2022-2023學(xué)年陜西省西安市周至縣第六中學(xué)高一下學(xué)期5月期中數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．已知，則（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用復(fù)數(shù)的除法化簡復(fù)數(shù)，利用共軛復(fù)數(shù)的定義可得結(jié)果.【詳解】由已知可得，因此，.故選：C.2．已知是兩個不重合的平面，l，m是兩條不同的直線，則下列說法正確的是（    ）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則【答案】D【分析】由空間線面位置關(guān)系的判定及性質(zhì)依次判斷即可.【詳解】對于A，若，則或，A錯誤；對于B，若，則或異面，B錯誤；對于C，若，則或，C錯誤；對于D，由線面平行的性質(zhì)知正確.故選：D.3．如圖，水平放置的四邊形的斜二測直觀圖為矩形，已知，則四邊形的周長為（    ）A．20 B．12 C． D．【答案】A【分析】根據(jù)斜二測法求得且，進(jìn)而求出，即可得結(jié)果.【詳解】由題設(shè)，則原四邊形中，又，故，且，所以四邊形的周長為.故選：A4．已知向量，且，則實(shí)數(shù)a的值為（    ）A．1 B． C．或-1 D．或1【答案】C【分析】利用向量垂直的坐標(biāo)表示，列式計算作答.【詳解】向量，又，則有，解得或，所以實(shí)數(shù)a的值為或-1.故選：C5．三棱錐中，平面，，， ，則該三棱錐外接球的表面積為A． B． C． D．【答案】A【詳解】試題分析：分析可知球心在的中點(diǎn)．因?yàn)?/span>，，所以．所以．球的半徑．所以此球的表面積為．故A正確．【解析】三棱錐的外接球．6．設(shè)為虛數(shù)單位，且，則（    ）A．1 B． C．2 D．【答案】D【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算先求出的值，然后利用復(fù)數(shù)求模的計算即可求解.【詳解】因?yàn)?/span>，則，所以，解得：，所以，故選：.7．直線m與平面平行，且直線，則直線m和直線a的位置關(guān)系不可能為（    ）A．平行 B．異面 C．相交 D．沒有公共點(diǎn)【答案】C【分析】分析得到直線m和直線a的位置關(guān)系可能平行，可能異面，即沒有公共點(diǎn)，得到答案.【詳解】直線m與平面平行，且直線，則直線m和直線a的位置關(guān)系可能平行，可能異面，即沒有公共點(diǎn)，但不可能相交，因?yàn)槿糁本€m和直線a相交，則或與相交，均與已知條件矛盾.故選：C8．已知向量，，若，則（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由求得，再用倍角公式求即可.【詳解】因?yàn)?/span>，，，所以，即，所以，解得或（舍），所以，故選：B9．若O為所在平面內(nèi)任一點(diǎn)，且滿足，則的形狀為（    ）A．鈍角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形【答案】C【分析】首先在中，取的中點(diǎn)，連接，根據(jù)得到，從而得到，即可得到答案.【詳解】在中，取的中點(diǎn)，連接，如圖所示：因?yàn)?/span>，所以，所以，即，即.又因?yàn)?/span>中是否有直角不確定，和是否相等也無法確定，所以為等腰三角形.故選：C10．如圖所示，一個球內(nèi)接圓臺，已知圓臺上?下底面的半徑分別為3和4，球的表面積為，則該圓臺的體積為（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由球的表面積求出球的半徑，然后通過軸截面求出圓臺的高，進(jìn)一步求出圓臺的體積.【詳解】因?yàn)閳A臺外接球的表面積，所以球的半徑，設(shè)圓臺的上?下底面圓心分別為，在上?下底面圓周上分別取點(diǎn)，連接，如圖，因?yàn)閳A臺上?下底面的半徑分別為3和4，所以，，所以，,所以，所以圓臺體積.故選：D.11．如圖，A處為長江南岸某渡口碼頭，北岸B碼頭與A碼頭相距，江水向正東流.已知一渡船從A碼頭按方向以的速度航行，且，若航行到達(dá)北岸的B碼頭，則江水速度是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由力學(xué)可知的位移是由和水流合成的，故滿足平行四邊形法則，解這個平行四邊形即可.【詳解】如圖，以方向?yàn)猷忂叄?/span>為對角線作平行四邊形，渡船經(jīng)過小時航行，即，由題意，，，由余弦定理得.所以，渡船在按方向航行時，江水向方向流，形成合位移使渡船沿到達(dá)北岸B碼頭，此時水流動距離為，則水流速度為，故選：C.12．《九章算術(shù)》中將底面是直角三角形的直三棱柱稱為“塹堵”．某“塹堵”的三視圖如圖，則它的外接球的體積為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】作出直觀圖，找到外接球球心得球半徑后可得體積．【詳解】由三視圖知如圖直三棱柱的底面是等腰直角三角形，，設(shè)分別是的中點(diǎn)，則分別是兩個底面的外接圓圓心，的中點(diǎn)是三棱柱的外接球的球心．由三視圖知，，因此，球體積為．故選：B． 二、雙空題13．已知復(fù)數(shù)，，則      ，      .【答案】          0.【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則化簡，然后計算可得，使用等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式計算可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?/span>，，所以；故答案為：，0.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算以及等比數(shù)列的結(jié)合，重在計算，屬基礎(chǔ)題. 三、填空題14．已知圓錐的軸截面是一個頂角為，腰長為2的等腰三角形，則該圓錐的體積為           .【答案】【分析】利用圓錐軸截面等腰三角形特征求出圓錐的高和底面圓半徑，再利用圓錐體積公式計算作答.【詳解】因圓錐的軸截面是一個頂角為，腰長為2的等腰三角形，則此等腰三角形底邊上的高即為圓錐的高h，因此，，圓錐底面圓半徑，所以圓錐的體積為.故答案為：15．如圖，在中，向量，且，則      .【答案】1【分析】利用圖形關(guān)系進(jìn)行平面向量的線性運(yùn)算求出，即可得出結(jié)果.【詳解】由題意知，，所以，所以，則，故.故答案為：1.16．內(nèi)角的對邊分別為，若的面積為，則         【答案】【分析】由余弦定理可得，根據(jù)條件結(jié)合三角形的面積公式可得從而可得答案.【詳解】由余弦定理可得，所以的面積為 所以 即，由 所以故答案為： 四、解答題17．已知復(fù)數(shù)，其中i是虛數(shù)單位，m為實(shí)數(shù)．(1)當(dāng)復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)時，求m的值；(2)當(dāng)復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限時，求m的取值范圍．【答案】(1)4(2) 【分析】（1）根據(jù)純虛數(shù)，實(shí)部為零，虛部不為零列式即可；（2）根據(jù)第三象限，實(shí)部小于零，虛部小于零，列式即可 .【詳解】（1）因?yàn)?/span>為純虛數(shù),所以解得或，且且綜上可得,當(dāng)為純虛數(shù)時;（2）因?yàn)?/span>在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限,解得或，且即,故的取值范圍為.18．已知長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分別為AA1和AB的中點(diǎn)．求證：（1）D1，M，N，C四點(diǎn)共面；（2）D1M、DA、CN三線共點(diǎn)．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析．【分析】（1）連接A1B，推出四邊形A1BCD1為平行四邊形，由此能證明M，N，C，D1四點(diǎn)共面．（2）推導(dǎo)出直線D1M與CN必相交，設(shè)D1MCNK，推導(dǎo)出K是平面ABCD與平面AA1D1D的公共點(diǎn)，由此能證明D1M、DA、CN三線共點(diǎn)．【詳解】證明：（1）連接A1B，D1C，因?yàn)?/span>M，N分別為AA1和AB的中點(diǎn)，所以MNA1B，因?yàn)?/span>A1D1BC，A1DBC，所以四邊形A1BCD1為平行四邊形，所以A1BD1C，所以MND1C，所以MN與D1C確定一個平面，所以M，N，C，D1四點(diǎn)共面．（2）因?yàn)?/span>MNA1B，且A1B，所以直線D1M與CN必相交，設(shè)D1MCNK，因?yàn)?/span>KD1M，D1M平面AA1D1D，所以K平面AA1D1D，又因?yàn)?/span>KCN，CN平面ABCD，所以K平面ABCD，所以K是平面ABCD與平面AA1D1D的公共點(diǎn)，又因?yàn)槠矫?/span>ABCD平面AA1D1DAD，所以KAD，所以D1M、DA、CN三線共點(diǎn)．19．1.在中，角，，的對邊分別為，，，已知.(1)求；(2)若，，求的周長.【答案】(1)(2) 【分析】（1）先用正弦定理進(jìn)行邊化角，進(jìn)而通過兩角和與差的正弦公式化簡，最后求得答案；（2）結(jié)合（1），運(yùn)用余弦定理求出c，進(jìn)而求出三角形的周長.【詳解】（1）由正弦定理得，即，則.因?yàn)?/span>，所以，所以，得.（2）由（1）知，，又，，所以由余弦定理可得即，解得（舍）或.所以三角形的周長為.20．已知向量，，．（1）求向量與所成角的余弦值；（2）若，求實(shí)數(shù)的值．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）首先計算，再利用向量夾角公式計算即可；（2）首先計算，再利用平行向量坐標(biāo)運(yùn)算公式求解即可.【詳解】（1）因?yàn)?/span>，，所以．設(shè)向量與所成角為，．（2）∵，，又，∴，解得．21．在中，分別為角的對邊，且.(1)求；(2)若，求的取值范圍.【答案】(1)(2) 【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，對已知條件進(jìn)行消元，利用兩角和與差的正弦公式，展開化簡即可解得；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，結(jié)合面積公式，可得，再由余弦定理以及基本不等式可得，得到的取值范圍.【詳解】（1）∵，且，∴，∴，∵，∴，，∵，∴；（2）由（1）知，∴，∴，由余弦定理得，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，∴，又，∴，綜上，的取值范圍為.22．如圖，在四棱錐中，底面是邊長為2的正方形，，點(diǎn)M是的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)已知，求三棱錐的表面積．【答案】(1)證明見解析；(2). 【分析】（1）連接交與點(diǎn)，利用中位線定理得，再根據(jù)線面平行的判定定理即可證明；（2）根據(jù)各面都是直角三角形，利用三角形的面積公式，進(jìn)而能夠計算三棱錐表面積【詳解】（1）如圖所示連接交與點(diǎn)，連接，因?yàn)榈酌?/span>是正方形，所以是的中點(diǎn)，又點(diǎn)M是的中點(diǎn)．所以，又平面，平面，所以平面.（2）因?yàn)?/span>，所以，所以平面，平面，所以，又因?yàn)榈酌?/span>是正方形所以，所以平面，平面，所以.因?yàn)榈酌?/span>是邊長為2的正方形，所以，所以，.所以三棱錐的表面積為. 

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