小題分
如圖，在四棱錐中，底面為正方形，平面，，，分別是，的中點．

證明：平面；
求三棱錐的體積．18.  本小題分
已知函數(shù)．
求不等式的解集；
設(shè)，，，的最小值為，若，求的最小值．19.  本小題分
已知直線的直角坐標(biāo)方程為：，曲線的直角坐標(biāo)方程為：以坐標(biāo)原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．
求直線和曲線的極坐標(biāo)方程；
若射線分別交直線和曲線于、兩點點不同于坐標(biāo)原點，求．20.  本小題分
某企業(yè)投資兩個新型項目，新型項目的投資額單位：十萬元與純利潤單位：萬元的關(guān)系式為，新型項目的投資額單位：十萬元與純利潤單位：萬元有如下統(tǒng)計數(shù)據(jù)表： 投資額單位：十萬元純利潤單位：萬元求關(guān)于的線性回歸方程；
根據(jù)中所求的回歸方程，若，兩個項目都投資萬元，試預(yù)測哪個項目的收益更好．
附：線性回歸方程的斜率和截距的最小二乘估計分別為，．
參考數(shù)據(jù)：，．21.  本小題分
用分析法證明：；
已知，為正實數(shù)，請用反證法證明：與中至少有一個不小于．22.  本小題分
某工廠甲、乙兩條生產(chǎn)線生產(chǎn)的一批電子元件，其質(zhì)量按測試指標(biāo)劃分為：指標(biāo)大于或等于為合格品，小于為次品現(xiàn)隨機從這批元件中抽取件元件進行檢測，檢測結(jié)果如下表： 測試指標(biāo)數(shù)量件試估計生產(chǎn)一件電子元件是合格品的概率；
根據(jù)下面列聯(lián)表判斷該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值與甲、乙兩套設(shè)備的選擇是否有關(guān)．  甲生產(chǎn)線乙生產(chǎn)線合計合格品不合格品合計附：．
答案和解析 1.【答案】 【解析】【分析】本題考查了函數(shù)的實際應(yīng)用，考查了學(xué)生的分析問題的能力，屬于基礎(chǔ)題．
分別令，，因此即可求解．【解答】解：依題意，令，
，
因此，正常人體血液的值的范圍是．
故選：．  2.【答案】 【解析】解：為拋物線：上一點，點到的焦點的距離為，到軸的距離為，
因為拋物線上的點到焦點的距離和到準(zhǔn)線的距離相等，
故有：；
故選：．
直接利用拋物線的性質(zhì)解題即可．
本題主要考查拋物線性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
 3.【答案】 【解析】解：因為甲、乙兩人投籃相互獨立，投籃命中率分別為和，
所以甲、乙兩人各投籃一次，都命中的概率為．
故選：．
根據(jù)給定條件，利用相互獨立事件的概率乘法公式計算作答．
本題主要考查了相互獨立事件的概率乘法公式，屬于基礎(chǔ)題．
 4.【答案】 【解析】解：因為，所以，
所以在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為，位于第一象限．
故選：．
根據(jù)復(fù)數(shù)共軛復(fù)數(shù)的定義與復(fù)數(shù)的幾何意義即可得解．
本題主要考查共軛復(fù)數(shù)的定義，以及復(fù)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題．
 5.【答案】 【解析】解：集合，，所以．
故選：．
根據(jù)給定條件，利用并集的定義求解作答．
本題考查并集的求法，涉及并集定義、不等式的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，是基礎(chǔ)題．
 6.【答案】 【解析】解：不妨取雙曲線一條漸近線方程為，
因為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心是，半徑是，
所以圓心到漸近線的距離為，
所以由弦長公式得，
則，即，即，故，
所以．
故選：．
把圓方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，得圓心坐標(biāo)和半徑，求出圓心到漸近線的距離，由勾股定理可得，關(guān)系，從而求得離心率
本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)，方程思想，屬中檔題．
 7.【答案】 【解析】【分析】本題考查了數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差的計算問題，也考查了分析問題和解答問題的能力，是基礎(chǔ)題．
分析數(shù)據(jù)更正前后，數(shù)據(jù)的總和不變，其波動變大，結(jié)合平均數(shù)、方差的定義分析可得結(jié)論．【解答】解：根據(jù)題意，兩個數(shù)據(jù)記錄有誤，一個錯將記錄為，另一個錯將記錄為，
由知，這組數(shù)據(jù)的總和不變，
所以在對錯誤的數(shù)據(jù)進行更正后，重新求得樣本的平均數(shù)不變，即，
由，
所以數(shù)據(jù)的波動變大了，即．
故選：．  8.【答案】 【解析】解：由程序框圖知：程序第一次運行，；
第二次運行，；
第三次運行，；
滿足條件，程序運行終止，輸出．
故選：．
根據(jù)框圖的流程依次計算運行的結(jié)果，直到滿足條件，確定輸出的值．
本題考查了選擇結(jié)構(gòu)的程序框圖，根據(jù)框圖的流程依次計算運行的結(jié)果是解答此類問題的常用方法．
 9.【答案】 【解析】解：，，，
這是基本不等式的形式，注意到基本不等式的使用條件，，都是正數(shù)，
小前提，沒有寫出的取值范圍，
本題中的小前提有錯誤，
故選：．
演繹推理是由一般到特殊的推理，是一種必然性的推理，演繹推理得到的結(jié)論不一定是正確的，這要取決與前提是否真實和推理的形式是否正確，演繹推理一般模式是“三段論”形式，即大前提、小前提和結(jié)論．
本題考查演繹推理的意義，演繹推理是由一般性的結(jié)論推出特殊性命題的一種推理模式，演繹推理的前提與結(jié)論之間有一種蘊含關(guān)系．
 10.【答案】 【解析】【分析】本題考查了基本不等式，屬于基礎(chǔ)題．
根據(jù)基本不等式，分別判斷大小關(guān)系，即可得解．【解答】解：，，
；
，
，
，
．
綜上可知：．
故選B．  11.【答案】 【解析】【分析】本題考查兩個變量的線性相關(guān)，考查相關(guān)系數(shù)，屬于基礎(chǔ)題．
根據(jù)題目給出的散點圖，先判斷是正相關(guān)還是負相關(guān)，然后根據(jù)點的集中程度分析相關(guān)系數(shù)的大?。?/span>【解答】解：由給出的四組數(shù)據(jù)的散點圖可以看出，
圖和圖是正相關(guān)，相關(guān)系數(shù)大于，
圖和圖是負相關(guān)，相關(guān)系數(shù)小于，
圖和圖的點相對更加集中，所以相關(guān)性要強，所以接近于，接近于，
由此可得．
故選：．  12.【答案】 【解析】解：因為是定義域為的偶函數(shù)，
所以，
因為，在，單調(diào)遞增，
所以，即，故A錯誤；
因為，所以，故B正確；
，所以，故C錯誤；
，所以，故D錯誤．
故選：．
利用函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性逐個選項判斷即可．
本題主要考查函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的綜合，考查函數(shù)值大小的比較，屬于基礎(chǔ)題．
 13.【答案】 【解析】解：單位向量，的夾角為，
則，
所以．
故答案為：．
根據(jù)給定條件，利用平面向量數(shù)量積的運算律計算作答．
本題主要考查平面向量數(shù)量積的運算律，屬于基礎(chǔ)題．
 14.【答案】 【解析】解：作出不等式組件，表示的平面區(qū)域，如圖中陰影含邊界，其中，，，
目標(biāo)函數(shù)，即表示斜率為，縱截距為的平行直線系，
畫直線，平移直線至直線，當(dāng)直線經(jīng)過點時，直線的縱截距最大，最小，即，
所以的最小值為．
故答案為：．
作出不等式組表示的平面區(qū)域，再利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義求解作答．
本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合是解決線性規(guī)劃題目的常用方法，屬于中檔題．
 15.【答案】 【解析】解：所給等式左邊的底數(shù)依次分別為，；，，；，，，；，右邊的底數(shù)依次分別為，，，注意：這里，，
由底數(shù)內(nèi)在規(guī)律可知：第五個等式左邊的底數(shù)為，，，，，，右邊的底數(shù)為又左邊為立方和，右邊為平方的形式，故第五個等式為．
故答案為：．
解答此類的方法是從特殊的前幾個式子進行分析找出規(guī)律．觀察前幾個式子的變化規(guī)律，發(fā)現(xiàn)每一個等式左邊為立方和，右邊為平方的形式，且左邊的底數(shù)在增加，右邊的底數(shù)也在增加．從中找規(guī)律性即可．
所謂歸納推理，就是從個別性知識推出一般性結(jié)論的推理．它與演繹推理的思維進程不同．歸納推理的思維進程是從個別到一般，而演繹推理的思維進程不是從個別到一般，是一個必然地得出的思維進程．屬于基礎(chǔ)題．
 16.【答案】 【解析】解：觀察圖中各項的點數(shù)，可知三角數(shù)的每一項中后一項比前一項多的點數(shù)為后一項最底層的點數(shù)，
因而可知第項比第個項點數(shù)多個，
而第項比第項多個，
故可求出第個三角數(shù)比第個三角數(shù)多的點數(shù)個．
故答案為：．
觀察圖中點數(shù)，可知每一項中后一項比前一項多的點數(shù)為后一項最底層的點數(shù)，而第項比第項多個，根據(jù)以上兩項即可求出第個三角數(shù)比第個三角數(shù)多的點數(shù)，從而總結(jié)出規(guī)律求解．
此題主要考查數(shù)列的規(guī)律性計算，計算時要注意找出規(guī)律．
 17.【答案】證明：取的中點，的中點，連接，，
四邊形是正方形，是的中點，
，，三點共線，且是的中點，
又是的中點，，分別是，的中點，
，，
，又平面，平面，
平面．

解：平面，是的中點，
到平面的距離為，
四邊形是正方形，，，
三棱錐的體積為：． 【解析】本題考查了線面平行的判定，棱錐的體積計算，屬于基礎(chǔ)題．
取的中點，的中點，利用中位線定理和平行公理即可證明，得出平面；
計算到平面的距離和三角形的面積，代入棱錐的體積公式計算．
 18.【答案】解：因為，
又，
所以當(dāng)時，，解得；
當(dāng)時，恒成立，故；
當(dāng)時，，解得；
所以不等式的解集為．
當(dāng)時，；
當(dāng)時，；
當(dāng)時，；
所以，
故，
由柯西不等式可得，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)且，即時，等號成立，
所以的最小值為． 【解析】利用分類討論解絕對值不等式的方法求解即可；
利用一次函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合分段函數(shù)的性質(zhì)求得，即，再利用柯西不等式即可得解．
本題考查絕對值不等式的解法以及柯西不等式的運用，考查運算求解能力，屬于中檔題．
 19.【答案】解：直線的直角坐標(biāo)方程為，
根據(jù)轉(zhuǎn)換為極坐標(biāo)方程為，
曲線的直角坐標(biāo)方程為，即，
根據(jù)轉(zhuǎn)換為極坐標(biāo)方程為．
設(shè)點、的極坐標(biāo)分別為、，
射線與直線：交于點，
故，
射線與曲線：交于點，故，
故． 【解析】根據(jù)普通方程與極坐標(biāo)方程之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系可得出直線和曲線的極坐標(biāo)方程；
設(shè)點、的極坐標(biāo)分別為、，求出、的值，即可得出，即可得解．
本題主要考查簡單曲線的極坐標(biāo)方程，考查運算求解能力，屬于中檔題．
 20.【答案】解：由表中數(shù)據(jù)得，，
又，，則，則，
所以關(guān)于的線性回歸方程為．
新型項目的投資額單位：十萬元與純利潤單位：萬元的關(guān)系式為，
因此項目投資萬元，該企業(yè)所得純利潤的估計值為萬元；
由知，關(guān)于的線性回歸方程為，
因此項目投資萬元，則該企業(yè)所得純利潤的估計值為萬元，顯然，
所以可預(yù)測項目的收益更好． 【解析】根據(jù)給定的數(shù)表，結(jié)合最小二乘法公式計算作答．
由已知求出項目投資萬元所得收益的估計值，再利用的結(jié)論求出項目投資萬元所得收益的估計值，比較大小作答．
本題考查線性規(guī)劃相關(guān)知識，屬于中檔題．
 21.【答案】證明：要證，
只需證，
即證，
即證，
即證，
而是成立的，．
假設(shè)結(jié)論不成立，則，
所以，
即，
即，
即，矛盾，故假設(shè)不成立，
所以與中至少有一個不小于． 【解析】利用分析法的證明方法，通過變形平方，推出，即可證明結(jié)果．
利用反證法假設(shè)結(jié)論不成立，則，推出矛盾結(jié)論，即可．
本題考查不等式的證明，分析法以及反證法證明不等式的方法的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．
 22.【答案】解：由題意可知，件元件中有件合格品，
所以估計生產(chǎn)一件電子元件是合格品的概率為；
由已知，得，
所以有的把握認為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值與甲、乙兩套設(shè)備的選擇有關(guān)． 【解析】由古典概型概率公式求解；
計算，即可作出判斷．
本題主要考查了古典概型的概率公式，考查了獨立性檢驗的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
 

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